Примерите за решаване на логаритми са прости. Преобразуване на изрази с логаритми, примери, решения

Изброените равенства при преобразуване на изрази с логаритми се използват както отдясно наляво, така и отляво надясно.

Струва си да се отбележи, че не е необходимо да запомняте последствията от свойствата: когато извършвате трансформации, можете да се справите с основните свойства на логаритмите и други факти (например тези за b≥0), от които съответните следват последствията. "Страничният ефект" от този подход е само, че решението ще бъде малко по-дълго. Например, за да се направи без последствието, което се изразява с формулата , и като се започне само от основните свойства на логаритмите, ще трябва да извършите верига от трансформации от следната форма: .

Същото може да се каже и за последното свойство от горния списък, което отговаря на формулата , тъй като това следва и от основните свойства на логаритмите. Основното нещо, което трябва да се разбере, е, че винаги е възможно степента на положително число с логаритъм в степента да размени основата на степента и числото под знака на логаритъма. Честно казано, отбелязваме, че примерите, включващи прилагане на трансформации от този вид, са рядкост на практика. По-долу ще дадем няколко примера.

Преобразуване на числови изрази с логаритми

Спомнихме си свойствата на логаритмите, сега е време да се научим как да ги прилагаме на практика, за да преобразуваме изрази. Естествено е да започнете с трансформацията на числови изрази, а не на изрази с променливи, тъй като е по-удобно и по-лесно да научите основите върху тях. Така че ще направим това и ще започнем с много прости примери, за да научим как да избираме желаното свойство на логаритъма, но постепенно ще усложняваме примерите, до точката, в която няколко свойства ще трябва да бъдат приложени в ред, за да получите крайния резултат.

Избиране на желаното свойство на логаритмите

Свойствата на логаритмите не са толкова малко и е ясно, че трябва да можете да изберете подходящото от тях, което в конкретния случай ще доведе до желания резултат. Обикновено това не е трудно да се направи, като се сравнят формата на преобразувания логаритъм или израз с типовете на лявата и дясната част на формулите, изразяващи свойствата на логаритмите. Ако лявата или дясната страна на една от формулите съвпада с дадения логаритъм или израз, тогава най-вероятно това свойство трябва да се приложи по време на трансформацията. Следващите примери ясно показват това.

Нека започнем с примери за трансформиране на изрази с помощта на дефиницията на логаритъма, който съответства на формулата a log a b =b , a>0 , a≠1, b>0 .

Пример.

Изчислете, ако е възможно: a) 5 log 5 4 , b) 10 log(1+2 π) , c) , г) 2 log 2 (−7) , д) .

Решение.

В примера буква а) ясно показва структурата a log a b, където a=5, b=4. Тези числа отговарят на условията a>0, a≠1, b>0, така че можете безопасно да използвате равенството a log a b =b. Имаме 5 log 5 4=4 .

b) Тук a=10 , b=1+2 π , са изпълнени условия a>0, a≠1, b>0. В този случай се изпълнява равенството 10 lg(1+2 π) =1+2 π.

в) И в този пример имаме работа със степен от вида a log a b , където и b=ln15 . Така .

Въпреки че принадлежи към една и съща форма a log a b (тук a=2, b=−7), изразът под буквата d) не може да бъде преобразуван по формулата a log a b =b. Причината е, че няма смисъл, защото съдържа отрицателно число под знака на логаритъма. Освен това числото b=−7 не удовлетворява условието b>0, което прави невъзможно прибягването до формулата a log a b =b, тъй като изисква условията a>0, a≠1, b>0. Така че, не можем да говорим за изчисляване на стойността 2 log 2 (−7) . В този случай записването на 2 log 2 (−7) = −7 би било грешка.

По същия начин в примера под буквата д) е невъзможно да се даде решение на формата , тъй като оригиналният израз няма смисъл.

Отговор:

а) 5 log 5 4 =4, б) 10 log(1+2 π) =1+2 π, в) , d), e) изразите нямат смисъл.

Често е полезно да се преобразува положително число като степен на някакво положително неедно число с логаритъм в степента. Тя се основава на същата дефиниция на логаритъма a log a b =b , a>0 , a≠1, b>0 , но формулата се прилага от дясно на ляво, тоест във формата b=a log a b . Например, 3=e ln3 или 5=5 log 5 5 .

Нека преминем към използването на свойствата на логаритмите за трансформиране на изрази.

Пример.

Намерете стойността на израза: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Решение.

В примерите под буквите a), b) и c) са дадени изразите log −2 1 , log 1 1 , log 0 1 , които нямат смисъл, тъй като основата на логаритъма не трябва да съдържа отрицателно число , нула или едно, защото сме дефинирали логаритъм само за положителна и неединична основа. Следователно в примери а) - в) не може да става дума за намиране на стойността на израза.

При всички останали задачи очевидно основите на логаритмите съдържат положителни и неединични числа съответно 7 , e , 10 , 3.75 и 5 π 7 и единиците са навсякъде под знаците на логаритмите. И ние знаем свойството на логаритъма на единицата: log a 1=0 за всеки a>0, a≠1. По този начин стойностите на изразите b) - f) са равни на нула.

Отговор:

a), b), c) изразите нямат смисъл, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0 .

Пример.

Изчислете: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), д) log −3 (−3) , е) log 1 1 .

Решение.

Ясно е, че трябва да използваме свойството на логаритъма на основата, което съответства на формулата log a a=1 за a>0 , a≠1 . Всъщност в задачите под всички букви числото под знака на логаритъма съвпада с неговата основа. По този начин искам веднага да кажа, че стойността на всеки от дадените изрази е 1. Въпреки това, не бързайте с изводите: в задачи под буквите а) - г) стойностите на изразите наистина са равни на единица, а в задачи д) и е) оригиналните изрази нямат смисъл, така че не може може да се каже, че стойностите на тези изрази са равни на 1.

Отговор:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, д), е) изразите нямат смисъл.

Пример.

Намерете стойността: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Решение.

Очевидно под знаците на логаритмите са някои степени на основата. Въз основа на това разбираме, че свойството на степента на основата е полезно тук: log a a p =p, където a>0, a≠1 и p е всяко реално число. Имайки предвид това, имаме следните резултати: a) log 3 3 11 =11 , b) , в) . Възможно ли е да се запише подобно равенство за примера под буквата d) от вида log −10 (−10) 6 =6? Не, не можете, защото log −10 (−10) 6 няма смисъл.

Отговор:

а) log 3 3 11 =11, б) , в) г) изразът няма смисъл.

Пример.

Изразете израза като сбор или разлика от логаритми в една и съща основа: а) , b) , c) log((−5) (−12)) .

Решение.

а) Продуктът е под знака на логаритъма и знаем свойството на логаритъма на продукта log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y> 0 . В нашия случай числото в основата на логаритъма и числата в произведението са положителни, тоест отговарят на условията на избраното свойство, следователно можем безопасно да го приложим: .

б) Тук използваме свойството на логаритъма на частното, където a>0, a≠1, x>0, y>0. В нашия случай основата на логаритъма е положително число e, числителят и знаменателят π са положителни, което означава, че удовлетворяват условията на свойството, така че имаме право да използваме избраната формула: .

в) Първо, обърнете внимание, че изразът lg((−5) (−12)) има смисъл. Но в същото време нямаме право да прилагаме формулата за логаритъма на продукта log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y>0 , тъй като числата −5 и −12 са отрицателни и не отговарят на условията x>0 , y>0 . Това означава, че е невъзможно да се извърши такава трансформация: log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). Но какво да правя? В такива случаи оригиналният израз трябва да бъде предварително трансформиран, за да се избегнат отрицателни числа. Ще говорим подробно за подобни случаи на преобразуване на изрази с отрицателни числа под знака на логаритъм в един от, но засега ще дадем решение на този пример, което е ясно предварително и без обяснение: lg((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

Отговор:

а) , б) , в) lg((−5) (−12))=lg5+lg12 .

Пример.

Опростете израза: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b) .

Решение.

Тук ще ни помогнат всички същите свойства на логаритъма на продукта и логаритъма на частното, които използвахме в предишните примери, само че сега ще ги приложим от дясно на ляво. Тоест преобразуваме сумата от логаритмите в логаритъма на произведението, а разликата от логаритмите в логаритъма на частното. Ние имаме
а) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
б) .

Отговор:

а) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, б) .

Пример.

Отървете се от степента под знака на логаритъма: a) log 0,7 5 11, b) , в) log 3 (−5) 6 .

Решение.

Лесно е да се види, че имаме работа с изрази като log a b p . Съответното свойство на логаритъма е log a b p =p log a b , където a>0, a≠1, b>0, p е всяко реално число. Тоест при условията a>0 , a≠1, b>0 от логаритъма на степента log a b p можем да отидем до произведението p·log a b . Нека извършим тази трансформация с дадените изрази.

а) В този случай a=0,7, b=5 и p=11. Така че log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 .

b) Тук условията a>0, a≠1, b>0 са изпълнени. Ето защо

в) Изразът log 3 (−5) 6 има същата структура log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Но за b условието b>0 не е изпълнено, което прави невъзможно прилагането на формулата log a b p =p log a b . Така че защо не можете да свършите работата? Възможно е, но е необходима предварителна трансформация на израза, която ще разгледаме подробно по-долу в параграфа под заглавието. Решението ще бъде така: log 3 (−5) 6 = log 3 5 6 =6 log 3 5.

Отговор:

а) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 ,
б)
в) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5 .

Доста често формулата за логаритъм на степента при извършване на трансформации трябва да се прилага от дясно на ляво във формата p log a b \u003d log a b p (това изисква същите условия за a, b и p). Например, 3 ln5=ln5 3 и lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 .

Пример.

а) Изчислете стойността на log 2 5, ако е известно, че lg2≈0,3010 и lg5≈0,6990. б) Запишете дроба като логаритъм на база 3.

Решение.

а) Формулата за преход към нова основа на логаритъма ни позволява да представим този логаритъм като съотношение на десетични логаритми, чиито стойности са ни известни: . Остава само да извършим изчисленията, които имаме .

б) Тук е достатъчно да използвате формулата за преход към нова основа и да я приложите отдясно наляво, тоест във формата . Получаваме .

Отговор:

а) log 2 5≈2,3223, б) .

На този етап доста внимателно разгледахме трансформацията на най-простите изрази, използвайки основните свойства на логаритмите и дефиницията на логаритъм. В тези примери трябваше да използваме едно свойство и нищо друго. Сега с чиста съвест можете да преминете към примери, чиято трансформация изисква използването на няколко свойства на логаритми и други допълнителни трансформации. Ще се занимаваме с тях в следващия параграф. Но преди това нека се спрем накратко върху примери за прилагане на следствия от основните свойства на логаритмите.

Пример.

а) Отърви се от корена под знака на логаритъма. б) Преобразувайте дроба в логаритъм с основа 5. в) Отърви се от степени под знака на логаритъма и в основата му. г) Изчислете стойността на израза . д) Заменете израза със степен с основа 3.

Решение.

а) Ако си припомним следствието от свойството на логаритъма на степента , тогава можете веднага да отговорите: .

б) Тук използваме формулата от дясно на ляво, имаме .

в) В този случай формулата води до резултата . Получаваме .

г) И тук е достатъчно да приложим следствието, на което отговаря формулата . Така .

д) Свойството на логаритъма ни позволява да постигнем желания резултат: .

Отговор:

а) . б) . в) . ж) . д) .

Последователно прилагане на множество свойства

Реалните задачи за преобразуване на изрази с помощта на свойствата на логаритмите обикновено са по-сложни от тези, с които се занимавахме в предишния параграф. При тях по правило резултатът не се получава в една стъпка, но решението вече се състои в последователно прилагане на едно свойство след друго, заедно с допълнителни идентични трансформации, като отваряне на скоби, намаляване на подобни членове, намаляване на дроби и т.н. . Така че нека се доближим до такива примери. В това няма нищо сложно, основното е да действате внимателно и последователно, като спазвате реда, в който се извършват действията.

Пример.

Изчислете стойността на израз (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Решение.

Разликата на логаритмите в скоби от свойството на логаритъма на частното може да бъде заменена с логаритъма log 3 (15:5) и след това да се изчисли неговата стойност log 3 (15:5)=log 3 3=1 . А стойността на израза 7 log 7 5 по дефиницията на логаритъма е 5 . Замествайки тези резултати в оригиналния израз, получаваме (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Ето решение без обяснение:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5=1 5=5 .

Отговор:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Пример.

Каква е стойността на числовия израз log 3 log 2 2 3 −1 ?

Решение.

Нека първо преобразуваме логаритъма, който е под знака на логаритъма, по формулата на логаритъма на степента: log 2 2 3 =3. Така че log 3 log 2 2 3 =log 3 3 и след това log 3 3=1 . Така че log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Отговор:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Пример.

Опростете израза.

Решение.

Формулата за преобразуване към нова основа на логаритъма позволява съотношението на логаритмите към една основа да бъде представено като log 3 5 . В този случай оригиналният израз ще приеме формата . По дефиниция на логаритъма 3 log 3 5 =5 , т.е , а стойността на получения израз, по силата на същото определение на логаритъма, е равна на две.

Ето кратка версия на решението, която обикновено се дава: .

Отговор:

.

За плавен преход към информацията от следващия параграф, нека да разгледаме изразите 5 2+log 5 3 и lg0.01 . Тяхната структура не отговаря на нито едно от свойствата на логаритмите. И така, какво се случва, ако те не могат да бъдат преобразувани с помощта на свойствата на логаритмите? Възможно е, ако извършите предварителни трансформации, които подготвят тези изрази за прилагане на свойствата на логаритмите. Така 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, и lg0,01=lg10 −2 = −2 . По-нататък ще разберем подробно как се извършва такава подготовка на изрази.

Подготовка на изрази за прилагане на свойствата на логаритмите

Логаритмите в преобразувания израз много често се различават по структурата на нотацията от лявата и дясната част на формулите, които съответстват на свойствата на логаритмите. Но също толкова често трансформацията на тези изрази включва използването на свойствата на логаритмите: тяхното използване изисква само предварителна подготовка. И тази подготовка се състои в извършване на определени идентични трансформации, които привеждат логаритмите до форма, удобна за прилагане на свойства.

Честно казано, отбелязваме, че почти всяка трансформация на изрази може да действа като предварителни трансформации, от баналното намаляване на подобни термини до използването на тригонометрични формули. Това е разбираемо, тъй като преобразуваните изрази могат да съдържат всякакви математически обекти: скоби, модули, дроби, корени, степени и т.н. Следователно, човек трябва да бъде подготвен да извърши всяка необходима трансформация, за да се възползва допълнително от свойствата на логаритмите.

Да кажем веднага, че в този раздел не си поставяме задачата да класифицираме и анализираме всички възможни предварителни трансформации, които ни позволяват да приложим свойствата на логаритмите или определението на логаритъм в бъдеще. Тук ще се спрем само на четири от тях, които са най-характерни и най-често срещани в практиката.

И сега подробно за всеки от тях, след което в рамките на нашата тема остава само да се занимаваме с трансформацията на изрази с променливи под знаците на логаритми.

Избор на степени под знака на логаритъма и в неговата основа

Нека започнем веднага с пример. Нека имаме логаритъм. Очевидно в тази форма неговата структура не е благоприятна за използването на свойствата на логаритмите. Възможно ли е по някакъв начин този израз да се трансформира, за да се опрости или дори по-добре да се изчисли неговата стойност? За да отговорим на този въпрос, нека разгледаме по-отблизо числата 81 и 1/9 в контекста на нашия пример. Тук е лесно да се види, че тези числа могат да бъдат представени като степен на 3 , наистина, 81=3 4 и 1/9=3 −2 . В този случай оригиналният логаритъм се представя във формата и става възможно да се приложи формулата . Така, .

Анализът на анализирания пример поражда следната идея: ако е възможно, можете да опитате да откроите степента под знака на логаритъма и в основата му, за да приложите свойството на логаритъма на степента или следствието от него. Остава само да разберем как да отделим тези степени. Ще дадем някои препоръки по този въпрос.

Понякога е съвсем очевидно, че числото под знака на логаритъма и/или в основата му представлява някаква цяла степен, както в примера, разгледан по-горе. Почти постоянно трябва да се справяте със степените на две, които са добре познати: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512= 2 9 , 1024=2 10 . Същото може да се каже и за степените на тройката: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... Като цяло не боли, ако има таблица на степените на естествените числав рамките на десет. Също така не е трудно да се работи с цели числа от десет, сто, хиляди и т.н.

Пример.

Изчислете стойността или опростете израза: a) log 6 216 , b) , c) log 0,000001 0,001 .

Решение.

а) Очевидно, 216=6 3 , така че log 6 216=log 6 6 3 =3 .

б) Таблицата на степените на естествените числа ни позволява да представим числата 343 и 1/243 като степени съответно на 7 3 и 3 −4. Следователно е възможно следната трансформация на дадения логаритъм:

в) Тъй като 0,000001=10 −6 и 0,001=10 −3, тогава log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Отговор:

a) log 6 216=3, b) , в) log 0,000001 0,001=1/2 .

В по-сложни случаи, за да подчертаете степените на числата, трябва да прибягвате до.

Пример.

Променете израза към по-простата форма log 3 648 log 2 3 .

Решение.

Нека видим какво е разлагането на числото 648 на прости множители:

Тоест 648=2 3 3 4 . По този начин, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Сега преобразуваме логаритъма на произведението в сумата от логаритми, след което прилагаме свойствата на логаритъма на степента:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

По силата на следствието от свойството на логаритъма на степента, което съответства на формулата , продуктът log32 log23 е продуктът и е известно, че е равен на единица. Имайки предвид това, получаваме 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Отговор:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Доста често изразите под знака на логаритъма и в неговата основа са продукти или съотношения на корените и / или степени на някои числа, например , . Подобни изрази могат да бъдат представени като степен. За да направите това, се извършва преходът от корени към градуси и се прилагат. Тези трансформации ви позволяват да изберете градусите под знака на логаритъма и в неговата основа и след това да приложите свойствата на логаритмите.

Пример.

Изчислете: а) , б).

Решение.

а) Изразът в основата на логаритъма е произведение на степени със същите основи, по съответното свойство на степените, които имаме 5 2 5 −0,5 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Сега нека преобразуваме дроба под знака на логаритъма: нека преминем от корена към степента, след което ще използваме свойството на съотношението на градуси със същите основи: .

Остава да замените получените резултати в оригиналния израз, използвайте формулата и завършете трансформацията:

б) Тъй като 729=3 6 и 1/9=3 −2, оригиналният израз може да бъде пренаписан като .

След това приложете свойството на корена на степента, преместете се от корена към експонента и използвайте свойството отношение на степените, за да преобразувате основата на логаритъма в степен: .

Като вземем предвид последния резултат, имаме .

Отговор:

а) , б).

Ясно е, че в общия случай за получаване на степени под знака на логаритъма и в неговата основа може да са необходими различни трансформации на различни изрази. Нека да дадем няколко примера.

Пример.

Каква е стойността на израза: а) , б) .

Решение.

Освен това отбелязваме, че даденият израз има формата log A B p , където A=2 , B=x+1 и p=4 . Преобразувахме числови изрази от този вид според свойството на логаритъма на степента log a b p \u003d p log a b, следователно с даден израз искам да направя същото и да премина от log 2 (x + 1) 4 до 4 log 2 (x + 1) . И сега нека изчислим стойността на оригиналния израз и израза, получен след трансформацията, например с x=−2 . Имаме log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 и 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- безсмислен израз. Това повдига законен въпрос: „Какво направихме погрешно“?

И причината е следната: извършихме трансформацията log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) , въз основа на формулата log a b p =p log a b , но имаме право да приложим само тази формула ако условията a >0 , a≠1 , b>0 , p - всяко реално число. Тоест, трансформацията, която направихме, се осъществява, ако x+1>0 , което е същото x>−1 (за A и p условията са изпълнени). В нашия случай обаче ODZ на променливата x за оригиналния израз се състои не само от интервала x> −1 , но и от интервала x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Необходимостта да се вземе предвид ОДЗ

Нека продължим да анализираме трансформацията на избрания от нас израз log 2 (x+1) 4 и сега да видим какво се случва с ODZ при преминаване към израза 4 log 2 (x+1) . В предишния параграф намерихме ODZ на оригиналния израз - това е множеството (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Сега нека намерим областта на приемливите стойности на променливата x за израза 4 log 2 (x+1) . Определя се от условието x+1>0, което съответства на множеството (−1, +∞) . Очевидно е, че при преминаване от log 2 (x+1) 4 към 4·log 2 (x+1), диапазонът на допустимите стойности се стеснява. И се разбрахме да избягваме реформи, които водят до стесняване на ОДЗ, тъй като това може да доведе до различни негативни последици.

Тук си струва да отбележите за себе си, че е полезно да контролирате ODZ на всяка стъпка от трансформацията и да не му позволявате да се стеснява. И ако изведнъж на някакъв етап от трансформацията е имало стесняване на ОДЗ, тогава си струва много внимателно да разгледаме дали тази трансформация е допустима и дали сме имали право да я извършим.

Честно казано казваме, че на практика обикновено трябва да работим с изрази, в които ODZ на променливите е такъв, че ни позволява да използваме свойствата на логаритмите без ограничения във формата, която вече ни е известна, както отляво надясно, така и от от дясно на ляво при извършване на трансформации. Бързо свиквате с това и започвате да извършвате трансформациите механично, без да мислите дали е възможно да ги извършите. И в такива моменти, както би било късметът, се промъкват по-сложни примери, в които неточното прилагане на свойствата на логаритмите води до грешки. Така че трябва винаги да сте нащрек и да се уверите, че няма стесняване на ODZ.

Не пречи отделно да подчертаете основните трансформации въз основа на свойствата на логаритмите, които трябва да се извършват много внимателно, което може да доведе до стесняване на ODZ и в резултат на това до грешки:

Някои трансформации на изрази според свойствата на логаритмите могат да доведат и до обратното - разширяване на ODZ. Например преминаването от 4 log 2 (x+1) към log 2 (x+1) 4 разширява ODZ от множеството (−1, +∞) до (−∞, −1)∪(−1, +∞ ) . Такива трансформации се извършват, ако останете в рамките на ODZ за оригиналния израз. Така че току-що споменатата трансформация 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 се извършва върху ODZ променливата x за оригиналния израз 4 log 2 (x+1) , тоест когато x+1> 0 , което е същото като (−1, +∞) .

Сега, когато обсъдихме нюансите, на които трябва да обърнете внимание, когато преобразувате изрази с променливи, използвайки свойствата на логаритмите, остава да разберем как тези преобразувания трябва да се извършват правилно.

X+2>0 . Работи ли в нашия случай? За да отговорим на този въпрос, нека да разгледаме DPV на променливата x. Определя се от системата от неравенства , което е еквивалентно на условието x+2>0 (ако е необходимо, вижте статията решение на системи от неравенства). По този начин можем безопасно да приложим свойството на логаритъма на степента.

Ние имаме
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

Можете да действате различно, тъй като ODZ ви позволява да направите това, например така:

Отговор:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

И какво да правим, когато условията, свързани със свойствата на логаритмите, не са изпълнени в ODZ? Ще се справим с това с примери.

Нека се изисква да опростим израза lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . Преобразуването на този израз, за ​​разлика от израза от предишния пример, не позволява свободното използване на свойството на логаритъма на степента. Защо? ODZ на променливата x в този случай е обединението на два интервала x>−2 и x<−2 . При x>−2 можем безопасно да приложим свойството на логаритъма на степента и да продължим както в примера по-горе: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Но ODZ съдържа друг интервал x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2и по-нататък, поради свойствата на мощността на lg|x+2| 4−lg|x+2| 2. Полученият израз може да бъде трансформиран според свойството на логаритъма на степента, тъй като |x+2|>0 за всякакви стойности на променливата. Ние имаме log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Сега можете да се отървете от модула, тъй като той си е свършил работата. Тъй като преобразуваме при x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Нека разгледаме още един пример, за да запознаем работата с модулите. Нека си представим от израза преминете към сбора и разликата от логаритмите на линейните биноми x−1 , x−2 и x−3 . Първо намираме ODZ:

На интервала (3, +∞) стойностите на изразите x−1 , x−2 и x−3 са положителни, така че можем безопасно да приложим свойствата на логаритъма на сбора и разликата:

И на интервала (1, 2) стойностите на израза x−1 са положителни, а стойностите на изразите x−2 и x−3 са отрицателни. Следователно на разглеждания интервал ние представяме x−2 и x−3, използвайки модула като −|x−2| и −|x−3| съответно. При което

Сега можем да приложим свойствата на логаритъма на произведението и частното, тъй като на разглеждания интервал (1, 2) стойностите на изразите x−1 , |x−2| и |x−3| - положителен.

Ние имаме

Получените резултати могат да се комбинират:

Като цяло подобни разсъждения позволяват, въз основа на формулите за логаритъма на продукта, съотношението и степента, да се получат три практически полезни резултата, които са доста удобни за използване:

• Логаритъмът на произведението на два произволни израза X и Y от вида log a (X·Y) може да бъде заменен със сумата от логаритмите log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
• Специалният логаритъм log a (X:Y) може да бъде заменен с разликата на логаритмите log a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X и Y са произволни изрази.
• От логаритъма на някакъв израз B към четна степен p от формата log a B p може да се премине към израза p log a |B| , където a>0 , a≠1 , p е четно число и B е произволен израз.

Подобни резултати са дадени например в инструкциите за решаване на експоненциални и логаритмични уравнения в сборника от задачи по математика за кандидати в университети, под редакцията на М. И. Сканави.

Пример.

Опростете израза .

Решение.

Би било добре да се приложат свойствата на логаритъма на степента, сбора и разликата. Но можем ли да го направим тук? За да отговорим на този въпрос, трябва да познаваме ОДЗ.

Нека го дефинираме:

Съвсем очевидно е, че изразите x+4, x−2 и (x+4) 13 за диапазона от възможни стойности на променливата x могат да приемат както положителни, така и отрицателни стойности. Следователно ще трябва да работим чрез модули.

Свойствата на модула ви позволяват да пренапишете като , така

Също така нищо не ви пречи да използвате свойството на логаритъма на степента и след това да донесете подобни термини:

Друга последователност от трансформации води до същия резултат:

и тъй като изразът x−2 може да приеме както положителни, така и отрицателни стойности на ODZ, при вземане на четен показател 14

Продължаваме да изучаваме логаритмите. В тази статия ще говорим за изчисляване на логаритми, този процес се нарича логаритъм. Първо, ще се занимаваме с изчисляването на логаритмите по дефиниция. След това помислете как се намират стойностите на логаритмите, използвайки техните свойства. След това ще се спрем на изчисляването на логаритмите чрез първоначално дадените стойности на други логаритми. И накрая, нека се научим как да използваме логаритмни таблици. Цялата теория е снабдена с примери с подробни решения.

Навигация в страницата.

Изчисляване на логаритми по дефиниция

В най-простите случаи е възможно бързо и лесно изпълнение намиране на логаритъм по дефиниция. Нека разгледаме по-подробно как протича този процес.

Неговата същност е да представи числото b във формата a c , откъдето според дефиницията на логаритъма числото c е стойността на логаритъма. Тоест намирането на логаритъма по дефиниция съответства на следната верига от равенства: log a b=log a a c =c .

И така, изчисляването на логаритъма по дефиниция се свежда до намирането на такова число c, че a c \u003d b, а самото число c е желаната стойност на логаритъма.

Като се има предвид информацията от предишните параграфи, когато числото под знака на логаритъма е дадено с някаква степен на основата на логаритъма, тогава можете веднага да посочите на какво е равен логаритъмът - той е равен на степента. Нека покажем примери.

Пример.

Намерете log 2 2 −3 и изчислете естествения логаритъм на e 5.3 .

Решение.

Дефиницията на логаритъма ни позволява веднага да кажем, че log 2 2 −3 = −3 . Действително, числото под знака на логаритъма е равно на основата 2 на степен −3.

По същия начин намираме втория логаритъм: lne 5.3 =5.3.

Отговор:

log 2 2 −3 = −3 и lne 5.3 =5.3 .

Ако числото b под знака на логаритъма не е дадено като силата на основата на логаритъма, тогава трябва внимателно да прецените дали е възможно да излезете с представяне на числото b във формата a c . Често това представяне е съвсем очевидно, особено когато числото под знака на логаритъма е равно на основата на степен 1, или 2, или 3, ...

Пример.

Изчислете логаритмите log 5 25 и .

Решение.

Лесно е да се види, че 25=5 2 , това ви позволява да изчислите първия логаритъм: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Пристъпваме към изчисляването на втория логаритъм. Едно число може да бъде представено като степен на 7: (вижте, ако е необходимо). следователно, .

Нека пренапишем третия логаритъм в следната форма. Сега можете да видите това , откъдето заключаваме, че . Следователно, по дефиницията на логаритъма .

Накратко решението може да се запише по следния начин:

Отговор:

log 5 25=2 , и .

Когато достатъчно голямо естествено число е под знака на логаритъма, тогава не пречи да го разложите на прости множители. Често помага да се представи такова число като някаква степен на основата на логаритъма и следователно да се изчисли този логаритъм по дефиниция.

Пример.

Намерете стойността на логаритъма.

Решение.

Някои свойства на логаритмите ви позволяват незабавно да посочите стойността на логаритмите. Тези свойства включват свойството на логаритъма на единица и свойството на логаритъма на число, равно на основата: log 1 1=log a a 0 =0 и log a a=log a a 1 =1 . Тоест, когато числото 1 или числото а е под знака на логаритъма, равен на основата на логаритъма, тогава в тези случаи логаритмите са съответно 0 и 1.

Пример.

Какви са логаритмите и lg10?

Решение.

Тъй като , това следва от определението на логаритъма .

Във втория пример числото 10 под знака на логаритъма съвпада с неговата основа, така че десетичният логаритъм от десет е равен на единица, тоест lg10=lg10 1 =1 .

Отговор:

И lg10=1.

Обърнете внимание, че изчисляването на логаритми по дефиниция (което обсъдихме в предишния параграф) предполага използването на равенството log a a p =p , което е едно от свойствата на логаритмите.

На практика, когато числото под знака на логаритъма и основата на логаритъма лесно се представят като степен на някакво число, е много удобно да се използва формулата , което съответства на едно от свойствата на логаритмите. Помислете за пример за намиране на логаритъм, илюстриращ използването на тази формула.

Пример.

Изчислете логаритъма на .

Решение.

Отговор:

.

Свойствата на логаритмите, които не са споменати по-горе, също се използват при изчислението, но ще говорим за това в следващите параграфи.

Намиране на логаритми по отношение на други известни логаритми

Информацията в този параграф продължава темата за използване на свойствата на логаритмите при тяхното изчисляване. Но тук основната разлика е, че свойствата на логаритмите се използват за изразяване на оригиналния логаритъм чрез друг логаритъм, чиято стойност е известна. Нека вземем пример за пояснение. Да кажем, че знаем, че log 2 3≈1.584963 , тогава можем да намерим, например, log 2 6, като направим малка трансформация, използвайки свойствата на логаритъма: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

В горния пример беше достатъчно да използваме свойството на логаритъма на произведението. Много по-често обаче трябва да използвате по-широк арсенал от свойства на логаритмите, за да изчислите оригиналния логаритъм по отношение на дадените.

Пример.

Изчислете логаритъма от 27 до основа 60, ако е известно, че log 60 2=a и log 60 5=b .

Решение.

Така че трябва да намерим log 60 27 . Лесно е да се види, че 27=3 3 , а оригиналният логаритъм, поради свойството на логаритъма на степента, може да се пренапише като 3·log 60 3 .

Сега нека видим как log 60 3 може да бъде изразено чрез известни логаритми. Свойството на логаритъма на число, равно на основата, ви позволява да напишете log за равенство 60 60=1 . От друга страна, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . По този начин, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. следователно, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Накрая изчисляваме оригиналния логаритъм: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Отговор:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Отделно си струва да се спомене значението на формулата за преход към нова основа на логаритъма на формата . Позволява ви да преминете от логаритми с произволна основа към логаритми с конкретна основа, чиито стойности са известни или е възможно да ги намерите. Обикновено от оригиналния логаритъм, според формулата за преход, те преминават към логаритми в една от основите 2, e или 10, тъй като за тези бази има таблици с логаритми, които позволяват изчисляване на техните стойности с определена степен на точност. В следващия раздел ще покажем как се прави това.

Таблици на логаритмите, тяхното използване

За приблизително изчисляване на стойностите на логаритмите може да се използва логаритмични таблици. Най-често използваните са таблицата с логаритъм с основа 2, таблицата с естествен логаритъм и таблицата с десетичния логаритъм. Когато работите в десетичната бройна система, е удобно да използвате таблица с логаритми с основа десет. С негова помощ ще се научим да намираме стойностите на логаритмите.

Представената таблица позволява с точност до една десет хилядна да се намерят стойностите на десетичните логаритми на числата от 1.000 до 9.999 (с три знака след десетичната запетая). Ще анализираме принципа на намиране на стойността на логаритъма с помощта на таблица с десетични логаритми, като използваме конкретен пример - това е по-ясно. Нека намерим lg1,256 .

В лявата колона на таблицата с десетични логаритми намираме първите две цифри на числото 1,256, тоест намираме 1,2 (това число е оградено в синьо за по-голяма яснота). Третата цифра на числото 1.256 (число 5) се намира в първия или последния ред вляво от двойния ред (това число е оградено в червено). Четвъртата цифра от оригиналното число 1.256 (число 6) се намира в първия или последния ред вдясно от двойния ред (това число е оградено със зелено). Сега намираме числата в клетките на таблицата с логаритми в пресечната точка на маркирания ред и маркираните колони (тези числа са маркирани в оранжево). Сборът от отбелязаните числа дава желаната стойност на десетичния логаритъм до четвъртия десетичен знак, т.е. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Възможно ли е с помощта на горната таблица да се намерят стойностите на десетичните логаритми на числа, които имат повече от три цифри след десетичната запетая, а също така излизат извън границите от 1 до 9,999? Да, можеш. Нека покажем как се прави това с пример.

Нека изчислим lg102.76332 . Първо трябва да напишете номер в стандартен вид: 102,76332=1,0276332 10 2 . След това мантисата трябва да бъде закръглена до третия знак след десетичната запетая, имаме 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, докато първоначалният десетичен логаритъм е приблизително равен на логаритъма на полученото число, тоест вземаме lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Сега приложете свойствата на логаритъма: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Накрая намираме стойността на логаритъма lg1.028 според таблицата на десетичните логаритми lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. В резултат на това целият процес на изчисляване на логаритъма изглежда така: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

В заключение, заслужава да се отбележи, че с помощта на таблицата с десетични логаритми можете да изчислите приблизителната стойност на всеки логаритъм. За да направите това, достатъчно е да използвате формулата за преход, за да преминете към десетични логаритми, да намерите техните стойности в таблицата и да извършите останалите изчисления.

Например, нека изчислим log 2 3 . Според формулата за преход към нова основа на логаритъма имаме . От таблицата на десетичните логаритми намираме lg3≈0.4771 и lg2≈0.3010. По този начин, .

Библиография.

• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др. Алгебрата и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидатстващи в техникуми).

Сега ще разгледаме трансформацията на изрази, съдържащи логаритми от обща гледна точка. Тук ще анализираме не само трансформацията на изрази, използвайки свойствата на логаритмите, но ще разгледаме трансформацията на изрази с общи логаритми, които съдържат не само логаритми, но и степени, дроби, корени и т.н. Както обикновено, ние ще предоставим целия материал с характерни примери с подробно описание на решенията.

Навигация в страницата.

Изрази с логаритми и логаритмични изрази

Извършване на действия с дроби

В предишния параграф анализирахме основните трансформации, които се извършват с отделни дроби, съдържащи логаритми. Тези трансформации, разбира се, могат да бъдат извършени с всяка отделна фракция, която е част от по-сложен израз, например, представляващ сумата, разликата, произведението и частното от подобни фракции. Но в допълнение към работата с отделни дроби, трансформацията на изрази от този вид често включва извършване на подходящи действия с дроби. След това ще разгледаме правилата, по които се извършват тези действия.

От 5-6 клас знаем правилата, по които . В статията общ поглед върху операциите с дробиние разширихме тези правила от обикновени дроби до дроби от общата форма A/B , където A и B са някои числови, буквални или изрази с променливи, а B е идентично различно от нула. Ясно е, че дробите с логаритми са частни случаи на общи дроби. И в тази връзка е ясно, че действията с дроби, които съдържат логаритми в своите записи, се извършват по същите правила. а именно:

• За да добавите или извадете две дроби с еднакви знаменатели, добавете или извадете съответно числителите и оставете знаменателят същият.
• За да добавите или извадите две дроби с различни знаменатели, трябва да ги доведете до общ знаменател и да извършите съответните действия според предишното правило.
• За да умножите две дроби, трябва да напишете дроб, чийто числител е произведение на числителите на първоначалните дроби, а знаменателят е продукт на знаменателите.
• За да разделите дроб на дроб, е необходимо да умножите делимата дроб по обратното число на делителя, тоест по дроба с пренаредени числител и знаменател.

Ето няколко примера за извършване на операции с дроби, съдържащи логаритми.

Пример.

Извършете действия с дроби, съдържащи логаритми: a), b) , в) , G) .

Решение.

а) Знаменателите на добавените дроби очевидно са еднакви. Следователно, според правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели, събираме числителите и оставяме знаменателя същия: .

б) Тук знаменателите са различни. Следователно, първо трябва доведе дроби до един и същ знаменател. В нашия случай знаменателите вече са представени като произведения и остава да вземем знаменателя на първата дроб и да добавим към него липсващите множители от знаменателя на втората дроб. Така получаваме общ знаменател на формата . В този случай извадените дроби се редуцират до общ знаменател с помощта на допълнителни фактори под формата на логаритъм и съответно израза x 2 ·(x+1). След това остава да се извадят дроби със същите знаменатели, което не е трудно.

Така че решението е:

в) Известно е, че резултатът от умножаването на дроби е дроб, чийто числител е произведение на числителите, а знаменателят е продукт на знаменателите, следователно

Лесно е да се види, че е възможно намаляване на фракциятапо две и по десетичния логаритъм, в резултат имаме .

г) Преминаваме от деление на дроби към умножение, като заменяме делителя на дроба с неговото реципрочно число. Така

Числителят на получената дроб може да бъде представен като , от който ясно се вижда общият фактор на числителя и знаменателя - факторът x, можете да намалите дроба с него:

Отговор:

а), б) , в) , G) .

Трябва да се помни, че действията с дроби се извършват, като се вземе предвид реда, в който се извършват действията: първо умножение и деление, след това събиране и изваждане и ако има скоби, тогава първо се извършват действията в скоби.

Пример.

Правете действия с дроби .

Решение.

Първо извършваме добавянето на дроби в скоби, след което ще извършим умножението:

Отговор:

В този момент остава да кажем на глас три доста очевидни, но в същото време важни точки:

Преобразуване на изрази с помощта на свойствата на логаритмите

Най-често преобразуването на изрази с логаритми включва използването на идентичности, изразяващи дефиницията на логаритъма и

Логаритмични изрази, решение на примери. В тази статия ще разгледаме проблеми, свързани с решаването на логаритми. Задачите поставят въпроса за намиране на стойността на израза. Трябва да се отбележи, че понятието логаритъм се използва в много задачи и е изключително важно да се разбере значението му. Що се отнася до USE, логаритъмът се използва при решаване на уравнения, в приложни задачи, а също и в задачи, свързани с изучаване на функции.

Ето примери, за да разберете самото значение на логаритъма:

Основна логаритмична идентичност:

Свойства на логаритмите, които винаги трябва да помните:

*Логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритмите на факторите.

* * *

* Логаритъмът на частното (дроба) е равен на разликата от логаритмите на факторите.

* * *

* Логаритъмът на степента е равен на произведението на степента и логаритъма на нейната основа.

* * *

*Преход към нова база

* * *

Още имоти:

* * *

Изчисляването на логаритми е тясно свързано с използването на свойствата на степените.

Изброяваме някои от тях:

Същността на това свойство е, че при прехвърляне на числителя към знаменателя и обратно, знакът на степента се променя на противоположния. Например:

Последица от това свойство:

* * *

При повишаване на степента в степен, основата остава същата, но степените се умножават.

* * *

Както можете да видите, самата концепция на логаритъма е проста. Основното е, че е необходима добра практика, която дава определено умение. Разбира се познаването на формулите е задължително. Ако умението за преобразуване на елементарни логаритми не се формира, тогава при решаване на прости задачи човек може лесно да направи грешка.

Упражнявайте се, решавайте първо най-простите примери от курса по математика, след това преминете към по-сложни. В бъдеще определено ще покажа как се решават „грозните“ логаритми, няма да има такива на изпита, но представляват интерес, не го пропускайте!

Това е всичко! Късмет!

С уважение, Александър Крутицки

P.S: Ще съм благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.

произтичащи от неговата дефиниция. И така логаритъмът на числото бпо разум адефиниран като степен, до която трябва да се повиши числото аза да получите номера б(логаритъмът съществува само за положителни числа).

От тази формулировка следва, че изчислението x=log a b, е еквивалентно на решаване на уравнението ax=b.Например, log 2 8 = 3защото 8 = 2 3 . Формулирането на логаритъма дава възможност да се обоснове, че ако b=a c, след това логаритъмът на числото бпо разум асе равнява С. Ясно е също, че темата за логаритъма е тясно свързана с темата за степента на число.

С логаритмите, както с всички числа, можете да изпълнявате операции на събиране, изважданеи се трансформира по всякакъв възможен начин. Но с оглед на факта, че логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук се прилагат свои специални правила, които се наричат основни свойства.

Събиране и изваждане на логаритми.

Вземете два логаритма със същата основа: log xи регистрирайте у. След това премахване е възможно да се извършват операции по събиране и изваждане:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

дневник а(х 1 . х 2 . х 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

От теореми за частен логаритъмможе да се получи още едно свойство на логаритъма. Добре известно е, че дневника а 1= 0, следователно,

дневник а 1 /б= дневник а 1 - дневник а б= -дневник а б.

Значи има равенство:

log a 1 / b = - log a b.

Логаритми от две взаимно реципрочни числана една и съща основа ще се различават един от друг само по знак. Така:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.