Zasada rozwiązywania prostych równań. Rozwiązywanie prostych równań liniowych

Równania kwadratowe są badane w klasie 8, więc nie ma tu nic skomplikowanego. Niezbędna jest umiejętność ich rozwiązania.

Równanie kwadratowe to równanie postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie współczynniki a , b i c są liczbami arbitralnymi, a a ≠ 0.

Przed przestudiowaniem konkretnych metod rozwiązania zauważamy, że wszystkie równania kwadratowe można podzielić na trzy klasy:

1. Nie mają korzeni;
2. Mają dokładnie jeden korzeń;
3. Mają dwa różne korzenie.

Jest to ważna różnica między równaniami kwadratowymi i liniowymi, w których pierwiastek zawsze istnieje i jest unikalny. Jak określić, ile pierwiastków ma równanie? Jest w tym cudowna rzecz - dyskryminujący.

Dyskryminujący

Niech dane będzie równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0. Wtedy wyróżnikiem jest po prostu liczba D = b 2 − 4ac .

Ta formuła musi być znana na pamięć. Skąd pochodzi, nie jest teraz ważne. Kolejna rzecz jest ważna: za pomocą znaku wyróżnika możesz określić, ile pierwiastków ma równanie kwadratowe. Mianowicie:

1. Jeśli D< 0, корней нет;
2. Jeśli D = 0, istnieje dokładnie jeden pierwiastek;
3. Jeśli D > 0, będą dwa pierwiastki.

Uwaga: wyróżnik wskazuje liczbę korzeni, a nie ich znaki, jak z jakiegoś powodu myśli wiele osób. Spójrz na przykłady, a sam wszystko zrozumiesz:

Zadanie. Ile pierwiastków mają równania kwadratowe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Piszemy współczynniki dla pierwszego równania i znajdujemy wyróżnik:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Czyli dyskryminator jest dodatni, więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Drugie równanie analizujemy w ten sam sposób:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Dyskryminator jest negatywny, nie ma korzeni. Pozostaje ostatnie równanie:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Dyskryminator jest równy zero - pierwiastek będzie jeden.

Zauważ, że współczynniki zostały wypisane dla każdego równania. Tak, to jest długie, tak, to nudne - ale nie pomylisz szans i nie popełnisz głupich błędów. Wybierz dla siebie: szybkość lub jakość.

Nawiasem mówiąc, jeśli „wypełnisz rękę”, po pewnym czasie nie będziesz już musiał wypisywać wszystkich współczynników. Takie operacje wykonasz w swojej głowie. Większość ludzi zaczyna to robić gdzieś po 50-70 rozwiązanych równaniach - generalnie nie tak bardzo.

Pierwiastki równania kwadratowego

Przejdźmy teraz do rozwiązania. Jeżeli dyskryminator D > 0, pierwiastki można znaleźć za pomocą wzorów:

Podstawowy wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Gdy D = 0, możesz użyć dowolnej z tych formuł - otrzymasz tę samą liczbę, która będzie odpowiedzią. Wreszcie, jeśli D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Pierwsze równanie:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je:

Drugie równanie:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ równanie znów ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Wreszcie trzecie równanie:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ równanie ma jeden pierwiastek. Można użyć dowolnej formuły. Na przykład pierwszy:

Jak widać na przykładach, wszystko jest bardzo proste. Jeśli znasz formuły i umiesz liczyć, nie będzie problemów. Najczęściej błędy pojawiają się, gdy do wzoru wstawia się ujemne współczynniki. Tutaj ponownie pomoże opisana powyżej technika: spójrz na formułę dosłownie, pomaluj każdy krok - i szybko pozbądź się błędów.

Niepełne równania kwadratowe

Zdarza się, że równanie kwadratowe różni się nieco od tego, co podano w definicji. Na przykład:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Łatwo zauważyć, że w tych równaniach brakuje jednego z terminów. Takie równania kwadratowe są jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż standardowe: nie trzeba nawet obliczać dyskryminatora. Przedstawmy więc nową koncepcję:

Równanie ax 2 + bx + c = 0 nazywa się niepełnym równaniem kwadratowym, jeśli b = 0 lub c = 0, tj. współczynnik zmiennej x lub wolnego elementu jest równy zero.

Oczywiście bardzo trudny przypadek jest możliwy, gdy oba te współczynniki są równe zeru: b \u003d c \u003d 0. W tym przypadku równanie ma postać ax 2 \u003d 0. Oczywiście takie równanie ma jedno korzeń: x \u003d 0.

Rozważmy inne przypadki. Niech b \u003d 0, a następnie otrzymamy niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 + c \u003d 0. Przekształćmy to nieco:

Ponieważ arytmetyczny pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej, ostatnia równość ma sens tylko wtedy, gdy (−c / a ) ≥ 0. Wniosek:

1. Jeżeli niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 + c = 0 spełnia nierówność (−c / a ) ≥ 0, to będą dwa pierwiastki. Wzór podano powyżej;
2. Jeśli (−c / a )< 0, корней нет.

Jak widać dyskryminator nie był wymagany - w niepełnych równaniach kwadratowych nie ma w ogóle skomplikowanych obliczeń. W rzeczywistości nie trzeba nawet pamiętać o nierówności (−c / a ) ≥ 0. Wystarczy wyrazić wartość x 2 i zobaczyć, co jest po drugiej stronie znaku równości. Jeśli jest liczba dodatnia, będą dwa pierwiastki. Jeśli jest ujemny, w ogóle nie będzie korzeni.

Zajmijmy się teraz równaniami postaci ax 2 + bx = 0, w których wolny element jest równy zero. Tutaj wszystko jest proste: zawsze będą dwa korzenie. Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki:

Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasu

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Stąd pochodzą korzenie. Podsumowując, przeanalizujemy kilka z tych równań:

Zadanie. Rozwiąż równania kwadratowe:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 – 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nie ma korzeni, ponieważ kwadrat nie może być równy liczbie ujemnej.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

rozwiązać matematykę. Znajdź szybko rozwiązanie równania matematycznego w trybie online. Strona internetowa www.site pozwala Rozwiązać równanie prawie każdy podany algebraiczny, trygonometryczny lub transcendentalne równanie online. Studiując prawie każdy dział matematyki na różnych etapach, trzeba zdecydować: równania online. Aby uzyskać natychmiastową odpowiedź, a co najważniejsze dokładną, potrzebujesz zasobu, który pozwoli ci to zrobić. Dzięki www.site rozwiązywać równania online zajmie kilka minut. Główna zaleta www.site przy rozwiązywaniu problemów matematycznych równania online- to szybkość i dokładność udzielonej odpowiedzi. Witryna jest w stanie rozwiązać każdy równania algebraiczne online, równania trygonometryczne online, transcendentalne równania online, jak również równania z nieznanymi parametrami w trybie online. Równania służyć jako potężny aparat matematyczny rozwiązania zadania praktyczne. Z pomocą równania matematyczne można wyrazić fakty i relacje, które na pierwszy rzut oka mogą wydawać się zagmatwane i złożone. nieznane ilości równania można znaleźć, formułując problem w matematyczny język w formie równania oraz zdecydować otrzymane zadanie w trybie online na stronie www.site. Każdy równanie algebraiczne, równanie trygonometryczne lub równania zawierający nadzmysłowy funkcje, które łatwo zdecydować online i uzyskaj właściwą odpowiedź. Studiując nauki przyrodnicze, nieuchronnie napotyka się potrzebę rozwiązywanie równań. W takim przypadku odpowiedź musi być dokładna i musi zostać odebrana natychmiast w trybie online. Dlatego dla rozwiązywać równania matematyczne online polecamy stronę www.site, która stanie się Twoim niezbędnym kalkulatorem dla rozwiązywać równania algebraiczne online, równania trygonometryczne online, jak również transcendentalne równania online lub równania o nieznanych parametrach. Dla praktycznych problemów znajdowania korzeni różnych równania matematyczne zasób www.. Rozwiązywanie równania online samemu, warto sprawdzić otrzymaną odpowiedź za pomocą rozwiązywanie równań online na stronie www.site. Konieczne jest poprawne napisanie równania i natychmiastowe uzyskanie rozwiązanie online, po czym pozostaje tylko porównać odpowiedź z rozwiązaniem równania. Sprawdzenie odpowiedzi zajmie nie więcej niż minutę, wystarczy rozwiąż równanie online i porównaj odpowiedzi. Pomoże Ci to uniknąć błędów w decyzja i popraw odpowiedź na czas rozwiązywanie równań online czy algebraiczny, trygonometryczny, niedościgniony lub równanie o nieznanych parametrach.

Aplikacja

Rozwiązanie dowolnego typu równań online na stronie w celu utrwalenia badanego materiału przez uczniów i uczniów.Rozwiązywanie równań online. Równania online. Istnieją równania algebraiczne, parametryczne, transcendentalne, funkcyjne, różniczkowe itp. Niektóre klasy równań mają rozwiązania analityczne, które są wygodne, ponieważ nie tylko podają dokładną wartość pierwiastka, ale pozwalają na zapisanie rozwiązania w forma formuły, która może zawierać parametry. Wyrażenia analityczne pozwalają nie tylko obliczyć pierwiastki, ale przeanalizować ich istnienie i ich liczbę w zależności od wartości parametrów, co często jest nawet ważniejsze dla praktycznego zastosowania niż konkretne wartości pierwiastków. Rozwiązywanie równań online Równania online. Rozwiązaniem równania jest zadanie znalezienia takich wartości argumentów, dla których osiągnięto tę równość. Na możliwe wartości argumentów można nałożyć dodatkowe warunki (całkowite, rzeczywiste itp.). Rozwiązywanie równań online Równania online. Możesz rozwiązać równanie online natychmiast i z dużą dokładnością wyniku. Argumenty danych funkcji (czasami nazywane „zmiennymi”) w przypadku równania nazywane są „niewiadomymi”. Wartości niewiadomych, dla których osiąga się tę równość, nazywane są rozwiązaniami lub pierwiastkami danego równania. Mówi się, że korzenie spełniają dane równanie. Rozwiązanie równania online oznacza znalezienie zbioru wszystkich jego rozwiązań (pierwiastków) lub udowodnienie, że nie ma pierwiastków. Rozwiązywanie równań online Równania online. Równoważne lub równoważne nazywa się równaniami, których zbiory pierwiastków pokrywają się. Równoważne są również uważane za równania, które nie mają pierwiastków. Równoważność równań ma właściwość symetrii: jeśli jedno równanie jest równoważne drugiemu, to drugie równanie jest równoważne pierwszemu. Równoważność równań ma właściwość przechodniości: jeśli jedno równanie jest równoważne drugiemu, a drugie jest równoważne trzeciemu, to pierwsze równanie jest równoważne trzeciemu. Właściwość równoważności równań umożliwia przeprowadzanie za ich pomocą przekształceń, na których opierają się metody ich rozwiązywania. Rozwiązywanie równań online Równania online. Strona pozwoli Ci rozwiązać równanie online. Do równań, dla których znane są rozwiązania analityczne, należą równania algebraiczne, nie wyższe niż czwarty stopień: równanie liniowe, równanie kwadratowe, równanie sześcienne i równanie czwartego stopnia. Równania algebraiczne wyższych stopni generalnie nie mają rozwiązania analitycznego, chociaż niektóre z nich można sprowadzić do równań niższych stopni. Równania zawierające funkcje transcendentalne nazywane są transcendentalnymi. Wśród nich rozwiązania analityczne są znane dla niektórych równań trygonometrycznych, ponieważ zera funkcji trygonometrycznych są dobrze znane. W ogólnym przypadku, gdy nie można znaleźć rozwiązania analitycznego, stosuje się metody numeryczne. Metody numeryczne nie dają dokładnego rozwiązania, a jedynie pozwalają na zawężenie przedziału, w którym leży pierwiastek do pewnej z góry określonej wartości. Rozwiązywanie równań online Równania online Zamiast równania online przedstawimy, jak to samo wyrażenie tworzy zależność liniową i to nie tylko wzdłuż stycznej prostej, ale także w samym punkcie przegięcia wykresu. Ta metoda jest niezbędna przez cały czas w badaniu przedmiotu. Często zdarza się, że rozwiązanie równań zbliża się do wartości końcowej za pomocą nieskończonych liczb i pisania wektorów. Konieczne jest sprawdzenie danych początkowych i to jest istota zadania. W przeciwnym razie warunek lokalny jest konwertowany na formułę. Odwrócenie linii prostej danej funkcji, którą kalkulator równań obliczy bez większego opóźnienia w wykonaniu, zostanie skompensowane przywilejem przestrzeni. Będzie dotyczyć wyników uczniów w środowisku naukowym. Jednak, podobnie jak wszystkie powyższe, pomoże nam w procesie znajdowania, a kiedy całkowicie rozwiążesz równanie, zapisz wynikową odpowiedź na końcach odcinka linii prostej. Linie w przestrzeni przecinają się w punkcie, a ten punkt nazywa się przecinanym przez linie. Przedział na linii zaznaczono tak, jak podano wcześniej. Zostanie opublikowany najwyższy post dotyczący nauki matematyki. Przypisanie wartości argumentu z parametrycznie zdefiniowanej powierzchni i rozwiązanie równania online będzie w stanie wskazać zasady produktywnego wywołania funkcji. Pasek Möbiusa, lub jak to się nazywa nieskończoność, wygląda jak ósemka. Jest to powierzchnia jednostronna, a nie dwustronna. Zgodnie z powszechnie znaną zasadą obiektywnie przyjmiemy równania liniowe jako podstawowe oznaczenie, takie jakie są w dziedzinie nauki. Tylko dwie wartości kolejno podanych argumentów są w stanie ujawnić kierunek wektora. Założenie, że inne rozwiązanie równań online jest czymś więcej niż tylko rozwiązywaniem, oznacza uzyskanie pełnej wersji niezmiennika na wyjściu. Bez zintegrowanego podejścia studentom trudno jest nauczyć się tego materiału. Tak jak poprzednio, w każdym szczególnym przypadku nasz wygodny i inteligentny kalkulator równań online pomoże każdemu w trudnym momencie, ponieważ wystarczy określić parametry wejściowe, a system sam obliczy odpowiedź. Zanim zaczniemy wprowadzać dane, potrzebujemy narzędzia do wprowadzania danych, co można zrobić bez większych trudności. Liczba punktów każdej odpowiedzi będzie równaniem kwadratowym prowadzącym do naszych wniosków, ale nie jest to takie proste, ponieważ łatwo jest udowodnić coś przeciwnego. Teoria ta ze względu na swoją specyfikę nie jest poparta wiedzą praktyczną. Zobaczenie kalkulatora ułamków na etapie publikowania odpowiedzi nie jest łatwym zadaniem w matematyce, ponieważ alternatywa wpisania liczby na zbiorze zwiększa przyrost funkcji. Jednak błędem byłoby nie mówić o szkoleniu uczniów, więc każdy wyrazimy tyle, ile trzeba. Wcześniej znalezione równanie sześcienne słusznie będzie należało do dziedziny definicji i zawierało przestrzeń wartości liczbowych, a także zmiennych symbolicznych. Po zapoznaniu się lub zapamiętaniu twierdzenia nasi uczniowie pokażą się tylko z najlepszej strony, a my będziemy z nich szczęśliwi. W przeciwieństwie do zbioru przecięć pól, nasze równania online są opisane przez płaszczyznę ruchu wzdłuż pomnożenia dwóch i trzech liczbowych połączonych linii. Zbiór w matematyce nie jest jednoznacznie zdefiniowany. Najlepszym rozwiązaniem, zdaniem studentów, jest wypowiedź pisemna dokończona do końca. Jak mówiono w języku naukowym, abstrakcja wyrażeń symbolicznych nie jest zawarta w stanie rzeczy, ale rozwiązanie równań daje jednoznaczny wynik we wszystkich znanych przypadkach. Czas trwania sesji lektorskiej jest oparty na potrzebach w tej ofercie. Analiza wykazała potrzebę stosowania wszystkich technik obliczeniowych w wielu dziedzinach i jest absolutnie jasne, że kalkulator równań jest niezbędnym narzędziem w uzdolnionych rękach ucznia. Lojalne podejście do nauki matematyki determinuje znaczenie poglądów różnych kierunków. Chcesz wyznaczyć jedno z kluczowych twierdzeń i rozwiązać równanie w taki sposób, w zależności od odpowiedzi na które będzie dalsza potrzeba jego zastosowania. Analityka w tym obszarze nabiera tempa. Zacznijmy od początku i wyprowadźmy wzór. Po przebiciu się przez poziom wzrostu funkcji linia styczna w punkcie przegięcia z konieczności doprowadzi do tego, że rozwiązanie równania online będzie jednym z głównych aspektów konstrukcji tego samego wykresu z argumentu funkcji. Podejście amatorskie ma prawo być stosowane, jeśli warunek ten nie jest sprzeczny z wnioskami studentów. To właśnie to podzadanie sprowadza na dalszy plan analizę warunków matematycznych jako równań liniowych w istniejącej dziedzinie definicji obiektu. Przesunięcie w kierunku ortogonalności niweluje przewagę pojedynczej wartości bezwzględnej. Modulo, rozwiązywanie równań online daje taką samą liczbę rozwiązań, jeśli najpierw otworzysz nawiasy ze znakiem plus, a następnie ze znakiem minus. W tym przypadku rozwiązań jest dwa razy więcej, a wynik będzie dokładniejszy. Stabilny i poprawny kalkulator równań online to sukces w osiągnięciu zamierzonego celu w zadaniu postawionym przez nauczyciela. Wybór odpowiedniej metody wydaje się możliwy ze względu na znaczne różnice w poglądach wielkich naukowców. Otrzymane równanie kwadratowe opisuje krzywą linii, tzw. parabolę, a znak określi jej wypukłość w układzie współrzędnych kwadratu. Z równania otrzymujemy zarówno wyróżnik, jak i same pierwiastki zgodnie z twierdzeniem Vieta. Konieczne jest przedstawienie wyrażenia jako ułamka właściwego lub niewłaściwego i skorzystanie z kalkulatora ułamków na pierwszym etapie. W zależności od tego powstanie plan naszych dalszych obliczeń. Matematyka z podejściem teoretycznym jest przydatna na każdym etapie. Na pewno przedstawimy wynik w postaci równania sześciennego, ponieważ w tym wyrażeniu ukryjemy jego korzenie, aby uprościć zadanie studentowi uczelni. Wszelkie metody są dobre, jeśli nadają się do powierzchownej analizy. Dodatkowe operacje arytmetyczne nie spowodują błędów obliczeniowych. Określ odpowiedź z określoną dokładnością. Korzystając z rozwiązania równań nie oszukujmy się - znalezienie zmiennej niezależnej danej funkcji nie jest takie proste, zwłaszcza przy badaniu prostych równoległych w nieskończoności. Wobec wyjątku potrzeba jest bardzo oczywista. Różnica polaryzacji jest jednoznaczna. Z doświadczeń nauczania w instytutach nasz nauczyciel nauczył się głównej lekcji, w której równania były badane online w pełnym sensie matematycznym. Tutaj chodziło o większe wysiłki i specjalne umiejętności w stosowaniu teorii. Na korzyść naszych wniosków nie należy patrzeć przez pryzmat. Do niedawna uważano, że zbiór zamknięty szybko rozrasta się na tym obszarze, a rozwiązanie równań po prostu wymaga zbadania. Na pierwszym etapie nie rozważaliśmy wszystkich możliwych opcji, ale takie podejście jest bardziej uzasadnione niż kiedykolwiek. Dodatkowe czynności z nawiasami uzasadniają pewne postępy wzdłuż osi rzędnych i odciętych, których nie można przeoczyć gołym okiem. Istnieje punkt przegięcia w sensie szerokiego proporcjonalnego wzrostu funkcji. Jeszcze raz udowodnimy, w jaki sposób warunek konieczny zostanie zastosowany na całym przedziale malejącej jednej lub drugiej malejącej pozycji wektora. W ograniczonej przestrzeni wybierzemy zmienną z początkowego bloku naszego skryptu. Za brak głównego momentu siły odpowiada układ zbudowany w oparciu o trzy wektory. Jednak kalkulator równań wydedukował i pomógł w znalezieniu wszystkich składników zbudowanego równania, zarówno nad powierzchnią, jak i wzdłuż równoległych linii. Opiszmy okrąg wokół punktu początkowego. W ten sposób zaczniemy przesuwać się w górę wzdłuż linii przekroju, a styczna będzie opisywała okrąg na całej jego długości, w wyniku czego otrzymamy krzywą, którą nazywamy ewolwentą. Przy okazji porozmawiajmy o tej krzywej trochę historii. Faktem jest, że historycznie w matematyce nie było pojęcia samej matematyki w czystym tego słowa znaczeniu, jaką jest dzisiaj. Wcześniej wszyscy naukowcy zajmowali się jedną wspólną rzeczą, czyli nauką. Później, kilka wieków później, kiedy świat nauki był wypełniony kolosalną ilością informacji, ludzkość wyróżniła jednak wiele dyscyplin. Nadal pozostają niezmienione. A jednak każdego roku naukowcy na całym świecie próbują udowodnić, że nauka jest nieograniczona i że nie można rozwiązać równania, jeśli nie ma się wiedzy z zakresu nauk przyrodniczych. Być może nie da się jej ostatecznie zakończyć. Myślenie o tym jest tak samo bezcelowe jak ogrzewanie powietrza na zewnątrz. Znajdźmy przedział, w którym argument o wartości dodatniej określa moduł wartości w gwałtownie rosnącym kierunku. Reakcja pomoże znaleźć co najmniej trzy rozwiązania, ale konieczne będzie ich sprawdzenie. Zacznijmy od tego, że musimy rozwiązać równanie online, korzystając z unikalnej usługi naszej strony internetowej. Wpiszmy obie części podanego równania, wciśnijmy przycisk „ROZWIĄZUJ” i uzyskajmy dokładną odpowiedź w ciągu kilku sekund. W szczególnych przypadkach weźmiemy książkę o matematyce i dwukrotnie sprawdzimy naszą odpowiedź, a mianowicie spojrzymy tylko na odpowiedź i wszystko stanie się jasne. Ten sam projekt wyleci na sztucznie zbędnym równoległościanie. Istnieje równoległobok o równoległych bokach, który wyjaśnia wiele zasad i podejść do badania relacji przestrzennej wznoszącego się procesu akumulacji pustej przestrzeni w formach naturalnych. Niejednoznaczne równania liniowe pokazują zależność pożądanej zmiennej od naszego obecnego rozwiązania ogólnego i konieczne jest w jakiś sposób wyprowadzenie i zredukowanie niewłaściwego ułamka do nietrywialnego przypadku. Na linii prostej zaznaczamy dziesięć punktów i przez każdy punkt narysujemy krzywą w danym kierunku, wypukłością do góry. Nasz kalkulator równań bez większych trudności przedstawi wyrażenie w takiej postaci, że jego sprawdzenie poprawności reguł będzie oczywiste już na początku zapisu. Przede wszystkim system specjalnych reprezentacji stabilności dla matematyków, chyba że wzór stanowi inaczej. Odpowiemy na to szczegółową prezentacją raportu o stanie izomorficznym plastycznego układu ciał, a rozwiązanie równań online opisze ruch każdego punktu materialnego w tym układzie. Na poziomie pogłębionego studium konieczne będzie szczegółowe wyjaśnienie kwestii inwersji przynajmniej dolnej warstwy przestrzeni. W porządku rosnącym na odcinku nieciągłości funkcji zastosujemy ogólną metodę znakomitego badacza, nawiasem mówiąc, naszego rodaka, a o zachowaniu samolotu opowiemy poniżej. Ze względu na silne cechy analitycznie podanej funkcji, kalkulatora równań online używamy wyłącznie zgodnie z jego przeznaczeniem w ramach wyznaczonych granic autorytetu. Argumentując dalej, przerywamy przegląd jednorodności samego równania, to znaczy, że jego prawa strona jest równa zeru. Jeszcze raz zweryfikujemy słuszność naszej decyzji w matematyce. Aby uniknąć trywialnego rozwiązania, dokonamy pewnych korekt w warunkach początkowych problemu warunkowej stabilności systemu. Ułóżmy równanie kwadratowe, dla którego wypisujemy dwa wpisy przy użyciu znanego wzoru i znajdujemy pierwiastki ujemne. Jeśli jeden pierwiastek przekracza drugi i trzeci pierwiastek o pięć jednostek, to dokonując zmian w głównym argumencie, zniekształcamy w ten sposób warunki początkowe podproblemu. W istocie coś niezwykłego w matematyce zawsze można opisać z dokładnością do setnej części liczby dodatniej. Kalkulator frakcji jest kilkakrotnie lepszy od swoich odpowiedników na podobnych zasobach w najlepszym momencie obciążenia serwera. Na powierzchni wektora prędkości rosnącego wzdłuż osi y rysujemy siedem linii zagiętych w przeciwnych kierunkach do siebie. Współmierność przypisanego argumentu funkcji prowadzi licznik salda odzysków. W matematyce zjawisko to można przedstawić za pomocą równania sześciennego o współczynnikach urojonych, a także w dwubiegunowym przebiegu malejących linii. Punkty krytyczne różnicy temperatur w wielu swoich znaczeniach i postępach opisują proces faktoryzacji złożonej funkcji ułamkowej. Jeśli kazano Ci rozwiązać równanie, nie spiesz się z tym w tej chwili, zdecydowanie najpierw oceń cały plan działania, a dopiero potem podejmij właściwe podejście. Na pewno będą korzyści. Łatwość pracy jest oczywista, w matematyce jest tak samo. Rozwiąż równanie online. Wszystkie równania online to pewien rodzaj zapisu liczb lub parametrów oraz zmienna, którą należy zdefiniować. Oblicz tę właśnie zmienną, czyli znajdź konkretne wartości lub przedziały zbioru wartości, dla których tożsamość będzie spełniona. Warunki początkowe i końcowe zależą bezpośrednio. Ogólne rozwiązanie równań z reguły zawiera pewne zmienne i stałe, ustalając je, otrzymamy całe rodziny rozwiązań dla danego sformułowania problemu. Generalnie uzasadnia to wysiłki włożone w zwiększenie funkcjonalności przestrzennego sześcianu o boku równym 100 centymetrom. Możesz zastosować twierdzenie lub lemat na dowolnym etapie konstruowania odpowiedzi. Witryna stopniowo wydaje kalkulator równań, w razie potrzeby pokazuje najmniejszą wartość w dowolnym przedziale sumowania produktów. W połowie przypadków taka kula jak pusta nie spełnia w większym stopniu wymagań do ustalenia pośredniej odpowiedzi. Przynajmniej na osi y w kierunku malejącej reprezentacji wektorowej proporcja ta będzie niewątpliwie bardziej optymalna niż poprzednie wyrażenie. W godzinie, w której przeprowadzana jest pełna analiza punktowa funkcji liniowych, w rzeczywistości zbierzemy razem wszystkie nasze liczby zespolone i dwubiegunowe przestrzenie płaszczyzn. Podstawiając zmienną do otrzymanego wyrażenia, rozwiążesz równanie etapami i udzielisz najbardziej szczegółowej odpowiedzi z dużą dokładnością. Po raz kolejny sprawdzanie swoich działań w matematyce będzie dobrą formą ze strony ucznia. Proporcja w stosunku frakcji ustala integralność wyniku we wszystkich ważnych obszarach aktywności wektora zerowego. Banalność potwierdza się na końcu wykonanych czynności. Dzięki prostemu zestawowi zadań uczniowie nie mogą mieć trudności, jeśli rozwiążą równanie online w jak najkrótszym czasie, ale nie zapominają o wszelkiego rodzaju zasadach. Zbiór podzbiorów przecina się w obszarze notacji zbieżnej. W różnych przypadkach produkt nie ulega błędnej faktoryzacji. Pomożemy Ci rozwiązać równanie online w naszej pierwszej części dotyczącej podstaw technik matematycznych dla znaczących sekcji dla studentów na uniwersytetach i szkołach technicznych. Odpowiadanie na przykłady nie każe nam czekać kilka dni, ponieważ proces najlepszego współdziałania analizy wektorowej z sekwencyjnym znajdowaniem rozwiązań został opatentowany na początku ubiegłego wieku. Okazuje się, że starania o nawiązanie kontaktu z otaczającym zespołem nie poszły na marne, coś innego było oczywiście spóźnione. Kilka pokoleń później naukowcy na całym świecie uwierzyli, że matematyka jest królową nauk. Niezależnie od tego, czy jest to odpowiedź lewa, czy odpowiedź prawidłowa, wyczerpujące terminy i tak muszą być zapisane w trzech wierszach, ponieważ w naszym przypadku będziemy mówić jednoznacznie tylko o analizie wektorowej właściwości macierzy. Równania nieliniowe i liniowe wraz z równaniami dwukwadratowymi zajmują szczególne miejsce w naszej książce o najlepszych metodach obliczania trajektorii ruchu w przestrzeni wszystkich punktów materialnych układu zamkniętego. Liniowa analiza iloczynu skalarnego trzech kolejnych wektorów pomoże nam wcielić tę ideę w życie. Na końcu każdego ustawienia zadanie jest łatwiejsze dzięki wprowadzeniu zoptymalizowanych wyjątków numerycznych w kontekście wykonywanych nakładek przestrzeni numerycznych. Kolejny wyrok nie sprzeciwi się znalezionej odpowiedzi w arbitralnej formie trójkąta w kole. Kąt między tymi dwoma wektorami zawiera wymagany procent marginesu, a rozwiązywanie równań online często ujawnia jakiś wspólny pierwiastek równania, w przeciwieństwie do warunków początkowych. Wyjątek pełni rolę katalizatora w całym nieuniknionym procesie poszukiwania pozytywnego rozwiązania w zakresie definicji funkcji. Jeśli nie jest powiedziane, że nie możesz korzystać z komputera, kalkulator równań online jest odpowiedni do trudnych zadań. Wystarczy wpisać swoje dane warunkowe w odpowiednim formacie, a nasz serwer w możliwie najkrótszym czasie wystawi pełną odpowiedź wynikową. Funkcja wykładnicza rośnie znacznie szybciej niż funkcja liniowa. Świadczą o tym Talmudy sprytnej literatury bibliotecznej. Wykona obliczenia w sensie ogólnym, tak jak zrobiłoby to podane równanie kwadratowe z trzema złożonymi współczynnikami. Parabola w górnej części półpłaszczyzny charakteryzuje prostoliniowy ruch równoległy wzdłuż osi punktu. W tym miejscu warto wspomnieć o potencjalnej różnicy w przestrzeni roboczej ciała. W zamian za nieoptymalny wynik, nasz kalkulator frakcji słusznie zajmuje pierwsze miejsce w matematycznym rankingu przeglądu programów funkcjonalnych na zapleczu. Łatwość korzystania z tej usługi docenią miliony internautów. Jeśli nie wiesz, jak z niego korzystać, chętnie Ci pomożemy. Chcemy również podkreślić i wyróżnić równanie sześcienne z szeregu zadań uczniów szkół podstawowych, gdy trzeba szybko znaleźć jego pierwiastki i narysować wykres funkcji na płaszczyźnie. Najwyższy stopień reprodukcji jest jednym z najtrudniejszych problemów matematycznych w instytucie, a na jego naukę przeznacza się wystarczającą liczbę godzin. Podobnie jak wszystkie równania liniowe, nasze nie jest wyjątkiem od wielu obiektywnych reguł, spójrz z różnych punktów widzenia, a okaże się proste i wystarczające do ustalenia warunków początkowych. Przedział wzrostu pokrywa się z przedziałem wypukłości funkcji. Rozwiązywanie równań online. Badanie teorii opiera się na równaniach online z wielu rozdziałów dotyczących badania głównej dyscypliny. W przypadku takiego podejścia w niepewnych problemach bardzo łatwo jest przedstawić rozwiązanie równań w z góry określonej formie i nie tylko wyciągnąć wnioski, ale także przewidzieć wynik takiego pozytywnego rozwiązania. Serwis pomoże nam poznać przedmiot w najlepszych tradycjach matematyki, tak jak to jest w zwyczaju na Wschodzie. W najlepszych momentach przedziału czasu podobne zadania były dziesięciokrotnie mnożone przez wspólny mnożnik. Przy obfitości mnożenia wielu zmiennych w kalkulatorze równań zaczął się mnożyć przez jakość, a nie przez zmienne ilościowe, takie jak masa czy masa ciała. Aby uniknąć przypadków niezrównoważenia systemu materialnego, jest dla nas całkiem oczywiste wyprowadzenie trójwymiarowego konwertera na trywialnej zbieżności niezdegenerowanych macierzy matematycznych. Wykonaj zadanie i rozwiąż równanie w podanych współrzędnych, ponieważ wynik jest z góry nieznany, podobnie jak wszystkie zmienne zawarte w czasie poprzestrzennym są nieznane. Na krótki czas wypchnij wspólny czynnik z nawiasów i wcześniej podziel przez największy wspólny dzielnik obu części. Z otrzymanego zakrytego podzbioru liczb wyodrębnij szczegółowo trzydzieści trzy punkty z rzędu w krótkim okresie. O ile każdy uczeń jest w stanie rozwiązać równanie online w najlepszy możliwy sposób, patrząc w przyszłość, powiedzmy jedną ważną, ale kluczową rzecz, bez której nie będzie nam łatwo żyć w przyszłości. W ubiegłym stuleciu wielki naukowiec zauważył w teorii matematyki szereg prawidłowości. W praktyce okazało się, że wydarzenia nie są do końca oczekiwane. Jednak w zasadzie to samo rozwiązanie równań online pomaga w lepszym zrozumieniu i postrzeganiu holistycznego podejścia do nauki oraz praktycznego utrwalenia omawianego przez studentów materiału teoretycznego. Dużo łatwiej jest to zrobić w czasie nauki.

=

Równania liniowe. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Równania liniowe.

Równania liniowe nie są najtrudniejszym tematem w matematyce szkolnej. Ale jest tam kilka sztuczek, które mogą zagadać nawet wyszkolonego ucznia. Możemy to rozgryźć?)

Równanie liniowe jest zwykle definiowane jako równanie o postaci:

topór + b = 0 gdzie a i b- dowolne liczby.

2x + 7 = 0. Tutaj a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Tutaj a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Tutaj a=12, b=1/2

Nic skomplikowanego, prawda? Zwłaszcza jeśli nie zauważasz słów: „gdzie a i b są liczbami”... A jeśli zauważysz, ale niedbale o tym pomyśl?) W końcu, jeśli a=0, b=0(możliwe są jakieś liczby?), wtedy otrzymujemy zabawne wyrażenie:

Ale to nie wszystko! Jeśli powiedzmy a=0, a b=5, okazuje się, że jest to coś całkiem absurdalnego:

Co nadweręża i podkopuje zaufanie do matematyki, tak...) Zwłaszcza na egzaminach. Ale z tych dziwnych wyrażeń musisz także znaleźć X! Który w ogóle nie istnieje. I, co zaskakujące, ten X jest bardzo łatwy do znalezienia. Dowiemy się, jak to zrobić. W tej lekcji.

Jak rozpoznać wygląd równania liniowego? To zależy od tego, jaki wygląd.) Sztuczka polega na tym, że równania liniowe są nazywane nie tylko równaniami postaci topór + b = 0 , ale także wszelkie równania, które do tej postaci sprowadza się poprzez przekształcenia i uproszczenia. A kto wie, czy jest zmniejszony, czy nie?)

W niektórych przypadkach można wyraźnie rozpoznać równanie liniowe. Powiedzmy, że jeśli mamy równanie, w którym są tylko niewiadome pierwszego stopnia, tak liczby. A równanie nie ułamki podzielone przez nieznany , to jest ważne! I podział przez numer, lub ułamek liczbowy - to wszystko! Na przykład:

To jest równanie liniowe. Są tu ułamki, ale nie ma x w kwadracie, sześcianie itd., i nie ma x w mianownikach, tj. Nie dzielenie przez x. A oto równanie

nie można nazwać liniowym. Tutaj wszystkie x są w pierwszym stopniu, ale jest dzielenie przez wyrażenie z x. Po uproszczeniach i przekształceniach możesz otrzymać równanie liniowe, kwadratowe i cokolwiek chcesz.

Okazuje się, że niemożliwe jest znalezienie równania liniowego w jakimś skomplikowanym przykładzie, dopóki prawie go nie rozwiążesz. To denerwujące. Ale w zadaniach z reguły nie pytają o formę równania, prawda? W zadaniach równania są uporządkowane zdecydować. To sprawia, że ​​jestem szczęśliwy.)

Rozwiązywanie równań liniowych. Przykłady.

Całe rozwiązanie równań liniowych składa się z identycznych przekształceń równań. Nawiasem mówiąc, te przekształcenia (aż dwie!) leżą u podstaw rozwiązań wszystkie równania matematyczne. Innymi słowy, decyzja każdy Równanie zaczyna się od tych samych przekształceń. W przypadku równań liniowych to (rozwiązanie) na tych przekształceniach kończy się pełną odpowiedzią. Warto skorzystać z linku, prawda?) Ponadto istnieją również przykłady rozwiązywania równań liniowych.

Zacznijmy od najprostszego przykładu. Bez pułapek. Powiedzmy, że musimy rozwiązać następujące równanie.

x - 3 = 2 - 4x

To jest równanie liniowe. Wszystkie X są do pierwszej potęgi, nie ma dzielenia przez X. Ale tak naprawdę nie obchodzi nas, jakie to równanie. Musimy to rozwiązać. Schemat tutaj jest prosty. Zbierz wszystko, co ma x po lewej stronie równania, wszystko bez x (liczby) po prawej.

Aby to zrobić, musisz przenieść - 4x w lewo, oczywiście ze zmianą znaku, ale - 3 - w prawo. Nawiasem mówiąc, to jest pierwsza identyczna transformacja równań. Zaskoczony? Więc nie poszli za linkiem, ale na próżno ...) Otrzymujemy:

x + 4x = 2 + 3

Podajemy podobne, uważamy:

Czego potrzebujemy, aby być całkowicie szczęśliwym? Tak, aby po lewej stronie był czysty X! Pięć przeszkadza. Pozbądź się piątki za pomocą druga identyczna transformacja równań. Mianowicie dzielimy obie części równania przez 5. Otrzymujemy gotową odpowiedź:

Oczywiście elementarny przykład. To na rozgrzewkę.) Nie jest jasne, dlaczego przywołałem tutaj identyczne przekształcenia? OK. Bierzemy byka za rogi.) Zdecydujmy się na coś bardziej imponującego.

Na przykład, oto to równanie:

Gdzie zaczynamy? Z X - w lewo, bez X - w prawo? Może tak być. Małe kroki wzdłuż długiej drogi. I możesz natychmiast, w uniwersalny i potężny sposób. O ile oczywiście w twoim arsenale nie ma identycznych przekształceń równań.

Zadaję Ci kluczowe pytanie: Czego najbardziej nie lubisz w tym równaniu?

95 osób na 100 odpowie: ułamki ! Odpowiedź jest prawidłowa. Więc pozbądźmy się ich. Więc zaczynamy od razu druga identyczna transformacja. Przez co należy pomnożyć ułamek po lewej stronie, aby mianownik został całkowicie zmniejszony? Zgadza się, 3. A po prawej? Przez 4. Ale matematyka pozwala nam pomnożyć obie strony przez ten sam numer. Jak się wydostaniemy? Pomnóżmy obie strony przez 12! Tych. do wspólnego mianownika. Wtedy trzy zostaną zredukowane, a cztery. Nie zapominaj, że musisz pomnożyć każdą część całkowicie. Oto jak wygląda pierwszy krok:

Rozwijanie nawiasów:

Notatka! Licznik ułamka (x+2) Wziąłem w nawiasy! Dzieje się tak, ponieważ mnożąc ułamki, licznik mnoży się przez całość, całkowicie! A teraz możesz redukować ułamki i redukować:

Otwarcie pozostałych nawiasów:

Nie przykład, ale czysta przyjemność!) Teraz przypominamy sobie zaklęcie z niższych klas: z x - w lewo, bez x - w prawo! I zastosuj tę transformację:

Oto niektóre z nich:

I obie części dzielimy przez 25, tj. zastosuj ponownie drugą transformację:

To wszystko. Odpowiadać: X=0,16

Uwaga: aby sprowadzić oryginalne mylące równanie do przyjemnej postaci, użyliśmy dwóch (tylko dwóch!) identyczne przekształcenia- tłumaczenie lewo-prawo ze zmianą znaku i mnożeniem - dzieleniem równania przez tę samą liczbę. To jest uniwersalny sposób! Tak będziemy pracować każdy równania! Absolutnie dowolny. Dlatego cały czas powtarzam te same przekształcenia.)

Jak widać, zasada rozwiązywania równań liniowych jest prosta. Bierzemy równanie i upraszczamy je za pomocą identycznych przekształceń, aż otrzymamy odpowiedź. Główne problemy są tutaj w obliczeniach, a nie w zasadzie rozwiązania.

Ale… Są takie niespodzianki w procesie rozwiązywania najbardziej elementarnych równań liniowych, że potrafią doprowadzić do silnego odrętwienia…) Na szczęście takie niespodzianki mogą być tylko dwie. Nazwijmy je szczególnymi przypadkami.

Szczególne przypadki rozwiązywania równań liniowych.

Najpierw niespodzianka.

Załóżmy, że natkniesz się na równanie elementarne, coś takiego:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Lekko znudzony przenosimy z X w lewo, bez X - w prawo... Ze zmianą znaku wszystko jest podbródkowo-chinarowe... Otrzymujemy:

2x-5x+3x=5-2-3

Wierzymy i… o mój! Otrzymujemy:

Ta równość sama w sobie nie budzi zastrzeżeń. Zero to naprawdę zero. Ale X zniknął! I musimy napisać w odpowiedzi, ile x jest równe. W przeciwnym razie rozwiązanie się nie liczy, tak...) Ślepy zaułek?

Spokojna! W takich wątpliwych przypadkach zachowują najogólniejsze zasady. Jak rozwiązywać równania? Co to znaczy rozwiązać równanie? To znaczy, znajdź wszystkie wartości x, które po wstawieniu do oryginalnego równania dadzą nam poprawną równość.

Ale mamy poprawną równość już stało się! 0=0, gdzie tak naprawdę?! Pozostaje dowiedzieć się, przy jakim x jest to uzyskane. W jakie wartości x można podstawić? oryginał równanie jeśli te x's nadal kurczyć się do zera? Daj spokój?)

TAk!!! Xs można podstawić każdy! Co chcesz. Co najmniej 5, co najmniej 0,05, co najmniej -220. Nadal będą się kurczyć. Jeśli mi nie wierzysz, możesz to sprawdzić.) Zastąp dowolne wartości x w oryginał równanie i obliczenia. Cały czas będzie uzyskiwana czysta prawda: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tak dalej.

Oto twoja odpowiedź: x jest dowolną liczbą.

Odpowiedź można zapisać różnymi symbolami matematycznymi, istota się nie zmienia. To jest całkowicie poprawna i kompletna odpowiedź.

Niespodzianka druga.

Weźmy to samo elementarne równanie liniowe i zmieńmy w nim tylko jedną liczbę. Tak zdecydujemy:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Po tych samych identycznych przekształceniach otrzymujemy coś intrygującego:

Lubię to. Rozwiązał równanie liniowe, uzyskał dziwną równość. Mówiąc matematycznie, mamy zła równość. Mówiąc prościej, to nieprawda. Zachwycać się. Niemniej jednak ten nonsens jest całkiem dobrym powodem prawidłowego rozwiązania równania.)

Ponownie myślimy w oparciu o ogólne zasady. Co da nam x po wstawieniu do pierwotnego równania? prawidłowy równość? Tak, żaden! Nie ma takich xów. Cokolwiek zastąpisz, wszystko zostanie zredukowane, bzdury pozostaną.)

Oto twoja odpowiedź: nie ma rozwiązań.

To też jest całkowicie słuszna odpowiedź. W matematyce takie odpowiedzi często się zdarzają.

Lubię to. Teraz mam nadzieję, że utrata X w procesie rozwiązywania dowolnego (nie tylko liniowego) równania w ogóle Ci nie przeszkadza. Sprawa jest znajoma.)

Teraz, gdy uporaliśmy się ze wszystkimi pułapkami w równaniach liniowych, rozwiązanie ich ma sens.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

W tym filmie przeanalizujemy cały zestaw równań liniowych, które są rozwiązywane za pomocą tego samego algorytmu - dlatego nazywa się je najprostszymi.

Na początek zdefiniujmy: czym jest równanie liniowe i które z nich należy nazwać najprostszym?

Równanie liniowe to takie, w którym występuje tylko jedna zmienna i to tylko pierwszego stopnia.

Najprostsze równanie oznacza konstrukcję:

Wszystkie inne równania liniowe sprowadza się do najprostszych za pomocą algorytmu:

1. Otwarte nawiasy, jeśli występują;
2. Przenieś terminy zawierające zmienną na jedną stronę znaku równości, a terminy bez zmiennej na drugą;
3. Przynieś podobne warunki po lewej i prawej stronie znaku równości;
4. Otrzymane równanie podziel przez współczynnik zmiennej $x$ .

Oczywiście ten algorytm nie zawsze pomaga. Faktem jest, że czasami po tych wszystkich machinacjach współczynnik zmiennej $x$ okazuje się równy zero. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:

1. Równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Na przykład, gdy otrzymasz coś takiego jak $0\cdot x=8$, tj. po lewej stronie jest zero, a po prawej niezerowa liczba. W poniższym filmie przyjrzymy się kilku przyczynom, dla których taka sytuacja jest możliwa.
2. Rozwiązaniem są wszystkie liczby. Jedynym przypadkiem, w którym jest to możliwe, jest sprowadzenie równania do konstrukcji $0\cdot x=0$. Jest całkiem logiczne, że bez względu na to, jakie $x$ zastąpimy, i tak okaże się, że „zero jest równe zero”, tj. poprawna równość liczbowa.

A teraz zobaczmy, jak to wszystko działa na przykładzie prawdziwych problemów.

Przykłady rozwiązywania równań

Dziś mamy do czynienia z równaniami liniowymi i to tylko najprostszymi. Ogólnie rzecz biorąc, równanie liniowe oznacza każdą równość, która zawiera dokładnie jedną zmienną i idzie tylko do pierwszego stopnia.

Takie konstrukcje są rozwiązywane w przybliżeniu w ten sam sposób:

1. Przede wszystkim musisz otworzyć nawiasy, jeśli takie istnieją (jak w naszym ostatnim przykładzie);
2. Następnie przynieś podobne
3. Na koniec wyizoluj zmienną, tj. wszystko, co jest związane ze zmienną — terminy, w których jest ona zawarta — przenosi się na jedną stronę, a wszystko, co pozostaje bez niej, na drugą stronę.

Następnie z reguły trzeba zbliżyć po każdej stronie wynikową równość, a potem pozostaje tylko podzielić przez współczynnik przy „x”, a otrzymamy ostateczną odpowiedź.

W teorii wygląda to ładnie i prosto, ale w praktyce nawet doświadczeni licealiści mogą popełniać obraźliwe błędy w dość prostych równaniach liniowych. Zwykle błędy popełniane są albo podczas otwierania nawiasów, albo podczas liczenia „plusów” i „minusów”.

Poza tym zdarza się, że równanie liniowe nie ma w ogóle rozwiązań lub rozwiązaniem jest cała oś liczbowa, tj. Jakikolwiek numer. Przeanalizujemy te subtelności w dzisiejszej lekcji. Ale zaczniemy, jak już zrozumiałeś, od najprostszych zadań.

Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych

Na początek jeszcze raz napiszę cały schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych:

1. Rozwiń nawiasy, jeśli takie istnieją.
2. Odseparuj zmienne, tj. wszystko, co zawiera „x”, jest przenoszone na jedną stronę, a bez „x” - na drugą.
3. Przedstawiamy podobne terminy.
4. Wszystko dzielimy przez współczynnik przy „x”.

Oczywiście ten schemat nie zawsze działa, ma pewne subtelności i sztuczki, a teraz je poznamy.

Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych

Zadanie 1

W pierwszym kroku musimy otworzyć wsporniki. Ale nie ma ich w tym przykładzie, więc pomijamy ten krok. W drugim kroku musimy wyizolować zmienne. Uwaga: mówimy tylko o indywidualnych terminach. Napiszmy:

Podajemy podobne terminy po lewej i prawej stronie, ale tutaj już to zostało zrobione. Dlatego przechodzimy do czwartego kroku: podziel przez współczynnik:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tutaj otrzymaliśmy odpowiedź.

Zadanie nr 2

W tym zadaniu możemy obserwować nawiasy, więc je rozwińmy:

Zarówno po lewej, jak i po prawej stronie widzimy w przybliżeniu tę samą konstrukcję, ale działajmy zgodnie z algorytmem, tj. zmienne sekwestrujące:

Oto niektóre z nich:

Na jakich korzeniach to działa? Odpowiedź: dla każdego. Dlatego możemy napisać, że $x$ to dowolna liczba.

Zadanie nr 3

Trzecie równanie liniowe jest już bardziej interesujące:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Jest tu kilka nawiasów, ale nie są one przez nic mnożone, po prostu mają przed sobą różne znaki. Podzielmy je:

Wykonujemy drugi już znany nam krok:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Obliczmy:

Wykonujemy ostatni krok - wszystko dzielimy przez współczynnik przy „x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Rzeczy do zapamiętania podczas rozwiązywania równań liniowych

Jeśli zignorujemy zbyt proste zadania, to powiem:

• Jak powiedziałem powyżej, nie każde równanie liniowe ma rozwiązanie - czasami po prostu nie ma pierwiastków;
• Nawet jeśli są korzenie, to zero może się między nimi dostać - nie ma w tym nic złego.

Zero to ta sama liczba, co reszta, nie należy jej jakoś dyskryminować ani zakładać, że jeśli otrzymałeś zero, to zrobiłeś coś złego.

Kolejna funkcja związana jest z rozszerzaniem nawiasów. Uwaga: gdy przed nimi jest „minus”, usuwamy go, ale w nawiasach zmieniamy znaki na naprzeciwko. A potem możemy go otworzyć zgodnie ze standardowymi algorytmami: otrzymamy to, co widzieliśmy w powyższych obliczeniach.

Zrozumienie tego prostego faktu pomoże ci uniknąć popełniania głupich i bolesnych błędów w liceum, gdy robienie takich działań jest oczywiste.

Rozwiązywanie złożonych równań liniowych

Przejdźmy do bardziej złożonych równań. Teraz konstrukcje staną się bardziej skomplikowane i podczas wykonywania różnych przekształceń pojawi się funkcja kwadratowa. Jednak nie należy się tego obawiać, ponieważ jeśli zgodnie z intencją autora rozwiążemy równanie liniowe, to w procesie transformacji wszystkie jednomiany zawierające funkcję kwadratową z konieczności zostaną zredukowane.

Przykład 1

Oczywiście pierwszym krokiem jest otwarcie nawiasów. Zróbmy to bardzo ostrożnie:

Teraz weźmy prywatność:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Oto niektóre z nich:

Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, więc w odpowiedzi piszemy tak:

\[\różnorodność \]

lub bez korzeni.

Przykład #2

Wykonujemy te same kroki. Pierwszy krok:

Przenieśmy wszystko ze zmienną w lewo, a bez niej - w prawo:

Oto niektóre z nich:

Oczywiście to równanie liniowe nie ma rozwiązania, więc piszemy je tak:

\[\varnic\],

lub bez korzeni.

Niuanse rozwiązania

Oba równania są całkowicie rozwiązane. Na przykładzie tych dwóch wyrażeń po raz kolejny upewniliśmy się, że nawet w najprostszych równaniach liniowych wszystko może nie być takie proste: może być albo jeden, albo żaden, albo nieskończenie wiele. W naszym przypadku rozważaliśmy dwa równania, w obu po prostu nie ma pierwiastków.

Ale chciałbym zwrócić uwagę na inny fakt: jak pracować z nawiasami i jak je otwierać, jeśli przed nimi jest znak minus. Rozważ to wyrażenie:

Przed otwarciem musisz wszystko pomnożyć przez „x”. Uwaga: pomnóż każdy indywidualny termin. Wewnątrz znajdują się dwa wyrazy - odpowiednio dwa wyrazy i jest mnożony.

I dopiero po dokonaniu tych pozornie elementarnych, ale bardzo ważnych i niebezpiecznych przekształceń, można otworzyć nawias z tego punktu widzenia, że ​​jest po nim znak minus. Tak, tak: dopiero teraz, po przekształceniach, pamiętamy, że przed nawiasami jest znak minus, co oznacza, że ​​wszystko w dół po prostu zmienia znaki. Jednocześnie znikają same nawiasy i, co najważniejsze, znika również przedni „minus”.

To samo robimy z drugim równaniem:

Nieprzypadkowo zwracam uwagę na te drobne, pozornie nieistotne fakty. Bo rozwiązywanie równań to zawsze ciąg elementarnych przekształceń, gdzie niemożność jasnego i kompetentnego wykonania prostych czynności prowadzi do tego, że licealiści przychodzą do mnie i na nowo uczą się rozwiązywać takie proste równania.

Oczywiście nadejdzie dzień, w którym wyszlifujesz te umiejętności do automatyzmu. Nie musisz już za każdym razem wykonywać tylu przekształceń, wszystko napiszesz w jednej linijce. Ale kiedy dopiero się uczysz, musisz napisać każdą akcję osobno.

Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych

To, co teraz rozwiążemy, trudno nazwać najprostszym zadaniem, ale znaczenie pozostaje takie samo.

Zadanie 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Pomnóżmy wszystkie elementy z pierwszej części:

Zróbmy rekolekcje:

Oto niektóre z nich:

Zróbmy ostatni krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Oto nasza ostateczna odpowiedź. I pomimo tego, że w procesie rozwiązywania mieliśmy współczynniki z funkcją kwadratową, to jednak wzajemnie się anihilowały, co sprawia, że ​​równanie jest dokładnie liniowe, a nie kwadratowe.

Zadanie nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Zróbmy pierwszy krok ostrożnie: pomnóż każdy element w pierwszym nawiasie przez każdy element w drugim. W sumie po przekształceniach należy uzyskać cztery nowe terminy:

A teraz dokładnie wykonaj mnożenie w każdym wyrazie:

Przesuńmy wyrazy z "x" w lewo, a bez - w prawo:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Oto podobne terminy:

Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Niuanse rozwiązania

Najważniejsza uwaga dotycząca tych dwóch równań jest taka: jak tylko zaczniemy mnożyć nawiasy, w których jest więcej niż wyraz, to odbywa się to zgodnie z następującą zasadą: bierzemy pierwszy wyraz z pierwszego i mnożymy przez każdy element od drugiego; następnie bierzemy drugi element z pierwszego i podobnie mnożymy przez każdy element z drugiego. W rezultacie otrzymujemy cztery terminy.

Na sumie algebraicznej

Ostatnim przykładem chciałbym przypomnieć uczniom, czym jest suma algebraiczna. W matematyce klasycznej przez 1-7 $ rozumiemy konstrukcję prostą: odejmujemy siedem od jednego. W algebrze rozumiemy przez to, co następuje: do liczby „jeden” dodajemy kolejną liczbę, a mianowicie „minus siedem”. Ta suma algebraiczna różni się od zwykłej sumy arytmetycznej.

Gdy tylko wykonasz wszystkie przekształcenia, każde dodawanie i mnożenie, zaczniesz widzieć konstrukcje podobne do opisanych powyżej, po prostu nie będziesz miał problemów z algebrą podczas pracy z wielomianami i równaniami.

Podsumowując, spójrzmy na jeszcze kilka przykładów, które będą jeszcze bardziej złożone niż te, które właśnie oglądaliśmy, i aby je rozwiązać, będziemy musieli nieco rozszerzyć nasz standardowy algorytm.

Rozwiązywanie równań z ułamkiem

Aby rozwiązać takie zadania, do naszego algorytmu trzeba będzie dodać jeszcze jeden krok. Ale najpierw przypomnę nasz algorytm:

1. Otwarte nawiasy.
2. Oddzielne zmienne.
3. Przynieś podobne.
4. Podziel przez współczynnik.

Niestety, ten wspaniały algorytm, mimo całej swojej skuteczności, nie jest całkowicie odpowiedni, gdy mamy przed sobą ułamki. A w tym, co zobaczymy poniżej, w obu równaniach mamy ułamek po lewej i po prawej stronie.

Jak pracować w takim przypadku? Tak, to bardzo proste! Aby to zrobić, musisz dodać jeszcze jeden krok do algorytmu, który można wykonać zarówno przed pierwszą akcją, jak i po niej, a mianowicie pozbyć się ułamków. Zatem algorytm będzie wyglądał następująco:

1. Pozbądź się ułamków.
2. Otwarte nawiasy.
3. Oddzielne zmienne.
4. Przynieś podobne.
5. Podziel przez współczynnik.

Co to znaczy „pozbyć się ułamków”? I dlaczego można to zrobić zarówno po, jak i przed pierwszym standardowym krokiem? W rzeczywistości w naszym przypadku wszystkie ułamki są liczbowe pod względem mianownika, tj. wszędzie mianownik to tylko liczba. Dlatego jeśli pomnożymy obie części równania przez tę liczbę, to pozbędziemy się ułamków.

Przykład 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Pozbądźmy się ułamków w tym równaniu:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot cztery\]

Uwaga: wszystko jest mnożone przez „cztery” raz, tj. tylko dlatego, że masz dwa nawiasy nie oznacza, że ​​musisz pomnożyć każdy z nich przez „cztery”. Napiszmy:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Teraz otwórzmy to:

Wykonujemy oddzielenie zmiennej:

Przeprowadzamy redukcję podobnych terminów:

\[-4x=-1\lewo| :\lewo(-4 \prawo) \prawo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Otrzymaliśmy ostateczne rozwiązanie, przechodzimy do drugiego równania.

Przykład #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Tutaj wykonujemy te same czynności:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem rozwiązany.

To właściwie wszystko, co chciałem dzisiaj powiedzieć.

Kluczowe punkty

Najważniejsze ustalenia są następujące:

• Znać algorytm rozwiązywania równań liniowych.
• Możliwość otwierania nawiasów.
• Nie martw się, jeśli masz gdzieś funkcje kwadratowe, najprawdopodobniej w trakcie dalszych przekształceń zostaną one zmniejszone.
• Pierwiastki w równaniach liniowych, nawet najprostszych, są trzech typów: jeden pierwiastek, cała oś liczbowa jest pierwiastkiem, nie ma w ogóle pierwiastków.

Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże Ci opanować prosty, ale bardzo ważny temat dla dalszego zrozumienia całej matematyki. Jeśli coś jest niejasne, wejdź na stronę, rozwiąż przedstawione tam przykłady. Bądź na bieżąco, czeka na Ciebie wiele innych ciekawych rzeczy!