Сообщение про эвклида. Интересные факты о евклиде

Евкли́д или Эвкли́д (др.-греч. Εὐκλείδης , от «добрая слава» , время расцвета - около 300 года до н. э.) - древнегреческий математик , автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в. до н. э.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера », «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала ; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии» .

  Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея . Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя бы в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола , раз он хочет извлекать прибыль из учёбы» . Историчность рассказа сомнительна, поскольку аналогичный рассказывают о Платоне.

  Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла - Евклид жил во времена Птолемея I Сотера - в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона . Следует, однако, отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке, средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар .

  Арабские авторы считали, что Евклид жил в Дамаске и издал там «Начала » Аполлония . Анонимная арабская рукопись XII века сообщает:

  Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира …

  В целом количество данных о Евклиде настолько скудно, что существует версия (правда, малораспространенная) что речь идет о коллективном псевдониме группы александрийских ученых .

  «Начала » Евклида

  Основное сочинение Евклида называется Начала . Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским , Леонтом и Февдием . Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

  Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы - общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

  В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского . В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским , а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII-IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский . В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа , доказывается бесконечность множества простых чисел . В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал , строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский . XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский . Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским .

  В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского , строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

  Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда , Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон , Порфирий , Папп , Прокл , Симпликий . Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

  В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

  Другие произведения Евклида

  Из других сочинений Евклида сохранились:

  • Данные (δεδομένα ) - о том, что необходимо, чтобы задать фигуру;
  • О делении (περὶ διαιρέσεων ) - сохранилось частично и только в арабском переводе; дает деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении;
  • Явления (φαινόμενα ) - приложения сферической геометрии к астрономии;
  • Оптика (ὀπτικά ) - о прямолинейном распространении света.

  По кратким описаниям известны:

  • Поризмы (πορίσματα ) - об условиях, определяющих кривые;
  • Конические сечения (κωνικά );
  • Поверхностные места (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) - о свойствах конических сечений;
  • Псевдария (ψευδαρία ) - об ошибках в геометрических доказательствах;

  Евклиду приписываются также:

  Евклид и античная философия

  Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия и астрономия (так называемые «математические» науки; позже Боэцием названные квадривием) рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом в платоновскую Академию была помещена надпись «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

  Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения о припоминании, развитого Платоном в Меноне и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами , что для постижения их истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением, но «очами разума». Всякий же чертёж к теореме представляет собой идею: мы видим перед собой эту фигуру, а ведём рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида.

  Некоторый «платонизм» Евклида связан также с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр - огонь, октаэдр - воздух, икосаэдр - вода, куб - земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». В связи с этим Начала могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников - так называемых «платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

  Для аристотелевского учения о доказательстве, развитого во Второй аналитике , Начала также предоставляют богатый материал. Геометрия в Началах строится как выводная система знаний, в которой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказательства. Согласно Аристотелю , такие начальные утверждения должны иметься, так как цепочка вывода должна где-то начинаться, чтобы не быть бесконечной. Далее, Евклид старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля : «если всякому равнобедренному треугольнику присуще иметь углы, в сумме равные двум прямым, то это присуще ему не потому что он равнобедренный, а потому что он треугольник» (An. Post. 85b12).

  Псевдо-Евклид

  Евклиду приписываются два важных трактата об античной теории музыки: «Гармоническое введение» («Гармоника») и «Деление канона» (

  (330 г. до н.э.-260 г. до н.э.)

  древнегреческий математик

  Евклид родился в 330 году до н.э. в небольшом городе Тире, недалеко от Афин. История не оставила подробного описания жизни одного из самых знаменитых математиков всех времен и народов.

  Однажды царь Птолемей спросил Евклида, существует ли другой, не такой трудный путь познания геометрии, чем тот, который изложил ученый в своих «Началах». Евклид ответил: «О царь, в геометрии нет царских дорог».

  Долгое время ученые считали, что не было конкретного исторического лица, что под именем Евклида скрывалась группа математиков, что-то вроде нашего современника Бурбаки, кстати, великого педагога. Однако в рукописи XII века на арабском языке читаем: «Евклид, сын Наукрата, сын Зенарха, известный под именем Геометра, ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

  Евклид, ученик Платона, по приглашению царя Птолемея переехал в Александрию, где находился знаменитый научный центр с Александрийской библиотекой.

  Знаменитое произведение «Начала» (Stoicheia) сделало его имя бессмертным. «Начала» состоят из тринадцати книг. Другие труды Евклида меньше известны и меньше по объему. Это прежде всего «Данные» (Data), «Оптика», «О делении фигур», «Ложные заключения» (утеряна), «Сечение канона», «Явления».

  Это великий педагог-энциклопедист, преподававший в Александрии, в Мусейоне. Это настоящий дворец науки с библиотекой, астрономической обсерваторией, ботаническим садом, зоопарком. В Мусейон приглашались известные ученые, они вели здесь научную работу, причем получали хорошее вознаграждение. Труд ученого стал профессией. Евклид преподает в Мусейоне геометрию, арифметику и астрономию.

  «Начала» Евклида составляют в элементарной геометрии целую эпоху. Это великий труд. Ученый излагает геометрию как цепочку строгих логических выводов, доказательства теорем на основании определений, постулатов и аксиом. До нас не дошел оригинал «Начал», поскольку рукопись хранилась в Александрийской библиотеке, в последствии погибшей. В «Началах» Евклид изложил результаты, полученные его предшественниками, великими математиками. Для этого нужен был педагогический талант и гений систематизатора.

  Какие научные цели ставил перед собой ученый, обобщая опыт знаменитых математиков? Этих целей три: изложить теорию отношений великого Евдокса (406-355 гг. до н.э.), теорию иррациональных Тиэтета (IV век до н.э.), теорию пяти правильных тел Платона (429-348 гг. до н.э.). Первые четыре книги «Начал» посвящены планиметрии, пятая и шестая - теории отношений Евдокса. Затем идут геометрия в пространстве, телесные углы, объемы тел, излагается теория чисел.

  В «Началах» приводится алгоритм Евдокса для нахождения наибольшего общего делителя. Здесь излагаются идеи Архита из Таренты (428-365 гг. до н.э.). Наконец, после стереометрии Евклид излагает теорию исчерпывания Евдокса и приложения к площади круга и объему шара, конуса и пирамиды. Теорию пяти платоновских тел Евклид излагает по Тиэтету.

  Знаменитая V аксиома Евклида (V постулат) занимает особое место в « Началах». Многочисленные попытки в XIX столетии «поправить» ученого, сделать из этой аксиомы теорему закончились провалом.

  Его «Начала» - образец дедуктивного изложения геометрии, алгебраические выводы сделаны в геометрическом стиле. Впоследствии геометрия развивалась, появилась неевклидова геометрия, геометрия стала экспериментальной наукой в физике. Но предпосылками этого развития стали именно труды великого Евклида.

  Имя: Евклид (Эвклид)

  Годы жизни: примерно 325 год до н. э. – 265 год до н. э.

  Государство: Древняя Греция

  Сфера деятельности: Наука, Математика, Геометрия

  Всем известно, что наука не вчера была изобретена – еще в древние времена выдающиеся умы открывали различные теоремы, теории, создавали новые элементы. Особым почетом пользовалась математика и астрономия. В этих науках преуспели и египтяне.

  Сейчас невозможно представить себе математику без теоремы , без знаменитого открытия Архимеда в ванной. Был еще один грек, который внес ощутимый вклад в науку в целом. Его имя – Евклид.

  Евклид (325 г. до н. э. – 265 г. до н. э.) — греческий математик. Он считается «отцом геометрии». Его учебник «Элементы» оставался весьма востребованным и точным пособием по математике до конца 19-го века и является одним из наиболее широко опубликованных книг в мире. Но что же можно сказать про самого автора? К сожалению, немного. Сведения о его жизни крайне скудны и зачастую неправдоподобны.

  Биография Евклида

  Евклид родился в середине 4-го века до нашей эры и жил в Александрии, на территории ; пик его творческой деятельности пришелся на время правления (323-283 до н.э), а его имя Евклид означает «известный, славный». В некоторых источниках он также упоминается, как Евклид Александрийский.

  Вероятно, Евклид работал с командой математиков в Александрии, и он получил степень при помощи его математических работ. Некоторые историки считают, что работы Евклида, возможно, были результатом нескольких авторов, но большинство согласны с тем, что один человек – Евклид – был главным автором.

  Вполне вероятно, что Евклид учился в Академии в Афинах, и большая часть его знаний пришла оттуда. Именно там он впервые познакомился с математикой, а именно с одной ее частью – геометрией.

  Современники описывали его, как доброго, приятного в общении человека. Например, историк Папп пишет, что Евклид был

  «.. наиболее справедливым и благожелательным по отношению ко всем, кто смог в какой-либо мере продвинуть математику. Он осторожно отзывался, чтобы никоим образом не причинить обиду. И хотя он был великим ученым, никогда не хвастался сам».

  О личной жизни математика неизвестно – почти все время он посвящал науке.

  Постулаты Евклида

  Его главная книга «Элементы» (первоначально написанная на древнегреческом языке) стала базовой работой важных математических учений. Она разделена на 13 отдельных книг.

  • Книги от первой до шестой посвящены геометрии плоскости.
  • Книги семь-девять имеют дело с теорией чисел
  • Книга восьмая о геометрической прогрессии
  • Книга десятая посвящена иррациональным числам
  • Книги одиннадцать-тринадцать представляют собой трехмерную геометрию (стереометрию).

  Гений Евклида состоял в том, чтобы взять в оборот множество разнообразных элементов математических идей и объединить их в один логический, последовательный формат.

  Лемма Евклида, которая утверждает, что фундаментальное свойство простых чисел состоит в том, что если простое число делит произведение двух чисел, оно должно делить по крайней мере одно из этих чисел.

  Алгоритм Евклида

  Используя лемму Евклида, эта теорема утверждает, что каждое целое число больше единицы либо само по себе простое число, либо произведение простых чисел и что существует определенный порядок простых чисел.

  «Если два числа, умножая одно на другое, составляют некоторое число, и любое число, которое делится на их произведение, также будет делиться на каждое из исходных чисел».

  Евклидов алгоритм - эффективный метод вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел, наибольшего числа, которое делит их оба, не оставляя остатка.

  Геометрия Евклида

  Евклид описал систему геометрии, связанную с формой, относительным положением и свойствами пространства. Его работа известна как евклидова геометрия. Предполагается, что пространство имеет размерность, равную трем.

  Иногда его труд «Элементы» сравнивают с Библией – в том смысле, что его работа переведена на множество языков и в прямом смысле стала настольной книгой многих ученых и математиков последующих веков.

  Помимо геометрии, Евклид исследовал и другие отрасли математики. Однако стоит признать, что вклад Евклида в науку огромен – без него, наверно, математика не смогла бы настолько раскрыться перед учеными. Его имя неразрывно связано с геометрией, изучением пространства.

  О жизни Евклида почти ничего не известно. Первый комментатор "Начал" Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид...

  
  

  Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: "Евклид, сын Наукрата, известный под именем "Геометра", ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира".

  Царь Птолемей I привлекал в Египет ученых и поэтов, создав для них храм муз - Мусейон. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии - столице Египта - математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд, объединенный под общим названием "Начала". Он был написан около 325 года до нашей эры.

  "Начала" состоят из тринадцати книг, построенных по единой логической схеме. Каждая из тринадцати книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений (5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.

  Книги I-IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях. В книгах VII-IХ содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. В книгах Х-ХII содержатся определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в Х книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел.

  "Начала" Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием евклидовой геометрии. Она описывает метрические свойства пространства, которое современная наука называет евклидовым пространством. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка - это неделимый атом пространства.

  Учение о параллельных прямых и знаменитый пятый постулат ("Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых") определяют свойства евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.

  На протяжении четырех столетий "Начала" публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6-7 изданий. До XX века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

  Евклиду принадлежат частично сохранившиеся, частично реконструированные в дальнейшем математические сочинения. Именно он ввел алгоритм для получения наибольшего общего делителя двух произвольно взятых натуральных чисел и алгоритм, названный "счетом Эратосфена", - для нахождения простых чисел от данного числа.

  Евклид заложил основы геометрической оптики, изложенные им в сочинениях "Оптика" и "Катоптрика". У Евклида мы встречаем также описание монохорда - однострунного прибора для определения высоты тона струны и ее частей. Изобретение монохорда имело важное значение для развития музыки. Постепенно вместо одной струны стали использоваться две или три. Так было положено начало созданию клавишных инструментов, сначала клавесина, потом пианино.

  Конечно, все особенности евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой работы послужили "Начала" Евклида. Знание основ евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире.

  Античный математик и философ Евклид жил в 3 веке до нашей эры. И математиком он был действительно выдающимся – не только для своего времени, но и для современности. Ведь та самая геометрия, которую сегодня изучают школьники всего мира, носит название евклидовой. Она базируется на пяти аксиомах, выведенных именно им. Без преувеличения, этот ученый заложил фундамент современной геометрии и во многом – математики как науки.

  И наверняка многим будет интересно узнать некоторые занимательные факты из жизни Евклида.
  
  

  Откуда и когда

  Примечательно, что доподлинно не известно, когда именно и в каком месте родился Евклид. По скудным записям из арабских книг 12-го века можно судить, что отца его звали Наукрат, а сам будущий великий математик родился в Греции.

  Предполагается, что свое образование он начал получать Академии Платона, при входе в которую, кстати, была надпись: «Никогда не войдет сюда тот, кто не знает геометрии».

  Впрочем, и обстоятельства и даже точная дата смерти Евклида также покрыты тайной: предполагается, что это печальное событие произошло не позднее 265 года до нашей эры.

  Царские пути

  Одна из самых известных легенд о Евклиде дошла до нас со слов самого Архимеда. Тот поведал, что однажды сам царь Птолемей решил начать изучать геометрию по «Началам» Евклида. Однако наука показалась царской особе весьма трудной и никак не давалась. И тогда Птолемей поинтересовался, нет ли способа как-нибудь попроще и побыстрее все освоить… На что Евклид произнес сегодня уже ставшую крылатой фразу: «В геометрии нет царских путей».
  

  Выгодная наука

  Также известен случай, когда один ученик поинтересовался у знаменитого математика, чем ему может оказаться выгодной геометрия в жизни. На что Евклид подозвал слугу и велел дать ученику три обола (денежная единица), сказав при этом:

  — Дай ему денег, раз ему хочется только прибыли от науки.

  Множество Начал

  Интересно, что «Начала» Евклида не были единственными «Началами» и до него. Прежде многие ученые писали научные труды, и носили они название именно «Начала». Однако только Евклидовы стали знамениты в веках.

  Но великий геометр не строил свои труда на абсолютно пустом месте. Справедливости ради, стоит отметить, что многие из его теорем строились на базе уже имевшихся в то время знаний. Но Евклид собрал их воедино, классифицировал и смог обосновать с научной точки зрения.

  По строгой логической цепочке

  Именно в своих «Началах» Евклид сделал то, что сегодня кажется само собой разумеющимся: он стал основывать все свои выводы на цепочке строгих логических выводов. При этом он считал важным, что цепочка должна где-то начинаться, а не вырастать из пустого места, поскольку при этом она может никогда и не закончиться. Должно быть, с этим связано и само название его научного труда. Но, поскольку добраться до самого начального суждения было весьма трудно, Евклид сам сформулировал свои знаменитые аксиомы – утверждения, не требующие доказательств. И только на этих аксиомах ему удалось вывести все остальные доказательства и теоремы.
  
  

  Платон мне друг

  Как уже было сказано, Евклид обучался в школе у самого Платона. Не удивительно, что и по философским своим суждениям он относился к так называемым платоником. В частности, он полагал, что в основе всего лежат четыре элемента – вода, воздух, земля и огонь.

  Недоказанные труды Евклида

  Арабы – да и не только они – часто приписывают Евклиду и прочие труды во многих областях знаний, начиная от музыки и заканчивая медициной. Например, фундаментальный труд по теории музыки «Гармоника», а также «Деление канонов». Однако уже в наше время было доказано, что никакого отношения математик к данным трудам не имеет. Скорее всего, автором их был пифагореец Клеонид. Хотя и это доподлинно не известно.

  Добрая математика

  Другой древний математик – Папп – сообщает, что Евклид был необычайно мягок и добр по отношению к тем, кто, во-первых, мог бы помочь в распространении математики как науки, а во-вторых, если видел, что человек действительно испытывает тягу к геометрии. Он был способен даже изменить свое мнение о том или ином человеке, если вдруг узнавал, что того интересует или наоборот – не интересует – математика.

  И музей, и библиотека

  Также известно, что Евклид на рубеже третьего столетия до нашей эры организовывал открытие музея и библиотеки в городе Александрии. Здесь же он совершил впоследствии множество своих открытий. Кроме того, и музей, и библиотека при Евклиде играли роль древних научных центров.
  

  «Вечная» книга

  Подчиняясь школе Платона, Евклид полагал, что все, что он излагает в своих «Началах» не только не подвергается сомнению, но и будет существовать вечно. Как бы то ни было, но более 2 тысяч лет именно по трудам Евклида ученики осваивают премудрости геометрии.

  Неевклидова геометрия

  И только через 2 с лишним тысячи лет российский математик Лобачевский усомнился в безраздельной справедливости геометрии Евклида. Он вывел «свою собственную» геометрию, которая базировалась не на плоскости, а на псевдосфере. Интересно, что все Аксиомы, выведенные Евклидом, сохранялись. Кроме одной – о параллельных прямых.

  Кроме Лобачевского, «свою» геометрию вывел и немецкий математик Риман. В настоящее время три геометрии странным образом сосуществуют в мире – Евклидова, Римана и Лобачевского.

  Так ли это было, как описывают некоторые истории о Евклиде, а, может, и вовсе ничего подобного не было – не столь уж важно. Автор «Математических начал» навечно вписал свое имя в анналы науки, там он и останется – наряду с такими гениями, как Ньютон, Галилей, Сократ или Пифагор.