Задачи на пропорциональную зависимость и пропорциональное деление. "пропорциональное деление"

Пропорциональное деление. Средние величины.

Цель

Решить задачи. Сделать выводы, ответив на вопросы.

Выполнение работы

Методические указания.

Работа рассчитана на 10 вариантов, номер варианта совпадает с последней цифрой порядкового номере в списке. Например, 1, 11, 21, 31 …выполняют 1 вариант, 2,12, 22 … - 2 вариант, и т.д.

Для получения зачета необходимо решить все задачи и сделать выводы, если работа не зачтена, требуется взять ее на доработку и сдать на проверку снова.

Задача 1. Число 2 500 000, разделить прямо пропорционально ряду чисел: 35, 15 и 10.

Решение: Правило: При делении числа на части пропорционально одному ряду величин следует разделить это число на сумму этих величин и полученное частное (коэффициент пропорциональности) умножить на каждую из них.

Разделим 2 500 000 руб. пропорционально ряду чисел:

35, 15 и 10.

найдем их сумму 35+15+10=60

найдем коэффициент пропорциональности (число делим на сумму)

найдем прибыль каждого:

• 41 667*35=1 458 000 руб.

  41 667*15=625 000 руб.

  41 667*10=417 000 руб.

Ответ: 1 458 000, 625 000, 417 000.

Задача 2. Число 680 разделить обратно пропорционально числам 0,5 0,75 и .

Решение:

Чтобы разделить число обратно пропорционально ряду чисел, нужно числа заменить обратными (перевернуть). И разделить прямо пропорционально новому ряду чисел.

Найдем числа обратные денным: 0,5 = - обратное 2,

0,75 -
- обратное , - обратное .

1) найдем сумму чисел:
,

2) найдем коэффициент пропорциональности:
.

3) найдем каждую часть

Ответ: 300, 200, 180.

Задача 3.

Дневная заработная плата трех рабочих бригады составила, 1000 руб, 1200 руб и 1250 руб. определите средний заработок по бригаде за 22 рабочих дня.

Решение: Среднее арифметическое:
, применяется в том случае, если показатели встречаются по одному разу. Х – средняя величина, х 1 , х 2 , х 3, … - показатели, на которых выводится средняя величина, n – число вариантов.

Найдем средний заработок за 1 день:
.

Найдем средний заработок за 22 дня. руб.

Ответ: 25 520.

Среднее арифметическое взвешенное: применяется тогда, когда показатели, из которых выводится среднее значение, встречаются неодинаковое число раз.

Т.е. Х – среднее арифметическое взвешенное, х 1 , х 2 , х 3 … - показатели, р 1 , р 2 , р 3, … - числа, показывающие, сколько раз повторяется каждый показатель.

Пример: При выполнении контрольной работы по математике были получены следующие результаты:

Оценка

Число повторений

Найдите средний бал за контрольную работу по математике.

.

Ответ: 3,17

Задача 4.. Чтобы сварить сироп, взяли 2кг сахара, 3,5 кг ягод и 4,5кг воды. Сколько процентов от массы сиропа составляет сахар?

Решение: Найдем массу сиропа: 2+3,5+4,5=10 кг. 10 кг – это 100%, 2 кг – это х%

Ответ: 20%.

Задачи для самостоятельного решения.

Вариант 1.

Задание 1. Число 580 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 2, 0,2 и 0,7

Задание 2. Разделите число 800 обратно пропорционально числам 2, 0,2 и 0,4.

Задание 3. Купили 3 кг конфет по цене 300 рублей за килограмм, 5 кг - по 230 рублей; 6 кг - по 460 рублей и 8 к - по 160рублей определите среднюю стоимость килограмма конфет.

Задание 4. Решите задачу на проценты. Хлеб теряет при остывании 4% массы в результате испарения воды. Сколько килограмм воды испарится при остывании 12т. Хлеба

Вариант 2.

Задание 1. Число 440 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 0,3; 0,2 и 0,6

Задание 2. Разделите число 790 обратно пропорционально числам: 5; 0,8 и 0,4.

Задание 3. Ателье закупили 20м ситца по цене 40 рублей за метр, 15 метров бязи по цене 60 рублей за метр, 12 метров фланели по цене 120 рублей за метр. Определите среднюю стоимость метра ткани.

Задание 4. Решите задачу на проценты: Банк выплачивает 10% годовых. Какая сумма будет на счету через два года, если вкладчик вложил 10 000 рублей.

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 3

Задание 1. Число 372 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 5, 0,4; 0,8

Задание 2. Разделите число2700 обратно пропорционально числам 2; 0,2 и 0,5

Задание 3. При выполнении контрольной работы были получены следующие результаты: оценку «5» получили трое учащихся, «4» – 12 человек; «3» - 20 человек, «2» - 3 человека. Найдите средний балл группы.

Задание 4. Решите задачу на проценты: Стоимость покупки вместе с доставкой 23000 руб. причем стоимость доставки составляет 15% от стоимости товара. Найдите стоимость товара.

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 4

Задание 1. Число 1564 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 4, 2, 0,8

Задание 1. Разделите число 462 обратно пропорционально числам: 2; 5; и 2,5

Задание 3. В аттестате ученика следующие результаты: шесть пятерок, две четверки и десять троек. Найдите средний балл аттестата.

Задание 4. Решите задачу на проценты: Цену билета в кинотеатре – 200 руб, повысили на 15%, но в связи с низкой посещаемостью новую цену снизили на 10%. На сколько рублей изменилась первоначальная цена

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 5.

Задание 1. Число 1140 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 3, 4 и 0,6

Задание2 Разделите число 600 обратно пропорционально числам: 2; 4; и 0,8

Задание 3. При испытании приборов в лаборатории, было установлено что прибор А работает без подзарядки 12 часов, прибор В – 11 часов, прибор С – 19 часов, прибор D – 8 часов, прибор F – 15 часов. Найдите среднюю продолжительность работы прибора.

Задание 4. Решите задачу на проценты: В первый день велосипедист проехал 32% пути, во второй в 1,5 раза больше чем в первый, а в третий оставшиеся 60 км. Найдите продолжительность маршрута.

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 6.

Задание 1. Число 697 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 3, 0,7 и 0,4

Задание 2. Разделите число 864 обратно пропорционально числам: 2; 5 и 0,4

Задание 3. В бригаде 10 человек получают заработную плату 15000 рублей, 12 человек по 24000 рублей, 15 человек по 20000 рублей и 13 человек по 30000 рублей. Найдите средний заработок по бригаде.

Задание 4. Решите задачу на проценты. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 7

Задание 1. Число 2725 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 7, 0,9 и 3

Задание 2. Разделите число 325 обратно пропорционально числам: 8; 0,8 и 4

Задание 3 Ученик, засекая время которое он тратит на дорогу от дома до техникума, получил следующие результаты: понедельник - 24 минуты, вторник – 25 минут, среда - 23 минуты, четверг – 20 минут, пятница – 25 минут. Определите, сколько времени в среднем тратится на путь?

Задание 4. Решите задачу на проценты. Клиент взял в банке кредит 300 000 рублей на год под 16 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 8.

Задание 1. Число 325 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 2; 4 и 0,5

Задание 2. Разделите число 2280 обратно пропорционально числам: 2; 5 и 0,2

Задание 3. На оплату мобильной связи за месяц ушло: январь - 230 рублей; февраль – 200 рублей; март - 250 рублей; апрель – 200 рублей; май – 300 рублей; июнь – 600 рублей; июль – 100 рублей; август – 300 рублей; сентябрь – 220 рублей; октябрь – 200 рублей; ноябрь – 400 рублей; декабрь – 560 рублей. Определите сколько в среднем за месяц уходит на оплату мобильной связи

Задание 4. Решите задачу на проценты. Железнодорожный билет для взрослого стоит 840 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 18 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант9.

Задание 1. Число 732 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 4, 0,6 и 1,5

Задание 2. Разделите число 1045 обратно пропорционально числам: 8; 10 и 0,2

Задание 3. Ателье для пошива детской одежды закупили 30м ситца по цене 40 рублей за метр, 25 метров бязи по цене 60 рублей за метр, 40 метров фланели по цене 120 рублей за метр. Определите среднюю стоимость метра ткани.

Задание 4. Решите задачу на проценты. В городе N живет 100000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 10.

Задание 1. Число 936 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 2, 2,5 и 0,7

Задание2. Разделите число 910 обратно пропорционально числам: 0,1; 2 и 0,4

Задание 3. В бригаде 35 человек получают заработную плату 25000 рублей, 12 человек по 22000 рублей, 35 человек по 20000 рублей и 18 человек по 30000 рублей. Найдите средний заработок по бригаде.

Задание 4. Решите задачу на проценты. Килограмм товара стоил 64 рубля. После снижения цены он стал стоить 60 рублей. На сколько процентов снижена цена?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Пропорциональное деление

деление какой-либо величины в данном отношении. Если данная величина есть a , a отношение есть n , то надо разделить a на две части x и (а-х ) так, чтобы отношение x к (a-x ) равнялось бы n. Выразив это уравнением и решив его относительно x , получим:

x = an /(1 + n ).

К числу вопросов о пропорциональном делении относятся две известные геометрические задачи: найти длину x , среднепропорциональную двум данным длинам a и b ; разделить данную длину в крайнем и среднем отношении. Построения, с помощью которых получаются решения этих и подобных задач, приводятся в начальных учебниках геометрии.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .

Смотреть что такое "Пропорциональное деление" в других словарях:

Правило товарищества, арифметич. способ деления числа на части, пропорциональные данным числам; находит частое применение при делении прибыли между товарищами пропорционально (соответственно) внесенным ими в предприятие капиталам или… …

- (лат. proportionalis от proportio отношение, сходство, пропорция). Соразмерный, правомерный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ лат. propotiornalis, от proportio, пропорция.… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ, пропорциональная, пропорциональное; пропорционален, пропорциональна, пропорционально (лат. proporcionalis соразмерный) (книжн.). 1. Обладающий соразмерностью частей. Пропорциональное телосложение. 2. Такой, который с увеличением … Толковый словарь Ушакова

История науки … Википедия

Часть папируса Ахмеса Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) древнеегипетское учебное руководство по арифметике … Википедия

Данная статья часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия

История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия

Петров (Иван) русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 году в крестьянской крепостной семье в Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В… … Биографический словарь

Русский феноменальный счетчик. Родился в 1823 г. в крестьянской крепостной семье, Костромской губернии. В раннем возрасте, не умея ни читать, ни писать, он поражал окружающих своими способностями к счету и решению задач. В возрасте 11 лет… …

Феноменальный счетчик, родился в 1823 году в дер. Рагозино Кологривского у. Костромской губ.; родители его были крепостными крестьянами помещицы Волтатис. Несмотря на свою неграмотность, П. еще в самом раннем возрасте поражал своими способностями … Большая биографическая энциклопедия

Книги

• Арифметика: Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные , Киселев, Андрей Петрович. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…
• Арифметика , Киселев А.. Целые числа. О делимости чисел. Измерения величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины. Вниманиючитателей…
• Арифметика. Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин. Метрическая система мер. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби. Пропорциональные величины , Киселев А.П.. Вниманию читателей предлагается книга выдающегося отечественного педагога и математика А. П. Киселева (1852-1940), содержащая систематический курс арифметики. Книга включает шесть разделов.…

§ 138. Деление числа на части прямо пропорционально данным числам.

Задача. В саду на двух участках посажено 224 штуки рассады клубники. Определить, сколько штук рассады посажено на каждом участке, если площадь первого участка 8 кв. м, а площадь второго 24 кв. м. (На каждом квадратном метре земли сажают рассаду в среднем поровну.)

Будем решать эту задачу так. Сначала определим площадь двух участков вместе:

8 + 24 = 32 (кв. м).

Итак, площадь двух участков вместе 32 кв. м. Определим теперь, сколько штук рассады приходится на 1 кв. м:

224: 32 = 7 (штук).

Зная сколько рассады приходится на 1 кв. м, мы легко вычислим число штук рассады на 8 кв. м и на 24 кв.. м, т. е. ответим на вопрос задачи:

7 8 = 56 (штук);

7 24 = 168 (штук).

Подумаем теперь, какие величины входят в нашу задачу и как они связаны между собой. В условие задачи входят две величины: 1) количество штук рассады, 2) площадь участка. Эти две величины прямо пропорциональны одна другой, потому что, чем больше площадь участка, тем больше на нём можно посадить рассады. Расположим числа, с которыми мы имели дело в задаче, так, чтобы их удобно было сравнивать:

8 кв. м - 56 штук
24 кв. м - 168 штук

Из этой таблички видно, что второй участок втрое больше первого и рассады на нём в три раза больше, чем на первом.

Итак, в этой задаче мы разделили число штук рассады пропорционально площадям двух участков. Это и есть одна из возможных задач на пропорциональное деление. Как же решаются такие задачи? В задаче требовалось число 224 разделить на две части, пропорциональные числам 8 и 24, т. е. разделить это число на такие две части, которые относились бы между собой так же, как 8: 24. Обозначим величину первой части буквой х , а второй части - у и напишем отношение этих частей:

Для нахождения этих частей были выполнены следующие действия. Число 224 разделили на сумму чисел 8 и 24 и затем найденное частное последовательно умножили сначала на 8, а потом на 24, т. е.

Словами эти равенства можно высказать так: чтобы разделить некоторое число на части пропорционально данным числам, надо разделить его на сумму этих чисел и полученное частное последовательно умножить на каждое из этих чисел.

Рассмотрим другую задачу: «За три куска мыла одного и того же сорта заплатили 40 руб, Сколько заплатили за каждый из них, если первый кусок весил 2 кг, второй 3 кг и третий 5 кг?»

В этой задаче требуется разделить 40 руб. на 3 части пропорционально весу отдельных кусков мыла. Обозначим стоимость первого куска буквой х , второго куска - у и третьего - z .

Воспользуемся правилом, выведенным при решении первой задачи. Согласно этому правилу для нахождения искомых чисел необходимо число, подлежащее делению, разделить на сумму данных чисел и полученное частное умножить последовательно на каждое из них. Следовательно:

Таким образом, первый кусок мыла стоит 8 руб., второй 12 руб. и третий 20 руб. Найденные числа рублей х, у, z находятся между собой в таких же отношениях, как и данные в задаче числа весовых единиц, т. е.

х: у: z = 8: 12: 20 = 2: 3: 5.

Рассмотрим теперь задачу с отвлечёнными числами. Разделить число 180 на три части пропорционально числам 3; 5; 7. Иными словами: в этой задаче требуется разложить число 180 на такие три слагаемых, чтобы первое относилось ко второму, как 3 к 5, второе относилось к третьему, как 5 к 7 и, наконец, первое к третьему, как 3 к 7. Сокращённо это можно написать так:

х: у: z = 3: 5: 7,

где х, у, z обозначают соответственно первое, второе и третье число.

Применяя указанное выше правило, можем написать:

Полученные три числа удовлетворяют условию задачи: они в сумме составляют 180, т. е.

36 + 60 + 84 = 180 и 3: 5: 7 = 36: 60: 84.

Мы решили три задачи на пропорциональное деление. Покажем теперь другие способы решения таких задач.

Задача 1. Определить квартирную плату за каждую из двух комнат (8 кв. м и 24 кв. м), если за обе вместе нужно заплатить 64 руб.

Обозначим плату за 1 кв. м буквой х ; тогда за первую комнату нужно будет заплатить 8x , а за вторую - 24x . Значит, за обе комнаты вместе надо заплатить 8х + 24х , что составляет 64 руб. Следовательно, можно записать равенство:

8х + 24х = 64.

32x = 64;

х = 64: 32 = 2 (руб.).

2 8 = 16 (руб.);

2 24 = 48 (руб.).

Задача 2. Найти стоимость каждого из трёх пакетов муки, если все три пакета стоят 40 руб., а вес первого 2 кг, второго 3 кг и третьего 5 кг.

Обозначим цену одного килограмма буквой х , тогда:

2 кг будут стоить 2х;

3 кг » » 3х ;

5 кг » » 5х ;

а вся мука будет стоить:

2х + 3х + 5х = 40.

10х = 40; х = 40: 10 = 4 (руб.).

После этого легко определить стоимость каждого пакета;

2х = 2 4 = 8 (руб.);

3х = 3 4 = 12 (руб.);

5х = 5 4 = 20 (руб.).

Задача 3. Разделить число 1 800 на три слагаемых пропорционально числам: 3, 5 и 7.

Рассуждаем так: в первом слагаемом 3 части, во втором 5 и в третьем 7.

Обозначая величину одной части буквой х , можно написать:

3х + 5х + 7х =1 800.

15х = 1 800; х = 1 800: 15 = 120.

Следовательно:

3х = 3 120 = 360;

5х = 5 120 = 600;

7х = 7 120=840.

Решим теперь задачу, в которой "некоторое число придётся разделить на четыре части пропорционально дробным числам.

Задача. Разделить 968 на четыре части пропорционально числам: 2 / 3 , 3 / 4 , 2 / 5 и 3 / 8 .Это значит, что надо найти четыре таких числа (х, у, z, t ), отношения которых были бы равны соответствующим отношениям данных чисел, т. е.

а сумма x + y + z + t = 968.

Заменим отношения дробных чисел отношениями целых чисел, для чего приведём эти дроби к общему знаменателю:

Отбрасывая общий знаменатель 40, получим: 60: 30: 16: 15. Вычислим последовательно каждое из искомых чисел:

§ 139. Деление числа на части обратно пропорционально данным числам.

Теперь перейдём к решению задач, в которых придётся некоторое число делить обратно пропорционально данным числам.

Задача. В двух полевых бригадах 70 колхозников. Каждой бригаде поручено обработать одинаковые участки. Сколько колхозников в каждой бригаде, если первая бригада выполнила работу в 6 дней, а вторая - в 8 дней? (Предполагается, что все колхозники работают с одинаковой производительностью труда.)

Очевидно, мы не имеем права делить число колхозников на две части пропорционально времени, которое каждая бригада употребила на работу, так как та бригада, которая быстрее окончила свою работу, была, по-видимому, более многочисленная, чем другая. Поэтому решать эту задачу так же, как мы решали предыдущие задачи, нельзя.

Будем рассуждать следующим образом. Первая бригада колхозников окончила свою работу в 6 дней; значит, в один день она выполняла 1 / 6 часть всей работы; вторая бригада окончила такую же работу в 8 дней, значит в один день она выполняла 1 / 8 всей работы.

Сравним теперь работу, которую выполняет в день первая бригаду с работой, выполняемой в день второй бригадой. Эти работы выражаются дробями 1 / 6 и 1 / 8 . Первая дробь больше второй. Значит, первая бригада в один день может делать больше, чем вторая. А так как все колхозники работают с одинаковой производительностью труда, то, значит, в первой бригаде больше колхозников, чем во второй. Таким образом, число колхозников в каждой бригаде пропорционально той работе, которую каждая бригада может выполнить. Значит, данное в задаче число 70 мы должны разделить на две части пропорционально числам: 1 / 6 и 1 / 8 . С задачами такого типа мы уже знакомы. Приведя дроби 1 / 6 и 1 / 8 к общему знаменателю, мы найдём числа, пропорционально которым следует разделить число 70:

т. е. число 70 нужно разделить на две части пропорционально числам 4 и 3. Обозначим число колхозников первой бригады буквой х , а второй - буквой у и вычислим:

Итак, в первой бригаде было 40 человек, а во второй 30. Рассмотрим теперь метод решения этой задачи. В условие задачи входят три числа: 70 (человек), 6 (дней) и 8 (дней). В процессе решения мы ввели еще два числа: 1 / 6 и 1 / 8 , и пропорционально этим дробям разделили число 70 на две части. Очевидно, что число 6 и число 1 / 6 взаимно обратны. Так же взаимно сбратны числа 8 и 1 / 8 .

Для решения задачи требуется разделить 70 рабочих на две неравные бригады, исходя из количества времени (дней), затраченного ими на работу. Это время выражается числами 6 (дней) и 8 (дней). Вместо этих двух чисел мы берём обратные им числа 1 / 6 и 1 / 8 и пропорционально им делим число 70.

Такая замена сделана нами потому, что число работников не прямо, а обратно пропорционально времени, затраченному на работу. О такой задаче принято говорить, что в ней число 70 разделено на две части обратно пропорционально числам 6 и 8, т. е. в ней первая часть относится ко второй не как 6 к 8, а как 8 к 6.

Итак, чтобы разделить число на части обратно пропорционально данным числам, нужно это число разделить прямо пропорционально обратным числам.

Задача. Разделить 65 на три части обратно пропорционально числам: 2, 3, 4.

Мы теперь знаем, что разделить число на части обратно пропорционально нескольким числам - это значит разделить его на столько же частей прямо пропорционально обратным числам.

Напишем числа, обратные данным в задаче:

данные числа 2, 3, 4;

обратные числа 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 .

Пропорционально этим последним и нужно разделить число 65. Приведём дроби к общему знаменателю:

а потом освободимся от него:

Значит, число 65 нужно разделить на три части пропорционально числам 6: 4: 3.

Обозначим первую часть буквой х , вторую часть буквой у , третью часть буквой z . Тогда

Пропорция – равенство двух отношений: a/b = c/d (a, d – крайние члены пропорции; b, c – средние члены пропорции).

Основное свойство пропорции: ad = bc.

Две взаимно зависимых величины называютсяпропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным. Это постоянное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности. Например, в пропорции 0,04/4 = 0,12/12 коэффициент пропорциональности равен k = 0,01.

Если две величины связаны между собой так, что увеличение (уменьшение) одной (во столько же раз) увеличивает (уменьшает) пропорционально и другую величину, то такие величины прямо пропорциональны. Примерами прямой пропорциональности являются зависимость пройденного пути от времени (при постоянной скорости), периметра квадрата от длинны его стороны. Если зависимость величин прямо пропорциональна, то их значения составляют пропорцию х 1 /х 2 = у 1 /у 2 .

Если две величины связаны между собой так, что увеличение (уменьшение) одной (во столько же раз) уменьшает (увеличивает) пропорционально и другую величину, то такие величины обратно пропорциональны. Пример обратной пропорциональности: зависимость скорости от времени (при постоянном значении пройденного пути), производительности труда от времени затраченного на выполнение определенной работы (при одинаковом объеме работы). Если зависимость величин обратно пропорциональна, то их значения составляют пропорцию х 1 /х 2 = у 2 /у 1 .

Решая задачи на пропорциональную зависимость, важно разбить решение на такие этапы :

1. Условие задачи записать в виде схемы.
2. Определить тип зависимости между величинами.
3. Прямо пропорциональная зависимость обозначается одинаково направленными стрелками. Обратно пропорциональная зависимость – стрелками противоположно направленными.
4. Обозначить неизвестное через х, записать пропорцию и найти неизвестный член.

Рассмотрим решение нескольких задач на пропорциональную зависимость.

Задача 1.

За некоторое время велосипедист проехал 5 км со скоростью 10 км/ч. Какое расстояние он проедет за то же время, увеличив свою скорость в полтора раза?

Решение.

При постоянном значении времени пройденный путь и скорость величины прямо пропорциональные. Поэтому с увеличением скорости в полтора раза, значение пути тоже увеличится в столько же раз.

Значит, он проедет 5 · 1,5 = 7,5 (км).

Ответ: 7,5 км.

Задача 2.

На некотором участке газопровода трубы длинной 4 м заменили на трубы длинной 5 м. Сколько нужно новых труб для замены 100 старых?

Решение.

Так как увеличение длинны труб приведет к уменьшению их количества на одном и том же участке газопровода, то зависимость обратно пропорциональная. Составим схему по условию.

Запишем пропорцию: 4/5 = х/100.

Откуда, х = (4 · 100)/5 = 80 (труб).

Ответ: 80 труб.

Как видим, если в условии задачи рассматриваются две величины, то решение достаточно простое, главное правильно определить вид зависимости. Но как быть, если рассматривается зависимость между тремя величинами?

Задача 3.

За 5 дней 3 маляра окрашивают 60 окон. За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?

Решение.

Примем количество рабочих за постоянную величину (то есть работу выполняют постоянно 3 маляра) и рассмотрим зависимость между двумя величинами. Так как для покраски меньшего числа окон потребуется меньше дней при одном и том же количестве рабочих, то зависимость прямая.

Запишем пропорцию: 5/х = 60/48.

Откуда, х = (5 · 48)/60 = 4 (дня) – за столько дней покрасят 48 окон 3 маляра.

Для того, чтобы найти за сколько дней покрасят эти же 48 окон 2 маляра, составим таблицу, учитывая что постоянной величиной есть количество окон . Так как для меньшего числа рабочих потребуется больше дней для выполнения одного и того же задания, то зависимость обратная.

Пропорция будет такой: 4/х = 2/3.

Откуда, х = (4 · 3)/2 = 6 (дней) – за столько дней покрасят 48 окон 2 маляра.

Ответ: 6 дней.

Потребность разделить величину или число в данном отношении часто возникает в практической жизни человека, например, во время приготовления блюд, разделения прибыли между партнерами по бизнесу и т.п. Поэтому важно владеть навыками решения задач на пропорциональное деление. Рассмотрим несколько примеров.

Задача 4.

Три компаньона вложили в организацию предприятия соответственно 280, 320 и 360 долларов. Прибыль, которую они получили, составила 2400 долларов. Сколько денег из прибыли получить каждый компаньон, если прибыль распределяется пропорционально вкладу каждого?

Решение.

Обозначим части прибыли, которые они должны получить, соответственно:

а: в: с = 280: 320: 360.

Упростим отношение:

а: в: с = 280: 320: 360 = 28: 32: 36 = 7: 8: 9.

Так как величины пропорциональны, то пусть х – коэффициент пропорциональности (одна часть прибыли). Тогда, а = 7х, в = 8х, с = 9х. Сумма частей должна равняться прибыли, тогда уравнение будет иметь вид:

7х + 8х + 9х = 2400.

Откуда х = 100 (дол). Следовательно, первый компаньон должен получить из прибыли:

7 · 100 = 700 (дол), второй 8 · 100 = 800 (дол), а третий 9 · 100 = 900 (дол).

Ответ: 700, 800, 900.

Задача 5.

Периметр треугольника АВС равен 32,5 см. Найти стороны треугольника, если АВ относится к ВС как 3: 4, а ВС относится к АС как 2: 3.

Решение.

Трудность заключается в том, что дано отношение не трех сторон, а первой ко второй и второй к третьей. Рассмотрим эти отношения:

АВ: ВС = 3: 4
ВС: АС = 2: 3.

Уравняем количество частей стороны ВС в первом и втором равенствах. Для этого второе отношение умножим на 2. Получим,

АВ: ВС = 3: 4
ВС: АС = 4: 6.

Теперь можем записать отношение трех сторон АВ: ВС: АС = 3: 4: 6. Тогда АВ = 3х, ВС = 4х, АС = 6х, где х – коэффициент пропорциональности.

Решая уравнение 3х + 4х + 6х = 32,5, получаем, что х = 2,5 (см).

Следовательно, стороны треугольника: АВ = 3 · 2,5 = 7,5 (см); ВС = 4 · 2,5 = 10 (см); АС = 6 · 2,5 = 15 (см).

Ответ: 7,5; 10; 15.

Задачи на пропорциональную зависимость развивают логическое мышление, учат анализировать и находить связи между величинами, а задачи на пропорциональное деление имеют широкое практическое применение, поэтому умение решать и те и другие просто необходимо.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на пропорциональную зависимость?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Характерные особенности такого вида задач:

1) В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин.

2) В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

Подготовка:

1) Работа над величинами.

2) Связь между величинами.

3) Наблюдение за зависимостью между величинами.

4) Хорошее овладение способами решения задач на нахождение четвёртого пропорционального.

Ознакомление: первые задачи на пропорциональное деление иллюстрируются или инсценируются. Переход к ознакомлению можно осуществлять от задач на нахождение четвёртого пропорционального.

Вид задачи	На пропорциональное деление
Условие	В магазин привезли 6 ящиков картофеля и 4 таких же ящика свёклы. Всего в магазин привезли 120 кг овощей. Сколько килограммов картофеля и сколько килограммов свёклы привезли в магазин?
Краткая запись условия	120 кг
Разбор задачи	Ана­литический способ разбора (от вопроса к данным): 1) Что известно в задаче? 2) Что нужно узнать в задаче? 3) Можем ли мы сразу ответить, сколько килограммов картофеля привезли в магазин? (Нет.) 4) Что для этого нужно узнать? (Массу одного ящика и количества ящиков.) 5) Количество ящиков известно, а как можно найти массу одного ящика? (Общую массу разделить на общее количество ящиков.) 6) Как найдём общее количество ящиков? (К 6 прибавим 4.) 7) Узнав массу одного ящика, как найдём массу всего картофеля? (Массу одного ящика умножим на количество ящиков с картофелем.) 8) Как узнать массу всей свёклы? (Массу одного ящика умножим на количество ящиков со свёклой.) 9) Как можно другим способом узнать массу всей свёклы? (Из общей массы вычесть массу картофеля.)
Запись решения	Запись решения по действиям с пояснением: 1) 6 + 4 = 10 (ящ.) – привезли всего. 2) 120: 10 = 12 (кг) – масса одного ящика. 3) 12 ∙ 6 = 72 (кг) – привезли картофеля. 4) 12 ∙ 4 = 48 (кг) – привезли свёклы. Ответ: 72 кг и 48 кг.
Закрепление:задания на составление задач данного вида с акцентированием на жизненную ситуацию. Решение задач на нахождение неизвестных по двум разностям В качестве подготовительных упражнений к ведению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями, например: 1) Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них больше уплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько уплатила сестра? 2) Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 6 рублей больше, чем сестра. Сколько стоила 1 тетрадь? Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям, что брат купил столько же тетрадей, сколько сестра, и ещё 3 тетради и уплатил денег столько же, сколько сестра, и ещё 6 рублей. Отсюда можно заключить, что 3 тетради стоят 6 рублей, значит, можно узнать, сколько стоит 1 тетрадь. Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин. Методика работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум разностям аналогична мето­дике введения задач на пропорциональное деление.
Вид задачи	На нахождение неизвестных по двум разностям
Условие	В магазин привезли 6 ящиков картофеля и 4 таких же ящика свёклы, причём картофеля привезли на 24 кг больше, чем свёклы. Сколько килограммов картофеля и сколько килограммов свёклы привезли в магазин?
Краткая запись условия	на 24 кг больше. Из этой наглядной записи хорошо видно, что 24 кг картофеля находится в 2 ящиках.
Разбор задачи	Синтетический способ разбора (от данных к вопросу): 1) Что известно в задаче? 2) Что нужно узнать в задаче? 3) Почему картофеля оказалось в магазине на 24 кг больше? (Потому, что ящиков с картофелем было больше.) 4) На сколько ящиков больше? (На 2.) 5) Какой вывод из этого можно сделать? (Что 24 кг картофеля находится в 2 ящиках.) 6) Зная это, как найти массу одного ящика с картофелем? (Нужно 24 кг разделить на 2.) 7) Как теперь найти массу картофеля и массу свёклы? (Массу одного ящика умножить на количество ящиков.)
Запись решения	Запись решения с предварительной постановкой вопросов: 1) На сколько ящиков картофеля привезли больше, чем свёклы? 6 – 4 = 2 (ящ.) 2) Какова масса одного ящика с овощами? 24: 2 = 12 (кг) 3) Сколько килограммов картофеля привезли в магазин? 12 ∙ 6 = 72 (кг) 4) Сколько килограммов картофеля привезли в магазин? 12 ∙ 4 = 48 (кг) Ответ: 72 кг картофеля и 48 кг свёклы.

Проверка решения выполняется способом установления соот­ветствия между числами, полученными в ответе, и данными в условии задачи: узнаем, действительно ли картофеля привезли на 24 кг больше чем свёклы: 72 – 48 = 24; значит, можно считать, что задача решена правильно.

Для закрепления умения решать задачи предлага­ются:

Готовые задачина нахождение неизвестных по двум раз­ностям I вида с различными группами пропорциональных ве­личин и проводятся различные упражнения творческого характера;

Задачи на нахож­дение неизвестных по двум разностям II вида;

Упражнения на преобразование задач.

Задачи, связанные с движением , т. е. задачи с ве­личинами: скорость, время, расстояние, рассматриваются в 4 классе.

Подготовительная работа к решению задач, свя­занных с движением, предусматривает обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной – ско­ростью, раскрытие связей между величинами: скорость, время, расстояние.

С целью обобщения представлений детей о движении полезно провести специальную экскурсию по наблюдению за движе­нием транспорта, после чего провести наблюдение в условиях класса, где движение будут демонстрировать сами дети. На экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух тел относительно друг друга. Так, одно тело (трамвай, машина, человек и т.п.) может двигаться быстрее имедленнее, может остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в противоположных направлениях: либо приближаясь одно к другому (двигаясь навстречу одно к другому), либо удаляясь одно от другого. Наблюдая указанные ситуации в условиях класса, надо показать детям, как вы­полняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком; место (пункт) отправления, встречи, прибытия и т.п. обознача­ют либо точкой на отрезке и соответствующей буквой, либо чёр­точкой, либо флажком; направление движения указывают стрел­кой. Например, встречное движение двух тел изображается так:

А ├────────┼────────┤В

Здесь отрезок обозначает расстояние, которое должны прой­ти тела до встречи, флажок – место встречи, точки А и В – пункты выхода тел, стрелки – направление движения. Полезно выполнять и обратные упражнения: по данному чертежу выпол­нять соответствующее движение.

При ознакомлении со скоростью целесообразно так органи­зовать работу, чтобы учащиеся нашли скорость своего движе­ния пешком. Для этого можно начертить во дворе, в спортзале или коридоре «замкнутую дорожку». На дорожке надо отметить расстояния по 10 м, чтобы удобнее было нахо­дить, какой путь прошёл каждый ученик. Учитель предлагает детям идти по дорожке, например, в течение 4 мин. Учащиеся сами легко найдут по десятиметровым отметкам пройденное расстояние. На уроке каждый из детей может вычислить, какое расстояние он проходит за 1 мин. Учитель сообщает, что рас­стояние, которое прошёл ученик за минуту, называют его ско­ростью. Ученики называют свои скорости. Затем учитель назы­вает скорости некоторых видов транспорта. Эти данные уча­щиеся могут записать в своих справочниках и использовать в дальнейшем при составлении задач.

Раскрытие связей между величинами : скорость – время – расстояние ведётся по такой же методике, как и раскрытие связей между другими пропорциональными величинами. В результате решения соответствующих простых задач ученики долж­ны усвоить такие связи: если известны расстояние и время дви­жения, то можно найти скорость действием деления; если из­вестны скорость и время движения, то можно найти расстояние действием умножения; если известны расстояние и скорость, то можно найти время движения действием деления.

Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать состав­ные задачи, в том числе задачи на нахождение четвёртого про­порционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям с величинами: скорость, время, расстояние. При работе над этими задачами надо чаще исполь­зовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертёж помогает правильно представить жизненную ситуацию, отражённую в задаче.

Так же как и при решении задач других видов, следует включать упражнения творческого характера на преобразова­ние и составление задач.

Одновременно с решением задач названных видов в 4 клас­се вводятся задачи на встречное движение и движение в про­тивоположных направлениях. Каждая из этих задач имеет три вида в зависимости от данных и искомого:

I вид – даны скорость каждого из тел и время движения, искомое – расстояние;

II вид – даны скорость каждого из тел и расстояние, ис­комое – время движения;

III вид – даны расстояние, время движения и скорость одного из тел, искомое – скорость другого тела.

В целях подготовки к введению задач на встречное дви­жение очень важно сформировать правильные представления об одновременном движении двух тел: дети должны хорошо уяснить, что если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут находиться в пути одинаковое время и при этом оба пройдут всё расстояние между пунктами, из которых они вышли. Чтобы дети осознали это, следует вклю­чать задачи-вопросы, аналогичные следующим:

1) Из двух городов одновременно отплыли навстречу друг другу два теплохода и встретились через 3 ч. Сколько времени был в пути до встречи каждый теплоход?

2) Из посёлка в город вышел пешеход и в это время из го­рода навстречу ему выехал велосипедист, который встретил пешехода через 40 мин. Сколько времени был в пути до встречи пешеход?

Теперь можно ознакомить детей с решением задач на встречное движение, причём целесообразно на одном уроке ввести все три вида, получая новые задачи путём преобразова­ния данной в обратные. Такой приём позволяет детям само­стоятельно найти решение, поскольку задача нового вида будет получена из задачи, уже решённой детьми. Раскроем это на конкретном примере.

Учитель читает задачу: «Из двух поселков выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встрети­лись через 2 ч. Один ехал со скоростью 15 км в час, а второй со скоростью 18 км в час. Найти расстояние между поселками».

Что известно о движении велосипедистов? Что надо узнать? Пусть это будет посёлок, из которого выехал первый велосипе­дист. (Учитель вставляет в наборное полотно карточку с рим­ской цифрой «I»). А это посёлок, из которого выехал второй велосипедист. (Вставляет карточку.) Двое из вас будут вело­сипедистами. (Выходят два ученика.) С какой скоростью ехал первый? (15 км в час.) Это твоя скорость. (Даёт карточку, на которой написано число 15.) Это твоя скорость. (Даёт второму ученику карточку.) Сколько времени они будут двигаться до встречи? (2 ч.) Начинайте двигаться. Прошел час. (Дети встав­ляют одновременно свои карточки в наборное полотно.) Про­шёл второй час. (Дети вставляют карточки.) Встретились ли велосипедисты? (Да.) Почему? (Шли до встречи по 2 ч.) Обо­значу место встречи флажком. (Вставляет флажок.) Что надо узнать? (Всё расстояние.) Обозначу вопросительным знаком. Получается иллюстрация:

I

?

II

После такого разбора учащиеся сами находят два способа решения. Решения надо записать с пояснениями сначала от­дельными действиями, а позднее можно записать выражение или уравнение.

Первый способ:

1) 35 ∙ 2 = 30 (км) – проехал первый велосипедист;

2) 18 ∙ 2 = 36 (км) – проехал второй велосипедист;

3) 30 + 36 = 66 (км) – расстояние между поселками.

Второй способ:

1) 15 + 18 = 33 (км) – сближались велосипедисты в час;

2) 33 ∙ 2 = 66 (км) – расстояние между поселками.

Если дети затруднятся в решении вторым способом, надо вновь проиллюстрировать движение: прошел час – сблизились на 33км, ещё час – ещё сблизились на 33 км, т.е. велосипе­дисты проехали 2раза по 33 км.

Учитель на доске, а дети в тетрадях выполняют чертёж к решённой задаче:

15км/ч 2 ч 18 км/ч

I ├────────┼────────┤II

Выясняется, который из велосипедистов прошёл до встречи большее расстояние и почему.

Учитель изменяет условие задачи, используя тот же чертёж:

15км/ч? ч 18 км/ч

I ├────────┼────────┤II

Дети составляют задачу по этому чертежу, затем задача коллективно разбирается, после чего записывается решение с пояснениями:

1) 15+18=33 (км) – сближались велосипедисты в час;

2) 66:33=2 (ч) – время движения до встречи.

Условие задачи ещё раз изменяется:

Км/ч 2 ч 18 км/ч

I ├────────┼────────┤II

Ученики составляют задачу, после чего коллективно разби­раются два способа решения:

Первый способ:

1) 18 ∙ 2 = 36 (км) – проехал до встречи второй велосипедист;

2) 66 – 36 = 30 (км) – проехал до встречи первый велосипедист;

3) 30: 2 = 15 (км/ч) – скорость первого велосипедиста.

Ответ: 15 км в час.

Второй способ:

1) 66: 2 = 33 (км) – сближались велосипедисты в час;

2) 33 – 18 = 15 (км/ч) – скорость первого велосипедиста.

Ответ: 15 км в час.

На последующих уроках проводится работа по закрепле­нию умения решать задачи рассмотренных видов. С этой целью включаются готовые задачи на встречное движение, при этом учащиеся сами выполняют чертёж, выясняя предварительно, ближе к какому пункту произойдёт встреча. Как и при работе над другими задачами, следует выполнять различные упраж­нения творческого характера.

Аналогичным образом ведётся работа над задачами на дви­жение в противоположных направлениях.