Проблемът за намиране на производната на дадена функция е един от основните в курса по математика в гимназията и във висшите учебни заведения. Невъзможно е да се изследва напълно функция, да се изгради нейната графика, без да се вземе нейната производна. Производната на функция може лесно да се намери, ако знаете основните правила за диференциране, както и таблицата на производните на основните функции. Нека да разберем как да намерим производната на функция.

Производната на функция се нарича граница на съотношението на приращението на функцията към приращението на аргумента, когато приращението на аргумента клони към нула.

Доста е трудно да се разбере това определение, тъй като понятието граница не се изучава напълно в училище. Но за да се намерят производни на различни функции, не е необходимо да се разбира определението, нека го оставим на математиците и да преминем направо към намирането на производната.

Процесът на намиране на производната се нарича диференциране. Когато диференцираме функция, ще получим нова функция.

За обозначаването им ще използваме латинските букви f, g и т.н.

Има много различни обозначения за производни. Ще използваме инсулт. Например, записът g" означава, че ще намерим производната на функцията g.

Таблица на производните

За да се отговори на въпроса как да се намери производната, е необходимо да се предостави таблица на производните на основните функции. За да се изчислят производните на елементарните функции, не е необходимо да се извършват сложни изчисления. Достатъчно е само да погледнете стойността му в таблицата с деривати.

(sinx)"=cosx
(cos x)"= -sin x
(xn)"=nxn-1
(пр.)"=пр
(lnx)"=1/x
(a x)"=a x ln a
(log a x)"=1/x ln a
(tg x)"=1/cos 2 x
(ctg x)"= - 1/sin 2 x
(arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
(arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
(arctg x)"= 1/(1+x 2)
(arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Пример 1. Намерете производната на функцията y=500.

Виждаме, че е константа. Според таблицата на производните е известно, че производната на константата е равна на нула (формула 1).

Пример 2. Намерете производната на функцията y=x 100 .

Това е степенна функция, чиято степен е 100 и за да намерите нейната производна, трябва да умножите функцията по степента и да я намалите с 1 (формула 3).

(x 100)"=100 x 99

Пример 3. Намерете производната на функцията y=5 x

Това е експоненциална функция, ние изчисляваме нейната производна по формула 4.

Пример 4. Намерете производната на функцията y= log 4 x

Намираме производната на логаритъма по формула 7.

(log 4 x)"=1/x log 4

Правила за диференциране

Нека сега да разберем как да намерим производната на функция, ако тя не е в таблицата. Повечето от изследваните функции не са елементарни, а са комбинации от елементарни функции, използващи най-простите операции (събиране, изваждане, умножение, деление и умножение с число). За да намерите техните производни, трябва да знаете правилата за диференциране. Освен това буквите f и g означават функции, а C е константа.

1. Постоянен коефициент може да бъде изваден от знака на производната

Пример 5. Намерете производната на функцията y= 6*x 8

Изваждаме постоянния коефициент 6 и диференцираме само x 4 . Това е степенна функция, чиято производна намираме съгласно формула 3 от таблицата на производните.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Производната на сбора е равна на сбора от производните

(f + g)"=f" + g"

Пример 6. Намерете производната на функцията y= x 100 + sin x

Функцията е сбор от две функции, чиито производни можем да намерим от таблицата. Тъй като (x 100)"=100 x 99 и (sin x)"=cos x. Производната на сумата ще бъде равна на сумата от тези производни:

(x 100 + sin x)"= 100 x 99 + cos x

3. Производната на разликата е равна на разликата на производните

(f – g)"=f" – g"

Пример 7. Намерете производната на функцията y= x 100 - cos x

Тази функция е разликата на две функции, чиито производни също можем да намерим от таблицата. Тогава производната на разликата е равна на разликата на производните и не забравяйте да промените знака, тъй като (cos x) "= - sin x.

(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + sin x

Пример 8. Намерете производната на функцията y=e x +tg x– x 2 .

Тази функция има както сума, така и разлика, намираме производните на всеки член:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Тогава производната на оригиналната функция е:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Производна на продукт

(f * g)"=f" * g + f * g"

Пример 9. Намерете производната на функцията y= cos x *e x

За да направите това, първо намерете производната на всеки фактор (cos x)"=–sin x и (e x)"=e x . Сега нека заменим всичко във формулата на продукта. Умножете производната на първата функция по втората и добавете произведението на първата функция по производната на втората.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Производна на частното

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2

Пример 10. Намерете производната на функцията y= x 50 / sin x

За да намерите производната на частното, първо намерете производната на числителя и знаменателя поотделно: (x 50)"=50 x 49 и (sin x)"= cos x. Замествайки във формулата производната на частното получаваме:

(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x

Производна на съставна функция

Сложната функция е функция, представена от композиция от няколко функции. За да намерите производната на сложна функция, има и правило:

(u(v))"=u"(v)*v"

Нека видим как да намерим производната на такава функция. Нека y= u(v(x)) е комплексна функция. Функцията u ще се нарича външна, а v - вътрешна.

Например:

y=sin (x 3) е сложна функция.

Тогава y=sin(t) е външната функция

t=x 3 - вътрешно.

Нека се опитаме да изчислим производната на тази функция. Съгласно формулата е необходимо да се умножат производните на вътрешните и външните функции.

(sin t)"=cos (t) - производна на външната функция (където t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - производна на вътрешната функция

Тогава (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 е производната на комплексната функция.

Първо ниво

Производна на функцията. Изчерпателно ръководство (2019)

Представете си прав път, минаващ през хълмиста местност. Тоест върви нагоре и надолу, но не завива надясно или наляво. Ако оста е насочена хоризонтално по протежение на пътя и вертикално, тогава пътната линия ще бъде много подобна на графиката на някаква непрекъсната функция:

Оста е определено ниво с нулева височина, в живота ние използваме морското равнище като него.

Движейки се напред по такъв път, ние също се движим нагоре или надолу. Можем също да кажем: когато аргументът се промени (движи се по оста на абсцисата), стойността на функцията се променя (движи се по оста на ординатата). Сега нека помислим как да определим "стръмността" на нашия път? Каква може да бъде тази стойност? Много просто: колко ще се промени височината при движение напред на определено разстояние. Наистина, на различни участъци от пътя, движейки се напред (по абсцисата) един километър, ще се издигнем или паднем с различен брой метри спрямо морското равнище (по ординатата).

Обозначаваме напредъка напред (четете "делта x").

Гръцката буква (делта) обикновено се използва в математиката като префикс, означаващ „промяна“. Тоест - това е промяна в величината, - промяна; тогава какво е? Точно така, промяна в размера.

Важно: изразът е едно цяло, една променлива. Никога не трябва да откъсвате "делта" от "x" или друга буква! Това е например .

И така, продължихме напред, хоризонтално, нататък. Ако сравним линията на пътя с графиката на функция, тогава как ще обозначим възхода? Разбира се,. Тоест, когато се движим напред, ние се издигаме по-високо.

Лесно е да се изчисли стойността: ако в началото бяхме на височина, а след преместването бяхме на височина, тогава. Ако крайната точка се окаже по-ниска от началната, тя ще бъде отрицателна - това означава, че не се изкачваме, а се спускаме.

Обратно към „стръмност“: това е стойност, която показва колко (стръмно) се увеличава височината при движение напред на единица разстояние:

Да предположим, че на някакъв участък от пътя, при напредване с км, пътят се издига с км. Тогава стръмността на това място е равна. И ако пътят, когато напредва с m, потъва с km? Тогава наклонът е равен.

Сега помислете за върха на хълм. Ако вземете началото на участъка половин километър до върха, а края - половин километър след него, се вижда, че височината е почти същата.

Тоест, според нашата логика се оказва, че наклонът тук е почти равен на нула, което очевидно не е вярно. Много може да се промени само на няколко мили разстояние. За по-адекватна и точна оценка на стръмността трябва да се вземат предвид по-малки площи. Например, ако измерите промяната във височината при преместване на един метър, резултатът ще бъде много по-точен. Но дори тази точност може да не ни е достатъчна – в края на краищата, ако има стълб по средата на пътя, можем просто да се промъкнем през него. Какво разстояние да изберем тогава? Сантиметър? милиметър? По-малкото е по-добре!

В реалния живот измерването на разстояние до най-близкия милиметър е повече от достатъчно. Но математиците винаги се стремят към съвършенство. Следователно концепцията беше безкрайно малък, тоест стойността по модул е по-малка от всяко число, което можем да назовем. Например казвате: една трилионна! Колко по-малко? И разделите това число на - и то ще бъде още по-малко. И т.н. Ако искаме да запишем, че стойността е безкрайно малка, пишем така: (четем „x клони към нула“). Много е важно да се разбере че това число не е равно на нула!Но много близо до него. Това означава, че може да се раздели на.

Концепцията, противоположна на безкрайно малко, е безкрайно голяма (). Вероятно вече сте се сблъсквали с него, когато сте работили върху неравенствата: това число е по-голямо по модул от всяко число, за което можете да се сетите. Ако излезете с възможно най-голямото число, просто го умножете по две и ще получите още повече. А безкрайността е дори повече от това, което се случва. Всъщност безкрайно голямото и безкрайно малкото са обратни едно на друго, тоест at и обратно: at.

Сега обратно към нашия път. Идеално изчисленият наклон е наклонът, изчислен за безкрайно малък сегмент от пътя, тоест:

Отбелязвам, че при безкрайно малка денивелация промяната във височината също ще бъде безкрайно малка. Но нека ви напомня, че безкрайно малко не означава равно на нула. Ако разделите безкрайно малки числа едно на друго, можете да получите напълно обикновено число, например. Тоест една малка стойност може да бъде точно два пъти по-голяма от друга.

Защо всичко това? Пътят, стръмнината... Не ходим на рали, а учим математика. А в математиката всичко е абсолютно същото, само че се нарича по различен начин.

Концепцията за производно

Производната на функция е съотношението на приращението на функцията към нарастването на аргумента при безкрайно малко нарастване на аргумента.

Увеличениев математиката се нарича промяна. Извиква се колко се е променил аргументът () при движение по оста увеличение на аргументаи се обозначава с Колко функцията (височина) се е променила при движение напред по оста с разстояние се нарича увеличение на функциятаи е маркиран.

И така, производната на функция е отношението към кога. Обозначаваме производната със същата буква като функцията, само с щрих отгоре вдясно: или просто. И така, нека напишем производната формула, използвайки тези обозначения:

Както в аналогията с пътя, тук, когато функцията се увеличава, производната е положителна, а когато намалява, е отрицателна.

Но равна ли е производната на нула? със сигурност. Например, ако се движим по равен хоризонтален път, стръмността е нула. Всъщност височината изобщо не се променя. Така че с производната: производната на константна функция (константа) е равна на нула:

тъй като приращението на такава функция е нула за всяка.

Да вземем пример за върха на хълма. Оказа се, че е възможно да се подредят краищата на сегмента от противоположните страни на върха по такъв начин, че височината в краищата да се окаже еднаква, тоест сегментът е успореден на оста:

Но големите сегменти са знак за неточно измерване. Ще повдигнем нашия сегмент нагоре успоредно на себе си, след което дължината му ще намалее.

В крайна сметка, когато сме безкрайно близо до върха, дължината на сегмента ще стане безкрайно малка. Но в същото време той остава успореден на оста, тоест разликата във височината в краищата му е равна на нула (не се стреми, но е равна на). Така че производната

Това може да се разбере по следния начин: когато стоим на самия връх, малко изместване наляво или надясно променя височината ни незначително.

Има и чисто алгебрично обяснение: вляво от върха функцията се увеличава, а вдясно - намалява. Както вече разбрахме по-рано, когато функцията се увеличава, производната е положителна, а когато намалява, е отрицателна. Но се сменя плавно, без скокове (защото пътят никъде не променя рязко наклона си). Следователно трябва да има между отрицателни и положителни стойности. Тя ще бъде там, където функцията нито се увеличава, нито намалява - в точката на върха.

Същото важи и за долината (областта, където функцията намалява отляво и се увеличава отдясно):

Малко повече за увеличенията.

Така че променяме аргумента на стойност. От каква стойност променяме? В какво се превърна той (аргумент) сега? Можем да изберем всяка точка и сега ще танцуваме от нея.

Помислете за точка с координата. Стойността на функцията в него е равна. След това правим същото увеличение: увеличаваме координатата с. Какъв е аргументът сега? Много лесно: . Каква е стойността на функцията сега? Където отива аргументът, там отива и функцията: . Какво ще кажете за увеличаването на функцията? Нищо ново: това все още е сумата, с която функцията се е променила:

Практикувайте намиране на стъпки:

Намерете приращението на функцията в точка с приращение на аргумента, равно на.
Същото за функция в точка.

Решения:

В различни точки, при едно и също увеличение на аргумента, приращението на функцията ще бъде различно. Това означава, че производната във всяка точка има своя собствена (обсъждахме това в самото начало - стръмността на пътя в различните точки е различна). Следователно, когато пишем производна, трябва да посочим в кой момент:

Функция за захранване.

Силова функция се нарича функция, където аргументът е до известна степен (логически, нали?).

И - до всяка степен: .

Най-простият случай е, когато степента е:

Нека намерим производната му в дадена точка. Запомнете определението за производно:

Така аргументът се променя от на. Какво е увеличението на функцията?

Увеличението е. Но функцията във всяка точка е равна на нейния аргумент. Ето защо:

Производната е:

Производната на е:

б) Сега разгледайте квадратичната функция (): .

Сега да си припомним това. Това означава, че стойността на приращението може да се пренебрегне, тъй като е безкрайно малка и следователно незначителна на фона на друг термин:

И така, имаме друго правило:

в) Продължаваме логическия ред: .

Този израз може да бъде опростен по различни начини: отворете първата скоба, като използвате формулата за съкратено умножение на куба на сбора, или разложете целия израз на фактори, като използвате формулата за разликата на кубовете. Опитайте се да го направите сами по някой от предложените начини.

И така, получих следното:

И нека си припомним това отново. Това означава, че можем да пренебрегнем всички термини, съдържащи:

Получаваме: .

г) Подобни правила могат да бъдат получени за големи мощности:

д) Оказва се, че това правило може да бъде обобщено за степенна функция с произволен показател, дори не цяло число:

(2)

Можете да формулирате правилото с думите: „степента се извежда напред като коефициент и след това намалява с“.

Ще докажем това правило по-късно (почти в самия край). Сега нека разгледаме няколко примера. Намерете производната на функциите:

(по два начина: по формулата и с помощта на дефиницията на производната - чрез отчитане на приращението на функцията);

. Вярвате или не, това е захранваща функция. Ако имате въпроси като „Как е? И къде е степента?", Запомнете темата" "!
Да, да, коренът също е степен, само дробна:.
Така че нашият квадратен корен е просто степен с експонента:
.
Търсим производната, използвайки наскоро научената формула:
Ако в този момент отново стане неясно, повторете темата "" !!! (около степен с отрицателен индикатор)
. Сега експонентът:
И сега през определението (забравихте ли вече?):
;
.
Сега, както обикновено, пренебрегваме термина, съдържащ:
.
. Комбинация от предишни случаи: .

тригонометрични функции.

Тук ще използваме един факт от висшата математика:

Когато изразяване.

Доказателството ще научите през първата година на института (а за да стигнете до там, трябва да издържите добре изпита). Сега просто ще го покажа графично:

Виждаме, че когато функцията не съществува - точката на графиката е пробита. Но колкото по-близо до стойността, толкова по-близо е функцията до. Това е самият „стремеж“.

Освен това можете да проверите това правило с калкулатор. Да, да, не се срамувайте, вземете калкулатор, още не сме на изпит.

Така че нека опитаме: ;

Не забравяйте да превключите калкулатора в режим на радиани!

и т.н. Виждаме, че колкото по-малко, толкова по-близо е стойността на съотношението до.

а) Помислете за функция. Както обикновено, намираме неговото увеличение:

Нека превърнем разликата на синусите в продукт. За да направите това, използваме формулата (запомнете темата ""):.

Сега производната:

Нека направим замяна: . Тогава, за безкрайно малък, той също е безкрайно малък: . Изразът за приема формата:

И сега си спомняме това с израза. И също така, какво ще стане, ако една безкрайно малка стойност може да бъде пренебрегната в сумата (тоест at).

Така получаваме следното правило: производната на синуса е равна на косинуса:

Това са основни („таблици“) производни. Ето ги в един списък:

По-късно ще добавим още няколко към тях, но те са най-важните, тъй като се използват най-често.

практика:

Намерете производната на функция в точка;
Намерете производната на функцията.

Решения:

Първо намираме производната в общ вид и след това заместваме нейната стойност:
;
.
Тук имаме нещо подобно на функция за мощност. Нека се опитаме да я доведем
нормален изглед:
.
Добре, сега можете да използвате формулата:
.
.
. Еееееее.... Какво е????

Добре, прав си, все още не знаем как да намерим такива производни. Тук имаме комбинация от няколко вида функции. За да работите с тях, трябва да научите още няколко правила:

Експонента и естествен логаритъм.

В математиката има такава функция, чиято производна за произволно е равна на стойността на самата функция за същата. Нарича се "експонента" и е експоненциална функция

Основата на тази функция - константа - е безкрайна десетична дроб, тоест ирационално число (като напр.). Нарича се "числото на Ойлер", поради което се обозначава с буква.

Така че правилото е:

Много е лесно да се запомни.

Е, няма да стигнем далеч, веднага ще разгледаме обратната функция. Какво е обратното на експоненциалната функция? логаритъм:

В нашия случай основата е число:

Такъв логаритъм (тоест логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: вместо това пишем.

На какво е равно? Разбира се, .

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

Примери:

Намерете производната на функцията.
Каква е производната на функцията?

Отговори: Показателят и естественият логаритъм са функции, които са уникално прости по отношение на производната. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга база ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.

Правила за диференциране

Какви правила? Пак нов мандат?!...

Диференциацияе процесът на намиране на производната.

Само и всичко. Каква е друга дума за този процес? Не производство... Диференциалът на математиката се нарича самото приращение на функцията at. Този термин идва от латинското differentia - разлика. Тук.

Когато извеждаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се изважда от знака на производната.

Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата: .

Нека го докажем. Нека или по-лесно.

Примери.

Намерете производни на функции:

в точката;
в точката;
в точката;
в точката.

Решения:

(производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помните?);

Производно на продукт

Тук всичко е подобно: въвеждаме нова функция и намираме нейното увеличение:

производно:

Примери:

Намерете производни на функции и;
Намерете производната на функция в точка.

Решения:

Производна на експоненциална функция

Сега вашите знания са достатъчни, за да научите как да намерите производната на всяка експоненциална функция, а не само на степента (забравихте ли още какво е?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да пренесем нашата функция на нова база:

За да направим това, използваме просто правило: . Тогава:

Е, проработи. Сега се опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Се случи?

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на степента: както беше, така и остана, се появи само фактор, който е просто число, но не и променлива.

Примери:
Намерете производни на функции:

Отговори:

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се напише в по-проста форма. Следователно в отговора е оставен в този вид.

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен от логаритъма с различна основа, например:

Трябва да приведем този логаритъм към основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се да помните тази формула:

Само сега вместо ще напишем:

Знаменателят се оказа просто константа (постоянно число, без променлива). Производната е много проста:

Производни на експоненциалната и логаритмичната функции почти никога не се намират в изпита, но няма да е излишно да ги знаете.

Производна на сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е дъгова допирателна. Тези функции може да са трудни за разбиране (въпреки че ако логаритъмът ви се струва труден, прочетете темата "Логаритми" и всичко ще се получи), но от гледна точка на математиката думата "сложен" не означава "труден".

Представете си малък конвейер: двама души седят и правят някакви действия с някакви предмети. Например, първият увива шоколадов блок в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Оказва се такъв композитен обект: шоколадова лента, увита и вързана с панделка. За да изядете шоколадов блок, трябва да направите обратните стъпки в обратен ред.

Нека създадем подобен математически тръбопровод: първо ще намерим косинуса на число, а след това ще квадратурираме полученото число. И така, те ни дават число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка) и след това квадратирате това, което имам (завържете го с панделка). Какво стана? Функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, правим първото действие директно с променливата, а след това друго второ действие с това, което се е случило в резултат на първото.

Можем да направим същите действия в обратен ред: първо квадратирате, а след това аз търся косинуса на полученото число:. Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.

С други думи, Сложната функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За първия пример,.

Втори пример: (същото). .

Последното действие, което правим, ще бъде извикано "външна" функция, а извършеното първо действие – респ "вътрешна" функция(това са неформални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се сами да определите коя функция е външна и коя вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешните и външните функции е много подобно на променящите се променливи: например във функцията

Какви действия ще предприемем първо? Първо изчисляваме синуса и едва след това го повишаваме до куб. Така че това е вътрешна функция, а не външна.
И първоначалната функция е техният състав: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .

променяме променливи и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашия шоколад - потърсете производното. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. За оригиналния пример изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Всичко изглежда просто, нали?

Нека проверим с примери:

Решения:

1) Вътрешни: ;

Външен: ;

2) Вътрешни: ;

(само не се опитвайте да намалите досега! Нищо не се изважда изпод косинуса, помните ли?)

3) Вътрешни: ;

Външен: ;

Веднага става ясно, че тук има сложна функция на три нива: в края на краищата това вече е сложна функция сама по себе си и ние все още извличаме корена от нея, тоест извършваме третото действие (поставяме шоколад в опаковка и с панделка в куфарче). Но няма причина да се страхуваме: така или иначе ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И тогава умножаваме всичко.

В такива случаи е удобно да номерирате действията. Тоест, нека си представим какво знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Нека да разгледаме пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията - както преди:

Тук гнезденето обикновено е на 4 нива. Нека определим начина на действие.

1. Радикален израз. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Обединяване на всичко:

ПРОИЗВОДЕН. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Производна на функцията- съотношението на увеличението на функцията към нарастването на аргумента с безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни производни:

Правила за диференциране:

Константата се изважда от знака на производната:

Производна на сумата:

Производен продукт:

Производна на коефициента:

Производна на сложна функция:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Дефинираме "вътрешната" функция, намираме нейната производна.
Дефинираме "външната" функция, намираме нейната производна.
Умножаваме резултатите от първата и втората точка.

Дадени са примери за изчисляване на производни по формулата за производната на комплексна функция.

Тук даваме примери за изчисляване на производни на следните функции:
; ; ; ; .

Ако функция може да бъде представена като сложна функция в следната форма:
,
тогава неговата производна се определя по формулата:
.
В примерите по-долу ще напишем тази формула в следната форма:
.
където .
Тук индексите или , разположени под знака на производната, означават променливата, по отношение на която се извършва диференцирането.

Обикновено в таблици на производните се дават производните на функциите от променливата x. Въпреки това, x е формален параметър. Променливата x може да бъде заменена с всяка друга променлива. Следователно, когато диференцираме функция от променлива, ние просто променяме в таблицата на производните променливата x на променливата u.

Прости примери

Пример 1

Намерете производната на комплексна функция
.

Решение

Записваме дадената функция в еквивалентен вид:
.
В таблицата на производните намираме:
;
.

Според формулата за производната на сложна функция имаме:
.
Тук .

Отговор

Пример 2

Намерете производна
.

Решение

Изваждаме константата 5 отвъд знака на производната и от таблицата на производните намираме:
.

.
Тук .

Отговор

Пример 3

Намерете производната
.

Решение

Изваждаме константата -1 за знака на производната и от таблицата на производните намираме:
;
От таблицата на производните намираме:
.

Прилагаме формулата за производната на сложна функция:
.
Тук .

Отговор

По-сложни примери

В по-сложни примери прилагаме правилото за диференциране на съставната функция няколко пъти. При това изчисляваме производната от края. Това означава, че разбиваме функцията на нейните съставни части и намираме производните на най-простите части, използвайки производна таблица. Ние също кандидатстваме правила за диференциране на суми, продукти и фракции . След това правим замествания и прилагаме формулата за производната на комплексна функция.

Пример 4

Намерете производната
.

Решение

Избираме най-простата част от формулата и намираме нейната производна. .

.
Тук сме използвали нотацията
.

Намираме производната на следващата част от оригиналната функция, прилагайки получените резултати. Прилагаме правилото за диференциране на сумата:
.

Още веднъж прилагаме правилото за диференциране на сложна функция.

.
Тук .

Отговор

Пример 5

Намерете производната на функция
.

Решение

Избираме най-простата част от формулата и намираме нейната производна от таблицата на производните. .

Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция.
.
Тук
.

На който анализирахме най-простите производни, а също така се запознахме с правилата за диференциране и някои техники за намиране на производни. По този начин, ако не сте много добри с производните на функциите или някои точки от тази статия не са напълно ясни, тогава първо прочетете горния урок. Моля, настройте се на сериозно настроение - материалът не е лесен, но все пак ще се опитам да го представя просто и ясно.

На практика се налага да се справяте с производната на сложна функция много често, дори бих казал почти винаги, когато ви се поставят задачи за намиране на производни.

Разглеждаме в таблицата правилото (№ 5) за диференциране на сложна функция:

Разбираме. Първо, нека да разгледаме нотацията. Тук имаме две функции - и , а функцията, образно казано, е вложена във функцията. Функция от този вид (когато една функция е вложена в друга) се нарича сложна функция.

Ще извикам функцията външна функция, и функцията – вътрешна (или вложена) функция.

! Тези дефиниции не са теоретични и не трябва да се появяват в окончателния дизайн на заданията. Използвам неформалните изрази "външна функция", "вътрешна" функция само за да ви улесня в разбирането на материала.

За да изясните ситуацията, помислете за:

Пример 1

Намерете производната на функция

Под синуса имаме не само буквата "x", а целия израз, така че намирането на производната веднага от таблицата няма да работи. Също така забелязваме, че е невъзможно да се приложат първите четири правила тук, изглежда има разлика, но факт е, че е невъзможно да се „разкъса“ синусът:

В този пример, вече от моите обяснения, интуитивно е ясно, че функцията е сложна функция, а полиномът е вътрешна функция (вграждане) и външна функция.

Първа стъпка, което трябва да се извърши при намиране на производната на сложна функция е to разберете коя функция е вътрешна и коя е външна.

В случай на прости примери изглежда ясно, че полиномът е вложен под синуса. Но какво ще стане, ако не е очевидно? Как точно да определим коя функция е външна и коя вътрешна? За да направите това, предлагам да използвате следната техника, която може да се извърши умствено или на чернова.

Нека си представим, че трябва да изчислим стойността на израза с калкулатор (вместо едно може да има произволно число).

Какво изчисляваме първо? Преди всичкоще трябва да извършите следното действие: , така че полиномът ще бъде вътрешна функция:

Второще трябва да намерите, така че синусът - ще бъде външна функция:

След като ние РАЗБЕРЕТЕс вътрешни и външни функции е време да приложим правилото за диференциране на съставните функции .

Започваме да решаваме. От урока Как да намеря производната?помним, че дизайнът на решението на всяка производна винаги започва така - поставяме израза в скоби и поставяме черта в горния десен ъгъл:

Първонамираме производната на външната функция (синус), погледнете таблицата с производните на елементарните функции и забележете, че . Всички таблични формули са приложими дори ако "x" е заменено със сложен израз, в такъв случай:

Имайте предвид, че вътрешната функция не се е променило, ние не го докосваме.

Е, това е съвсем очевидно

Резултатът от прилагането на формулата чистото изглежда така:

Постоянният фактор обикновено се поставя в началото на израза:

Ако има някакво недоразумение, запишете решението на хартия и прочетете отново обясненията.

Пример 2

Намерете производната на функция

Пример 3

Намерете производната на функция

Както винаги пишем:

Разбираме къде имаме външна функция и къде вътрешна. За да направим това, се опитваме (умствено или на чернова) да изчислим стойността на израза за . Какво трябва да се направи първо? На първо място, трябва да изчислите на какво е равна основата:, което означава, че полиномът е вътрешна функция:

И едва тогава се извършва експоненция, следователно функцията на мощността е външна функция:

Според формулата , първо трябва да намерите производната на външната функция, в този случай степента. Търсим желаната формула в таблицата:. Пак повтаряме: всяка таблична формула е валидна не само за "x", но и за сложен израз. По този начин резултатът от прилагането на правилото за диференциране на сложна функция следващия:

Отново подчертавам, че когато вземем производната на външната функция, вътрешната функция не се променя:

Сега остава да намерим много проста производна на вътрешната функция и да „разрешем“ малко резултата:

Пример 4

Намерете производната на функция

Това е пример за самостоятелно решаване (отговор в края на урока).

За да затвърдя разбирането за производната на сложна функция, ще дам пример без коментари, опитайте се да го разберете сами, причина, къде е външната и къде е вътрешната функция, защо задачите се решават по този начин?

Пример 5

а) Намерете производната на функция

б) Намерете производната на функцията

Пример 6

Намерете производната на функция

Тук имаме корен и за да се диференцира коренът, той трябва да бъде представен като степен. Така първо привеждаме функцията в правилната форма за диференциране:

Анализирайки функцията, стигаме до заключението, че сборът от три члена е вътрешна функция, а степенуването е външна функция. Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция :

Степента отново се представя като радикал (корен), а за производната на вътрешната функция прилагаме просто правило за диференциране на сумата:

Готов. Можете също да доведете израза до общ знаменател в скоби и да запишете всичко като една дроб. Красиво е, разбира се, но когато се получат тромави дълги производни, по-добре е да не правите това (лесно е да се объркате, да направите ненужна грешка и ще бъде неудобно за учителя да провери).

Пример 7

Намерете производната на функция

Това е пример за самостоятелно решаване (отговор в края на урока).

Интересно е да се отбележи, че понякога вместо правилото за диференциране на сложна функция, може да се използва правилото за диференциране на частно , но такова решение ще изглежда като извращение необичайно. Ето един типичен пример:

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да използвате правилото за диференциране на частното , но е много по-изгодно да се намери производната чрез правилото за диференциране на сложна функция:

Подготвяме функцията за диференциране - изваждаме знака минус на производната и повдигаме косинуса до числителя:

Косинусът е вътрешна функция, степента е външна функция.
Нека използваме нашето правило :

Намираме производната на вътрешната функция, нулираме косинуса обратно:

Готов. В разглеждания пример е важно да не се бъркате в знаците. Между другото, опитайте се да го решите с правилото , отговорите трябва да съвпадат.

Пример 9

Намерете производната на функция

Това е пример за самостоятелно решаване (отговор в края на урока).

Досега разглеждахме случаи, при които имахме само едно вложение в сложна функция. В практическите задачи често можете да намерите производни, където, подобно на кукли за гнездене, една в друга, 3 или дори 4-5 функции са вложени наведнъж.

Пример 10

Намерете производната на функция

Разбираме прикачените файлове на тази функция. Опитваме се да оценим израза с помощта на експерименталната стойност. Как бихме разчитали на калкулатор?

Първо трябва да намерите, което означава, че арксинусът е най-дълбокото гнездене:

След това този арксинус на единството трябва да бъде на квадрат:

И накрая, вдигаме седемте на степен:

Тоест, в този пример имаме три различни функции и две вложени функции, докато най-вътрешната функция е арксинус, а най-външната функция е експоненциалната функция.

Започваме да решаваме

Според правилото първо трябва да вземете производната на външната функция. Разглеждаме таблицата на производните и намираме производната на експоненциалната функция: Единствената разлика е, че вместо "x" имаме сложен израз, който не отрича валидността на тази формула. И така, резултатът от прилагането на правилото за диференциране на сложна функция следващия.

Определение.Нека функцията $y = f(x) $ е дефинирана в някакъв интервал, съдържащ точката $x_0 $ вътре. Нека увеличим $\Delta x $ към аргумента, за да не напуснем този интервал. Намерете съответното увеличение на функцията $\Delta y $ (при преминаване от точка $x_0 $ към точка $x_0 + \Delta x $) и съставете релацията $\frac(\Delta y) )(\Delta x) $. Ако има граница на тази връзка при $\Delta x \rightarrow 0 $, тогава посочената граница се нарича производна функция$y=f(x) $ в точката $x_0 $ и означаваме $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Символът y често се използва за обозначаване на производната. Имайте предвид, че y" = f(x) е нова функция, но естествено свързана с функцията y = f(x), дефинирана във всички точки x, в които съществува горната граница. Тази функция се извиква така: производна на функцията y \u003d f (x).

Геометричното значение на производнатасе състои от следното. Ако допирателна, която не е успоредна на оста y, може да бъде начертана към графиката на функцията y = f (x) в точка с абсцисата x = a, тогава f (a) изразява наклона на допирателната:
$k = f"(a)$

Тъй като $k = tg(a) $, равенството $f"(a) = tg(a) $ е вярно.

И сега ние тълкуваме определението на производната от гледна точка на приблизителни равенства. Нека функцията $y = f(x) $ има производна в определена точка $x $:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Това означава, че близо до точката x, приблизителното равенство $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, т.е. $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax$. Смисловото значение на полученото приблизително равенство е следното: приращението на функцията е „почти пропорционално” на приращението на аргумента, а коефициентът на пропорционалност е стойността на производната в дадена точка x. Например, за функцията $y = x^2 $ приблизителното равенство $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ е вярно. Ако внимателно анализираме дефиницията на производната, ще открием, че тя съдържа алгоритъм за намирането й.

Нека го формулираме.

Как да намерим производната на функцията y \u003d f (x)?

1. Фиксирайте стойността $x $, намерете $f(x) $
2. Увеличете аргумента $x $ $\Delta x $, преместете се до нова точка $x+ \Delta x $, намерете $f(x+ \Delta x) $
3. Намерете приращението на функцията: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Съставете релацията $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Изчислете $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Тази граница е производна на функцията в x.

Ако функцията y = f(x) има производна в точка x, тогава тя се нарича диференцируема в точка x. Извиква се процедурата за намиране на производната на функцията y \u003d f (x). диференциацияфункции y = f(x).

Нека обсъдим следния въпрос: как са свързани непрекъснатостта и диференцируемостта на функция в точка?

Нека функцията y = f(x) е диференцируема в точката x. Тогава може да се начертае допирателна към графиката на функцията в точката M (x; f (x)) и, припомнете си, наклонът на допирателната е равен на f "(x). Такава графика не може да се "счупи" при точката M, т.е. функцията трябва да е непрекъсната в x.

Това беше разсъждение "на пръсти". Нека представим по-строг аргумент. Ако функцията y = f(x) е диференцируема в точката x, тогава приблизителното равенство $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $ е валидно. нула, тогава \(\Delta y \ ) също ще клони към нула и това е условието за непрекъснатост на функцията в дадена точка.

Така, ако функцията е диференцируема в точка x, тогава тя също е непрекъсната в тази точка.

Обратното не е вярно. Например: функция y = |x| е непрекъсната навсякъде, по-специално в точката x = 0, но допирателната към графиката на функцията в „точката на свързване“ (0; 0) не съществува. Ако в даден момент е невъзможно да се начертае допирателна към графиката на функцията, тогава няма производна в тази точка.

Още един пример. Функцията $y=\sqrt(x) $ е непрекъсната на цялата числова права, включително в точката x = 0. И допирателната към графиката на функцията съществува във всяка точка, включително в точката x = 0 Но в този момент допирателната съвпада с оста y, тоест тя е перпендикулярна на оста на абсцисата, нейното уравнение има формата x \u003d 0. Няма наклон за такава права линия, което означава, че \ ( f "(0) \) също не съществува

И така, се запознахме с ново свойство на функция - диференцируемост. Как можете да разберете дали една функция е диференцирана от графиката на функция?

Отговорът всъщност е даден по-горе. Ако в даден момент може да се начертае допирателна към графиката на функция, която не е перпендикулярна на оста x, тогава в този момент функцията е диференцируема. Ако в даден момент допирателната към графиката на функцията не съществува или е перпендикулярна на оста x, тогава в този момент функцията не е диференцируема.

Правила за диференциране

Операцията за намиране на производната се нарича диференциация. Когато извършвате тази операция, често трябва да работите с частни, суми, произведения на функции, както и с "функции на функции", тоест сложни функции. Въз основа на дефиницията на производната можем да изведем правила за диференциране, които улесняват тази работа. Ако C е постоянно число и f=f(x), g=g(x) са някои диференцируеми функции, тогава следното е вярно правила за диференциация:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \вдясно) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Производна на съставната функция:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Таблица на производните на някои функции

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = ax^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $