Wzór na znalezienie największego łuku koła. Określanie długości łuku

Okrąg, jego części, ich rozmiary i proporcje to rzeczy, z którymi jubiler nieustannie się styka. Pierścionki, bransoletki, kasty, rurki, kulki, spirale – wiele okrągłych rzeczy do zrobienia. Jak możesz to wszystko obliczyć, zwłaszcza jeśli miałeś szczęście pominąć lekcje geometrii w szkole?

Przyjrzyjmy się najpierw, jakie części ma okrąg i jak się je nazywa.

Okrąg to linia, która otacza okrąg.
Łuk jest częścią okręgu.
Promień to odcinek linii, który łączy środek okręgu z punktem na okręgu.
Akord to odcinek linii, który łączy dwa punkty na okręgu.
Odcinek to część okręgu ograniczona cięciwą i łukiem.
Sektor to część okręgu ograniczona dwoma promieniami i łukiem.

Interesujące nas ilości i ich oznaczenia:

Zobaczmy teraz, jakie zadania związane z częściami koła mają do rozwiązania.

Znajdź długość rozwoju dowolnej części pierścienia (bransoletki). Mając średnicę i cięciwę (opcja: średnica i kąt środkowy), znajdź długość łuku.
Na płaszczyźnie znajduje się rysunek, którego wielkość w rzucie trzeba sprawdzić po zgięciu w łuk. Biorąc pod uwagę długość łuku i średnicę, znajdź długość cięciwy.
Sprawdź wysokość części uzyskanej przez wygięcie płaskiego przedmiotu w łuk. Opcje danych początkowych: długość i średnica łuku, długość łuku i cięciwa; znajdź wysokość segmentu.

Życie podpowie inne przykłady, a podałem je tylko po to, aby pokazać potrzebę ustawienia dowolnych dwóch parametrów, aby znaleźć wszystkie inne. To właśnie zamierzamy zrobić. Mianowicie, bierzemy pięć parametrów segmentu: D, L, X, φ i H. Następnie, wybierając z nich wszystkie możliwe pary, uznamy je za dane wyjściowe, a resztę znajdziemy poprzez burzę mózgów.

Aby na próżno nie obciążać czytelnika, nie będę podawać szczegółowych rozwiązań, a jedynie wyniki w postaci formuł (te przypadki, w których nie ma formalnego rozwiązania, podam po drodze).

I jeszcze jedna uwaga: o jednostkach miary. Wszystkie wielkości, z wyjątkiem kąta środkowego, są mierzone w tych samych jednostkach abstrakcyjnych. Oznacza to, że jeśli na przykład podasz jedną wartość w milimetrach, to drugiej nie trzeba podawać w centymetrach, a wynikowe wartości będą mierzone w tych samych milimetrach (i powierzchniach w milimetrach kwadratowych) . To samo można powiedzieć o calach, stopach i milach morskich.

I tylko kąt środkowy we wszystkich przypadkach jest mierzony w stopniach i niczym więcej. Ponieważ, jak pokazuje praktyka, ludzie, którzy projektują coś okrągłego, nie są skłonni mierzyć kątów w radianach. Wyrażenie „kąt pi o cztery” jest dla wielu mylące, podczas gdy „kąt czterdziestu pięciu stopni” jest zrozumiały dla każdego, ponieważ jest tylko o pięć stopni powyżej normy. Jednak we wszystkich wzorach będzie jeszcze jeden kąt - α - jako wartość pośrednia. W sensie znaczenia jest to połowa kąta środkowego, mierzonego w radianach, ale nie można spokojnie zagłębić się w to znaczenie.

1. Podano średnicę D i długość łuku L

; długość akordu ;
wysokość segmentu ; centralny róg .

2. Podano średnicę D i długość cięciwy X

; długość łuku;
wysokość segmentu ; centralny róg .

Ponieważ akord dzieli okrąg na dwa odcinki, problem ten ma nie jedno, ale dwa rozwiązania. Aby uzyskać drugi, musisz zastąpić kąt α kątem z powyższych wzorów.

3. Podano średnicę D i kąt środkowy φ

; długość łuku;
długość akordu ; wysokość segmentu .

4. Biorąc pod uwagę średnicę D i wysokość odcinka H

; długość łuku;
długość akordu ; centralny róg .

6. Biorąc pod uwagę długość łuku L i kąt środkowy φ

; średnica ;
długość akordu ; wysokość segmentu .

8. Biorąc pod uwagę długość cięciwy X i kąt środkowy φ

; długość łuku ;
średnica ; wysokość segmentu .

9. Biorąc pod uwagę długość cięciwy X i wysokość odcinka H

; długość łuku ;
średnica ; centralny róg .

10. Biorąc pod uwagę kąt środkowy φ i wysokość odcinka H

; średnica ;
długość łuku; długość akordu .

Uważny czytelnik nie mógł nie zauważyć, że przegapiłem dwie opcje:

5. Biorąc pod uwagę długość łuku L i długość cięciwy X

7. Mając długość łuku L i wysokość odcinka H

To tylko te dwa nieprzyjemne przypadki, kiedy problem nie ma rozwiązania, które można by zapisać w postaci formuły. A zadanie nie jest takie rzadkie. Na przykład masz płaski kawałek o długości L i chcesz go wygiąć tak, aby jego długość wynosiła X (lub jego wysokość stała się H). Jaką średnicę wziąć trzpień (poprzeczka)?

Zadanie to sprowadza się do rozwiązania równań:
; - w wariancie 5
; - w opcji 7
i chociaż nie są rozwiązywane analitycznie, łatwo je rozwiązać programowo. I nawet wiem, skąd wziąć taki program: na tej właśnie stronie, pod nazwą . Wszystko, co powiem tutaj obszernie, robi w mikrosekundach.

Aby uzupełnić obraz, dodajmy do wyników naszych obliczeń obwód i trzy wartości obszarów - koło, sektor i odcinek. (Obszary bardzo nam pomogą przy obliczaniu masy dowolnych części okrągłych i półkolistych, ale o tym w osobnym artykule.) Wszystkie te wielkości są obliczane przy użyciu tych samych wzorów:

obwód ;
obszar koła ;
obszar sektora ;
obszar segmentu ;

A na zakończenie jeszcze raz przypomnę o istnieniu absolutnie darmowego programu, który wykonuje wszystkie powyższe obliczenia, uwalniając od konieczności pamiętania, czym jest arcus tangens i gdzie jej szukać.

Początkowo wygląda to tak:

Rysunek 463.1. a) istniejący łuk, b) określenie długości i wysokości cięciwy segmentu.

Tak więc, gdy jest łuk, możemy połączyć jego końce i uzyskać cięciwę o długości L. W środku cięciwy możemy narysować linię prostopadłą do cięciwy i w ten sposób uzyskać wysokość odcinka H. Teraz, znając długość cięciwy i wysokość odcinka, możemy najpierw wyznaczyć kąt środkowy α, czyli kąt między promieniami narysowanymi od początku i końca segmentu (nie pokazano na rysunku 463.1), a następnie promień okręgu.

Rozwiązanie takiego problemu zostało szczegółowo omówione w artykule „Obliczanie nadproża łukowego”, dlatego tutaj podam tylko podstawowe formuły:

tg( a/4) = 2H/L (278.1.2)

a/4 = arctan( 2H/L)

R = H/(1 - cos( a/2)) (278.1.3)

Jak widać, z punktu widzenia matematyki nie ma problemów z wyznaczeniem promienia okręgu. Metoda ta pozwala określić wartość promienia łuku z dowolną możliwą dokładnością. To jest główna zaleta tej metody.

Porozmawiajmy teraz o wadach.

Problemem tej metody nie jest nawet to, że trzeba pamiętać wzory ze szkolnego kursu geometrii, zapomniane już wiele lat temu - aby przypomnieć sobie wzory - jest Internet. A oto kalkulator z funkcją arctg, arcsin i tak dalej. Nie każdy użytkownik ma taki. I choć Internet również skutecznie rozwiązuje ten problem, nie powinniśmy zapominać, że rozwiązujemy problem raczej aplikacyjny. Tych. nie zawsze jest konieczne określenie promienia okręgu z dokładnością do 0,0001 mm, dokładność 1 mm może być całkiem akceptowalna.

Dodatkowo, aby znaleźć środek okręgu, należy wydłużyć wysokość odcinka i odłożyć na bok odległość równą promieniowi na tej prostej. Ponieważ w praktyce mamy do czynienia z nieidealnymi przyrządami pomiarowymi, należy do tego dodać ewentualny błąd w oznaczeniu, okazuje się, że im mniejsza wysokość odcinka w stosunku do długości cięciwy, tym większy błąd w wyznaczeniu środek łuku.

Ponownie nie powinniśmy zapominać, że nie rozważamy idealnego przypadku, tj. W ten sposób od razu nazwaliśmy krzywą łukiem. W rzeczywistości może to być krzywa opisana dość złożoną zależnością matematyczną. Dlatego znaleziony w ten sposób promień i środek okręgu mogą nie pokrywać się z rzeczywistym środkiem.

W związku z tym chcę zaproponować inny sposób wyznaczenia promienia okręgu, z którego sam często korzystam, ponieważ ten sposób wyznaczenia promienia okręgu jest znacznie szybszy i łatwiejszy, chociaż dokładność jest znacznie mniejsza.

Druga metoda wyznaczania promienia łuku (metoda kolejnych przybliżeń)

Kontynuujmy więc obecną sytuację.

Ponieważ nadal musimy znaleźć środek okręgu, na początek od punktów odpowiadających początkowi i końcowi łuku, rysujemy co najmniej dwa łuki o dowolnym promieniu. Linia prosta przejdzie przez przecięcie tych łuków, na których znajduje się środek pożądanego okręgu.

Teraz musisz połączyć przecięcie łuków ze środkiem cięciwy. Jeśli jednak narysujemy ze wskazanych punktów nie po jednym łuku, ale po dwóch, to ta prosta przejdzie przez przecięcie tych łuków i wtedy wcale nie trzeba szukać środka cięciwy.

Jeżeli odległość od przecięcia łuków do początku lub końca rozpatrywanego łuku jest większa niż odległość od przecięcia łuków do punktu odpowiadającego wysokości odcinka, to środek rozpatrywanego łuku jest niższy na linia prosta poprowadzona przez przecięcie łuków i środek cięciwy. Jeśli mniej, to pożądany środek łuku znajduje się wyżej na linii prostej.

Na tej podstawie wyznaczany jest kolejny punkt na linii prostej, prawdopodobnie odpowiadającej środkowi łuku, i od niego dokonywane są te same pomiary. Następnie wykonywany jest kolejny punkt i pomiary są powtarzane. Z każdym nowym punktem różnica w pomiarach będzie coraz mniejsza.

To właściwie wszystko. Mimo tak długiego i zawiłego opisu, wyznaczenie w ten sposób promienia łuku z dokładnością do 1 mm zajmuje 1-2 minuty.

Teoretycznie wygląda to mniej więcej tak:

Rysunek 463.2. Wyznaczanie środka łuku metodą kolejnych przybliżeń.

Ale w praktyce coś takiego:

zdjęcie 463.1. Znakowanie przedmiotu o skomplikowanym kształcie różnymi promieniami.

Dodam tylko, że czasami trzeba znaleźć i narysować kilka promieni, bo na zdjęciu jest tak wiele rzeczy pomieszanych.

Instrukcja

Jeżeli znana jest długość łuku (l) pomiędzy skrajnymi punktami definiującymi cięciwę, a dodatkowo w warunkach podany jest również promień okręgu (R), to problem obliczania długości akordy(m) można sprowadzić do obliczenia długości podstawy trójkąta równoramiennego. Boki tego trójkąta będą dwoma promieniami koła, a kąt między nimi będzie kątem środkowym, który musisz najpierw obliczyć. Aby to zrobić, podziel długośćłuki na promień: l/R. Wynik wyrażony jest w radianach. Jeśli wygodniej będzie Ci wykonywać obliczenia, będzie to znacznie trudniejsze - najpierw pomnóż długośćłuk przez 360, a następnie podziel wynik przez dwukrotność iloczynu Pi przez promień: l*360/(2*π*R) = l*180/(π*R).

Znalezienie wartości kąta środkowego, obliczyć długość akordy. Aby to zrobić, pomnóż podwojony promień przez sinus równy połowie kąta środkowego. Jeśli wybrałeś obliczenia w stopniach, ogólnie zapisz wynikowy wzór w następujący sposób: m = 2*R*sin(l*90/(π*R)). W przypadku obliczeń w radianach będzie ona zawierać jedną operację matematyczną mniejszą niż m = 2*R*sin(l/(2*R)). Na przykład przy długości łuku 90 cm i promieniu 60 cm powinien mieć długość 2*60*sin(90*90/(3,14*60)) = 120*sin(8100/188,4) = 120*sin(42,99°) ≈ 120*0,68 = 81,6 cm z dokładnością obliczeń do dwóch po kropka dziesiętna.

Jeżeli oprócz długości łuku (l) w warunkach zadania podana jest pełna długość (L), wyraż promień przez nią dzieląc przez dwukrotność Pi. Następnie zastąp to wyrażenie ogólnym wzorem z poprzedniego kroku: m = 2*(L/(2*π))*sin(l*90/(π*L/(2*π))). Po uproszczeniu wyrażenia należy uzyskać równość obliczeń w stopniach: m = L / π * sin (l * 180 / L). Dla obliczeń w radianach będzie to wyglądać tak: m = L/π*sin(l*π/L). Na przykład, jeśli długość łuku wynosi 90 cm, a obwód 376,8 cm, długość akordy będzie 376,8 / 3,14 * grzech (90 * 180 / 376,8) \u003d 120 * grzech (42,99 °) ≈ 120 * 0,68 \u003d 81,6 cm.

Pojęcie akordu na szkolnym kursie geometrii wiąże się z pojęciem okręgu.Okrąg to płaska figura złożona ze wszystkich punktów tej płaszczyzny, które są równoodległe od danej płaszczyzny. Promień okręgu to odległość od środka do dowolnego leżącego na nim punktu.Ruch to odcinek łączący dowolne dwa punkty leżące na okręgu.

Instrukcja

Aby uzyskać długość dowolnego cięciwy, musisz wprowadzić dodatkowy .
Kąt z wierzchołkiem w środku okręgu jest kątem środkowym tego okręgu.
Jeśli znana jest miara stopnia kąta środkowego ??, to długość cięciwy, na której spoczywa, jest obliczana ze wzorów
h = 2 * R * grzech(??/2)
h = R * v(2 * (1 - cos??))
h = 2 * R * cos??, gdzie?? = (P - ??)/2, P - P

Powiązane wideo

Coraz częściej w codziennej praktyce trzeba rozwiązywać problemy, które kiedyś klikały jak ziarna na lekcjach matematyki, ale z biegiem lat o czymś zapomniano. Znalezienie długości łuki kręgi- jedno z zadań, z jakimi człowiek może się zmierzyć w życiu.

Będziesz potrzebować

kalkulator, wartość liczby π = 3,14, wartość promienia r i kąta środkowego α, wzięte z warunku zadania.

Instrukcja

Najpierw musisz zdefiniować pojęcia. Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które znajdują się w określonej dodatniej odległości od danego punktu płaszczyzny, zwanego środkiem (punkt O). Łuk - część kręgi znajduje się pomiędzy A i B tego kręgi, gdzie OA i OB są promieniami tego kręgi. Aby rozróżnić między nimi łuki, na każdym z nich zaznacz pośrednie L i M. W ten sposób otrzymujemy dwa łuki ALB i AMB.

Więc łuk kręgi określony przez promień kręgi ri kąt środkowy?. Znajomość tych dwóch jest łatwa długość łuki L według wzoru:
L = ?r?/180
gdzie? - stała liczbowa równa 3,14.
Podstawiając wartości?, r, ? i uzbrojony w kalkulator, możesz łatwo obliczyć długość łuki L.

Konieczność obliczenia długości łuku może pojawić się podczas wykonywania różnorodnych prac projektowych. To rozwój stropów łukowych, budowa mostów i tuneli, układanie dróg i linii kolejowych i wiele więcej. Początkowe warunki rozwiązania tego problemu mogą być bardzo różne. Aby w najbardziej optymalny sposób obliczyć długość łuku, konieczna jest znajomość promienia okręgu i kąta środkowego.

Będziesz potrzebować

- papier;
- kompas;
- linijka;
- kątomierz;
- komputer z oprogramowaniem AutoCAD;
- kalkulator.

Instrukcja

Skonstruuj okrąg o określonym promieniu. Zasady jego budowy w programie AutoCAD są takie same jak na kartce papieru. Po opanowaniu metod konstruowania różnych kształtów geometrycznych w klasyczny sposób bardzo szybko zrozumiesz, jak to się robi na komputerze. Różnica polega na tym, że w zwykłej konstrukcji z kompasem środek okręgu znajduje się w miejscu, w którym umieszczona jest igła. W programie AutoCAD znajdź przycisk „łuk” lub „łuk” w górnym menu. Wybierz budowanie według środka, punktu początkowego i narożnika, a następnie wprowadź żądane opcje. Oznacz środek koła jako O.

Użyj ołówka i linijki lub myszy komputerowej, aby narysować promień. Jeśli rysujesz na arkuszu, użyj kątomierza, aby odłożyć na bok podany rozmiar kąta. Aby to zrobić, wyrównaj znak zerowy kątomierza z punktem O, zaznacz żądany kąt i narysuj drugi promień przez wynikowy punkt. Wyznacz kąt jako α. Możesz go również nazwać AOB, jeśli zaznaczysz punkty przecięcia kółkiem odpowiednimi literami. Musisz znaleźć długość łuku AB.

Jeżeli wielkość kąta wyrażona jest w stopniach, to długość łuku jest równa dwukrotności iloczynu promienia okręgu przez współczynnik π i stosunek kąta α do pełnego kąta środkowego okręgu. To jest 360°. Oznacza to, że można go znaleźć za pomocą wzoru L=2πRα/360°, gdzie L jest wymaganą długością łuku, R jest promieniem okręgu, a α jest wielkością kąta w stopniach. Kąt można również określić w . Wtedy długość łuku jest równa iloczynowi promienia i kąta, czyli L=Rα. W tym przypadku pozostała część wzoru została już zmniejszona podczas konwersji stopni na .

Projektanci muszą obliczyć długość łuku, czyli jedynie szacunkową wysokość mostu lub podłogi oraz długość przęsła. W takim przypadku zrób rysunek. Rozpiętość będzie cięciwą, a wysokość będzie częścią promienia. Narysuj go od najwyższego punktu przyszłego łuku prostopadle do i kontynuuj dalej, do zamierzonego środka koła. Wysokość dzieli

Kąt to figura geometryczna, którą tworzą dwa promienie - boki kąta, wychodzące z jednego punktu - wierzchołka kąta. Zwykle do zbudowania płaskiego kąta w planimetrii używa się kątomierza, za pomocą którego można łatwo odłożyć na bok narożnik z daną miarą stopnia, ale co jeśli tego narzędzia nie ma pod ręką? Aby zbudować kąt, możesz użyć funkcji trygonometrycznych i zbudować bezpośrednio narożnik tre narożnik nika.

Będziesz potrzebować

Pełna tabela stycznych, linijka

Instrukcja

Niech zadaniem będzie budowanie narożnik jakiś wymiar?
Skonstruujmy odcinek AB dowolnego . Stosuję stosunek nóg w narożnik nom tre narożnik Nick może BC to tri narożnik BC = AB tg?, styczna kątowa? można znaleźć pod adresem .
Następnie od punktu A należy odłożyć odcinek o długości BC prostopadły do odcinka AB.

Powiązane wideo

Notatka

Aby skonstruować kąty ∠α ≥ 90º, konieczne jest skonstruowanie kąta ∠β

Będziesz potrzebować

kalkulator, wartość liczby π = 3,14, wartość promienia r i kąta środkowego α, wzięte z warunku zadania.

Instrukcja

Długość to odległość między dwoma punktami na odcinku linii. Może to być linia prosta, łamana lub zamknięta. Możesz obliczyć długość w dość prosty sposób, jeśli znasz inne wskaźniki segmentu.

Instrukcja

Jeśli chcesz obliczyć długość boku kwadratu, to nie będzie to możliwe, jeśli znasz jego pole S. Ponieważ wszystkie boki kwadratu mają , możesz obliczyć wartość jednego z nich za pomocą wzoru : a = S.

Notatka

Dwa punkty dzielą okrąg na dwa łuki. Zadanie może wskazywać, jaką długość z nich znaleźć. W takim przypadku konieczne jest obliczenie większego kąta poprzez odjęcie podanego kąta ostrego od pełnego kąta.

Przy obliczaniu dowolnej długości pamiętaj, że jest to wartość skończona, czyli po prostu liczba. Jeśli masz na myśli długość łuku krzywy, to problem taki rozwiązuje się za pomocą całki oznaczonej (w przypadku płaszczyzny) lub całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju (po długości łuku). Łuk AB będzie oznaczony jako UAB.

Instrukcja

pierwszy przypadek (). Niech UAB będzie płaskie krzywy y = f(x). Argument funkcji zmieni się z a na b i jest ciągle różniczkowalny w tym segmencie. Znajdźmy długośćŁuki L UAB (patrz rys. 1a). Aby rozwiązać ten problem, należy podzielić rozpatrywany odcinek na odcinki elementarne ∆xi, i=1,2,…,n. W UAB zostanie on podzielony na elementarne łuki ∆Ui, odcinki wykresu funkcji y=f(x) na każdym z elementarnych odcinków. odnaleźć długość∆Li łuku elementarnego w przybliżeniu, zastępując go odpowiednim cięciwą. W takim przypadku przyrosty można zastąpić różniczkami i można zastosować twierdzenie Pitagorasa. Po wyjęciu pierwiastka kwadratowego z różniczki dx otrzymasz wynik pokazany na rysunku 1b.

Drugi przypadek (łuk UAB jest ustawiany parametrycznie). x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Funkcje x(t) i y(t) mają pochodne ciągłe na tym odcinku. Znajdź ich różnice. dx=f'(t)dt, dy=f'(t)dt. Zastąp te różnice we wzorze, aby obliczyć długość łuku w pierwszym przypadku. Wyjmij dt z pierwiastka kwadratowego pod całkę, umieść x(α)=a, x(β)=b i wymyśl wzór na obliczenie długości łuku w tym przypadku (patrz rys. 2a).

Trzeci przypadek. Łuk UAB wykresu funkcji podany jest we współrzędnych biegunowych ρ=ρ(φ) Kąt biegunowy φ przy przejściu łuku od α do β. Funkcja ρ(φ)) ma ciągłą pochodną na rozpatrywanym segmencie. W takiej sytuacji łatwiej jest skorzystać z danych uzyskanych w poprzednim kroku. Wybierz φ jako parametr i zastąp x=ρcosφ y=ρsinφ w równaniach współrzędnych biegunowych i kartezjańskich. Rozróżnij te wzory i zamień kwadraty pochodnych na wyrażenie na ryc. 2a. Po niewielkich przekształceniach tożsamościowych, opartych głównie na zastosowaniu tożsamości trygonometrycznej (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, otrzymujemy wzór na obliczenie długości łuku we współrzędnych biegunowych (patrz rys. 2b).

Przypadek czwarty (krzywa przestrzenna podana parametrycznie). x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. Ściśle mówiąc, należy tu zastosować krzywoliniowe pierwszego rodzaju (na długości łuku). Krzywoliniowe oblicz je na pewno. W rezultacie odpowiedź pozostanie praktycznie taka sama jak w przypadku drugim, z tą różnicą, że wyraz się pojawi - kwadrat pochodnej z'(t) (patrz rys. 2c).

Źródła:

Piskunov N.S. Rachunek różniczkowy i całkowy. Podręcznik dla VTU. T.1.-M.: Nauka, 1972.-576 s.
obliczanie długości łuku za pomocą całki oznaczonej

Łuk jest częścią okręgu. Okrąg to zbiór punktów, które są równoodległe od jednego punktu, zwanego środkiem. W codziennych sytuacjach, gdy błąd nie jest istotny, a pomiary są utrudnione, długość łuki czasami mierzone miękkim materiałem, takim jak nić, który dopasowuje się do kształtu łuki a następnie wyprostowane i zmierzone. W przypadku poważnych pomiarów ta metoda jest nie do przyjęcia.

Wzór na znalezienie długości łuku koła jest dość prosty i bardzo często na ważnych egzaminach, takich jak USE, pojawiają się takie problemy, których nie da się rozwiązać bez jego użycia. Musisz również to wiedzieć, aby przejść międzynarodowe standaryzowane testy, takie jak SAT i inne.

Jaka jest długość łuku koła?

Formuła wygląda tak:

l = prα / 180°

Jaki jest każdy z elementów formuły:

π - liczba Pi (wartość stała równa ≈ 3,14);
r jest promieniem danego okręgu;
α - wartość kąta, na którym spoczywa łuk (centralny, nie wpisany).

Jak widać, aby rozwiązać problem, r i α muszą być obecne w warunku. Bez tych dwóch wielkości nie można znaleźć długości łuku.

Jak wywodzi się ta formuła i dlaczego tak wygląda?

Wszystko jest niezwykle proste. Stanie się znacznie jaśniejsze, jeśli umieścisz 360 ° w mianowniku i dodasz dwójkę w liczniku z przodu. Możesz także α nie zostawiaj go w ułamku, wydrukuj i napisz ze znakiem mnożenia. Jest to całkiem możliwe, ponieważ ten element znajduje się w liczniku. Wtedy ogólny widok będzie taki:

l = (2πr / 360°) × α

Dla wygody obniżyliśmy 2 i 360°. A teraz, jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz bardzo znajomy wzór na długość całego koła, a mianowicie - 2pr. Całe koło składa się z 360 °, więc wynikową miarę dzielimy na 360 części. Następnie mnożymy przez liczbę α, to znaczy za liczbę „kawałków ciasta”, których potrzebujemy. Ale wszyscy wiedzą na pewno, że liczby (czyli długości całego koła) nie można podzielić przez stopień. Co zrobić w takim przypadku? Zwykle z reguły stopień zmniejsza się o stopień kąta centralnego, czyli o α. Potem pozostają tylko liczby, w wyniku czego uzyskuje się ostateczną odpowiedź.

To może wyjaśniać, dlaczego długość łuku koła znajduje się w ten sposób i ma taką formę.

Przykład problemu o średniej złożoności z wykorzystaniem tej formuły

Warunek: Istnieje okrąg o promieniu 10 centymetrów. Miara stopnia kąta środkowego wynosi 90°. Znajdź długość łuku kołowego utworzonego przez ten kąt.

Rozwiązanie: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Odpowiedź: l = 5π

Możliwe jest również, że zamiast miary stopnia zostanie podana miara kąta w radianach. W żadnym wypadku nie powinieneś się bać, ponieważ tym razem zadanie stało się znacznie łatwiejsze. Aby przekonwertować miarę radianu na miarę stopnia, musisz pomnożyć tę liczbę przez 180 ° / π. Więc teraz możemy zastąpić zamiast tego α następująca kombinacja: m × 180° / π. Gdzie m jest wartością w radianach. A potem 180 i liczba π są redukowane i otrzymuje się całkowicie uproszczoną formułę, która wygląda tak:

m jest miarą kąta w radianach;
r jest promieniem danego okręgu.