Transformata Fouriera to rodzina metod matematycznych opartych na dekompozycji pierwotnej ciągłej funkcji czasu na zbiór podstawowych funkcji harmonicznych (które są funkcjami sinusoidalnymi) o różnej częstotliwości, amplitudzie i fazie. Z definicji wynika, że główną ideą transformacji jest to, że każdą funkcję można przedstawić jako nieskończoną sumę sinusoid, z których każda będzie się charakteryzować amplitudą, częstotliwością i fazą początkową.
Transformata Fouriera jest twórcą analizy spektralnej. Analiza widmowa to metoda przetwarzania sygnału, która pozwala scharakteryzować zawartość częstotliwości mierzonego sygnału. W zależności od tego, jak sygnał jest reprezentowany, używane są różne transformaty Fouriera. Istnieje kilka rodzajów transformacji Fouriera:
– Ciągła transformata Fouriera (w literaturze angielskiej Kontynuuj transformację Fouriera w czasie – CTFT lub w skrócie FT);
– Dyskretna transformata Fouriera (w literaturze angielskiej Dyskretna transformata Fouriera – DFT);
– Szybka transformata Fouriera (w literaturze angielskiej Szybka transformata Fouriera – FFT).
Ciągła transformata Fouriera
Transformacja Fouriera to narzędzie matematyczne używane w różnych dziedzinach nauki. W niektórych przypadkach może służyć do rozwiązywania złożonych równań opisujących procesy dynamiczne zachodzące pod wpływem energii elektrycznej, cieplnej lub świetlnej. W innych przypadkach pozwala na podkreślenie regularnych składników w złożonym sygnale oscylacyjnym, dzięki czemu można poprawnie zinterpretować obserwacje eksperymentalne w astronomii, medycynie i chemii. Przekształcenie ciągłe jest właściwie uogólnieniem szeregu Fouriera, pod warunkiem, że okres funkcji rozszerzonej dąży do nieskończoności. Zatem klasyczna transformata Fouriera zajmuje się widmem sygnału pobranego w całym zakresie istnienia zmiennej.
Istnieje kilka rodzajów zapisu ciągłej transformacji Fouriera, które różnią się od siebie wartością współczynnika przed całką (dwie formy zapisu):
lub 
gdzie i jest obrazem Fouriera funkcji lub widmem częstotliwości funkcji ;
- częstotliwość kołowa.
Należy zauważyć, że różne rodzaje nagrań występują w różnych dziedzinach nauki i techniki. Współczynnik normalizacji jest niezbędny do prawidłowego skalowania sygnału z domeny częstotliwości do domeny czasu. Współczynnik normalizacji zmniejsza amplitudę sygnału na wyjściu transformacji odwrotnej tak, aby odpowiadała amplitudzie oryginalnego sygnału. W literaturze matematycznej bezpośrednie i odwrotne transformaty Fouriera są mnożone przez czynnik , natomiast w fizyce najczęściej czynnik nie jest ustalany dla transformacji bezpośredniej, ale czynnik jest ustalany dla odwrotnej. Jeśli kolejno obliczymy bezpośrednią transformatę Fouriera określonego sygnału, a następnie weźmiemy odwrotną transformatę Fouriera, to wynik transformacji odwrotnej powinien całkowicie pokrywać się z sygnałem pierwotnym.
Jeżeli funkcja jest nieparzysta na przedziale (−∞, +∞), to transformatę Fouriera można przedstawić w postaci funkcji sinus:
Jeśli funkcja jest parzysta na przedziale (−∞, +∞), to transformatę Fouriera można przedstawić za pomocą funkcji cosinus:
Zatem ciągła transformata Fouriera pozwala nam reprezentować funkcję nieokresową jako całkę funkcji reprezentującej w każdym z jej punktów współczynnik szeregu Fouriera dla funkcji nieokresowej.
Transformacja Fouriera jest odwracalna, to znaczy, jeśli jej obraz Fouriera został obliczony na podstawie funkcji, wówczas oryginalna funkcja może być jednoznacznie przywrócona z obrazu Fouriera. Odwrotna transformata Fouriera jest rozumiana jako całka formy (dwie formy zapisu):
lub 
gdzie jest obrazem Fouriera funkcji lub widmem częstotliwości funkcji ;
- częstotliwość kołowa.
Jeżeli funkcja jest nieparzysta na przedziale (−∞, +∞), to odwrotną transformatę Fouriera można przedstawić w postaci funkcji sinus:
Jeżeli funkcja jest parzysta na przedziale (−∞, +∞), to odwrotną transformatę Fouriera można przedstawić za pomocą funkcji cosinus:
Jako przykład rozważ następującą funkcję 
. Poniżej przedstawiono wykres badanej funkcji wykładniczej.
Ponieważ funkcja jest funkcją parzystą, to ciągła transformata Fouriera zostanie zdefiniowana w następujący sposób:
W rezultacie uzyskaliśmy zależność zmiany badanej funkcji wykładniczej od przedziału częstotliwości (patrz niżej).
Ciągła transformata Fouriera jest zwykle używana w teorii przy rozpatrywaniu sygnałów, które zmieniają się zgodnie z określonymi funkcjami, ale w praktyce zwykle dotyczą pomiarów będących danymi dyskretnymi. Wyniki pomiarów są rejestrowane w regularnych odstępach czasu z określoną częstotliwością próbkowania, na przykład 16000 Hz lub 22000 Hz. Jednak w ogólnym przypadku odczyty dyskretne mogą przebiegać nierównomiernie, ale komplikuje to matematyczny aparat analizy, więc zwykle nie jest stosowany w praktyce.
Istnieje ważne twierdzenie Kotelnikowa (w literaturze zagranicznej występuje nazwa „Twierdzenie Nyquista-Shannona”, „twierdzenie o próbce”), które mówi, że analogowy sygnał okresowy o skończonym (ograniczonym szerokości) widmie (0 ... fmax) mogą być jednoznacznie odtworzone bez zniekształceń i strat w ich odczytach dyskretnych, pobieranych z częstotliwością większą lub równą dwukrotności górnej częstotliwości widma - częstotliwość próbkowania (fdisc >= 2*fmax). Innymi słowy, przy częstotliwości próbkowania 1000 Hz można odzyskać sygnał o częstotliwości do 500 Hz z analogowego sygnału okresowego. Należy zauważyć, że dyskretyzacja funkcji w czasie prowadzi do periodyzacji jej widma, a dyskretyzacja widma w częstotliwości prowadzi do periodyzacji funkcji.
Jest to jedna z transformat Fouriera szeroko stosowanych w algorytmach cyfrowego przetwarzania sygnałów.
Bezpośrednia dyskretna transformata Fouriera wiąże funkcję czasu , która jest zdefiniowana przez N punktów pomiarowych w danym przedziale czasu, z inną funkcją , która jest zdefiniowana w przedziale częstotliwości. Należy zauważyć, że funkcja w przedziale czasu jest określona przy użyciu N-próbek, a funkcja w dziedzinie częstotliwości jest określona przy użyciu widma K-krotnego.
k ˗ indeks częstotliwości.
Częstotliwość k-tego sygnału jest określona przez wyrażenie
gdzie T jest okresem czasu, w którym pobrano dane wejściowe.
Bezpośrednią transformatę dyskretną można przepisać w kategoriach składników rzeczywistych i urojonych. Składowa rzeczywista to tablica zawierająca wartości składowych cosinusów, a składowa urojona to tablica zawierająca wartości składowych sinusoidalnych.
Z ostatnich wyrażeń widać, że transformacja rozkłada sygnał na składowe sinusoidalne (zwane harmonicznymi) o częstotliwościach od jednej oscylacji na okres do N oscylacji na okres.
Dyskretna transformata Fouriera ma tę cechę, że dyskretny ciąg można uzyskać przez sumę funkcji o różnym składzie sygnału harmonicznego. Innymi słowy, sekwencja dyskretna jest rozkładana na zmienne harmoniczne - niejednoznacznie. Dlatego przy rozszerzeniu funkcji dyskretnej za pomocą dyskretnej transformacji Fouriera w drugiej połowie widma pojawiają się składowe wysokoczęstotliwościowe, których nie było w oryginalnym sygnale. To widmo wysokiej częstotliwości jest lustrzanym odbiciem pierwszej części widma (pod względem częstotliwości, fazy i amplitudy). Zwykle druga połowa widma nie jest brana pod uwagę, a amplitudy sygnałów pierwszej części widma są podwojone.
Należy zauważyć, że rozwinięcie funkcji ciągłej nie prowadzi do pojawienia się efektu lustra, ponieważ funkcja ciągła jest jednoznacznie rozkładana na zmienne harmoniczne.
Amplituda składowej stałej jest średnią wartością funkcji w wybranym okresie i jest wyznaczana w następujący sposób:
Amplitudy i fazy składowych częstotliwości sygnału są określone przez następujące zależności:
Otrzymane wartości amplitudy i fazy nazywane są notacją biegunową. Wynikowy wektor sygnału zostanie zdefiniowany w następujący sposób:
Rozważ algorytm przekształcania dyskretnie danej funkcji na zadanym przedziale (w zadanym okresie) liczbą punktów początkowych
D iskra transformata Fouriera
W wyniku przekształcenia otrzymujemy wartości rzeczywiste i urojone funkcji, która jest określona na zakresie częstotliwości.
Odwrotna dyskretna transformata Fouriera wiąże funkcję częstotliwości , która jest zdefiniowana przez K-krotne widmo w domenie częstotliwości, z inną funkcją , która jest zdefiniowana w domenie czasu.
N ˗ liczba wartości sygnału mierzonych w okresie, a także krotność widma częstotliwości;
k ˗ indeks częstotliwości.
Jak już wspomniano, dyskretna transformata Fouriera odwzorowuje N-punktów dyskretnego sygnału na N-złożone próbki widmowe sygnału. Obliczenie jednej próbki widmowej wymaga N operacji złożonych mnożenia i dodawania. Zatem złożoność obliczeniowa algorytmu dyskretnej transformacji Fouriera jest kwadratowa, innymi słowy, wymagane są złożone operacje mnożenia i dodawania.
1. Liniowość. Transformacja Fouriera jest jedną z operacji całkowania liniowego, tj. widmo sumy sygnałów jest równe sumie widm tych sygnałów.
a n s n (t) ? s n (n)
2. Właściwości parzystości
Transformacje są określone przez cosinus (parzysty, rzeczywisty) i sinus (nieparzysty, urojony) części rozwinięcia oraz podobieństwo transformacji bezpośredniej i odwrotnej.
- 3. Zmiana argumentu funkcji (kompresja lub ekspansja sygnału) prowadzi do odwrotnej zmiany argumentu jej transformaty Fouriera i odwrotnie proporcjonalnej zmiany jej modułu.
- 4. Twierdzenie o opóźnieniu. Opóźnienie (przesunięcie, przesunięcie) sygnału w argumencie funkcji dla przedziału to prowadzi do zmiany funkcji częstotliwości fazowej widma (kąta fazowego wszystkich harmonicznych) o wartość -wt o bez zmiany moduł (funkcja amplitudy) widma.
5. Przekształcenie pochodne (różnicowanie sygnału):
s(t) = d/dt = d/dt =Y(w) dsh= = jsh Y(sh) exp(jsht) dsh jsh Y(sh).
W ten sposób zróżnicowanie sygnału jest wyświetlane w domenie widmowej, po prostu mnożąc widmo sygnału przez operator różnicowania sygnału w dziedzinie częstotliwości jw, co jest równoznaczne z różnicowaniem każdej harmonicznej widma. Mnożenie przez jw prowadzi do wzbogacenia widma pochodnej sygnału o składowe o wysokiej częstotliwości (w porównaniu z sygnałem pierwotnym) i eliminuje składowe o zerowej częstotliwości.
6. Transformacja całkowa sygnał w domenie częstotliwości o znanym widmie sygnału można uzyskać z następujących prostych rozważań. Jeżeli zachodzi s(t) = d/dt jwY(w) = S(w), to należy również wykonać operację odwrotną: y(t) =s(t) dt Y(w) = S(w)/ św. Oznacza to:
s(t)dt? (1/j u)S(u).
Operator integracji w dziedzinie częstotliwości (1/j u) przy u >1 tłumi wysokie częstotliwości w widmie amplitudowym i przy u<1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -90 0 для положительных частот и на 90 0 для отрицательных.
7. Transformacja splotu sygnału y(t) = s(t) * h(t):
Y(w) =y(t) exp(-jsht) dt =s(f) h(t-f) exp(-jsht) dfdt
Y(w) \u003d s (f) d f h (t- f) exp (-jw t) dt.
Zgodnie z twierdzeniem o opóźnieniu:
h(t-f) exp(-jшt) dt = H(ш) exp(-jшt).
Y(w) \u003d H (w) s (f) exp (-jsh f) df \u003d H (w) S (w).
s(t) * h(t)?S(w)H(w).
W ten sposób, splot funkcji w postaci współrzędnych jest wyświetlany w reprezentacji częstotliwościowej przez iloczyn transformacji Fouriera tych funkcji.
8. Transformacja iloczynu sygnałów y(t) = s(t) h(t):
Y(?) =s(t) h(t) exp(-j?t) dt =s(t) [(1/2?)H(?") exp(j?"t) d?"] dt = (1/2?)s(t)H(?") exp(-j(?-?")t) d?"dt = (1/2?)H(?") d?"s(t ) exp(-j(?-?")t) dt = (1/2?)H(?") S(?-?") d?" = (1/2?) H(?) * S(?).
Iloczyn funkcji w postaci współrzędnych jest wyświetlany w reprezentacji częstotliwościowej przez splot transformat Fouriera tych funkcji.
9. Mnożenie sygnału przez funkcję harmoniczną wypełnia sygnał o częstotliwości harmonicznej i tworzy impuls radiowy.
10. Widma mocy. Jeżeli funkcja s(t) ma transformatę Fouriera S(?), to gęstość widmową mocy tej funkcji określają wyrażenia:
w(t) = s(t) s*(t) = |s(t)| 2 |S(?)| 2 = S(?) S*(?) = W(?).
Widmo mocy jest rzeczywistą nieujemną funkcją parzystą, która bardzo często nazywana jest widmem energii. Widmo mocy, jako kwadrat modułu widma sygnału, nie zawiera informacji fazowych o składowych częstotliwościowych, a zatem niemożliwe jest odtworzenie sygnału z widma mocy. Oznacza to również, że sygnały o różnych charakterystykach fazowych mogą mieć takie same widma mocy. W szczególności przesunięcie sygnału nie wpływa na jego widmo mocy. metoda matematyczna transformata Fouriera
11. Równość Parsevala. Całkowita energia widma sygnału:
E s =W(f)df=|S(f)| 2df.
Ponieważ reprezentacje współrzędnych i częstotliwości są zasadniczo po prostu różnymi matematycznymi reprezentacjami tego samego sygnału, energia sygnału w dwóch reprezentacjach również musi być równa, z czego wynika równość Parsevala:
|s(t)| 2 dt =|S(f)| 2df,
tych. energia sygnału jest równa całce modułu jego widma częstotliwości - sumie energii wszystkich składowych częstotliwości sygnału.
Uważam, że wszyscy są ogólnie świadomi istnienia tak wspaniałego narzędzia matematycznego, jak transformata Fouriera. Jednak na uniwersytetach z jakiegoś powodu jest ona tak źle nauczana, że stosunkowo niewiele osób rozumie, jak działa ta transformacja i jak należy ją właściwie stosować. Tymczasem matematyka tej transformacji jest zaskakująco piękna, prosta i elegancka. Zapraszam wszystkich do zapoznania się z transformacją Fouriera i związanym z nią tematem, w jaki sposób sygnały analogowe mogą być efektywnie przekształcane na cyfrowe w celu przetwarzania obliczeniowego.
Nie używając skomplikowanych formuł i matlaba, postaram się odpowiedzieć na następujące pytania:
- FT, DTF, DTFT – jakie są różnice i jak pozornie zupełnie różne formuły dają tak podobne koncepcyjnie wyniki?
- Jak poprawnie interpretować wyniki szybkiej transformacji Fouriera (FFT)
- Co zrobić, jeśli podany jest sygnał 179 próbek, a FFT wymaga sekwencji o długości równej potędze dwójki jako dane wejściowe
- Dlaczego, próbując uzyskać widmo sinusoidy za pomocą Fouriera, zamiast oczekiwanego pojedynczego „drążka”, na wykresie pojawia się dziwna pętla i co można z tym zrobić
- Dlaczego filtry analogowe są umieszczane przed ADC i za DAC?
- Czy można zdigitalizować sygnał ADC o częstotliwości wyższej niż połowa częstotliwości próbkowania (odpowiedź szkoły jest nieprawidłowa, możliwa jest prawidłowa odpowiedź)
- Jak sekwencja cyfrowa przywraca oryginalny sygnał?
Wychodzę z założenia, że czytelnik rozumie, czym jest całka, liczba zespolona (oraz jej moduł i argument), splot funkcji, plus przynajmniej „na palcach” wyobraża sobie, czym jest delta Diraca. Nie wiem - to nie ma znaczenia, przeczytaj powyższe linki. Przez „iloczyn funkcji” w tym tekście zawsze będę miał na myśli „mnożenie przez punkt”
Powinniśmy chyba zacząć od tego, że zwykła transformata Fouriera to coś, co, jak można się domyślić z nazwy, przekształca jedną funkcję w drugą, czyli przypisuje każdej funkcji zmiennej rzeczywistej x(t) jej widmo lub obraz Fouriera y (w):
Jeżeli podamy analogie, to przykładem przekształcenia o podobnym znaczeniu może być np. różniczkowanie, które zamienia funkcję w jej pochodną. Oznacza to, że transformata Fouriera jest w rzeczywistości tą samą operacją, co obliczanie pochodnej i często jest oznaczana w podobny sposób, nakładając trójkątną „czapkę” na funkcję. Tylko w przeciwieństwie do różniczkowania, które można zdefiniować również dla liczb rzeczywistych, transformata Fouriera zawsze „działa” z ogólniejszymi liczbami zespolonymi. Z tego powodu stale pojawiają się problemy z wyświetlaniem wyników tej transformacji, ponieważ liczby zespolone są wyznaczane nie przez jedną, ale przez dwie współrzędne na wykresie operującym liczbami rzeczywistymi. Najwygodniejszym sposobem, z reguły, jest przedstawienie liczb zespolonych jako modułu i argumentu i narysowanie ich osobno jako dwóch oddzielnych wykresów:
Wykres argumentu wartości zespolonej jest często nazywany w tym przypadku „widmem fazowym”, a wykres modułu jest często nazywany „widmem amplitudy”. Widmo amplitudowe z reguły cieszy się znacznie większym zainteresowaniem, dlatego część „fazowa” widma jest często pomijana. W tym artykule skupimy się również na kwestiach „amplitudy”, ale nie powinniśmy zapominać o istnieniu brakującej części fazowej wykresu. Ponadto zamiast zwykłego modułu wartości złożonej często rysowany jest jej logarytm pomnożony przez 10. Wynikiem jest wykres logarytmiczny, którego wartości są wyświetlane w decybelach (dB).
Należy pamiętać, że niezbyt silnie ujemne liczby na wykresie logarytmicznym (-20 dB lub mniej) w tym przypadku odpowiadają liczbom prawie zerowym na „normalnym” wykresie. Dlatego długie i szerokie „ogony” różnych widm na takich wykresach, wyświetlane w „zwykłych” współrzędnych, z reguły praktycznie znikają. Wygoda takiej pozornie dziwnej reprezentacji wynika z faktu, że transformaty Fouriera różnych funkcji często muszą być ze sobą mnożone. Przy takim punktowym mnożeniu obrazów Fouriera o wartościach zespolonych, ich widma fazowe są dodawane, a ich widma amplitudowe są mnożone. Pierwsza jest łatwa do wykonania, a druga stosunkowo trudna. Jednak logarytmy amplitudy są dodawane podczas mnożenia amplitud, więc logarytmiczne wykresy amplitudy można, podobnie jak wykresy fazowe, po prostu dodawać punkt po punkcie. Ponadto w praktycznych problemach często wygodniej jest operować nie „amplitudą” sygnału, ale jego „mocą” (kwadrat amplitudy). W skali logarytmicznej oba wykresy (zarówno amplitudy, jak i mocy) wyglądają identycznie i różnią się tylko współczynnikiem – wszystkie wartości na wykresie mocy są dokładnie dwa razy większe niż na skali amplitudy. W związku z tym, aby wykreślić rozkład częstotliwości mocy (w decybelach), nie można niczego podnosić do kwadratu, ale obliczyć logarytm dziesiętny i pomnożyć go przez 20.
Czy jesteś znudzony? Poczekaj jeszcze trochę, z nudną częścią artykułu wyjaśniającą, jak interpretować wykresy, niedługo skończymy :). Ale wcześniej jedną bardzo ważną rzeczą do zrozumienia jest to, że podczas gdy wszystkie powyższe wykresy widma zostały narysowane dla pewnych ograniczonych zakresów wartości (w szczególności liczb dodatnich), wszystkie te wykresy faktycznie kontynuują się w nieskończoność plus i minus. Wykresy po prostu pokazują niektóre z „najbardziej znaczących” części wykresu, które są zwykle odzwierciedlane dla ujemnych wartości parametru i często powtarzają się okresowo w przyrostach, gdy są oglądane w większej skali.
Po ustaleniu, co jest narysowane na wykresach, wróćmy do samej transformacji Fouriera i jej własności. Istnieje kilka różnych sposobów definiowania tej transformacji, różniących się drobnymi szczegółami (różne normalizacje). Na przykład na naszych uniwersytetach z jakiegoś powodu często stosuje się normalizację transformaty Fouriera, która określa widmo w kategoriach częstotliwości kątowej (radiany na sekundę). Użyję wygodniejszego sformułowania zachodniego, które definiuje widmo w kategoriach zwykłej częstotliwości (herc). Bezpośrednie i odwrotne transformaty Fouriera w tym przypadku są zdefiniowane przez wzory po lewej stronie, a niektóre z właściwości tej transformacji, których potrzebujemy, to lista siedmiu pozycji po prawej:
Pierwszą z tych właściwości jest liniowość. Jeśli weźmiemy jakąś liniową kombinację funkcji, to transformata Fouriera tej kombinacji będzie tą samą kombinacją liniową obrazów Fouriera tych funkcji. Ta właściwość pozwala zredukować złożone funkcje i ich transformacje Fouriera do prostszych. Na przykład transformata Fouriera funkcji sinusoidalnej o częstotliwości f i amplitudzie a jest kombinacją dwóch funkcji delta zlokalizowanych w punktach f i -f oraz o współczynniku a/2:
Jeśli przyjmiemy funkcję składającą się z sumy zbioru sinusoid o różnych częstotliwościach, to zgodnie z właściwością liniowości transformata Fouriera tej funkcji będzie składać się z odpowiedniego zbioru funkcji delta. Pozwala to na naiwną, ale wizualną interpretację widma zgodnie z zasadą „jeśli w widmie funkcji częstotliwość f odpowiada amplitudzie a, to pierwotną funkcję można przedstawić jako sumę sinusoid, z których jedna będzie być sinusoidą o częstotliwości f i amplitudzie 2a”. Ściśle mówiąc, ta interpretacja jest niepoprawna, ponieważ funkcja delta i punkt na wykresie to zupełnie inne rzeczy, ale jak zobaczymy dalej, dla dyskretnych przekształceń Fouriera nie będzie to tak dalekie od prawdy.
Drugą właściwością transformaty Fouriera jest niezależność widma amplitudy od przesunięcia czasowego sygnału. Jeśli przesuniemy funkcję w lewo lub w prawo wzdłuż osi x, to zmieni się tylko jej widmo fazowe.
Trzecia właściwość - rozciąganie (kompresja) pierwotnej funkcji wzdłuż osi czasu (x) proporcjonalnie kompresuje (rozciąga) jej transformatę Fouriera wzdłuż skali częstotliwości (w). W szczególności widmo sygnału o skończonym czasie trwania jest zawsze nieskończenie szerokie i odwrotnie, widmo o skończonej szerokości zawsze odpowiada sygnałowi o nieograniczonym czasie trwania.
Czwarta i piąta właściwość są chyba najbardziej użyteczne ze wszystkich. Pozwalają one sprowadzić splot funkcji do punktowego mnożenia ich transformat Fouriera i odwrotnie - punktowego mnożenia funkcji do splotu ich transformat Fouriera. Nieco dalej pokażę, jakie to wygodne.
Szósta właściwość mówi o symetrii obrazów Fouriera. W szczególności z tej własności wynika, że w transformacji Fouriera funkcji o wartościach rzeczywistych (tj. dowolnego sygnału „rzeczywistego”) widmo amplitudy jest zawsze funkcją parzystą, a widmo fazowe (jeśli jest zredukowane do zakresu -pi.. .pi) jest dziwne . Z tego powodu ujemna część widma prawie nigdy nie jest rysowana na wykresach widma - dla sygnałów o wartościach rzeczywistych nie dostarcza żadnych nowych informacji (ale powtarzam, nie jest to też zero).
Wreszcie ostatnia, siódma właściwość mówi, że transformata Fouriera zachowuje „energię” sygnału. Ma to sens tylko dla sygnałów o skończonym czasie trwania, których energia jest skończona, i mówi, że widmo takich sygnałów w nieskończoności szybko zbliża się do zera. Właśnie z powodu tej właściwości z reguły na wykresach widma przedstawiana jest tylko „główna” część sygnału, która niesie lwią część energii - reszta wykresu po prostu dąży do zera (ale znowu , to nie jest zero).
Uzbrojeni w te 7 właściwości, przyjrzyjmy się matematyce „digitalizacji” sygnału w celu przetłumaczenia ciągłego sygnału na sekwencję cyfr. Aby to zrobić, musimy skorzystać z funkcji znanej jako „grzebień Diraca”:
Grzebień Diraca to po prostu okresowa sekwencja funkcji delta jedności, zaczynająca się od zera i przechodząca do kroku T. Aby zdigitalizować sygnały, T wybiera się tak małe, jak to możliwe, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:
Zamiast funkcji ciągłej po takim mnożeniu otrzymuje się sekwencję impulsów delta o określonej wysokości. W tym przypadku, zgodnie z właściwością 5 transformaty Fouriera, widmo wynikowego sygnału dyskretnego jest splotem oryginalnego widma z odpowiednim grzebieniem Diraca. Łatwo zrozumieć, że w oparciu o właściwości splotu widmo pierwotnego sygnału jest niejako „kopiowane” nieskończoną liczbę razy wzdłuż osi częstotliwości z krokiem 1/T, a następnie sumowane .
Zwróć uwagę, że jeśli oryginalne widmo miało skończoną szerokość i użyliśmy wystarczająco wysokiej częstotliwości próbkowania, wówczas kopie oryginalnego widma nie będą się nakładać, a zatem nie będą do siebie dodawane. Łatwo zrozumieć, że łatwo będzie przywrócić oryginalne widmo z tak „złożonego” widma - wystarczy po prostu wziąć składnik widma w obszarze zera, „odcinając” dodatkowe kopie, które idą do nieskończoności. Najprostszym sposobem na to jest pomnożenie widma przez funkcję prostokątną równą T w zakresie -1/2T...1/2T i zero poza tym zakresem. Podobna transformata Fouriera odpowiada funkcji sinc (Tx) i zgodnie z właściwością 4 takie mnożenie jest równoznaczne ze splotem pierwotnego ciągu funkcji delta z funkcją sinc(Tx)
Oznacza to, że za pomocą transformaty Fouriera dostaliśmy sposób na łatwe odtworzenie oryginalnego sygnału z próbkowanego czasowo, pod warunkiem, że użyjemy częstotliwości próbkowania co najmniej dwukrotnie (ze względu na obecność ujemnych częstotliwości w widma) wyższa niż maksymalna częstotliwość występująca w oryginalnym sygnale. Wynik ten jest powszechnie znany i nosi nazwę twierdzenia Kotelnikova/Shannona-Nyquista. Jednak, jak łatwo teraz zauważyć (zrozumienie dowodu), wynik ten, wbrew powszechnemu nieporozumieniu, determinuje wystarczający, ale nie niezbędny warunek przywrócenia oryginalnego sygnału. Wystarczy, że część interesującego nas widma po próbkowaniu sygnału nie nachodzi na siebie, a jeśli sygnał jest wystarczająco wąskopasmowy (ma małą „szerokość” niezerowej części widma), to wynik ten można często osiągnąć nawet przy częstotliwości próbkowania znacznie mniejszej niż dwukrotność maksymalnej częstotliwości sygnału. Ta technika nazywana jest „podpróbkowaniem” (podpróbkowanie, próbkowanie pasmowe) i jest dość szeroko stosowana w przetwarzaniu wszelkiego rodzaju sygnałów radiowych. Na przykład, jeśli weźmiemy radio FM działające w paśmie częstotliwości od 88 do 108 MHz, to do jego digitalizacji możemy użyć przetwornika ADC o częstotliwości tylko 43,5 MHz zamiast 216 MHz zakładanych przez twierdzenie Kotelnikowa. W tym przypadku potrzebny jest jednak wysokiej jakości przetwornik ADC i dobry filtr.
Zauważam, że „duplikacja” wysokich częstotliwości przez częstotliwości niższych rzędów (aliasing) jest bezpośrednią właściwością próbkowania sygnału, nieodwracalnie „psując” wynik. Dlatego jeśli sygnał w zasadzie może zawierać częstotliwości wyższego rzędu (czyli prawie zawsze), przed przetwornikiem ADC umieszczany jest filtr analogowy, który „odcina” wszystko, co zbędne, bezpośrednio w oryginalnym sygnale (ponieważ będzie być za późno, aby to zrobić po pobraniu próbki). Charakterystyki tych filtrów, jako urządzeń analogowych, nie są idealne, więc pewne „uszkodzenie” sygnału nadal występuje, a w praktyce wynika z tego, że najwyższe częstotliwości w widmie są zwykle zawodne. Aby zmniejszyć ten problem, często zdarza się próbkowanie sygnału z nadpróbkowaniem, przy jednoczesnym ustawieniu filtra wejścia analogowego na niższą szerokość pasma i wykorzystaniu tylko dolnej części teoretycznie dostępnego zakresu częstotliwości przetwornika ADC.
Nawiasem mówiąc, innym powszechnym błędem jest to, że sygnał na wyjściu DAC-a jest rysowany „krokami”. „Kroki” odpowiadają splotowi próbkowanej sekwencji sygnałów o prostokątnej funkcji szerokości T i wysokości 1:
Przy takiej transformacji widmo sygnału jest mnożone przez transformatę Fouriera tej funkcji prostokątnej i dla podobnej funkcji prostokątnej jest ponownie sinc(w), „rozciągnięte” im mocniej, tym mniejsza szerokość odpowiedniego prostokąta. Widmo próbkowanego sygnału z podobnym „DAC” jest punktowo mnożone przez to widmo. W tym przypadku niepotrzebne wysokie częstotliwości z „dodatkowymi kopiami” widma nie są całkowicie odcinane, a górna część „użytecznej” części widma, przeciwnie, jest osłabiona.
W praktyce oczywiście nikt tego nie robi. Istnieje wiele różnych podejść do budowy przetwornika cyfrowo-analogowego, ale nawet w najbardziej podobnych przetwornikach cyfrowo-analogowych typu wagowego wręcz przeciwnie, prostokątne impulsy w przetworniku cyfrowo-analogowym są wybierane tak krótkie, jak to możliwe (zbliżają się do rzeczywistej sekwencji funkcji delta) w celu uniknięcia niepotrzebnego tłumienia użytecznej części widma. „Dodatkowe” częstotliwości w powstałym sygnale szerokopasmowym są prawie zawsze tłumione przez przepuszczenie sygnału przez analogowy filtr dolnoprzepustowy, dzięki czemu nie ma „cyfrowych kroków” ani „wewnątrz” przetwornika, ani, co więcej, na jego wyjściu.
Wróćmy jednak do transformacji Fouriera. Opisana powyżej transformata Fouriera zastosowana do wstępnie próbkowanej sekwencji sygnałów nazywana jest dyskretną transformatą Fouriera (DTFT). Widmo uzyskane przez taką transformację jest zawsze 1/T-okresowe, a więc widmo DTFT jest całkowicie określone przez jego wartości na odcinku )
