Преобразуване на Фурие- това е семейство от математически методи, основаващи се на разлагането на оригиналната непрекъсната функция на времето в набор от основни хармонични функции (които са синусоидални функции) с различни честоти, амплитуди и фази. От дефиницията се вижда, че основната идея на трансформацията е, че всяка функция може да бъде представена като безкрайна сума от синусоиди, всяка от които ще се характеризира със своята амплитуда, честота и начална фаза.
Преобразуването на Фурие е основателят на спектралния анализ. Спектрален анализ е метод за обработка на сигнала, който ви позволява да характеризирате честотното съдържание на измервания сигнал. В зависимост от това как е представен сигналът, се използват различни трансформации на Фурие. Има няколко вида трансформация на Фурие:
– Непрекъснато преобразуване на Фурие (в английската литература Continue Time Fourier Transform – CTFTили накратко, FT);
– Дискретно преобразуване на Фурие (в английската литература Дискретно преобразуване на Фурие – DFT);
– Бързо преобразуване на Фурие (в английската литература Бързо преобразуване на Фурие – FFT).
Непрекъснато преобразуване на Фурие
Преобразуването на Фурие е математически инструмент, използван в различни научни области. В някои случаи може да се използва като средство за решаване на сложни уравнения, които описват динамични процеси, протичащи под въздействието на електрическа, топлинна или светлинна енергия. В други случаи ви позволява да подчертаете редовните компоненти в сложен осцилаторен сигнал, така че да можете правилно да интерпретирате експериментални наблюдения в астрономията, медицината и химията. Непрекъснатата трансформация всъщност е обобщение на редовете на Фурие, при условие че периодът на разширената функция клони към безкрайност. Така класическата трансформация на Фурие се занимава със спектъра на сигнала, взет в целия диапазон на съществуване на променливата.
Има няколко типа записване на непрекъснато преобразуване на Фурие, които се различават един от друг по стойността на коефициента пред интеграла (две форми на запис):
или 
където и е изображението на Фурие на функцията или честотния спектър на функцията;
- кръгова честота.
Трябва да се отбележи, че различни видове записи се срещат в различни области на науката и технологиите. Коефициентът на нормализиране е необходим за правилното мащабиране на сигнала от честотната област към времевата област. Коефициентът на нормализиране намалява амплитудата на сигнала на изхода на обратната трансформация, така че да съвпада с амплитудата на оригиналния сигнал. В математическата литература прякото и обратното преобразуване на Фурие се умножават по коефициента , докато във физиката най-често коефициентът не се задава за директното преобразуване, а се задава за обратното. Ако последователно изчислим директната трансформация на Фурие на определен сигнал и след това вземем обратната трансформация на Фурие, тогава резултатът от обратното преобразуване трябва напълно да съвпада с оригиналния сигнал.
Ако функцията е нечетна на интервала (−∞, +∞), тогава трансформацията на Фурие може да бъде представена по отношение на функцията синус:
Ако функцията е четна на интервала (−∞, +∞), тогава трансформацията на Фурие може да бъде представена чрез косинус функция:
По този начин непрекъснатото преобразуване на Фурие ни позволява да представим непериодична функция като интеграл от функция, представяща във всяка от нейните точки коефициента на реда на Фурие за непериодична функция.
Преобразуването на Фурие е обратимо, тоест ако нейното изображение на Фурие е изчислено от функцията, тогава оригиналната функция може да бъде възстановена еднозначно от изображението на Фурие. Обратното преобразуване на Фурие се разбира като интеграл от формата (две форми на писане):
или 
където е изображението на Фурие на функцията или честотния спектър на функцията;
- кръгова честота.
Ако функцията е нечетна на интервала (−∞, +∞), тогава обратната трансформация на Фурие може да бъде представена по отношение на функцията синус:
Ако функцията е четна на интервала (−∞, +∞), тогава обратната трансформация на Фурие може да бъде представена чрез косинус функция:
Като пример, разгледайте следната функция 
. Графиката на изследваната експоненциална функция е представена по-долу.
Тъй като функцията е четна функция, тогава непрекъснатата трансформация на Фурие ще бъде дефинирана, както следва:
В резултат на това получихме зависимостта на изменението на изследваната експоненциална функция от честотния интервал (виж по-долу).
Непрекъснатото преобразуване на Фурие обикновено се използва на теория, когато се разглеждат сигнали, които се променят в съответствие с дадени функции, но на практика те обикновено се занимават с резултати от измерване, които представляват дискретни данни. Резултатите от измерването се записват на редовни интервали с определена честота на вземане на проби, например 16000 Hz или 22000 Hz. Въпреки това, в общия случай, дискретните показания могат да вървят неравномерно, но това усложнява математическия апарат на анализа, така че обикновено не се използва на практика.
Има важна теорема на Котельников (в чуждестранната литература има наименование „теоремата на Найкуист-Шанън“, „теоремата за извадката“), която гласи, че аналогов периодичен сигнал с краен (ограничен по ширина) спектър (0 . .. fmax) могат да бъдат еднозначно възстановени без изкривявания и загуби в техните дискретни показания, взети с честота, по-голяма или равна на удвоената горна честота на спектъра - честотата на дискретизация (fdisc >= 2*fmax). С други думи, при честота на дискретизация от 1000 Hz, сигнал с честота до 500 Hz може да бъде възстановен от аналогов периодичен сигнал. Трябва да се отбележи, че дискретизацията на функция във времето води до периодизация на нейния спектър, а дискретизацията на спектъра по честота води до периодизация на функцията.
Това е едно от трансформациите на Фурие, широко използвани в алгоритмите за цифрова обработка на сигнали.
Директното дискретно преобразуване на Фурие асоциира времева функция, която е дефинирана от N-измерни точки в даден интервал от време, с друга функция, която е дефинирана на честотен интервал. Трябва да се отбележи, че функцията във времевия интервал е определена с помощта на N-извадки, а функцията в честотната област се определя с помощта на K-кратния спектър.
k ˗ честотен индекс.
Честотата на k-тия сигнал се определя от израза
където T е периодът от време, през който са взети входните данни.
Директното дискретно преобразуване може да бъде пренаписано по отношение на реалните и въображаемите компоненти. Реалният компонент е масив, съдържащ стойностите на косинусните компоненти, а имагинерният компонент е масив, съдържащ стойностите на компонентите на синусите.
От последните изрази се вижда, че преобразуването разлага сигнала на синусоидални компоненти (наречени хармоници) с честоти от едно трептене за период до N трептения за период.
Дискретното преобразуване на Фурие има особеност, тъй като дискретна последователност може да бъде получена чрез сумата от функции с различен състав на хармоничния сигнал. С други думи, дискретна последователност се разлага на хармонични променливи - двусмислено. Следователно, когато се разширява дискретна функция с помощта на дискретна трансформация на Фурие, във втората половина на спектъра се появяват високочестотни компоненти, които не са били в оригиналния сигнал. Този високочестотен спектър е огледален образ на първата част от спектъра (по отношение на честота, фаза и амплитуда). Обикновено втората половина на спектъра не се взема предвид, а амплитудите на сигнала на първата част от спектъра се удвояват.
Трябва да се отбележи, че разширяването на непрекъсната функция не води до появата на огледален ефект, тъй като непрекъснатата функция е уникално разложена на хармонични променливи.
Амплитудата на DC компонента е средната стойност на функцията за избран период от време и се определя, както следва:
Амплитудите и фазите на честотните компоненти на сигнала се определят от следните отношения:
Получените стойности на амплитуда и фаза се наричат полярна нотация. Полученият сигнален вектор ще бъде дефиниран, както следва:
Помислете за алгоритъма за трансформиране на дискретно дадена функция на даден интервал (за даден период) с броя на началните точки
D искра преобразуване на Фурие
В резултат на трансформацията получаваме реалните и въображаемите стойности на функцията, която е дефинирана в честотния диапазон.
Обратното дискретно преобразуване на Фурие свързва честотна функция , която е дефинирана от K-кратен спектър в честотната област, с друга функция , която е дефинирана във времевата област.
N ˗ броят стойности на сигнала, измерени за период, както и кратността на честотния спектър;
k ˗ честотен индекс.
Както вече споменахме, дискретната трансформация на Фурие картографира N-точки от дискретен сигнал в N-комплексни спектрални проби на сигнала. Изчисляването на една спектрална извадка изисква N операции на сложно умножение и събиране. По този начин изчислителната сложност на алгоритъма за дискретно преобразуване на Фурие е квадратична, с други думи, необходими са сложни операции за умножение и събиране.
1. Линейност. Преобразуването на Фурие е една от линейните интегрални операции, т.е. спектърът на сумата от сигнали е равен на сумата от спектрите на тези сигнали.
a n s n (t) ? a n S n (n)
2. Паритетни свойства
Преобразуванията се определят от косинусовата (четна, реална) и синусоида (нечетна, имагинерна) части на разширението и сходството на директните и обратните трансформации.
- 3. Промяната в аргумента на функция (компресия или разширяване на сигнала) води до обратна промяна в аргумента на нейното преобразуване на Фурие и обратно пропорционална промяна в нейния модул.
- 4. Теорема за забавяне. Закъснението (изместване, изместване) на сигнала от аргумента на функцията за интервала t o води до промяна във фазово-честотната функция на спектъра (фазовия ъгъл на всички хармоници) със стойността -wt o без промяна на модул (амплитудна функция) на спектъра.
5. Производна трансформация (диференциране на сигнала):
s(t) = d/dt = d/dt =Y(w) dsh= = jsh Y(sh) exp(jsht) dsh jsh Y(sh).
По този начин диференцирането на сигнала се показва в спектралната област чрез просто умножаване на спектъра на сигнала по оператор за диференциране на сигнала в честотната област jw, което е еквивалентно на диференциране на всеки хармоник от спектъра. Умножаването с jw води до обогатяване на спектъра на производната на сигнала с високочестотни компоненти (в сравнение с оригиналния сигнал) и елиминира компоненти с нулева честота.
6. Интегрална трансформация сигнал в честотната област с известен сигнален спектър може да бъде получен от следните прости съображения. Ако s(t) = d/dt jwY(w) = S(w) се изпълнява, тогава трябва да се извърши и обратната операция: y(t) =s(t) dt Y(w) = S(w)/ jw. Това предполага:
s(t)dt? (1/j u)S(u).
Оператор за интеграция в честотен домейн (1/j u) при u >1 отслабва високите честоти в амплитудния спектър и при u<1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -90 0 для положительных частот и на 90 0 для отрицательных.
7. Преобразуване на конволюция на сигнала y(t) = s(t) * h(t):
Y(w) =y(t) exp(-jsht) dt =s(f) h(t-f) exp(-jsht) dfdt
Y(w) \u003d s (f) d f h (t- f) exp (-jw t) dt.
Според теоремата за забавяне:
h(t- f) exp(-jшt) dt = H(ш) exp(-jшt).
Y(w) \u003d H (w) s (f) exp (-jsh f) df \u003d H (w) S (w).
s(t) * h(t)?S(w)H(w).
По този начин, конволюцията на функциите в координатна форма се показва в честотното представяне чрез произведението на преобразуванията на Фурие на тези функции.
8. Преобразуване на произведението на сигналите y(t) = s(t) h(t):
Y(?) =s(t) h(t) exp(-j?t) dt =s(t) [(1/2?)H(?") exp(j?"t) d?"] dt = (1/2?)s(t)H(?") exp(-j(?-?")t) d?"dt = (1/2?)H(?") d?"s(t ) exp(-j(?-?")t) dt = (1/2?)H(?") S(?-?") d?" = (1/2?) H(?) * S(?).
Продуктът на функциите в координатна форма се показва в честотното представяне чрез навиването на преобразуванията на Фурие на тези функции.
9. Умножаването на сигнал по хармонична функция запълва сигнала с хармонична честота и образува радиоимпулс.
10. Спектри на мощността. Ако функцията s(t) има преобразуване на Фурие S(?), тогава спектралната плътност на мощността на тази функция се определя от изразите:
w(t) = s(t) s*(t) = |s(t)| 2 |S(?)| 2 = S(?) S*(?) = W(?).
Спектърът на мощността е реална неотрицателна четна функция, която много често се нарича енергиен спектър. Спектърът на мощността, като квадрат на модула на спектъра на сигнала, не съдържа фазова информация за честотните компоненти и следователно е невъзможно да се възстанови сигналът от спектъра на мощността. Това също означава, че сигналите с различни фазови характеристики могат да имат еднакви мощностни спектри. По-специално, изместването на сигнала не влияе на неговия спектър на мощност. математически метод преобразуване на Фурие
11. Равенството на Парсевал. Общата енергия на сигналния спектър:
E s =W(f)df=|S(f)| 2df.
Тъй като координатното и честотното представяне са по същество само различни математически представяния на един и същ сигнал, енергията на сигнала в двете представяния също трябва да бъде равна, от което следва равенството на Парсевал:
|s(t)| 2 dt =|S(f)| 2df,
тези. енергията на сигнала е равна на интеграла от модула на неговия честотен спектър - сумата от енергиите на всички честотни компоненти на сигнала.
Вярвам, че като цяло всеки е наясно със съществуването на такъв прекрасен математически инструмент като преобразуването на Фурие. Въпреки това в университетите по някаква причина се преподава толкова зле, че сравнително малко хора разбират как работи тази трансформация и как трябва да се използва правилно. Междувременно математиката на тази трансформация е изненадващо красива, проста и елегантна. Каня всички да научат малко повече за преобразуването на Фурие и свързаната тема за това как аналоговите сигнали могат да бъдат ефективно преобразувани в цифрови за изчислителна обработка.
Без да използвам сложни формули и matlab, ще се опитам да отговоря на следните въпроси:
- FT, DTF, DTFT - какви са разликите и как привидно напълно различни формули дават толкова концептуално сходни резултати?
- Как правилно да тълкуваме резултатите от Бърза трансформация на Фурие (FFT).
- Какво да направите, ако е даден сигнал от 179 проби и FFT изисква последователност с дължина, равна на степента на две като вход
- Защо, когато се опитвате да получите спектъра на синусоида с помощта на Фурие, вместо очакваната единична „пръчка“, на графиката излиза странно извиване и какво може да се направи по въпроса
- Защо аналоговите филтри се поставят преди ADC и след DAC
- Възможно ли е да се цифровизира ADC сигнал с честота, по-висока от половината от честотата на дискретизация (училищният отговор е грешен, верният отговор е възможен)
- Как цифровата последователност възстановява оригиналния сигнал
Ще изхождам от предположението, че читателят разбира какво е интеграл, комплексно число (както и неговия модул и аргумент), конволюция на функции, плюс поне „на пръсти“ си представя какво е делта функцията на Дирак. Не знам - няма значение, прочетете горните връзки. Под „продукт на функциите“ в този текст винаги ще имам предвид „умножение по точка“
Вероятно трябва да започнем с факта, че обичайната трансформация на Фурие е нещо, което, както може да се досетите от името, преобразува една функция в друга, тоест приписва на всяка функция на реална променлива x (t) нейния спектър или изображение на Фурие y (w):
Ако дадем аналогии, тогава пример за трансформация, подобна по значение, може да бъде например диференцирането, което превръща функцията в нейна производна. Тоест, преобразуването на Фурие всъщност е същата операция като вземането на производната и често се обозначава по подобен начин, начертавайки триъгълна „шапка“ върху функцията. Само за разлика от диференцирането, което може да се дефинира и за реални числа, преобразуването на Фурие винаги „работи“ с по-общи комплексни числа. Поради това постоянно възникват проблеми с показването на резултатите от тази трансформация, тъй като комплексните числа се определят не от една, а от две координати на графика, работеща с реални числа. Най-удобният начин, като правило, е да представите комплексни числа като модул и аргумент и да ги начертаете отделно като две отделни графики:
Графиката на аргумента на сложна стойност често се нарича в този случай „фазов спектър“, а графиката на модула често се нарича „амплитуден спектър“. Амплитудният спектър, като правило, представлява много по-голям интерес и следователно „фазовата“ част от спектъра често се пропуска. В тази статия ще се съсредоточим и върху „амплитудните“ неща, но не бива да забравяме за съществуването на липсващата фазова част на графиката. Освен това, вместо обичайния модул на комплексна стойност, често се чертае нейният логаритъм, умножен по 10. Резултатът е логаритмичен график, стойностите на който се показват в децибели (dB).
Моля, имайте предвид, че не много силно отрицателните числа на логаритмичната графика (-20 dB или по-малко) в този случай съответстват на почти нулеви числа на „нормалната“ графика. Следователно дългите и широки „опашки“ от различни спектри на такива графики, когато се показват в „обикновени“ координати, като правило, практически изчезват. Удобството на такова на пръв поглед странно представяне произтича от факта, че трансформациите на Фурие на различни функции често трябва да се умножават едно с друго. При такова точково умножение на изображения на Фурие с комплексна стойност се добавят техните фазови спектри и се умножават техните амплитудни спектри. Първото е лесно за изпълнение, докато второто е сравнително трудно. Въпреки това, логаритмите на амплитудата се добавят при умножаване на амплитудите, така че логаритмичните амплитудни графики могат, подобно на фазовите графики, просто да се добавят точка по точка. Освен това в практическите задачи често е по-удобно да се работи не с "амплитудата" на сигнала, а с неговата "мощност" (квадратът на амплитудата). В логаритмичната скала и двете графики (както амплитудата, така и мощността) изглеждат идентични и се различават само по коефициента - всички стойности на графиката на мощността са точно два пъти по-големи от амплитудната скала. Съответно, за да начертаете разпределението на мощността по честота (в децибели), не можете да квадратирате нищо, а да изчислите десетичния логаритъм и да го умножите по 20.
Скучно ли ти е? Изчакайте още малко, скоро ще приключим с досадната част от статията, обясняваща как се тълкуват диаграмите :). Но преди това, едно много важно нещо, което трябва да разберете, е, че въпреки че всички диаграми на спектъра по-горе са начертани за някои ограничени диапазони от стойности (по-специално положителни числа), всички тези графики всъщност продължават в плюс и минус безкрайност. Графиките просто показват някаква „най-смислена“ част от графиката, която обикновено се отразява за отрицателни стойности на параметъра и често се повтаря периодично с някаква стъпка, когато се гледа в по-голям мащаб.
След като решихме какво е начертано на графиките, нека се върнем към самата трансформация на Фурие и нейните свойства. Има няколко различни начина за дефиниране на тази трансформация, които се различават в малки детайли (различни нормализации). Например в нашите университети по някаква причина често използват нормализирането на трансформацията на Фурие, която определя спектъра по отношение на ъгловата честота (радиани в секунда). Ще използвам по-удобна западна формулировка, която дефинира спектъра от гледна точка на обичайната честота (херц). Прякото и обратното преобразуване на Фурие в този случай се дефинират от формулите вляво, а някои от свойствата на тази трансформация, от които се нуждаем, са списък от седем елемента вдясно:
Първото от тези свойства е линейността. Ако вземем някаква линейна комбинация от функции, тогава трансформацията на Фурие на тази комбинация ще бъде същата линейна комбинация от изображенията на Фурие на тези функции. Това свойство прави възможно намаляването на сложните функции и тяхното преобразуване на Фурие към по-прости. Например, преобразуването на Фурие на синусоидална функция с честота f и амплитуда a е комбинация от две делта функции, разположени в точки f и -f и с коефициент a/2:
Ако вземем функция, състояща се от сумата от набор от синусоиди с различни честоти, тогава, според свойството на линейност, преобразуването на Фурие на тази функция ще се състои от съответния набор от делта функции. Това ни позволява да дадем наивна, но визуална интерпретация на спектъра според принципа „ако в спектъра на функция честотата f съответства на амплитуда а, тогава първоначалната функция може да бъде представена като сума от синусоиди, една от които ще бъде синусоида с честота f и амплитуда 2a”. Строго погледнато, това тълкуване е неправилно, тъй като делта функцията и точката на графика са напълно различни неща, но както ще видим по-нататък, за дискретни трансформации на Фурие, това няма да е толкова далеч от истината.
Второто свойство на преобразуването на Фурие е независимостта на амплитудния спектър от изместването във времето на сигнала. Ако преместим функцията наляво или надясно по оста x, тогава ще се промени само нейният фазов спектър.
Третото свойство – разтягането (компресията) на оригиналната функция по времевата ос (x) пропорционално компресира (разтяга) нейната Фурие трансформация по честотната скала (w). По-специално, спектърът на сигнал с крайна продължителност винаги е безкрайно широк и обратно, спектърът с крайна ширина винаги съответства на сигнал с неограничена продължителност.
Четвъртият и петият свойства са може би най-полезните от всички. Те позволяват да се сведе свиването на функциите до точковото умножение на техните преобразувания на Фурие и обратно - точковото умножение на функциите до навиването на техните трансформации на Фурие. Малко по-нататък ще покажа колко е удобно.
Шестото свойство говори за симетрията на изображенията на Фурие. По-специално, от това свойство следва, че в преобразуването на Фурие на функция с реална стойност (т.е. всеки „реален“ сигнал) амплитудният спектър винаги е четна функция, а фазовият спектър (ако е намален до диапазона -pi.. .pi) е странно . Поради тази причина отрицателната част от спектъра почти никога не се чертае на спектралните графики - за сигнали с реална стойност тя не дава никаква нова информация (но, повтарям, не е и нула).
И накрая, последното, седмо свойство, казва, че трансформацията на Фурие запазва „енергията“ на сигнала. Той има смисъл само за сигнали с крайна продължителност, чиято енергия е крайна, и казва, че спектърът на такива сигнали в безкрайност бързо се доближава до нула. Именно поради това свойство по правило на графиките на спектъра се изобразява само „основната“ част от сигнала, която носи лъвския дял от енергията - останалата част от графиката просто клони към нула (но отново , не е нула).
Въоръжени с тези 7 свойства, нека да разгледаме математиката на "дигитализирането" на сигнал, за да преведем непрекъснат сигнал в последователност от цифри. За да направим това, трябва да вземем функция, известна като „гребен на Дирак“:
Гребенът на Дирак е просто периодична последователност от единични делта функции, започваща от нула и продължаваща със стъпка T. За да се дигитализират сигнали, T се избира възможно най-малко, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:
Вместо непрекъсната функция след такова умножение се получава последователност от делта импулси с определена височина. В този случай, съгласно свойство 5 на преобразуването на Фурие, спектърът на получения дискретен сигнал е конволюцията на оригиналния спектър със съответния гребен на Дирак. Лесно е да се разбере, че въз основа на свойствата на конволюция, спектърът на оригиналния сигнал сякаш се „копира“ безкраен брой пъти по оста на честотата със стъпка 1/T и след това се сумира .
Имайте предвид, че ако оригиналният спектър е с ограничена ширина и сме използвали достатъчно висока честота на дискретизация, тогава копията на оригиналния спектър няма да се припокриват и следователно няма да се добавят едно към друго. Лесно е да се разбере, че ще бъде лесно да възстановите оригиналния спектър от такъв „сгънат“ спектър - ще бъде достатъчно просто да вземете компонента на спектъра в района на нула, „отрязвайки“ допълнителните копия, които отиват до безкрайност. Най-простият начин да направите това е да умножите спектъра по правоъгълна функция, равна на T в диапазона -1/2T...1/2T и нула извън този диапазон. Подобно преобразуване на Фурие съответства на функцията sinc (Tx) и според свойство 4 такова умножение е еквивалентно на навиване на оригиналната последователност от делта функции с функцията sinc(Tx)
Тоест, използвайки преобразуването на Фурие, получихме начин лесно да възстановим оригиналния сигнал от времеви дискретизиран, който работи при условие, че използваме честота на дискретизация, която е поне два пъти (поради наличието на отрицателни честоти в спектъра ) максималната честота, присъстваща в оригиналния сигнал. Този резултат е широко известен и се нарича теорема на Котельников/Шанън-Найкуист. Въпреки това, както е лесно да се види сега (разбирайки доказателството), този резултат, противно на широко разпространеното погрешно схващане, определя достатъчно, но не необходимоусловие за възстановяване на оригиналния сигнал. Всичко, от което се нуждаем, е да гарантираме, че частта от спектъра, която ни интересува след семплиране на сигнала, не се припокрива един друг и ако сигналът е достатъчно теснолентов (има малка „широчина“ на ненулевата част на спектър), то този резултат често може да бъде постигнат дори при честота на дискретизация, много по-ниска от удвоената максимална честота на сигнала. Тази техника се нарича „подсемплиране“ (подсемплиране, лентова дискретизация) и се използва доста широко при обработката на всички видове радиосигнали. Например, ако вземем FM радио, работещо в честотната лента от 88 до 108 MHz, тогава за дигитализирането му може да се използва ADC с честота от само 43,5 MHz вместо 216 MHz, приети от теоремата на Котельников. В този случай обаче имате нужда от висококачествен ADC и добър филтър.
Отбелязвам, че „дублирането“ на високите честоти чрез честоти от по-нисък порядък (алиасинг) е пряко свойство на семплирането на сигнала, което необратимо „разваля“ резултата. Следователно, ако по принцип в сигнала могат да присъстват честоти от висок порядък (тоест почти винаги), пред ADC се поставя аналогов филтър, който „отрязва“ всичко излишно директно в оригиналния сигнал (тъй като ще бъде твърде късно да направите това след вземане на проби). Характеристиките на тези филтри, като аналогови устройства, не са идеални, така че все още се появяват някои „повреди“ на сигнала и на практика следва, че най-високите честоти в спектъра обикновено са ненадеждни. За да се смекчи този проблем, не е необичайно да се пробва сигналът със свръхсемплирана скорост, като същевременно се настройва аналоговият входен филтър на по-ниска честотна лента и се използва само долната част от теоретично наличния честотен диапазон на ADC.
Друго често срещано погрешно схващане, между другото, е, когато сигналът на изхода на DAC се изтегля на „стъпки“. „Стъпки“ съответстват на конволюцията на извадената последователност от сигнали с правоъгълна функция на ширина T и височина 1:
При такава трансформация спектърът на сигнала се умножава по преобразуването на Фурие на тази правоъгълна функция и за подобна правоъгълна функция отново е sinc(w), „разтегната” е толкова по-силна, колкото по-малка е ширината на съответния правоъгълник. Спектърът на пробния сигнал с подобен "DAC" се умножава точково по този спектър. В този случай ненужните високи честоти с „допълнителни копия“ на спектъра не са напълно отрязани, а горната част на „полезната“ част на спектъра, напротив, е отслабена.
На практика, разбира се, никой не прави това. Има много различни подходи за изграждане на DAC, но дори и в най-сходния тип претегляне DAC, напротив, правоъгълните импулси в DAC се избират възможно най-кратки (приближавайки се до реална последователност от делта функции), за да се избегне ненужното потискане от полезната част от спектъра. „Допълнителните“ честоти в получения широколентов сигнал почти винаги се заглушават чрез преминаване на сигнала през аналогов нискочестотен филтър, така че да няма „цифрови стъпки“ нито „вътре“ в преобразувателя, нито, освен това, на неговия изход.
Нека обаче се върнем към преобразуването на Фурие. Преобразуването на Фурие, описано по-горе, приложено към предварително дискретирана последователност от сигнали, се нарича преобразуване на Фурие с дискретно време (DTFT). Спектърът, получен чрез такава трансформация, винаги е 1/T-периодичен, така че DTFT спектърът се определя напълно от неговите стойности на сегмента)
