Тази статия е събрала първоначална информация за системите от неравенства. Тук даваме дефиниция на система от неравенства и дефиниция на решение на система от неравенства. Той също така изброява основните типове системи, с които най-често трябва да работите в уроците по алгебра в училище, и са дадени примери.

Навигация в страницата.

Какво е система от неравенства?

Удобно е да се дефинират системи от неравенства по същия начин, както въведохме дефиницията на система от уравнения, тоест според вида на записа и значението, заложено в него.

Определение.

Система от неравенствае запис, представляващ определен брой неравенства, записани едно под друго, обединени отляво с къдрава скоба и обозначаващи множеството от всички решения, които са едновременно решения на всяко неравенство на системата.

Нека дадем пример за система от неравенства. Вземете две произволни, например, 2 x−3>0 и 5−x≥4 x−11, запишете ги един под друг
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
и се обединим със знака на системата - къдрава скоба, в резултат получаваме система от неравенства със следната форма:

По същия начин се дава идея за системите от неравенства в училищните учебници. Струва си да се отбележи, че определенията в тях са дадени по-тясно: за неравенства с една променлива или с две променливи.

Основните видове системи от неравенства

Ясно е, че има безкрайно много различни системи от неравенства. За да не се изгубите в това разнообразие, препоръчително е да ги разгледате в групи, които имат свои собствени отличителни черти. Всички системи от неравенства могат да бъдат разделени на групи според следните критерии:

по броя на неравенствата в системата;
по броя на променливите, участващи в записа;
от естеството на неравенствата.

Според броя на неравенствата, включени в записа, се разграничават системи от две, три, четири и т.н. неравенства. В предишния параграф дадохме пример за система, която е система от две неравенства. Нека покажем друг пример за система от четири неравенства .

Отделно казваме, че няма смисъл да говорим за система от едно неравенство, в този случай всъщност говорим за самото неравенство, а не за системата.

Ако погледнете броя на променливите, тогава има системи от неравенства с едно, две, три и т.н. променливи (или, както се казва, неизвестни). Вижте последната система от неравенства, написана два абзаца по-горе. Това е система с три променливи x, y и z. Забележете, че първите й две неравенства не съдържат трите променливи, а само една от тях. В контекста на тази система те трябва да се разбират като неравенства с три променливи от вида x+0 y+0 z≥−2 и 0 x+y+0 z≤5, съответно. Имайте предвид, че училището се фокусира върху неравенствата с една променлива.

Остава да обсъдим какви видове неравенства са включени в системите за писане. В училище те разглеждат основно системи от две неравенства (по-рядко - три, още по-рядко - четири или повече) с една или две променливи, като самите неравенства обикновено са целочислени неравенствапърва или втора степен (по-рядко - по-високи степени или дробно рационални). Но не се учудвайте, ако в подготвителните материали за OGE срещнете системи от неравенства, съдържащи ирационални, логаритмични, експоненциални и други неравенства. Като пример представяме системата от неравенства , то е взето от .

Какво е решението на система от неравенства?

Въвеждаме още едно определение, свързано със системите от неравенства - дефиницията на решение на система от неравенства:

Определение.

Решаване на система от неравенства с една променливатакава стойност на променлива се нарича, която превръща всяко от неравенствата на системата в истина, с други думи, е решението на всяко неравенство на системата.

Нека обясним с пример. Да вземем система от две неравенства с една променлива. Да вземем стойността на променливата x равна на 8 , тя е решение на нашата система от неравенства по дефиниция, тъй като заместването й в неравенствата на системата дава две правилни числови неравенства 8>7 и 2−3 8≤0 . Напротив, единицата не е решение на системата, тъй като когато се замени с променливата x, първото неравенство ще се превърне в неправилно числово неравенство 1>7 .

По подобен начин можем да въведем дефиницията на решение на система от неравенства с две, три или повече променливи:

Определение.

Решаване на система от неравенства с две, три и т.н. променливинаречена двойка, тройка и т.н. стойности на тези променливи, което едновременно е решение на всяко неравенство на системата, тоест превръща всяко неравенство на системата в истинско числово неравенство.

Например, двойка стойности x=1, y=2 или в друга нотация (1, 2) е решение на система от неравенства с две променливи, тъй като 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Системите от неравенства може да нямат решения, да имат краен брой решения или да имат безкрайно много решения. Често се говори за набор от решения на система от неравенства. Когато една система няма решения, тогава има празен набор от нейни решения. Когато има краен брой решения, тогава множеството от решения съдържа краен брой елементи, а когато има безкрайно много решения, тогава множеството от решения се състои от безкраен брой елементи.

Някои източници въвеждат определения за конкретно и общо решение на система от неравенства, както например в учебниците на Мордкович. Под конкретно решение на системата от неравенстваразберете едно единствено решение. На свой ред общо решение на системата от неравенства- това са всички нейни лични решения. Тези термини обаче имат смисъл само когато се изисква да се подчертае кое решение се обсъжда, но обикновено това вече е ясно от контекста, така че е много по-често просто да се казва „решение на система от неравенства“.

От дефинициите на система от неравенства и нейните решения, въведени в тази статия, следва, че решението на система от неравенства е пресечната точка на множествата от решения на всички неравенства на тази система.

Библиография.

алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
алгебра: 9 клас: учебник. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Мордкович А.Г.алгебра. 9 клас В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13-то изд., ст. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
Мордкович А.Г.Алгебра и начало на математическия анализ. 11 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции (профилно ниво) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
ИЗПОЛЗВАЙТЕ-2013. Математика: типични изпитни варианти: 30 варианта / изд. А. Л. Семенова, И. В. Яшченко. - М .: Издателство "Национално образование", 2012. - 192 с. - (ПОЛЗ-2013. ФИПИ - училище).

Днес в урока ще обобщим знанията си за решаване на системи от неравенства и ще изучим решението на набор от системи от неравенства.

Определение едно.

Казва се, че няколко неравенства с една променлива образуват система от неравенства, ако задачата е да се намерят всички общи решения на дадените неравенства.

Стойността на променливата, при която всяко от неравенствата на системата се превръща в истинско числово неравенство, се нарича конкретно решение на системата от неравенства.

Множеството от всички частни решения на система от неравенства е общо решение на система от неравенства (по-често те просто казват решение на система от неравенства).

Да се реши система от неравенства означава да се намерят всички нейни конкретни решения или да се докаже, че тази система няма решения.

Помня! Решението на система от неравенства е пресечната точка на решенията на неравенствата, включени в системата.

Включените в системата неравенства се комбинират с къдрава скоба.

Алгоритъм за решаване на система от неравенства с една променлива:

Първото е да решим всяко неравенство поотделно.

Второто е да се намери пресечната точка на намерените решения.

Това пресичане е множеството от решения на системата от неравенства

Упражнение 1

Решете системата от неравенства седем х минус четиридесет две по-малко или равно на нула и две х минус седем по-големи от нула.

Решението на първото неравенство - x е по-малко или равно на шест, второто неравенство - x е по-голямо от седем секунди. Маркираме тези празнини на координатната линия. Решението на първото неравенство се маркира със щриховане отдолу, решението на второто неравенство се маркира със щриховане отгоре. Решението на системата от неравенства ще бъде пресечната точка на решенията на неравенствата, тоест интервалът, на който и двете щриховки съвпадат. В резултат на това получаваме половин интервал от седем секунди до шест, включително шест.

Задача 2

Решете системата от неравенства: x на квадрат плюс x минус шест е по-голямо от нула и x на квадрат плюс x плюс шест е по-голямо от нула.

Решение

Нека решим първото неравенство - x на квадрат плюс x минус шест е по-голямо от нула.

Помислете за функцията y е равно на x на квадрат плюс x минус шест. Нули на функцията: първото х е равно на минус три, второто х е равно на две. Изобразявайки схематично парабола, откриваме, че решението на първото неравенство е обединението на отворени числови лъчи от минус безкрайност до минус три и от две до плюс безкрайност.

Нека решим второто неравенство на системата x квадрат плюс x плюс шест по-голямо от нула.

Помислете за функцията y е равно на x на квадрат плюс x плюс шест. Дискриминантът е минус двадесет и три по-малък от нула, което означава, че функцията няма нули. Параболата няма общи точки с оста x. Изобразявайки схематично парабола, откриваме, че решението на неравенството е множеството от всички числа.

Нека изобразим върху координатната права решенията на неравенствата на системата.

От фигурата се вижда, че решението на системата е обединението на отворени числови лъчи от минус безкрайност до минус три и от два до плюс безкрайност.

Отговор: обединението на отворени числови лъчи от минус безкрайност до минус три и от две до плюс безкрайност.

Помня! Ако в система от няколко неравенства едно е следствие от друго (или други), тогава неравенството-следствие може да бъде отхвърлено.

Помислете за пример за решаване на неравенство чрез система.

Задача 3

Решете логаритъма на неравенството на израза x квадрат минус тринадесет x плюс четиридесет и две основа, две по-големи или равни на едно.

Решение

Неравенството на ODZ е дадено от x на квадрат минус тринадесет x плюс четиридесет два по-голямо от нула. Нека представим числото едно като логаритъм на две основи две и получаваме неравенството - логаритъмът на израза x квадрат минус тринадесет x плюс четиридесет две основи две е по-голям или равен на логаритъма на две основи две.

Виждаме, че основата на логаритъма е равна на две повече от едно, тогава стигаме до еквивалентното неравенство x квадрат минус тринадесет x плюс четиридесет две е по-голямо или равно на две. Следователно решението на това логаритмично неравенство се свежда до решението на система от две квадратни неравенства.

Освен това е лесно да се види, че ако второто неравенство е изпълнено, толкова повече е удовлетворено първото неравенство. Следователно първото неравенство е следствие от второто и може да бъде отхвърлено. Преобразуваме второто неравенство и го записваме във вида: x квадрат минус тринадесет x плюс четиридесет повече от нула. Неговото решение е обединението на два числови лъча от минус безкрайност до пет и от осем до плюс безкрайност.

Отговор: обединението на два числови лъча от минус безкрайност до пет и от осем до плюс безкрайност.

отворени числови лъчи

Определение две.

Казва се, че няколко неравенства с една променлива образуват набор от неравенства, ако задачата е да се намерят всички такива стойности на променливата, всяка от които е решение на поне едно от дадените неравенства.

Всяка такава стойност на променлива се нарича конкретно решение на множеството от неравенства.

Множеството от всички частни решения на множеството от неравенства е общо решение на набор от неравенства.

Помня! Решението на набор от неравенства е обединението на решенията на неравенствата, включени в множеството.

Включените в комплекта неравенства се обединяват с квадратна скоба.

Алгоритъм за решаване на набор от неравенства:

Първото е да решим всяко неравенство поотделно.

Второто е да се намери обединението на намерените решения.

Този съюз е решението на множеството неравенства.

Задача 4

нулева точка две десети, умножени по разликата от две x и три, е по-малко от x минус две;

пет х минус седем е по-голямо от х минус шест.

Решение

Нека трансформираме всяко едно от неравенствата. Получаваме еквивалентен комплект

x е по-голямо от седем трети;

x е по-голямо от една четвърт.

За първото неравенство множеството от решения е интервалът от седем трети до плюс безкрайност, а за второто интервалът от една четвърта до плюс безкрайност.

Начертайте върху координатната линия набор от числа, които отговарят на неравенствата x е по-голямо от седем трети и x е по-голямо от една четвърт.

Откриваме, че обединението на тези множества, т.е. решението на този набор от неравенства е отворен числов лъч от една четвърт до плюс безкрайност.

Отговор: отворен числов лъч от една четвърт до плюс безкрайност.

Задача 5

Решете набор от неравенства:

две х минус едно е по-малко от три и три х минус две е по-голямо или равно на десет.

Решение

Нека трансформираме всяко едно от неравенствата. Получаваме еквивалентен набор от неравенства: x е по-голямо от две и x е по-голямо или равно на четири.

Начертайте върху координатната права множеството от числа, които отговарят на тези неравенства.

Откриваме, че обединението на тези множества, т.е. решението на този набор от неравенства е отворен числов лъч от две до плюс безкрайност.

Отговор: отворен числов лъч от две до плюс безкрайност.

1. Концепцията за неравенство с една променлива

2. Еквивалентни неравенства. Теореми за еквивалентност за неравенства

3. Решаване на неравенства с една променлива

4. Графично решение на неравенства с една променлива

5. Неравенства, съдържащи променлива под знака на модула

6. Основни констатации

Неравенства с една променлива

Оферти 2 х + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 се наричат неравенства с една променлива.

Като цяло това понятие се дефинира, както следва:

Определение. Нека f(x) и g(x) са два израза с променлива x и област X. Тогава неравенство от формата f(x) > g(x) или f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.

Стойност на променливата хот много х,при което неравенството се превръща в истинско числово неравенство, се нарича негово решение.Решаването на неравенство означава намиране на множеството от неговите решения.

По този начин, чрез решаване на неравенство 2 х + 7 > 10 -x, x? Ре числото х= 5, тъй като 2 5 + 7 > 10 - 5 е истинско числово неравенство. А множеството от неговите решения е интервалът (1, ∞), който се намира чрез извършване на трансформацията на неравенството: 2 х + 7 > 10-х => 3х >3 => х >1.

Еквивалентни неравенства. Теореми за еквивалентност за неравенства

Концепцията за еквивалентност е в основата на решението на неравенствата с една променлива.

Определение. Две неравенства се казват, че са еквивалентни, ако техните множества от решения са равни.

Например, неравенства 2 х+ 7 > 10 и 2 х> 3 са еквивалентни, тъй като техните множества от решения са равни и представляват интервала (2/3, ∞).

Теоремите за еквивалентността на неравенствата и техните последствия са подобни на съответните теореми за еквивалентността на уравненията. При доказването им се използват свойствата на истинските числови неравенства.

Теорема 3.Нека неравенството f(x) > g(x)поставен на снимачната площадка хи з(х) е израз, дефиниран в същия набор. След това неравенствата f(x) > g(x) и f(x) + h(x) > g(x) + h(x)са еквивалентни на комплекта х.

От тази теорема следват последствия, които често се използват при решаване на неравенства:

1) Ако и двете страни на неравенството f(x) > g(x)добавете същото число д,тогава получаваме неравенството f(x) + d > g(x) + d,еквивалентен на оригинала.

2) Ако някой член (числов или израз с променлива) се прехвърли от една част на неравенството в друга, променяйки знака на термина на противоположния, тогава получаваме неравенство, еквивалентно на даденото.

Теорема 4.Нека неравенството f(x) > g(x)поставен на снимачната площадка хи з(х хот много хизразяване h(x)приема положителни стойности. След това неравенствата f(x) > g(x) и f(x) h(x) > g(x) h(x)са еквивалентни на комплекта х.

f(x) > g(x)умножете по същото положително число д,тогава получаваме неравенството f(x) d > g(x) d,еквивалентен на този.

Теорема 5.Нека неравенството f(x) > g(x)поставен на снимачната площадка хи з(х) е израз, дефиниран в едно и също множество и за всички хтяхното множество хизразяване з(х) приема отрицателни стойности. След това неравенствата f(x) > g(x) и f(x) h(x) > g(x) h(x)са еквивалентни на комплекта х.

Следствието следва от тази теорема: ако и двете страни на неравенството f(x) > g(x)умножете по същото отрицателно число ди обръщаме знака на неравенството, получаваме неравенството f(x) d > g(x) d,еквивалентен на този.

Решаване на неравенства с една променлива

Нека решим неравенство 5 х - 5 < 2х - 16, х? Р, и обосновете всички трансформации, които ще извършим в процеса на решаване.

Решение на неравенството х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5х - 5 < 2x + 16 е интервалът (-∞, 7).

Упражнения

1. Определете кои от следните записи са неравенства с една променлива:

а) -12 - 7 х< 3х+ 8; г) 12 х + 3(х- 2);

б) 15( х+ 2)>4; д) 17-12 8;

в) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3х-4> 0.

2. Дали числото 3 е решение на неравенството 6 (2x + 7) < 15(х + 2), х? Р? А числото 4.25?

3. Еквивалентни ли са следните двойки неравенства на множество реални числа:

а) -17 х< -51 и х > 3;

б) (3 х-1)/4 >0 и 3 х-1>0;

в) 6-5 х>-4 и х<2?

4. Кое от следните твърдения е вярно:

а) -7 х < -28 => х>4;

б) х < 6 => х < 5;

в) х< 6 => х< 20?

5. Решете неравенство 3( х - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2 и обосновете всички трансформации, които ще извършите в този случай.

6. Докажете, че решението на неравенството 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2х) е всяко реално число.

7. Докажете, че няма реално число, което би било решение на неравенството 3(2 - х) - 2 > 5 - 3х.

8. Едната страна на триъгълника е 5 см, а другата е 8 см. Каква може да бъде дължината на третата страна, ако периметърът на триъгълника е:

а) по-малко от 22 см;

б) повече от 17 см?

ГРАФИЧНО РЕШЕНИЕ НА НЕРАВЕНСТВА С ЕДНА ПРОМЕНА.За графично решение на неравенството f(x) > g(x)трябва да се начертаят функционални графики

y = f(x) = g(x)и изберете онези интервали на оста на абсцисата, върху които е графиката на функцията y = f(x)разположен над графиката на функцията y \u003d g(x).

Пример 17.8.Решете графично неравенство х 2- 4 > 3Х.

Y - x * - 4

Решение.Нека построим графики на функции в една координатна система

y = x 2 - 4 и y= Zx (фиг. 17.5). От фигурата се вижда, че графиките на функциите в= х 2- 4 се намира над графиката на функцията y \u003d 3 хв х< -1 и x > 4, т.е. множеството от решения на първоначалното неравенство е множеството

(- ¥; -1) È (4; + оо) .

Отговор: x O(-оо; -1) и ( 4; +оо).

Графика на квадратична функция в= ax 2 + bx + cе парабола с клони, сочещи нагоре, ако а > 0 и надолу, ако а< 0. В този случай са възможни три случая: параболата пресича оста ох(т.е. уравнението ах 2+ bx+ c = 0 има два различни корена); параболата докосва оста х(т.е. уравнението брадва 2 + bx+ c = 0 има един корен); параболата не пресича оста ох(т.е. уравнението ах 2+ bx+ c = 0 няма корени). По този начин има шест възможни позиции на параболата, която служи като графика на функцията y \u003d ах 2+b x + c(фиг. 17.6). Използвайки тези илюстрации, човек може да реши квадратни неравенства.

Пример 17.9.Решете неравенството: а) 2 x r+ 5x - 3 > 0; б) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.

решение,а) Уравнението 2x 2 + 5x -3 \u003d 0 има два корена: x, \u003d -3, х 2 = 0,5 Парабола, служеща като графика на функция в= 2x 2+ 5x -3, показано на фиг. а.Неравенство 2x 2+ 5x -3 > 0 се изпълнява за тези стойности Х,за които точките на параболата лежат над оста о:ще бъде в х< х х или кога х> x r>тези. в х< -3 или в x > 0,5 Следователно, множеството от решения на първоначалното неравенство е множеството (- ¥; -3) и (0,5; + ¥).

б) Уравнение -Zx 2 + 2x- 6 = 0 няма реални корени. Парабола, служеща като графика на функция в= - 3x 2 - 2x - 6 е показано на фиг. 17.6 Неравенство -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях Х,за които точките на параболата лежат под оста ох.Тъй като цялата парабола лежи под оста о,тогава множеството от решения на първоначалното неравенство е множеството R .

НЕРАВЕНСТВА, СЪДЪРЖАЩИ ПРОМЕНА ПОД ЗНАКА МОДУЛ.Когато решавате тези неравенства, имайте предвид, че:

|f(x) | =

f(x), ако f(x) ³ 0,

- f(x), ако f(x) < 0,

В този случай областта на допустимите стойности на неравенството трябва да бъде разделена на интервали, на всеки от които изразите под знака на модула запазват своя знак. След това, разширявайки модулите (като се вземат предвид знаците на изразите), трябва да решите неравенството на всеки интервал и да комбинирате получените решения в набор от решения на първоначалното неравенство.

Пример 17.10.Решете неравенството:

|x -1| + |2-x| > 3+x.

Решение. Точките x = 1 и x = 2 разделят реалната ос (ODZ на неравенството (17.9) на три интервала: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Нека решим това неравенство върху всяко от тях. Ако x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; така че |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - х. Следователно неравенството (17.9) приема формата: 1- x + 2 - x > 3 + x, т.е. х< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Ако 1 £ x £.2, тогава x - 1 ³ 0 и 2 - x ³ 0; следователно | x-1| = x - 1, |2 - x| = 2 - х. .И така, има система:

x - 1 + 2 - x > 3 + x,

Получената система от неравенства няма решения. Следователно на интервала [ 1; 2], множеството от решения на неравенство (17.9) е празно.

Ако x > 2, тогава x - 1 > 0 и 2 - x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x - 2 > 3 + x,

x > 6 или

Комбинирайки намерените решения на всички части на ОДЗ на неравенство (17.9), получаваме неговото решение - множеството (-¥; 0) È (6; + oo).

Понякога е полезно да се използва геометричната интерпретация на модула на реално число, според която | а | означава разстоянието на точката a на координатната права от началото O и | а - б | означава разстоянието между точките a и b на координатната права. Като алтернатива можете да използвате метода за квадратура на двете страни на неравенството.

Теорема 17.5. Ако изрази f(x) и g(x)за всяко х се вземат само неотрицателни стойности, тогава неравенствата f(x) > g(x)и f (x) ² > g (x) ²са еквивалентни.

58. Основни изводи § 12

В този раздел сме дефинирали следното понятия:

Числово изразяване;

Стойността на числов израз;

Израз, който няма смисъл;

Израз с променлива(и);

Обхват на изразяване;

идентично равни изрази;

самоличност;

Преобразуване на идентичност на израз;

Числово равенство;

Числово неравенство;

Уравнение с една променлива;

Корен на уравнението;

Какво означава да решиш уравнение;

Еквивалентни уравнения;

Неравенство с една променлива;

Решение на неравенството;

Какво означава да се реши неравенство;

Еквивалентни неравенства.

Освен това разгледахме теореми за еквивалентността на уравненията и неравенствата, които са в основата на тяхното решение.

Познаването на дефинициите на всички горепосочени понятия и теореми за еквивалентността на уравненията и неравенствата е необходимо условие за методично компетентно изучаване на алгебричен материал с по-малките ученици.

Програмата за решаване на линейни, квадратни и дробни неравенства не просто дава отговор на задачата, тя дава подробно решение с обяснения, т.е. показва процеса на решаване с цел проверка на знанията по математика и/или алгебра.

Освен това, ако в процеса на решаване на едно от неравенствата е необходимо да се реши, например, квадратно уравнение, тогава се показва и неговото подробно решение (включено е в спойлера).

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията при подготовка за тестове, родители, за да контролират решаването на неравенства от техните деца.

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията при подготовка за тестове и изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете преподавател или да купите нови учебници? Или просто искате да направите домашното си по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучението на вашите по-малки братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на задачите, които трябва да се решават.

Правила за въвеждане на неравенства

Всяка латинска буква може да действа като променлива.
Например: $x, y, z, a, b, c, o, p, q $ и т.н.

Числата могат да се въвеждат като цели числа или дроби.
Освен това дробните числа могат да бъдат въведени не само под формата на десетична, но и под формата на обикновена дроб.

Правила за въвеждане на десетични дроби.
При десетичните дроби дробната част от цялото число може да бъде разделена с точка или запетая.
Например, можете да въведете десетични знаци по следния начин: 2,5x - 3,5x^2

Правила за въвеждане на обикновени дроби.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част на дроб.

Знаменателят не може да бъде отрицателен.

При въвеждане на числова дроб числителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
Цялата част се отделя от дроба с амперсанд: &
Вход: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Резултат: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 $

При въвеждане на изрази могат да се използват скоби. В този случай при решаване на неравенството първо се опростяват изразите.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Изберете желания знак за неравенство и въведете полиномите в полетата по-долу.

Решете системата от неравенства

Установено е, че някои скриптове, необходими за решаване на тази задача, не са се заредили и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

Имате деактивиран JavaScript във вашия браузър.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

Защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля изчакайте сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачати решаваш какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Системи от неравенства с едно неизвестно. Цифрови интервали

Запознахте се с понятието система в 7. клас и се научихте да решавате системи от линейни уравнения с две неизвестни. След това ще бъдат разгледани системи от линейни неравенства с едно неизвестно. Наборите от решения на системите от неравенства могат да бъдат записани с помощта на интервали (интервали, полуинтервали, сегменти, лъчи). Ще научите и за обозначението на числовите интервали.

Ако в неравенствата $4x > 2000 $ и $5x \leq 4000 $ неизвестното число x е едно и също, тогава тези неравенства се разглеждат заедно и се казва, че образуват система от неравенства: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$

Къдравата скоба показва, че трябва да намерите такива стойности на x, за които и двете неравенства на системата се превръщат в истински числови неравенства. Тази система е пример за система от линейни неравенства с едно неизвестно.

Решението на система от неравенства с едно неизвестно е стойността на неизвестното, при която всички неравенства на системата се превръщат в истински числови неравенства. Да се реши система от неравенства означава да се намерят всички решения на тази система или да се установи, че няма такива.

Неравенствата $x \geq -2 $ и $x \leq 3 $ могат да бъдат записани като двойно неравенство: $-2 \leq x \leq 3 $.

Решенията на системи от неравенства с едно неизвестно са различни числови множества. Тези комплекти имат имена. И така, на реалната ос наборът от числа х такива, че $-2 \leq x \leq 3 $ е представен от сегмент с краища в точки -2 и 3.

-2

Ако \(a е сегмент и се означава с [a; b]

Ако \(интервал и означен с (a; b)

Набори от числа $x $, удовлетворяващи неравенствата \(a \leq x чрез полуинтервали и се означават съответно с [a; b) и (a; b]

Сегменти, интервали, полуинтервали и лъчи се наричат числови интервали.

По този начин числовите интервали могат да бъдат посочени под формата на неравенства.

Решение на неравенство с две неизвестни е двойка числа (x; y), което превръща това неравенство в истинско числово неравенство. Да се реши едно неравенство означава да се намери множеството от всички негови решения. Така че решенията на неравенството x > y ще бъдат, например, двойки числа (5; 3), (-1; -1), тъй като $5 \geq 3 $ и $-1 \geq - 1$

Решаване на системи от неравенства

Вече сте се научили как да решавате линейни неравенства с едно неизвестно. Знайте какво представляват система от неравенства и решение на системата. Следователно процесът на решаване на системи от неравенства с едно неизвестно няма да ви създаде трудности.

И все пак си припомняме: за да решите система от неравенства, трябва да решите всяко неравенство поотделно и след това да намерите пресечната точка на тези решения.

Например, първоначалната система от неравенства беше сведена до вида:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

За да решите тази система от неравенства, маркирайте решението на всяко неравенство върху реалната ос и намерете тяхното пресичане:

-2

Пресечната точка е отсечката [-2; 3] - това е решението на оригиналната система от неравенства.

Тема на урока: Решаване на система от линейни неравенства с една променлива

Датата: _______________

Клас: 6a, 6b, 6c

Тип урок:усвояване на нов материал и първична консолидация.

Дидактическа цел:създават условия за разбиране и разбиране на блока от нова образователна информация.

Цели: 1) Образователни:въвеждат понятия: решение на системи от неравенства, еквивалентни системи от неравенства и техните свойства; научете как да прилагате тези понятия при решаване на най-простите системи от неравенства с една променлива.

2) Разработване:да насърчава развитието на елементи на творческа, самостоятелна дейност на учениците; развива речта, способността да мисли, анализира, обобщава, изразява мислите си ясно, кратко.

3) Образователни:възпитаване на уважително отношение един към друг и отговорно отношение към възпитателната работа.

задачи:

повторете теорията по темата за числовите неравенства и числовите пропуски;

дайте пример за задача, която се решава чрез система от неравенства;

разгледат примери за решаване на системи от неравенства;

извършват самостоятелна работа.

Форми на организация на образователните дейности:- фронтално - колективно - индивидуално.

методи:обяснително - илюстративно.

План на урока:

1. Организационен момент, мотивация, целеполагане

2. Актуализиране на изучаването на темата

3. Усвояване на нов материал

4. Първична фиксация и нанасяне на нов материал

5. Вършете собствената си работа

7. Обобщаване на урока. Отражение.

По време на часовете:

1. Организационен момент

Неравенството може да бъде добър помощник. Просто трябва да знаете кога да се обадите за помощ. Езикът на неравенствата често се използва за формулиране на проблеми в много приложения на математиката. Например, много икономически проблеми се свеждат до изучаването на системите от линейни неравенства. Ето защо е важно да можете да решавате системи от неравенства. Какво означава „решаване на системата от неравенства“? Това е, което ще разгледаме в днешния урок.

2. Актуализация на знанията.

устна работас класа трима ученици работят по индивидуални карти.

За да повторим теорията на темата "Неравенствата и техните свойства", ще проведем тестване, последвано от тест и разговор по теорията на тази тема. Всяка тестова задача включва отговор "Да" - фигура, "Не" - фигура ____

В резултат на теста трябва да се получи някаква цифра.

(отговор: ).

Установете съответствие между неравенството и числената разлика

1. (– ; – 0,3)

2. (3; 18)

3. [ 12; + )

4. (– 4; 0]

5. [ 4; 12]

6. [ 2,5; 10)

"Математиката ни учи да преодоляваме трудностите и да коригираме собствените си грешки."Намерете грешка при решаването на неравенството, обяснете защо е допусната грешката, запишете правилното решение в тетрадката си.

2x<8-6

x>-1

3. Усвояване на нов материал.

Какво според вас се нарича решение на система от неравенства?

(Решението на система от неравенства с една променлива е стойността на променливата, за която всяко от неравенствата на системата е вярно)

Какво означава "Решаване на система от неравенства"?

(Да решиш система от неравенства означава да намериш всичките й решения или да докажеш, че няма решения)

Какво трябва да се направи, за да се отговори на въпроса „Дали е даденото число

решение на система от неравенства?

(Заменете това число и в двете неравенства на системата, ако се получат верни неравенства, тогава даденото число е решение на системата от неравенства, ако се получат неправилни неравенства, тогава даденото число не е решение на системата от неравенства)

Формулирайте алгоритъм за решаване на системи от неравенства

1. Решете всяко неравенство от системата.

2. Начертайте графично решенията на всяко неравенство върху координатната права.

3. Намерете пресечната точка на решенията на неравенствата върху координатната права.

4. Запишете отговора като числов интервал.

Помислете за примери:

Отговор:

Отговор: няма решение

4. Оправяне на темата.

Работа с учебник No 1016, No 1018, No 1022

5. Самостоятелна работапо опции (Карти-задачи за ученици на масите)

Самостоятелна работа

Опция 1

Решете системата от неравенства: