Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.
Определение
Натуральный логарифм - это функция y = ln x , обратная к экспоненте , x = e y , и являющаяся логарифмом по основанию числа е : ln x = log e x .
Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/ x .
Исходя из определения
, основанием натурального логарифма является число е
:
е
≅ 2,718281828459045...
;
.
График функции y = ln x .
График натурального логарифма (функции y = ln x ) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x .
Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( - ∞ ).
При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.
Свойства натурального логарифма
Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание
Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.
Значения ln x
ln 1 = 0
Основные формулы натуральных логарифмов
Формулы, вытекающие из определения обратной функции:
Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:
Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм" .
Обратная функция
Обратной для натурального логарифма является экспонента .
Если , то
Если , то .
Производная ln x
Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x
:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Интеграл вычисляется интегрированием по частям :
.
Итак,
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексной переменной z
:
.
Выразим комплексную переменную z
через модуль r
и аргумент φ
:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ
определен не однозначно. Если положить
,
где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n
.
Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Начнем со свойства логарифма единицы . Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log a 1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство log a 1=0 сразу следует из определения логарифма.
Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log 3 1=0 , lg1=0 и .
Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице , то есть, log a a=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма log a a=1 .
Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log 5 5=1 , log 5,6 5,6 и lne=1 .
К примеру, log 2 2 7 =7
, lg10 -4 =-4
и 
.
Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log a (x·y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a log a x+log a y =a log a x ·a log a y , а так как по основному логарифмическому тождеству a log a x =x и a log a y =y , то a log a x ·a log a y =x·y . Таким образом, a log a x+log a y =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.
Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3
и 
.
Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x 1 , x 2 , …, x n как log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Данное равенство без проблем доказывается .
Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и .
Логарифм частного двух положительных чисел
x
и y
равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0
, a≠1
, x
и y
– некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как 
, то по определению логарифма .
Приведем пример использования этого свойства логарифма: 
.
Переходим к свойству логарифма степени . Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log a b p =p·log a |b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .
Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log a b , тогда b p =(a log a b) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·log a b . Так мы приходим к равенству b p =a p·log a b , из которого по определению логарифма заключаем, что log a b p =p·log a b .
Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение log a b p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , откуда log a b p =p·log a |b| .
Например, 
и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3
.
Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня
: логарифм корня n
-ой степени равен произведению дроби 1/n
на логарифм подкоренного выражения, то есть, 
, где a>0
, a≠1
, n
– натуральное число, большее единицы, b>0
.
Доказательство базируется на равенстве (смотрите ), которое справедливо для любых положительных b
, и свойстве логарифма степени: 
.
Вот пример использования этого свойства: 
.
Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма
вида 
. Для этого достаточно доказать справедливость равенства log c b=log a b·log c a
. Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b
представить как a log a b
, тогда log c b=log c a log a b
. Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log c a log a b =log a b·log c a
. Так доказано равенство log c b=log a b·log c a
, а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .
Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и 
.
Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов . Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.
Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b
вида 
. Отсюда видно, что log a b
и log b a
– . К примеру, 
.
Также часто используется формула 
, которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем 
. Для доказательства формулы 
достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a
: 
.
Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.
Докажем, что для любых положительных чисел b 1
и b 2
, b 1 log a b 2
, а при a>1
– неравенство log a b 1 Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Ограничимся доказательством его первой части, то есть, докажем, что если a 1 >1
, a 2 >1
и a 1 1
справедливо log a 1 b>log a 2 b
. Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a 1 >1
, a 2 >1
и a 1 1
справедливо log a 1 b≤log a 2 b
. По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как 
и 
соответственно, а из них следует, что log b a 1 ≤log b a 2
и log b a 1 ≥log b a 2
соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b log b a 1 ≥b log b a 2
и b log b a 1 ≥b log b a 2
, то есть, a 1 ≥a 2
. Так мы пришли к противоречию условию a 1
Список литературы.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
Задания, решение которых заключается в преобразовании логарифмических выражений , довольно часто встречаются на ЕГЭ.
Чтобы успешно справиться с ними при минимальной затрате времени кроме основных логарифмических тождеств, необходимо знать и правильно использовать ещё некоторые формулы.
Это: a log а b = b, где а, b > 0, а ≠ 1 (Она вытекает непосредственно из определения логарифма).
log a b = log с b / log с а или log а b = 1/log b а
где а, b, с > 0; а, с ≠ 1.
log а m b n = (m/n) log |а| |b|
где а, b > 0, а ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
а log с b = b log с а
где а, b, с > 0 и а, b, с ≠ 1
Чтобы показать справедливость четвертого равенства прологарифмируем левую и правую часть по основанию а. Получим log а (а log с b) = log а (b log с а) или log с b = log с а · log а b; log с b = log с а · (log с b / log с а); log с b = log с b.
Мы доказали равенство логарифмов, значит, равны и выражения, стоящие под логарифмами. Формула 4 доказана.
Пример 1.
Вычислите 81 log 27 5 log 5 4 .
Решение.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Следовательно,
log 27 5 · log 5 4 = 1/3 log 3 5 · (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
Тогда 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Самостоятельно можно выполнить следующее задание.
Вычислить (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.
В качестве подсказки 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.
Ответ: 5.
Пример 2.
Вычислите (√11) log √3 9- log 121 81 .
Решение.
Выполним замену выражений: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,
121 = 11 2 , 81 = 3 4 , log 121 81 = 2 log 11 3 (использовалась формула 3).
Тогда (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / (11 log 11 3) = 121/3.
Пример 3.
Вычислите log 2 24/ log 96 2- log 2 192 / log 12 2.
Решение.
Логарифмы, содержащиеся в примере, заменим логарифмами с основанием 2.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 · 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 · 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 · 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 · 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Тогда log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/(2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим число 3. (При упрощении выражения можно log 2 3 обозначить через n и упрощать выражение
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Ответ: 3.
Самостоятельно можно выполнить следующее задание:
Вычислить (log 3 4 + log 4 3 + 2) · log 3 16 · log 2 144 3 .
Здесь необходимо сделать переход к логарифмам по основанию 3 и разложение на простые множители больших чисел.
Ответ:1/2
Пример 4.
Даны три числа А = 1/(log 3 0,5), В = 1/(log 0,5 3), С = log 0,5 12 – log 0,5 3. Расположите их в порядке возрастания.
Решение.
Преобразуем числа А = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; С = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.
Сравним их
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 и log 0,5 3 < -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Или -2 < log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Ответ. Следовательно, порядок размещения чисел: С; А; В.
Пример 5.
Сколько целых чисел расположено на интервале (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
Решение.
Определим между какими степенями числа 3 находится число 1 / 16 . Получим 1 / 27 < 1 / 16 < 1 / 9 .
Так как функция у = log 3 х – возрастающая, то log 3 (1 / 27) < log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 · 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Сравним log 6 (4 / 3) и 1 / 5 . А для этого сравним числа 4 / 3 и 6 1/5 . Возведём оба числа в 5 степень. Получим (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243 < 6. Следовательно,
log 6 (4 / 3) < 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Следовательно, интервал (log 3 1 / 16 ; log 6 48) включает в себя промежуток [-2; 4] и на нём размещаются целые числа -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Ответ: 7 целых чисел.
Пример 6.
Вычислите 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.
Решение.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
Тогда 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.
Ответ: -1.
Пример 7.
Известно, что log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = А. Найдите log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).
Решение.
Числа (√3 + 1) и (√3 – 1); (√6 – 2) и (√6 + 2) – сопряжённые.
Проведем следующее преобразование выражений
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
Тогда log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – А.
Ответ: 2 – А.
Пример 8 .
Упростите и найдите приближенное значение выражения (log 3 2 · log 4 3 · log 5 4 · log 6 5 · … · log 10 9.
Решение.
Все логарифмы приведём к общему основанию 10.
(log 3 2 · log 4 3 · log 5 4 · log 6 5 · … · log 10 9 = (lg 2 / lg 3) · (lg 3 / lg 4)· (lg 4 / lg 5) · (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010. (Приближенное значение lg 2 можно найти с использованием таблицы, логарифмической линейки либо калькулятора).
Ответ: 0,3010.
Пример 9 .
Вычислить log а 2 b 3 √(a 11 b -3), если log √ а b 3 = 1. (В этом примере, а 2 b 3 – основание логарифма).
Решение.
Если log √ а b 3 = 1, то 3/(0,5 log а b = 1. И log а b = 1/6.
Тогда log а 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log а 2 b 3 (a 11 b -3) = log а (a 11 b -3) / (2log а (a 2 b 3)) = (log а a 11 + log а b -3) / (2(log а a 2 + log а b 3)) = (11 – 3log а b) / (2(2 + 3log а b)) Учитывая то, что log а b = 1/6 получим (11 – 3 · 1 / 6) / (2(2 + 3 · 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.
Ответ: 2,1.
Самостоятельно можно выполнить следующее задание:
Вычислить log √3 6 √2,1, если log 0,7 27 = а.
Ответ: (3 + а) / (3а).
Пример 10.
Вычислить 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.
Решение.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 · 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 · (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 · (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (формула 4))
Получим 9 + 6 = 15.
Ответ: 15.
Остались вопросы? Не знаете, как найти значение логарифмического выражения?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Сейчас мы взглянем на преобразование выражений, содержащих логарифмы, с общих позиций. Здесь мы разберем не только преобразование выражений с использованием свойств логарифмов, а рассмотрим преобразование выражений с логарифмами общего вида, которые содержат не только логарифмы, но и степени, дроби, корни и т.д. Весь материал по обыкновению будем снабжать характерными примерами с детальными описаниями решений.
Навигация по странице.
Выражения с логарифмами и логарифмические выражения
Выполнение действий с дробями
В предыдущем пункте мы разобрали основные преобразования, которые проводятся с отдельными дробями, содержащими логарифмы. Эти преобразования, естественно, можно проводить с каждой отдельной дробью, являющейся частью более сложного выражения, например, представляющего собой сумму, разность, произведение и частное подобных дробей. Но помимо работы с отдельными дробями, преобразование выражений указанного вида часто подразумевает выполнение соответствующих действий с дробями. Дальше мы рассмотрим правила, по которым эти действия проводятся.
Еще с 5-6 классов нам известны правила, по которым выполняются . В статье общий взгляд на действия с дробями мы распространили эти правила с обыкновенных дробей на дроби общего вида A/B , где A и B – некоторые числовые, буквенные выражения или выражения с переменными, причем B тождественно не равно нулю. Понятно, что дроби с логарифмами являются частными случаями дробей общего вида. И в связи с этим понятно, что действия с дробями, которые содержат в своих записях логарифмы, проводятся по тем же правилам. А именно:
- Чтобы сложить или вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, надо соответственно сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить прежним.
- Чтобы сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю и выполнить соответствующие действия по предыдущему правилу.
- Чтобы умножить две дроби, надо записать дробь, числителем которой является произведение числителей исходных дробей, а знаменателем – произведение знаменателей.
- Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимую дробь умножить на дробь, обратную делителю, то есть, на дробь, с переставленными местами числителем и знаменателем.
Приведем несколько примеров на выполнение действий с дробями, содержащими логарифмы.
Пример.
Выполните действия с дробями, содержащими логарифмы: а) , б) 
, в) 
, г) 
.
Решение.
а) Знаменатели складываемых дробей, очевидно, одинаковые. Поэтому, согласно правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями складываем числители, а знаменатель оставляем прежним: 
.
б) Здесь знаменатели различные. Поэтому, сначала нужно привести дроби к одинаковому знаменателю
. В нашем случае знаменатели уже представлены в виде произведений, и нам остается взять знаменатель первой дроби и добавить к нему недостающие множители из знаменателя второй дроби. Так мы получим общий знаменатель вида 
. При этом к общему знаменателю вычитаемые дроби приводятся при помощи дополнительных множителей в виде логарифма и выражения x 2 ·(x+1)
соответственно. После этого останется выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, что не представляет сложностей.
Итак, решение таково:
в) Известно, что результатом умножения дробей является дробь, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель – произведение знаменателей, поэтому
Несложно заметить, что можно провести сокращение дроби
на двойку и на десятичный логарифм, в результате имеем 
.
г) Переходим от деления дробей к умножению, заменяя дробь-делитель обратной ей дробью . Так
Числитель полученной дроби можно представить в виде 
, из которого явно виден общий множитель числителя и знаменателя – множитель x
, на него можно сократить дробь:
Ответ:
а) , б) 
, в) 
, г) 
.
Следует помнить, что действия с дробями проводятся с учетом порядка выполнения действий : сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание, а если есть скобки, то сначала проводятся действия в скобках.
Пример.
Выполните действия с дробями 
.
Решение.
Сначала выполняем сложение дробей в скобках, после чего будем проводить умножение:
Ответ:
В этом пункте остается проговорить вслух три довольно очевидных, но в то же время важных момента:
Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов
Наиболее часто преобразование выражений с логарифмами подразумевает использование тождеств, выражающих определение логарифма и
основными свойствами .
- logax + logay = loga (x · y);
- logax − logay = loga (x: y).
одинаковые основания
Log6 4 + log6 9.
Теперь немного усложним задачу.
Примеры решения логарифмов
Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:
Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x >
Задача. Найдите значение выражения:
Переход к новому основанию
Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:
Задача. Найдите значение выражения:
Смотрите также:
Основные свойства логарифма
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого.
Основные свойства логарифмов
Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.
Примеры на логарифмы
Прологарифмировать выражения
Пример 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).
По свойствам 3,5 вычисляем 
2.
3. 
4. 
где 
.
Пример 2. Найти х, если
Пример 3. Пусть задано значение логарифмов
Вычислить log(x), если
Основные свойства логарифмов
Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами .
Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.
Сложение и вычитание логарифмов
Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:
- logax + logay = loga (x · y);
- logax − logay = loga (x: y).
Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания . Если основания разные, эти правила не работают!
Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:
Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.
Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.
Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.
Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.
Вынесение показателя степени из логарифма
Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.
Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.
Задача. Найдите значение выражения: log7 496.
Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12
Задача. Найдите значение выражения:
Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:
Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем.
Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения.
Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.
Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.
Переход к новому основанию
Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?
На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:
Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:
В частности, если положить c = x, получим:
Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.
Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:
Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.
Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
А теперь «перевернем» второй логарифм:
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.
Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.
Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:
Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:
Основное логарифмическое тождество
Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:
В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.
Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .
В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».
Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.
Задача. Найдите значение выражения:
Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:
Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂
Логарифмическая единица и логарифмический ноль
В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.
- logaa = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
- loga 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.
Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.
Смотрите также:
Логарифмом числа b по основанию a обозначают выражение . Вычислить логарифм значит найти такой степень x (),при котором выполняется равенство
Основные свойства логарифма
Приведенные свойства необходимо знать, поскольку, на их основе решаются практически все задачи и примеры связаны с логарифмами. Остальные экзотических свойств можно вывести путем математических манипуляций с данными формулами
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
При вычислениях формулы суммы и разности логарифмов (3,4) встречаются довольно часто. Остальные несколько сложные, но в ряде задач являются незаменимыми для упрощения сложных выражений и вычисления их значений.
Распространены случаи логарифмов
Одними из распространенных логарифмов такие в которых основание ровное десять, экспоненте или двойке.
Логарифм по основанию десять принято называть десятичным логарифмом и упрощенно обозначать lg(x).
Из записи видно, что основы в записи не пишут. Для примера
Натуральный логарифм – это логарифм у которого за основу экспонента (обозначают ln(x)).
Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого. Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.
И еще один важный логарифм по основанию два обозначают
Производная от логарифм функции равна единице разделенной на переменную
Интеграл или первообразная логарифма определяется зависимостью
Приведенного материала Вам достаточно, чтобы решать широкий класс задач связанных с логарифмами и логарифмирования. Для усвоения материала приведу лишь несколько распространенных примеров из школьной программы и ВУЗов.
Примеры на логарифмы
Прологарифмировать выражения
Пример 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).
По свойствам 3,5 вычисляем
2.
По свойству разницы логарифмов имеем
3.
Используя свойства 3,5 находим
4. где .
На вид сложное выражение с использованием ряда правил упрощается к виду
Нахождение значений логарифмов
Пример 2. Найти х, если
Решение. Для вычисления применим до последнего слагаемого 5 и 13 свойства
Подставляем в запись и скорбим
Поскольку основания равные, то приравниваем выражения
Логарифмы. Начальный уровень.
Пусть задано значение логарифмов
Вычислить log(x), если
Решение: Прологарифмируем переменную, чтобы расписать логарифм через сумму слагаемых
На этом знакомство с логарифмами и их свойствами только начинается. Упражняйтесь в вычислениях, обогащайте практические навыки — полученные знания Вам скоро понадобятся для решения логарифмических уравнений. Изучив основные методы решения таких уравнений мы расширим Ваши знания для другой не менее важной теме — логарифмические неравенства …
Основные свойства логарифмов
Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами .
Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.
Сложение и вычитание логарифмов
Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:
- logax + logay = loga (x · y);
- logax − logay = loga (x: y).
Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания . Если основания разные, эти правила не работают!
Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:
Задача. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9.
Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.
Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.
Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.
Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.
Вынесение показателя степени из логарифма
Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:
Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.
Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм.
Как решать логарифмы
Именно это чаще всего и требуется.
Задача. Найдите значение выражения: log7 496.
Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12
Задача. Найдите значение выражения:
Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:
Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.
Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.
Переход к новому основанию
Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?
На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:
Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:
В частности, если положить c = x, получим:
Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.
Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:
Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.
Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
А теперь «перевернем» второй логарифм:
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.
Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.
Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:
Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:
Основное логарифмическое тождество
Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:
В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.
Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .
В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».
Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.
Задача. Найдите значение выражения:
Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:
Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂
Логарифмическая единица и логарифмический ноль
В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.
- logaa = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
- loga 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.
Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.
