Definicja 1. Mówi się, że niektórzy doświadczają zdarzenia ALE pociąga za sobą po którym następuje wystąpienie zdarzenia W jeśli kiedy nastąpi zdarzenie ALE nadchodzi wydarzenie W. Zapis tej definicji ALE Ì W. W przypadku zdarzeń elementarnych oznacza to, że każde zdarzenie elementarne zawarte w ALE, jest również zawarty w W.
Definicja 2. Wydarzenia ALE I W są nazywane równymi lub równoważnymi (oznaczonymi ALE= W), Jeśli ALE Ì W I WÌ A, tj. ALE I W składają się z tych samych elementarnych wydarzeń.
Wiarygodne wydarzenie jest reprezentowany przez otaczający zbiór Ω, a zdarzenie niemożliwe jest w nim pustym podzbiorem Æ. Niespójność wydarzeń ALE I W oznacza, że odpowiednie podzbiory ALE I W nie przecinaj: ALE∩W = Æ.
Definicja 3. Suma dwóch zdarzeń A I W(oznaczony OD= ALE + W) nazywa się wydarzeniem OD, składający się z początek przynajmniej jedno z wydarzeń ALE lub W(spójnik „lub” określający kwotę jest słowem kluczowym), tj. przychodzi lub ALE, lub W, lub ALE I W razem.
Przykład. Pozwól dwóm strzelcom strzelać do tarczy w tym samym czasie, a zdarzenie ALE polega na tym, że pierwszy strzelec trafia w tarczę, a zdarzenie b- że drugi strzelec trafił w cel. Wydarzenie A+ b oznacza, że cel jest trafiony, lub innymi słowy, że przynajmniej jeden ze strzelców (pierwszy strzelec lub drugi strzelec lub obaj strzelcy) trafił w cel.
Podobnie suma skończonej liczby zdarzeń ALE 1 , ALE 2 , …, ALE n (oznaczony ALE= ALE 1 + ALE 2 + … + ALE n) zdarzenie nazywa się ALE, składający się z wystąpienie co najmniej jednego z wydarzeń ALE i ( i = 1, … , n) lub dowolny zestaw ALE i ( i = 1, 2, … , n).
Przykład. Suma wydarzeń A, B, C to zdarzenie polegające na wystąpieniu jednego z następujących zdarzeń: ALE, PNE, ALE I W, ALE I OD, W I OD, ALE I W I OD, ALE lub W, ALE lub OD, W lub OD,ALE lub W lub OD.
Definicja 4. Produkt dwóch wydarzeń ALE I W nazwany wydarzeniem OD(oznaczony OD = A ∙ B), polegającej na tym, że w wyniku badania zaszło również zdarzenie ALE, i wydarzenie W równocześnie. (Słownik „i” do tworzenia zdarzeń jest słowem kluczowym.)
Podobnie jak iloczyn skończonej liczby zdarzeń ALE 1 , ALE 2 , …, ALE n (oznaczony ALE = ALE 1 ∙ALE 2 ∙…∙ ALE n) zdarzenie nazywa się ALE polegający na tym, że w wyniku testu zaszły wszystkie określone zdarzenia.
Przykład. Jeśli wydarzenia ALE, W, OD jest pojawienie się „herbu” odpowiednio w pierwszym, drugim i trzecim procesie, a następnie w wydarzeniu ALE× W× OD we wszystkich trzech próbach nastąpił spadek „herbu”.
Uwaga 1. W przypadku niezgodnych zdarzeń ALE I W sprawiedliwa równość A ∙ B= Æ, gdzie Æ jest zdarzeniem niemożliwym.
Uwaga 2. Wydarzenia ALE 1 , ALE 2, … , ALE n tworzą kompletną grupę parami niezgodnych zdarzeń, jeśli .
Definicja 5. przeciwstawne wydarzenia nazywa się dwa wyjątkowo możliwe niekompatybilne zdarzenia, które tworzą kompletną grupę. Wydarzenie przeciwne do wydarzenia ALE, jest wskazany. Wydarzenie przeciwne do wydarzenia ALE, jest dodatkiem do wydarzenia ALE do zbioru Ω.
W przypadku przeciwnych zdarzeń jednocześnie spełnione są dwa warunki A ∙.= Æ i A+= Ω.
Definicja 6. różnica wydarzenia ALE I W(oznaczony ALE– W) nazywa się zdarzeniem polegającym na tym, że zdarzenie ALE nadejdzie, a wydarzenie W - nie i jest równe ALE– W= ALE× .
Zwróć uwagę, że wydarzenia A + B, A ∙ B, , A - B wygodnie jest interpretować graficznie za pomocą diagramów Eulera-Venna (ryc. 1.1).
|
Ryż. 1.1. Operacje na zdarzeniach: negacja, suma, iloczyn i różnica |
Sformułujmy przykład w następujący sposób: niech doświadczenie g polega na strzelaniu losowo nad obszarem Ω, którego punktami są zdarzenia elementarne ω. Niech uderzenie w obszar Ω będzie pewnym wydarzeniem Ω, a uderzenie w obszar ALE I W- zgodnie z wydarzeniami ALE I W. Potem wydarzenia A+B(lub ALEÈ W- lekki obszar na rysunku), A ∙ B(lub ALEÇ W - obszar w centrum) A - B(lub ALE\W - lekkie subdomeny) będzie odpowiadać czterem obrazom na ryc. 1.1. W warunkach poprzedniego przykładu z dwoma strzelcami strzelającymi do tarczy, iloczyn zdarzeń ALE I W będzie wydarzenie C = AÇ W polegający na trafieniu w tarczę obiema strzałami.
Uwaga 3. Jeżeli operacje na zdarzeniach są reprezentowane jako operacje na zbiorach, a zdarzenia reprezentowane są jako podzbiory pewnego zbioru Ω, to suma zdarzeń A+B mecz związek ALEÈ W te podzbiory, ale iloczyn zdarzeń A ∙ B- skrzyżowanie ALE∩W te podzbiory.
W ten sposób operacje na zdarzeniach można odwzorować na operacje na zestawach. Korespondencję tę podano w tabeli. 1,1
Tabela 1.1
|
Notacja |
Język teorii prawdopodobieństwa |
Język teorii mnogości |
|
Element przestrzeni. wydarzenia |
Uniwersalny zestaw |
|
|
elementarne wydarzenie |
Element z zestawu uniwersalnego |
|
|
przypadkowe wydarzenie |
Podzbiór elementów ω z Ω |
|
|
Wiarygodne wydarzenie |
Zbiór wszystkich ω |
|
|
Niemożliwe wydarzenie |
Pusty zestaw |
|
|
ALEV |
ALE pociąga za sobą W |
ALE- podzbiór W |
|
A+B(ALEÈ W) |
Suma zdarzeń ALE I W |
Unia zbiorów ALE I W |
|
ALE× V(ALEÇ W) |
Produkcja imprez ALE I W |
Przecięcie wielu ALE I W |
|
A - B(ALE\W) |
Różnica zdarzeń |
Ustaw różnicę |
Akcje na zdarzeniach mają następujące właściwości:
A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(przemieszczenie);
(A+B) ∙ C = A× C + B× C, A ∙ B + C =(A + C) × ( B + C) (rozdzielczy);
(A+B) + OD = ALE + (B + C), (A ∙ B) ∙ OD= ALE ∙ (B ∙ C) (skojarzone);
A + A = A, A ∙ A = A;
ALE + Ω = Ω, ALE∙ Ω = ALE;
Rozwój
Wydarzenie. elementarne wydarzenie.
Przestrzeń wydarzeń elementarnych.
Niezawodne wydarzenie. Niemożliwe wydarzenie.
identyczne wydarzenia.
Suma, iloczyn, różnica zdarzeń.
przeciwstawne wydarzenia. zdarzenia niezgodne.
Zdarzenia równoważne.
Pod wydarzenie w teorii prawdopodobieństwa rozumie się każdy fakt, który może, ale nie musi, wystąpić w wyniku doświadczenia zlosowy wynik. Najprostszy wynik takiego eksperymentu (na przykład pojawienie się „orzeł” lub „reszek” podczas rzucania monetą, trafienie w cel podczas strzelania, pojawienie się asa podczas wyjmowania karty z talii, losowe upuszczanie liczby podczas rzucania kostkąitp.) nazywa sięelementarne wydarzenie .
Zestaw wszystkich elementarnych wydarzenia mi nazywa się przestrzeń elementów tarowanie wydarzeń . Tak, w rzucając kostką, to pole składa się z sześciuwydarzenia elementarne, a gdy karta zostanie usunięta z talii - od 52. Wydarzenie może składać się z jednego lub więcej wydarzeń elementarnych, na przykład pojawienie się dwóch asów z rzędu podczas wyjmowania karty z talii lub przegrana ten sam numer przy trzykrotnym rzuceniu kostką. Wtedy można zdefiniować wydarzenie jako dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych.
pewne wydarzenie nazywana jest cała przestrzeń zdarzeń elementarnych. Zatem pewne wydarzenie jest wydarzeniem, które koniecznie musi nastąpić w wyniku danego doświadczenia. Kiedy rzuca się kostką, takim wydarzeniem jest jej upadek na jedną z twarzy.
Niemożliwe wydarzenie () nazywa się pustym podzbiorem przestrzeni zdarzeń elementarnych. Oznacza to, że w wyniku tego doświadczenia nie może nastąpić niemożliwe wydarzenie. Tak więc, rzucając kostką, niemożliwym wydarzeniem jest upadek na krawędź.
Rozwój ALE I W nazywa sięidentyczny (ALE= W) jeśli zdarzenie ALEwystępuje wtedy i tylko wtedy, gdy ma miejsce zdarzenieW .
Mówią, że wydarzenie ALE wyzwala zdarzenie W ( ALE W), jeśli z warunku„zdarzenie A miało miejsce” powinnam „Wydarzenie B się wydarzyło”.
Wydarzenie OD nazywa się suma wydarzeń ALE I W (OD = ALE W) jeśli zdarzenie OD występuje wtedy i tylko wtedy, gdy albo ALE, lub W.
Wydarzenie OD nazywa się produkt wydarzeń ALE I W (OD = ALE W) jeśli zdarzenie OD dzieje się wtedy i tylko wtedy, gdy to się dzieje iALE, I W.
Wydarzenie OD nazywa się różnica wydarzeń ALE I W (OD = ALE – W) jeśli zdarzenie OD dzieje się wtedy i Tylko wtedy, kiedy to się zdarza wydarzenie ALE, a zdarzenie nie ma miejsca W.
Wydarzenie ALE"nazywa się naprzeciw wydarzenieALEjeśli wydarzenie się nie wydarzyło ALE. Tak więc pudło i trafienie podczas strzelania to przeciwne zdarzenia.
Rozwój ALE I W nazywa sięniekompatybilny (ALE W = ) , jeśli ich jednoczesne wystąpienie jest niemożliwe. Na przykład upuszczanie i „ogony” oraz„orzeł” podczas rzucania monetą.
Jeżeli podczas eksperymentu może wystąpić kilka zdarzeń i każde z nich, zgodnie z obiektywnymi warunkami, nie jest bardziej możliwe niż inne, to takie zdarzenia nazywamyrównie możliwe . Przykłady równie prawdopodobnych wydarzeń: pojawienie się dwójki, asa i waleta po wyjęciu karty z talii, utrata którejkolwiek z liczb od 1 do 6 podczas rzucania kostką itp.
Rodzaje zdarzeń losowych
Wydarzenia nazywane są niekompatybilny jeżeli wystąpienie jednego z nich wyklucza wystąpienie innych zdarzeń w tej samej próbie.
Przykład 1.10. Część jest pobierana losowo z pudełka części. Wygląd części znormalizowanej wyklucza wygląd części niestandardowej. Zdarzenia (pojawiła się część standardowa) i (pojawiła się część niestandardowa)- niekompatybilny .
Przykład 1.11. Rzuca się monetą. Pojawienie się „herbu” wyklucza pojawienie się liczby. Wydarzenia (pojawił się herb) i (pojawił się numer) - niekompatybilny .
Forma kilku wydarzeń pełna grupa, jeśli w wyniku testu pojawi się przynajmniej jeden z nich. Innymi słowy, wystąpienie przynajmniej jednego zdarzenia z pełnej grupy to: niezawodny wydarzenie. W szczególności, jeśli zdarzenia, które tworzą kompletną grupę, są niekompatybilne parami, to w wyniku testu pojawi się jedno i tylko jedno z tych zdarzeń. Ten konkretny przypadek jest dla nas najbardziej interesujący, ponieważ zostanie wykorzystany poniżej.
Przykład 1.12. Kupiłem dwa losy w loterii pieniężnej i odzieżowej. Musi nastąpić jedno i tylko jedno z następujących zdarzeń: (wygrana padła na pierwszy bilet, a nie padła na drugi), (wygrana nie padła na pierwszy bilet i padła na drugi), (wygrana padła na oba bilety ), (brak wygranych na obu kuponach) wypadło). Te wydarzenia tworzą pełna grupa parami niezgodnymi zdarzeniami.
Przykład 1.13. Strzelec strzelił do tarczy. Na pewno nastąpi jedno z następujących dwóch zdarzeń: trafienie lub pudło. Powstają te dwa niezgodne zdarzenia pełna grupa .
Wydarzenia nazywane są równie możliwe jeśli jest powód, by sądzić, że żaden z nich nie jest bardziej możliwe niż inne.
3. Operacje na zdarzeniach: suma (suma), iloczyn (przecięcie) i różnica zdarzeń; diagramy wiedeńskie.
Operacje na wydarzeniach
Zdarzenia są oznaczone wielkimi literami początku alfabetu łacińskiego A, B, C, D, ..., w razie potrzeby opatrując je indeksami. Fakt, że elementarny wynik x zawarte w zdarzeniu A oznaczają .
Dla zrozumienia wygodna jest interpretacja geometryczna za pomocą diagramów wiedeńskich: przedstawiamy przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jako kwadrat, którego każdy punkt odpowiada zdarzeniu elementarnemu. Zdarzenia losowe A i B, składające się z zestawu zdarzeń elementarnych x ja I w j, są odpowiednio geometrycznie przedstawione jako niektóre figury leżące w kwadracie Ω (rys. 1-a, 1-b).
Niech eksperyment polega na tym, że wewnątrz kwadratu pokazanego na rysunku 1-a losowo wybierany jest punkt. Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na tym, że (wybrany punkt leży wewnątrz lewego koła) (rys. 1-a), poprzez B - zdarzenie polegające na tym, że (wybrany punkt leży wewnątrz prawego koła) (Rys. 1-b).
Zdarzenie wiarygodne jest faworyzowane przez dowolne , dlatego zdarzenie wiarygodne będzie oznaczane tym samym symbolem Ω.
Dwa wydarzenia są identyczne względem siebie (A=B) wtedy i tylko wtedy, gdy zdarzenia te składają się z tych samych zdarzeń elementarnych (punktów).
Suma (lub suma) dwóch wydarzeń A i B nazywamy zdarzeniem A + B (lub ), które występuje wtedy i tylko wtedy, gdy występuje A lub B. Suma zdarzeń A i B odpowiada połączeniu zbiorów A i B (rys. 1-e).
Przykład 1.15. Zdarzenie polegające na utracie liczby parzystej jest sumą zdarzeń: wypadło 2, wypadło 4, wypadło 6. To znaczy (x \u003d nawet }= {x=2}+{x=4 }+{x=6 }.
Iloczyn (lub przecięcie) dwóch wydarzeń A i B nazywamy zdarzeniem AB (lub ), które występuje wtedy i tylko wtedy, gdy występują zarówno A, jak i B. Iloczyn zdarzeń A i B odpowiada przecięciu zbiorów A i B (rys. 1-e).
Przykład 1.16. Zdarzenie składające się z wyrzucenia 5 jest przecięciem zdarzeń: nieparzystej liczby wyrzuconej i więcej niż 3 wyrzuconych, czyli A(x=5)=B(x-nieparzyste)∙C(x>3).
Zwróćmy uwagę na oczywiste relacje:
Wydarzenie nazywa się naprzeciw do A, jeśli występuje wtedy i tylko wtedy, gdy A nie występuje. Geometrycznie jest to zbiór punktów kwadratu, który nie jest zawarty w podzbiorze A (rys. 1-c). Podobnie definiuje się zdarzenie (rys. 1-d).
Przykład 1.14.. Zdarzenia polegające na utracie liczby parzystej i nieparzystej są zdarzeniami przeciwstawnymi.
Zwróćmy uwagę na oczywiste relacje:
Te dwa wydarzenia nazywają się niekompatybilny jeśli ich jednoczesne pojawienie się w eksperymencie jest niemożliwe. Dlatego jeśli A i B są niezgodne, ich produkt jest niemożliwym wydarzeniem:
Wprowadzone wcześniej zdarzenia elementarne są oczywiście niekompatybilne parami, to znaczy
Przykład 1.17. Zdarzenia polegające na utracie liczby parzystej i nieparzystej są zdarzeniami niekompatybilnymi.
Wydarzenia wspólne i niewspólne.
Te dwa wydarzenia nazywają się połączenie w danym eksperymencie, jeśli pojawienie się jednego z nich nie wyklucza pojawienia się drugiego. Przykłady : Trafienie niezniszczalnego celu dwiema różnymi strzałami, rzucając tą samą liczbą na dwóch kostkach.
Te dwa wydarzenia nazywają się niekompatybilny(niezgodne) w danym badaniu, jeżeli nie mogą wystąpić razem w tym samym badaniu. O kilku zdarzeniach mówi się, że są niezgodne, jeśli są niezgodne parami. Przykłady zdarzeń niekompatybilnych: a) trafienie i chybienie jednym strzałem; b) część losowo wyjęta z pudełka z częściami - zdarzenia „usunięcie części standardowej” i „usunięcie części niestandardowej” c) ruina firmy i jej zysk.
Innymi słowy, wydarzenia ALE I W są kompatybilne, jeśli odpowiednie zestawy ALE I W mają wspólne elementy i są niespójne, jeśli odpowiadające im zestawy ALE I W nie mają wspólnych elementów.
Przy określaniu prawdopodobieństw zdarzeń często używa się pojęcia równie możliwe wydarzenia. Kilka zdarzeń w danym eksperymencie nazywa się równie prawdopodobnymi, jeśli zgodnie z warunkami symetrii istnieją powody, by sądzić, że żadne z nich nie jest obiektywnie bardziej możliwe niż inne (utrata herbu i ogona, pojawienie się karty dowolnego koloru, wybór kuli z urny itp.)
Z każdą próbą wiąże się szereg zdarzeń, które, ogólnie rzecz biorąc, mogą zachodzić jednocześnie. Na przykład, gdy rzucasz kostką, wydarzenie jest dwójką, a wydarzenie ma parzystą liczbę punktów. Oczywiście te wydarzenia nie wykluczają się wzajemnie.
Niech wszystkie możliwe wyniki testu zostaną przeprowadzone w szeregu jedynych możliwych przypadków szczególnych, wzajemnie się wykluczających. Następnie
ü każdy wynik testu jest reprezentowany przez jedno i tylko jedno zdarzenie elementarne;
ü każde zdarzenie związane z tym testem jest zbiorem skończonej lub nieskończonej liczby zdarzeń elementarnych;
ü zdarzenie ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zrealizuje się jedno ze zdarzeń elementarnych wchodzących w skład tego zbioru.
Dowolną, ale stałą przestrzeń zdarzeń elementarnych można przedstawić jako pewien obszar na płaszczyźnie. W tym przypadku zdarzeniami elementarnymi są punkty leżącej wewnątrz płaszczyzny. Ponieważ zdarzenie jest identyfikowane z zestawem, wszystkie operacje, które można wykonać na zestawach, można wykonać na zdarzeniach. Przez analogię z teorią mnogości, jeden konstruuje algebra zdarzeń. W takim przypadku można zdefiniować następujące operacje i relacje między zdarzeniami:
AÌ b(ustaw relację włączenia: zestaw ALE jest podzbiorem zbioru W) – zdarzenie A prowadzi do zdarzenia B. Innymi słowy, wydarzenie W występuje zawsze, gdy ma miejsce zdarzenie A. Przykład - Upuszczenie dwójki wiąże się z upuszczeniem parzystej liczby punktów.
(ustaw relację równoważności) – wydarzenie identycznie lub równoważny wydarzenie . Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy i jednocześnie , tj. każde pojawia się, gdy pojawia się drugie. Przykład - zdarzenie A - awaria urządzenia, zdarzenie B - awaria przynajmniej jednego z bloków (części) urządzenia.
() – suma wydarzeń. Jest to zdarzenie polegające na tym, że wystąpiło co najmniej jedno z dwóch zdarzeń lub (logiczne „lub”). W ogólnym przypadku przez sumę kilku zdarzeń rozumie się zdarzenie polegające na wystąpieniu co najmniej jednego z tych zdarzeń. Przykład - cel zostaje trafiony pierwszym pistoletem, drugim lub obydwoma jednocześnie.
() – produkt wydarzeń. To wydarzenie polegające na wspólnej realizacji wydarzeń i (logiczne „i”). W ogólnym przypadku iloczyn kilku wydarzeń jest rozumiany jako wydarzenie polegające na jednoczesnej realizacji wszystkich tych wydarzeń. Zatem zdarzenia i są niezgodne, jeśli ich produkt jest zdarzeniem niemożliwym, tj. . Przykład - zdarzenie A - wyciągnięcie z talii karty w kolorze karo, zdarzenie B - wyciągnięcie asa, następnie - nie wystąpił as karo.
Często przydatna jest geometryczna interpretacja operacji na zdarzeniach. Graficzna ilustracja operacji nazywa się diagramami Venna.
Suma wszystkich prawdopodobieństw zdarzeń w przestrzeni próbki wynosi 1. Na przykład, jeśli eksperyment polega na rzucie monetą ze Zdarzeniem A = „orzeł” i Zdarzeniem B = „ogon”, wtedy A i B reprezentują całą przestrzeń próbki. Oznacza, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.
Przykład. We wcześniej zaproponowanym przykładzie obliczenia prawdopodobieństwa wyciągnięcia czerwonego długopisu z kieszeni szlafroka (jest to zdarzenie A), w którym są dwa niebieskie i jeden czerwony, P(A) = 1/3 0,33, prawdopodobieństwo odwrotnego zdarzenia - wyciągnięcia niebieskiego długopisu - będzie
Zanim przejdziemy do głównych twierdzeń, wprowadzamy jeszcze dwa bardziej złożone pojęcia - sumę i iloczyn zdarzeń. Te pojęcia różnią się od zwykłych pojęć sumy i iloczynu w arytmetyce. Dodawanie i mnożenie w rachunku prawdopodobieństwa to operacje symboliczne, podlegające pewnym regułom i ułatwiające logiczne konstruowanie wniosków naukowych.
suma kilku zdarzeń to zdarzenie polegające na wystąpieniu przynajmniej jednego z nich. Oznacza to, że suma dwóch zdarzeń A i B nazywana jest zdarzeniem C, które polega na pojawieniu się zdarzenia A lub zdarzenia B albo zdarzeń A i B razem.
Np. jeśli pasażer czeka na przystanku tramwajowym jednej z dwóch tras, to zdarzenie, którego potrzebuje, to pojawienie się tramwaju pierwszej trasy (zdarzenie A) lub tramwaju drugiej trasy (zdarzenie B). , czyli wspólne pojawienie się tramwajów pierwszej i drugiej trasy (zdarzenie FROM). W języku teorii prawdopodobieństwa oznacza to, że zdarzenie D, którego potrzebuje pasażer, to pojawienie się zdarzenia A, zdarzenia B lub zdarzenia C, które można symbolicznie zapisać jako:
D=A+B+C
Produkt dwóch wydarzeńALE I W jest zdarzeniem polegającym na wspólnym wystąpieniu zdarzeń ALE I W. Produkt kilku wydarzeń wspólne występowanie wszystkich tych wydarzeń nazywa się.
W powyższym przykładzie pasażera zdarzenie OD(wspólny wygląd tramwajów dwóch tras) jest wypadkową dwóch wydarzeń ALE I W, który jest symbolicznie zapisany w następujący sposób:
Załóżmy, że dwóch lekarzy osobno bada pacjenta w celu zidentyfikowania konkretnej choroby. Podczas kontroli mogą wystąpić następujące zdarzenia:
Wykrywanie chorób przez pierwszego lekarza ( ALE);
Niewykrycie choroby przez pierwszego lekarza ();
Wykrycie choroby przez drugiego lekarza ( W);
Niewykrycie choroby przez drugiego lekarza ().
Rozważ przypadek, w którym choroba zostanie wykryta dokładnie raz podczas badań. To wydarzenie można zrealizować na dwa sposoby:
Choroba jest wykrywana przez pierwszego lekarza ( ALE) i nie znajdzie drugiego ();
Choroby nie zostaną wykryte przez pierwszego lekarza () i zostaną wykryte przez drugiego ( b).
Oznaczmy rozważane wydarzenie przez i zapiszmy symbolicznie:
Zastanów się, czy choroba zostanie wykryta dwukrotnie w trakcie badań (zarówno przez pierwszego, jak i przez drugiego lekarza). Oznaczmy to wydarzenie i napiszmy: .
Zdarzenie, które polega na tym, że ani pierwszy, ani drugi lekarz nie wykryje choroby, będzie oznaczone symbolem i napiszemy: .
Podstawowe twierdzenia rachunku prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo sumy dwóch niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń.
Napiszmy symbolicznie twierdzenie o dodawaniu:
P(A + B) = P(A) + P(B),
gdzie r- prawdopodobieństwo odpowiedniego zdarzenia (zdarzenie jest wskazane w nawiasach).
Przykład . Pacjent ma krwawienie z żołądka. Objaw ten jest rejestrowany w przypadku wrzodziejącej erozji naczyń (zdarzenie A), pęknięciu żylaków przełyku (zdarzenie B), raku żołądka (zdarzenie C), polipach żołądka (zdarzenie D), skazie krwotocznej (zdarzenie F), żółtaczce obturacyjnej (zdarzenie E) i końcowe zapalenie żołądka (zdarzenieg).
Lekarz na podstawie analizy danych statystycznych każdemu zdarzeniu przypisuje wartość prawdopodobieństwa:
W sumie lekarz miał 80 pacjentów z krwawieniem z żołądka (n= 80), z czego 12 miało wrzodziejącą erozję naczyń (), w6 - pęknięcie żylaków przełyku (), 36 miało raka żołądka () itp.
Aby przepisać badanie, lekarz chce określić prawdopodobieństwo, że krwawienie z żołądka jest związane z chorobą żołądka (zdarzenie I):
Prawdopodobieństwo, że krwawienie z żołądka jest związane z chorobą żołądka jest dość duże, a lekarz może określić taktykę badania w oparciu o założenie choroby żołądka, uzasadnione na poziomie ilościowym za pomocą teorii prawdopodobieństwa.
Jeżeli rozważamy wspólne zdarzenia, prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń bez prawdopodobieństwa ich wspólnego wystąpienia.
Symbolicznie jest to napisane w następujący sposób:
Jeśli wyobrazimy sobie, że wydarzenie ALE polega na trafieniu w tarczę zacienioną poziomymi paskami podczas strzelania, a zdarzeniem W- przy trafieniu w cel zacieniony pionowymi paskami, to w przypadku zdarzeń niekompatybilnych, zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu, prawdopodobieństwo sumy jest równe sumie prawdopodobieństw poszczególnych zdarzeń. Jeżeli te zdarzenia są wspólne, to istnieje pewne prawdopodobieństwo odpowiadające wspólnemu wystąpieniu zdarzeń ALE I W. Jeśli nie wprowadzisz korekty franszyzy redukcyjnej P(AB), tj. na prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia zdarzeń, to prawdopodobieństwo to będzie brane pod uwagę dwukrotnie, ponieważ obszar zacieniony liniami poziomymi i pionowymi jest integralną częścią obu celów i będzie brane pod uwagę zarówno w pierwszym, jak i w drugie wezwanie.
Na ryc. 1 podana jest interpretacja geometryczna, która wyraźnie ilustruje tę okoliczność. W górnej części rysunku znajdują się tarcze nie przecinające się, które są odpowiednikiem zdarzeń niekompatybilnych, w dolnej części tarcze przecinające się, które są odpowiednikiem wspólnych zdarzeń (jeden strzał może trafić jednocześnie w tarczę A i tarczę B). ).
Przed przejściem do twierdzenia o mnożeniu konieczne jest rozważenie pojęć zdarzeń niezależnych i zależnych oraz prawdopodobieństw warunkowych i bezwarunkowych.
Niezależny zdarzenie B to zdarzenie A, którego prawdopodobieństwo wystąpienia nie zależy od wystąpienia lub niewystąpienia zdarzenia B.
uzależniony Zdarzenie B to zdarzenie A, którego prawdopodobieństwo wystąpienia zależy od wystąpienia lub niewystąpienia zdarzenia B.
Przykład . Urna zawiera 3 kule, 2 białe i 1 czarną. Przy losowym wyborze piłki prawdopodobieństwo wybrania bili białej (zdarzenie A) wynosi: P(A) = 2/3, a czarnej (zdarzenie B) P(B) = 1/3. Mamy do czynienia ze schematem przypadków, a prawdopodobieństwa zdarzeń obliczane są ściśle według wzoru. Kiedy eksperyment jest powtarzany, prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzeń A i B pozostają niezmienione, jeżeli po każdym wyborze kula wraca do urny. W tym przypadku zdarzenia A i B są niezależne. Jeżeli kula wybrana w pierwszym eksperymencie nie zostanie zwrócona do urny, to prawdopodobieństwo zdarzenia (A) w drugim eksperymencie zależy od zajścia lub niewystąpienia zdarzenia (B) w pierwszym eksperymencie. Czyli jeśli w pierwszym eksperymencie wystąpiło zdarzenie B (wybrano czarną kulę), to drugi eksperyment przeprowadza się, jeśli w urnie są 2 białe kule i prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w drugim eksperymencie wynosi: P (A) = 2/2 = 1.
Jeżeli zdarzenie B nie wystąpiło w pierwszym eksperymencie (wybrano białą kulę), to drugi eksperyment przeprowadza się, jeśli w urnie znajduje się jedna biała i jedna czarna kula oraz prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w drugim eksperyment jest równy: P(A) = 1/2. Oczywiście w tym przypadku zdarzenia A i B są ze sobą ściśle powiązane i prawdopodobieństwa ich wystąpienia są zależne.
Warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenie A jest prawdopodobieństwem jego wystąpienia, o ile wystąpiło zdarzenie B. Prawdopodobieństwo warunkowe oznacza się symbolicznie P(A/B).
Jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia ALE nie zależy od wystąpienia zdarzenia W, to warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia ALE jest równe prawdopodobieństwu bezwarunkowemu:
Jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A zależy od wystąpienia zdarzenia B, to prawdopodobieństwo warunkowe nigdy nie może być równe prawdopodobieństwu bezwarunkowemu:
Ujawnienie zależności różnych zdarzeń między sobą ma ogromne znaczenie w rozwiązywaniu praktycznych problemów. Na przykład błędne założenie o niezależności pojawiania się pewnych objawów w diagnostyce wad serca metodą probabilistyczną opracowaną w Instytucie Chirurgii Serca i Naczyń. A. N. Bakuleva, spowodował około 50% błędnych diagnoz.
