Проблемите с аритметичната прогресия съществуват от древни времена. Те се появиха и поискаха решение, защото имаха практическа нужда.

И така, в един от папирусите на Древен Египет, който има математическо съдържание - папирусът на Ринд (XIX век пр. н. е.) - съдържа следната задача: разделете десет мерки хляб на десет души, при условие че разликата между всеки от тях е една осма част от мярката.

А в математическите трудове на древните гърци има елегантни теореми, свързани с аритметичната прогресия. И така, Хипсикъл от Александрия (2-ри век, който състави много интересни задачи и добави четиринадесетата книга към „Елементите” на Евклид), формулира идеята: „В аритметична прогресия с четен брой членове, сборът от членовете от 2-ра половина е по-голям от сбора на членовете на 1-ви на квадрат 1 / 2 членове.

Последователността an е обозначена. Номерата на поредицата се наричат нейни членове и обикновено се обозначават с букви с индекси, които показват поредния номер на този член (a1, a2, a3 ... той гласи: „a 1st“, „a 2nd“, „a 3rd “ и така нататък).

Последователността може да бъде безкрайна или крайна.

Какво е аритметична прогресия? Тя се разбира като получена чрез добавяне на предишния член (n) със същото число d, което е разликата на прогресията.

Ако d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, тогава такава прогресия се счита за нарастваща.

За една аритметична прогресия се казва, че е крайна, ако се вземат предвид само няколко от първите й члена. С много голям брой членове това вече е безкрайна прогресия.

Всяка аритметична прогресия се дава по следната формула:

an =kn+b, докато b и k са някои числа.

Твърдението, което е обратното, е абсолютно вярно: ако последователността е дадена с подобна формула, тогава това е точно аритметична прогресия, която има свойствата:

Всеки член на прогресията е средноаритметичната стойност на предишния член и следващия.
Обратното: ако, започвайки от 2-ри, всеки член е средноаритметичната стойност на предишния член и следващия, т.е. ако условието е изпълнено, тогава дадената последователност е аритметична прогресия. Това равенство също е знак за прогресия, така че обикновено се нарича характерно свойство на прогресията.
По същия начин, теоремата, която отразява това свойство, е вярна: последователността е аритметична прогресия само ако това равенство е вярно за някой от членовете на последователността, започвайки от 2-ри.

Характеристичното свойство за произволни четири числа от аритметична прогресия може да се изрази с формулата an + am = ak + al, ако n + m = k + l (m, n, k са числата на прогресията).

В аритметична прогресия всеки необходим (N-ти) член може да бъде намерен чрез прилагане на следната формула:

Например: първият член (a1) в аритметична прогресия е даден и е равен на три, а разликата (d) е равна на четири. Трябва да намерите четиридесет и петия член на тази прогресия. a45 = 1+4(45-1)=177

Формулата an = ak + d(n - k) ви позволява да определите n-тия член на аритметична прогресия през който и да е от нейните k-ти член, при условие че е известен.

Сборът от членовете на аритметична прогресия (приемайки 1-ви n членове на крайната прогресия) се изчислява, както следва:

Sn = (a1+an) n/2.

Ако 1-вият член също е известен, тогава друга формула е удобна за изчисляване:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Сумата от аритметична прогресия, която съдържа n члена, се изчислява, както следва:

Изборът на формули за изчисления зависи от условията на задачите и изходните данни.

Естественият ред на произволни числа като 1,2,3,...,n,... е най-простият пример за аритметична прогресия.

Освен аритметичната прогресия има и геометрична, която има свои свойства и характеристики.

Аритметична прогресияназовете последователност от числа (членове на прогресия)

При което всеки следващ термин се различава от предишния със стоманен термин, който също се нарича разлика в стъпката или прогресията.

По този начин, като зададете стъпката на прогресията и нейния първи член, можете да намерите всеки от нейните елементи с помощта на формулата

Свойства на аритметична прогресия

1) Всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от второто число, е средноаритметичната стойност на предишния и следващия член на прогресията

Обратното също е вярно. Ако средноаритметичната стойност на съседните нечетни (четни) членове на прогресията е равна на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. С това твърдение е много лесно да се провери всяка последователност.

Също така чрез свойството на аритметична прогресия, горната формула може да бъде обобщена до следното

Това е лесно да се провери, ако напишем термините вдясно от знака за равенство

Често се използва на практика за опростяване на изчисленията в задачи.

2) Сумата от първите n члена на аритметична прогресия се изчислява по формулата

Запомнете добре формулата за сбора на аритметична прогресия, тя е незаменима при изчисления и е доста често срещана в прости житейски ситуации.

3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от поредицата, започваща от нейния k -ти член, тогава следната формула за сума ще ви бъде полезна

4) От практически интерес е да се намери сборът от n члена на аритметична прогресия, започвайки от k-то число. За да направите това, използвайте формулата

Тук теоретичният материал приключва и преминаваме към решаване на проблеми, които са често срещани в практиката.

Пример 1. Намерете четиридесетия член на аритметичната прогресия 4;7;...

Решение:

Според условието имаме

Определете стъпката на прогресиране

Според добре познатата формула намираме четиридесетия член на прогресията

Пример2. Аритметичната прогресия се дава от третия и седмия член. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.

Решение:

Записваме дадените елементи на прогресията по формулите

Изваждаме първото уравнение от второто, в резултат намираме стъпката на прогресия

Намерената стойност се замества във всяко от уравненията, за да се намери първия член на аритметичната прогресия

Изчислете сумата от първите десет члена на прогресията

Без да прилагаме сложни изчисления, намерихме всички необходими стойности.

Пример 3. Аритметична прогресия се дава от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сбора от неговите 50 члена, започващи от 50, и сбора от първите 100.

Решение:

Нека напишем формулата за стотния елемент от прогресията

и намерете първия

Въз основа на първия намираме 50-ия член на прогресията

Намиране на сумата от частта от прогресията

и сумата от първите 100

Сумата на прогресията е 250.

Пример 4

Намерете броя на членовете на аритметична прогресия, ако:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Решение:

Записваме уравненията по отношение на първия член и стъпката на прогресията и ги дефинираме

Заместваме получените стойности във формулата за сбора, за да определим броя на членовете в сбора

Правене на опростявания

и решете квадратното уравнение

От двете намерени стойности само числото 8 е подходящо за състоянието на проблема. Така сборът от първите осем члена на прогресията е 111.

Пример 5

реши уравнението

1+3+5+...+x=307.

Решение: Това уравнение е сбор от аритметична прогресия. Изписваме първия му член и намираме разликата в прогресията

Примери за аритметична и геометрична прогресиявзето от "Сборник със задачи за кандидати. Математика", публикуван от Волинския държавен университет на името на Леся Украинка през 2001 г. Прочетете внимателно отговорите и изберете най-необходимото за себе си.

Група А (ниво 1)

Пример 1. Изчислете шестия член на аритметичната прогресия 21.3; 22,4; … ,
Решение: Намерете разликата (стъпка) на прогресията
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 22.4-21.3 \u003d 1.1.
След това изчисляваме шестия член на аритметичната прогресия
a 6 = a 1 + (6-1) d = 21,3 + 5 * 1,1 = 26,8.

Пример 2. Изчислете шестия член на геометричната прогресия 5; 10; двадесет; ...
Решение: Намерете знаменателя на геометрична прогресия
q \u003d b 2 / b 1 = 10/5 \u003d 2.
Изчисляваме шестия член на геометрична прогресия
b 6 = b 1 q 6-1 = 5 * 25 = 5 * 32 \u003d 160.

Пример 3. В аритметична прогресия, a 1 = 2.1 a 10 = 12.9. Изчислете разликата в прогресията.
Решение: Нека представим десетия член на прогресията като формула
a 10 \u003d a 1 + (10-1) d \u003d a 1 + 9d.
Заменете известните стойности и решете
12,9=2,1+9d;
9d=12,9-2,1=10,8;
d=10,8/9=1,2.
Отговор: разлика в прогресията d=1,2.

Пример 4. В геометрична прогресия b 1 =2,56; b 4 \u003d 4,42368. Изчислете знаменателя на прогресията.
Решение: Намерете знаменателя на прогресията
q \u003d b 2 / b 1 = 4,42368 / 2,56 = 1,728.
Тук не можете без калкулатор.
Отговор: знаменателят на прогресията е q=1,728.

Пример 5. В аритметична прогресия, a 1 = 20,1, d = 1,3. Изчислете сумата от първите осем члена на прогресията.
Решение: Сборът от аритметичната прогресия се намира по формулата

Извършване на изчисления
S 8 = (2 * 20,1 + (8-1) * 1,3) * 8 / 2 \u003d 197,2.
Отговор: S 8 \u003d 197.2.

Пример 6. В геометрична прогресия b 1 =1,5; q=1,2. Изчислете сумата от първите четири члена на прогресията.
Решение: Сборът от геометричната прогресия се изчислява по формулата

Намиране на сумата от прогресията

Отговор: S 8 \u003d 8.052.

Пример 7. В аритметична прогресия a 1 = 1,35 d = -2,4. Изчислете броя на члена на прогресията, равен на -25,05.
Решение: Член на аритметична прогресия се намира по формулата
a n \u003d a 1 + (n-1) d.
По условие всичко освен редовия номер е известно, ще го намерим
-25,05=1,35+(n-1)(-2,4);

Отговор: n=12.

Пример 8. Изчислете седмия член на прогресията 23.5; 24,82; 26,14; ...
Решение: Тъй като условието не посочва коя прогресия е зададена, първо трябва да го зададете. Вземете тази аритметика
d=a2-a1 = 24.82-23.5=1.32;
d \u003d a 3 -a 2 \u003d 26,14-24,82 \u003d 1,32.
Намиране на седмия член на прогресията
a 7 = a 1 + (7-1) d = 23,5 + 6 * 1,32 = 31,42.
Отговор: a 7 = 31,42.

Пример 9. Изчислете номера на прогресиращия член 2.1; 3.3; 4,5; ... , равно на 11,7 .
Решение: Лесно е да се провери дали е дадена аритметична прогресия. Намиране на разликата в прогресията
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 3.3-2.1 \u003d 1.2.
Според формулата на прогресията
a n \u003d a 1 + (n-1) d
намерете номера
11,7=2,1+(n-1)*1,2;

Отговор: n= 9 .

Пример 10. Изчислете четвъртия член на прогресията 1.5; 1,8; 2,16; ... .
Решение: Без да проверяваме, можем да кажем, че прогресията е геометрична. Намерете знаменателя му
q = b 2 / b 1 = 1, 8 / 1.5 = 1.2.
Изчислете 4-ия член на геометричната прогресия, като използвате формулата
b 4 = b 1 q 3 = 1,5 * 1,2 3 = 2,592.
Отговор: b 4 \u003d 2,592.

Пример 11. Изчислете номера на прогресиращия член 1,2; 1,8; 2,16; ... равно на 4,05.
Решение: Имаме геометрична прогресия. Намерете знаменателя на прогресията
q \u003d b 2 / b 1 = 1, 8 / 1.2 = 1.5.
Намерете номера на прогресията от зависимостта
b n = b 1 q n-1 .
4,05=1,2*1,5n-1;
1,5 n-1 = 4,05 / 1,2 = 3,375 = 1,5 3;
n-1=3; n=4.
Отговор: n=4.

Пример 12. В аритметична прогресия, a 5 = 14,91 a 9 = 20,11. Изчислете 1.
Решение: Изразяваме 9-ия член на прогресията през 5
a 9 \u003d a 5 + (9-5) d
и намерете стъпката на прогресия
20,11=14,91+4d;
4d=5,2; d=5,2/4=1,3.
Изразяваме 5-ия член на прогресията по отношение на 1 и изчисляваме първия
a 5 = a 1 +4d;
14,91 = a 1 +5,2;
a 1 = 14,91-5,2 = 9,71.
Отговор: a 1 = 9,71.

Пример 13 . В аритметична прогресия, a 7 = 12.01; а 11 = 17,61. Изчислете разликата в прогресията.
Решение: Изразяваме 11 члена на прогресията през 7
a 11 \u003d a 7 + (11-7) d.
От тук изчисляваме стъпката на прогресия
17,61=12,01+4d;
4d=5,6; d=5,6/4=1,4.
Отговор: d=1,4.

Пример 14. В геометрична прогресия b 5 =64; b 8 =1. Изчислете b 3 .
Решение: Изразяваме 8-ия член на прогресията чрез 5
b 8 \u003d b 5 q 8-5.
От тук намираме знаменателя на прогресията
1=64 q3;
q 3 = 1/64 = (1/4) 3;
q=1/4.
По същия начин намираме b 3 до b 5
b 3 = b 5 / q 2 = 64 * 4 2 \u003d 1024.
Отговор: b 3 \u003d 1024.

Пример 15. В аритметична прогресия, a 9 + a 15 \u003d 14.8. Изчислете 12
Решение: В този пример трябва да се отбележи, че 12-ият член на прогресията е в средата между номера 9 и 15. Следователно съседните членове на прогресията (9, 15 ) могат да бъдат изразени чрез 12, както следва
a 9 \u003d a 12 - (12-9) d;
a 15 \u003d a 12 + (15-9) d;
a 9 \u003d a 12 -3d;
a 15 = a 12 + 3d.
Нека обобщим крайните условия на прогресията
a 9 + a 15 = a 12 -3d+ a 12 + 3d=2a 12.
От тук намираме 12-ия член на прогресията
a 12 = (a 9 + a 15) / 2 = 14,8 / 2 = 7,4.
Отговор: a 12 \u003d 7.4.

Пример 16. Експоненциално b 10 *b 14 =289. Изчислете модул 12 на члена на прогресията | b 12 |.
Решение: Алгоритъмът за решаване на задачата се съдържа в предишния пример. Необходимо е да се изразят 10 и 14 члена на геометрична прогресия през 12. По свойствата на геометричната прогресия получаваме
b 10 \u003d b 12 / q 2; b 14 = b 12 * q 2 .
Лесно е да се види, че когато работят, знакът на прогресията изчезва.
b 10 * b 14 = (b 12) 2 = 289 \u003d 17 2.
От тук намираме модула | b 12 |
(b 12) 2 =289=17 2 -> | b 12 |=17.
Отговор: | b 12 |=17.

Пример 17. Експоненциално b 8 =1.3. Изчислете b 6 *b 10 .
Решение: Схемата за изчисление е подобна на предишния пример - изразяваме 6 и 10 члена на прогресията през 8.
b 6 \u003d b 8 / q 2; b 10 = b 8 * q 2 .
Когато се умножат, знаменателите се намаляват и получаваме квадрата на известния член на прогресията
b 6 *b 10 = (b 8) 2 = 1,3 2 = 1,69.
Отговор: b 6 * b 10 \u003d 1,69.

Пример 18. В аритметична прогресия, a 10 = 3,6: a 12 = 8. Изчислете 8
Решение: Нека напишем членовете на прогресията в серия a 8 , a 10 , a 12 . Между тях една и съща стъпка, нека я намерим
a 12 = a 10 +2d;
2d \u003d a 12 - a 10 \u003d 8-3,6 \u003d 4,4.
По същия начин намираме 8
a 10 = a 8 +2d;
a 8 \u003d a 10 -2d \u003d 3,6-4,4 \u003d -0,8.
Ето няколко прости изчисления.
Отговор: a 8 \u003d -0,8.

Пример 19. Експоненциално b 14 =8; b 16 =2. Изчислете b 12 .
Решение: Пропускайки подробни обяснения, записваме произведението на 14-ия и 16-ия член на прогресията
b 14 * b 16 =(b 12) 2 .
Това е еквивалентно на средната геометрична стойност. Намирането на корена на произведението на термините, получаваме желаната стойност
(b 12) 2 \u003d 8 * 2 \u003d 16; b 12 =4.
Отговор: b 12 \u003d 4.

Пример 20. В аритметична прогресия, a 5 \u003d 3,4; а 11 = 6.9. Изчислете 17 .
Решение: Между 5,11 и 17 члена на прогресията е една и съща стъпка и е равна на 6d. Следователно, крайното решение може да се запише като
a 17 = a 11 + 6d = a 11 + (a 11 - a 5) = 2 * 6,9-3,4 \u003d 10,4.
Мисля, че разбирате защо такъв запис. Ако не - опитайте да нарисувате 11 члена от прогресията през 5 и завъртете 6d.
Отговор: a 17 \u003d 10.4.

Пример 21. Изчислете 6-ия член на геометричната прогресия 3; 12;... .
Решение: Намерете знаменателя на прогресията
q \u003d b 2 / b 1 = 12/3 \u003d 4.
Нека използваме общата формула на члена на геометрична прогресия
b n = b 1 *q n-1 .
От тук получаваме
b 6 = b 1 * q 5 \u003d b 2 * q 4.
Както можете да видите, основното в записа е сборът от индекса (2) и степента (4) да съответстват на поредния номер на члена на прогресията (6). Извършване на изчисления
b 6 = 12 * 4 4 = 12 * 256 \u003d 3072.
Получихме голям брой, но геометричната прогресия е различна по това, че членовете му или растат бързо, или се спускат.
Отговор: b 6 \u003d 3072.

Пример 22. В аритметична прогресия, a 3 \u003d 48; а 5 = 42. Изчислете 7 .
Решение: Тъй като разликата между прогресията между дадените членове и желаната е станала и е равна на 2d, тогава формулата за 7-ия член на прогресията ще изглежда така
a 7 \u003d a 5 + 2d \u003d a 5 + (a 5 - a 3);
и 7 \u003d 2 * 42-48 \u003d 36.
Отговор: а 7 \u003d 36.

Аритметични и геометрични прогресии

Теоретична информация

Теоретична информация

	Аритметична прогресия	Геометрична прогресия
Определение	Аритметична прогресия a nсе извиква последователност, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предишния член, добавен със същия номер д (д- разлика в прогресията)	геометрична прогресия b nсе нарича поредица от числа, различни от нула, всеки член на който, започвайки от втория, е равен на предишния член, умножен по същото число q (q- знаменател на прогресията)
Повтаряща се формула	За всякакви естествени н a n + 1 = a n + d	За всякакви естествени н b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
формула за n-ти член	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
характерно свойство
Сума от първите n члена

Примери за задачи с коментари

Упражнение 1

В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6, а 2

Според формулата на n-ия член:

а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21 д

По условие:

а 1= -6, значи а 22= -6 + 21d.

Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d= а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Отговор : а 22 = -48.

Задача 2

Намерете петия член от геометричната прогресия: -3; 6;....

1-ви начин (използвайки n-членна формула)

Според формулата на n-ия член на геометрична прогресия:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Защото б 1 = -3,

2-ри начин (с помощта на рекурсивна формула)

Тъй като знаменателят на прогресията е -2 (q = -2), тогава:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Отговор : б 5 = -48.

Задача 3

В аритметична прогресия ( а н) а 74 = 34; а 76= 156. Намерете седемдесет и петия член на тази прогресия.

За аритметична прогресия характеристичното свойство има формата .

Следователно:

Заменете данните във формулата:

Отговор: 95.

Задача 4

В аритметична прогресия ( a n ) a n= 3n - 4. Намерете сбора от първите седемнадесет члена.

За намиране на сумата от първите n члена на аритметична прогресия се използват две формули:

Кое от тях е по-удобно за прилагане в този случай?

По условие формулата на n-ия член на оригиналната прогресия е известна ( a n) a n= 3n - 4. Може да се намери веднага и а 1, И а 16без да се намери d . Затова използваме първата формула.

Отговор: 368.

Задача 5

В аритметична прогресия a n) а 1 = -6; а 2= -8. Намерете двадесет и втория член на прогресията.

Според формулата на n-ия член:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21 д.

По условие, ако а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21d. Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d= а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Отговор : а 22 = -48.

Задача 6

Записват се няколко последователни члена на геометрична прогресия:

Намерете члена на прогресията, обозначен с буквата x.

При решаването използваме формулата за n-ия член b n \u003d b 1 ∙ q n - 1за геометрични прогресии. Първият член на прогресията. За да намерите знаменателя на прогресията q, трябва да вземете някой от тези членове на прогресията и да разделите на предишния. В нашия пример можете да вземете и да разделите на. Получаваме, че q = 3. Вместо n, ние заместваме 3 във формулата, тъй като е необходимо да се намери третият член на дадена геометрична прогресия.

Замествайки намерените стойности във формулата, получаваме:

Отговор : .

Задача 7

От аритметичните прогресии, дадени от формулата на n-ия член, изберете тази, за която условието е изпълнено а 27 > 9:

Тъй като определеното условие трябва да бъде изпълнено за 27-ия член на прогресията, ние заместваме 27 вместо n във всяка от четирите прогресии. В 4-та прогресия получаваме:

Отговор: 4.

Задача 8

В аритметична прогресия а 1= 3, d = -1,5. Посочете най-голямата стойност на n, за която е валидно неравенството a n > -6.

Някой се отнася с повишено внимание към думата "прогресия", като към много сложен термин от разделите на висшата математика. Междувременно най-простата аритметична прогресия е работата на брояча на такситата (където те все още остават). И да се разбере същността (а в математиката няма нищо по-важно от „да се разбере същността“) на една аритметична последователност не е толкова трудно, след като се анализират няколко елементарни понятия.

Математическа числова последователност

Обичайно е числова последователност да се нарича поредица от числа, всяко от които има свой собствен номер.

и 1 е първият член на последователността;

и 2 е вторият член на последователността;

и 7 е седмият член на последователността;

и n е n-тият член на последователността;

Не ни интересува обаче произволен набор от цифри и числа. Ще насочим вниманието си към числова последователност, в която стойността на n-ия член е свързана с неговия порядков номер чрез зависимост, която може да бъде ясно формулирана математически. С други думи: числовата стойност на n-то число е някаква функция на n.

a - стойност на член от числовата последователност;

n е неговият пореден номер;

f(n) е функция, където порядъкът в числовата последователност n е аргументът.

Определение

Аритметична прогресия обикновено се нарича числова последователност, в която всеки следващ член е по-голям (по-малък) от предишния със същото число. Формулата за n-ия член на аритметична последователност е както следва:

a n - стойността на текущия член на аритметичната прогресия;

a n+1 - формулата на следващото число;

d - разлика (определено число).

Лесно е да се определи, че ако разликата е положителна (d>0), тогава всеки следващ член от разглеждания ред ще бъде по-голям от предишния и такава аритметична прогресия ще се увеличава.

В графиката по-долу е лесно да се види защо числовата последователност се нарича „нарастваща“.

В случаите, когато разликата е отрицателна (г<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Стойността на посочения член

Понякога е необходимо да се определи стойността на произволен член a n от аритметична прогресия. Можете да направите това, като изчислите последователно стойностите на всички членове на аритметичната прогресия, от първия до желания. Този начин обаче не винаги е приемлив, ако например е необходимо да се намери стойността на петхилядния или осеммилионния член. Традиционното изчисление ще отнеме много време. Въпреки това, конкретна аритметична прогресия може да бъде изследвана с помощта на определени формули. Има и формула за n-ия член: стойността на всеки член от аритметична прогресия може да се определи като сумата на първия член на прогресията с разликата на прогресията, умножена по броя на желания член минус едно .

Формулата е универсална за увеличаване и намаляване на прогресията.

Пример за изчисляване на стойността на даден член

Нека решим следната задача за намиране на стойността на n-ия член на аритметична прогресия.

Условие: има аритметична прогресия с параметри:

Първият член на последователността е 3;

Разликата в числовите редове е 1,2.

Задача: необходимо е да се намери стойността на 214 члена

Решение: за да определим стойността на даден член, използваме формулата:

a(n) = a1 + d(n-1)

Замествайки данните от формулировката на проблема в израза, имаме:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Отговор: 214-ият член на поредицата е равен на 258,6.

Предимствата на този метод на изчисление са очевидни - цялото решение отнема не повече от 2 реда.

Сума от даден брой термини

Много често в даден аритметичен ред се изисква да се определи сумата от стойностите на някои от нейните сегменти. Освен това не е необходимо да се изчисляват стойностите на всеки термин и след това да се сумират. Този метод е приложим, ако броят на членовете, чиято сума трябва да се намери, е малък. В други случаи е по-удобно да използвате следната формула.

Сборът от членовете на аритметична прогресия от 1 до n е равен на сбора от първия и n-ия член, умножен по номер на члена n и разделен на две. Ако във формулата стойността на n-ия член бъде заменена с израза от предишния параграф на статията, получаваме:

Пример за изчисление

Например, нека решим проблем със следните условия:

Първият член на последователността е нула;

Разликата е 0,5.

В задачата се изисква да се определи сумата от членовете на редицата от 56 до 101.

Решение. Нека използваме формулата за определяне на сумата от прогресията:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Първо, ние определяме сумата от стойностите на 101 члена на прогресията, като заместваме дадените условия на нашия проблем във формулата:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Очевидно, за да разберете сумата от условията на прогресията от 56-то до 101-во, е необходимо да извадите S 55 от S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Така че сумата от аритметичната прогресия за този пример е:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Пример за практическо приложение на аритметичната прогресия

В края на статията нека се върнем към примера на аритметичната последователност, дадена в първия параграф - таксиметър (таксиметров автомобилен уред). Нека разгледаме такъв пример.

Качването в такси (което включва 3 км) струва 50 рубли. Всеки следващ километър се заплаща в размер на 22 рубли / км. Разстояние на пътуването 30 км. Изчислете цената на пътуването.

1. Нека изхвърлим първите 3 км, чиято цена е включена в цената на кацане.

30 - 3 = 27 км.

2. По-нататъшното изчисление не е нищо повече от анализиране на серия от аритметични числа.

Номерът на члена е броят на изминатите километри (минус първите три).

Стойността на члена е сумата.

Първият член в този проблем ще бъде равен на 1 = 50 рубли.

Разлика в прогресията d = 22 p.

броят, който ни интересува - стойността на (27 + 1)-ия член на аритметичната прогресия - показанието на метъра в края на 27-ия километър - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Изчисленията на календарни данни за произволно дълъг период се основават на формули, описващи определени числови поредици. В астрономията дължината на орбитата е геометрично зависима от разстоянието на небесното тяло до светилото. Освен това различни числови редове се използват успешно в статистиката и други приложни клонове на математиката.

Друг вид числова последователност е геометричната

Геометричната прогресия се характеризира с голяма, в сравнение с аритметичната, скорост на промяна. Неслучайно в политиката, социологията, медицината често, за да покажат високата скорост на разпространение на определено явление, например заболяване по време на епидемия, казват, че процесът се развива експоненциално.

N-тият член на геометричната серия от числа се различава от предишния по това, че се умножава по някакво постоянно число - знаменателят, например, първият член е 1, знаменателят е съответно 2, тогава:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - стойността на текущия член на геометричната прогресия;

b n+1 - формулата на следващия член на геометричната прогресия;

q е знаменателят на геометрична прогресия (постоянно число).

Ако графиката на аритметична прогресия е права линия, тогава геометричната рисува малко по-различна картина:

Както в случая с аритметиката, геометричната прогресия има формула за стойността на произволен член. Всеки n-ти член от геометрична прогресия е равен на произведението на първия член и знаменателя на прогресията на степен на n, намален с едно:

Пример. Имаме геометрична прогресия с първия член, равен на 3, а знаменателят на прогресията е равен на 1,5. Намерете 5-ия член на прогресията

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Сборът от даден брой членове също се изчислява по специална формула. Сумата от първите n члена на геометрична прогресия е равна на разликата между произведението на n-ия член на прогресията и нейния знаменател и първия член на прогресията, разделено на знаменателя, намален с едно: