Совокупность значений изученного в данном эксперименте или наблюдении параметра, проранжированных по величине (возрастания или убывания) называется вариационным рядом.
Предположим, что мы измерили артериальное давление у десяти пациентов с целью получить верхний порог АД: систолическое давление, т.е. только одно число.
Представим, что серия наблюдений (статистическая совокупность) артериального систолического давления в 10-ти наблюдениях имеет следующий вид (табл. 1):
Таблица 1
Составляющие вариационного ряда называются вариантами. Варианты представляют собой числовое значение изучаемого признака.
Построение из статистической совокупности наблюдений вариационного ряда - только первый шаг к осмыслению особенностей всей совокупности. Далее необходимо определить средний уровень изучаемого количественного признака (средний уровень белка крови, средний вес пациентов, среднее время наступления наркоза и т.д.)
Средний уровень измеряют с помощью критериев, которые носят название средних величин. Средняя величина - обобщающая числовая характеристика качественно однородных величин, характеризующая одним числом всю статистическую совокупность по одному признаку. Средняя величина выражает то общее, что характерно для признака в данной совокупности наблюдений.
Общеупотребительными являются три вида средних величин: мода (), медиана () и среднеарифметическая величина ().
Для определения любой средней величины необходимо использовать результаты индивидуальных наблюдений, записав их в виде вариационного ряда (табл. 2).
Мода - значение, наиболее часто встречающееся в серии наблюдений. В нашем примере мода = 120. Если в вариационном ряду нет повторяющихся значений, то говорят, что мода отсутствует. Если несколько значений повторяются одинаковое количество раз, то в качестве моды берут наименьшее из них.
Медиана - значение, делящее распределение на две равные части, центральное или срединное значение серии наблюдений, упорядоченных по возрастанию или убыванию. Так, если в вариационном ряду 5 значений, то его медиана равна третьему члену вариационного ряда, если в ряду четное количество членов, то медиана представляет собой среднее арифметическое двух его центральных наблюдений, т.е. если в ряду 10 наблюдений, то медиана равна среднему арифметическому 5 и 6 наблюдения. В нашем примере.
Заметим важную особенность моды и медианы: на их величины не оказывают влияние числовые значения крайних вариант.
Средняя арифметическая величина рассчитывается по формуле:
где - наблюденная величина в -том наблюдении, а - число наблюдений. Для нашего случая.
Средняя арифметическая величина обладает тремя свойствами:
Средняя занимает серединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду.
Средняя является обобщающей величиной и за средней не видны случайные колебания, различия в индивидуальных данных. Она отражает то типичное, что характерно для всей совокупности.
Сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю: . Отклонение вариант от средней обозначается.
Вариационный ряд состоит из вариант и соответствующих им частот. Из десяти полученных значений цифра 120 встретилась 6 раз, 115 - 3 раза, 125 - 1 раз. Частота () - абсолютная численность отдельных вариант в совокупности, указывающая, сколько раз встречается данная варианта в вариационном ряду.
Вариационный ряд может быть простым (частоты = 1) или сгруппированным укороченным, по 3-5 вариант. Простой ряд используется при малом числе наблюдений (), сгруппированный - при большом числе наблюдений ().
(определение вариационного ряда; составляющие вариационного ряда; три формы вариационного ряда; целесообразность построения интервального ряда; выводы, которые можно сделать по построенному ряду)
Вариационным рядом называется последовательность всех элементов выборки, расположенных в неубывающем порядке. Одинаковые элементы повторяются
Вариационные – это ряды, построенные по количественному признаку.
Вариационные ряды распределения состоят из двух элементов: вариантов и частот:
Варианты – это числовые значения количественного признака в вариационном ряду распределения. Они могут быть положительными и отрицательными, абсолютными и относительными. Так, при группировке предприятий по результатам хозяйственной деятельности варианты положительные – это прибыль, а отрицательные числа – это убыток.
Частоты – это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. это числа, показывающие, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот называется объемом совокупности и определяется числом элементов всей совокупности.
Частости – это частоты, выраженные в виде относительных величин (долях единиц или процентах). Сумма частостей равна единице или 100%. Замена частот частостями позволяет сопоставлять вариационные ряды с разным числом наблюдений.
Выделяют три формы вариационного ряда: ранжированный ряд, дискретный ряд и интервальный ряд.
Ранжированный ряд - это распределение отдельных единиц совокупности в порядке возрастания или убывания исследуемого признака. Ранжирование позволяет легко разделить количественные данные по группам, сразу обнаружить наименьшее и наибольшее значения признака, выделить значения, которые чаще всего повторяются.
Другие формы вариационного ряда - групповые таблицы, составленные по характеру вариации значений изучаемого признака. По характеру вариации различают дискретные (прерывные) и непрерывные признаки.
Дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением (дискретные признаки). К последним можно отнести тарифный разряд, количество детей в семье, число работников на предприятии и т.д. Эти признаки могут принимать только конечное число определенных значений.
Дискретный вариационный ряд представляет таблицу, которая состоит из двух граф. В первой графе указывается конкретное значение признака, а во второй - число единиц совокупности с определенным значением признака.
Если признак имеет непрерывное изменение (размер дохода, стаж работы, стоимость основных фондов предприятия и т.д., которые в определенных границах могут принимать любые значения), то для этого признака нужно строить интервальный вариационный ряд.
Групповая таблица здесь также имеет две графы. В первой указывается значение признака в интервале «от - до» (варианты), во второй - число единиц, входящих в интервал (частота).
Частота (частота повторения) - число повторений отдельного варианта значений признака, обозначается fi , а сумма частот, равная объему исследуемой совокупности, обозначается
Где k - число вариантов значений признака
Очень часто таблица дополняется графой, в которой подсчитываются накопленные частоты S, которые показывают, какое количество единиц совокупности имеет значение признака не большее, чем данное значение.
Дискретный вариационный ряд распределения – это ряд, в котором группы составлены по признаку, изменяющемуся дискретно и принимающему только целые значения.
Интервальный вариационный ряд распределения – это ряд, в котором группировочный признак, составляющий основание группировки, может принимать в определенном интервале любые значения, в том числе и дробные.
Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или частостями попаданий в каждый из них значений величины.
Интервальный ряд распределения целесообразно строить, прежде всего, при непрерывной вариации признака, а также, если дискретная вариация проявляется в широких пределах, т.е. число вариантов дискретного признака достаточно велико.
По этому ряду уже можно сделать несколько выводов. Например, средний элемент вариационного ряда (медиана) может быть оценкой наиболее вероятного результата измерения. Первый и последний элемент вариационного ряда (т.е. минимальный и максимальный элемент выборки) показывают разброс элементов выборки. Иногда если первый или последний элемент сильно отличаются от остальных элементов выборки, то их исключают из результатов измерений, считая, что эти значения получены в результате какого-то грубого сбоя, например, техники.
Вариационный ряд – ряд, в котором сопоставлены (по степени возрастания или убывания) варианты и соответствующие им частоты
Варианты – отдельные количественные выражения признака. Обозначаются латинской буквой V . Классическое понимание термина "варианта" предполагает, что вариантой называется каждое уникальное значение признака, без учета количества повторов.
Например, в вариационном ряду показателей систолического артериального давления, измеренного у десяти пациентов:
110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;
вариантами являются только 6 значений:
110, 120, 130, 140, 160, 170.
Частота – число, показывающее, сколько раз повторяется варианта. Обозначается латинской буквой P . Сумма всех частот (которая, разумеется, равна числу всех исследуемых) обозначается как n .
- В нашем примере частоты будут принимать следующие значения:
- для варианты 110 частота Р = 1 (значение 110 встречается у одного пациента),
- для варианты 120 частота Р = 2 (значение 120 встречается у двух пациентов),
- для варианты 130 частота Р = 3 (значение 130 встречается у трех пациентов),
- для варианты 140 частота Р = 2 (значение 140 встречается у двух пациентов),
- для варианты 160 частота Р = 1 (значение 160 встречается у одного пациента),
- для варианты 170 частота Р = 1 (значение 170 встречается у одного пациента),
Виды вариационных рядов:
- простой - это ряд, в котором каждая варианта встречается только по одному разу (все частоты при этом равны 1);
- взвешенный - ряд, в котором одна или несколько вариант встречаются неоднократно.
Вариационный ряд служит для описания больших массивов чисел, именно в этой форме изначально представляются собранные данные большинства медицинских исследований. Для того, чтобы охарактеризовать вариационный ряд, рассчитываются специальные показатели, в том числе средние величины, показатели вариабельности (так называемой, дисперсии), показатели репрезентативности выборочных данных.
Показатели вариационного ряда
1) Средняя арифметическая - это обобщающий показатель, характеризующий размер изучаемого признака. Средняя арифметическая обозначается как M , представляет собой самый распространенный вид средней. Средняя арифметическая рассчитывается как отношение суммы значений показателей всех единиц наблюдения к числу всех исследуемых. Методика расчета средней арифметической различается для простого и взвешенного вариационного ряда.
Формула для расчета простой средней арифметической:
Формула для расчета взвешенной средней арифметической:
M = Σ(V * P)/ n
2) Мода – еще одна средняя величина вариационного ряда, соответствующая наиболее часто повторяющейся варианте. Или, если выразиться по другому, это варианта, которой соответствует наибольшая частота. Обозначается как Мо . Мода рассчитывается только для взвешенных рядов, так как в простых рядах ни одна из вариант не повторяется и все частоты равны единице.
Например, в вариационном ряду значений частоты сердечных сокращений:
80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;
значение моды составляет 86, так как данная варианта встречается 3 раза, следовательно ее частота - наибольшая.
3) Медиана – значение варианты, делящей вариационный ряд пополам: по обе стороны от нее находится равное число вариант. Медиана также, как и средняя арифметическая и мода, относится к средним величинам. Обозначается как Me
4) Среднее квадратическое отклонение (синонимы: стандартное отклонение, сигмальное отклонение, сигма) - мера вариабельности вариационного ряда. Является интегральным показателем, объединяющим все случаи отклонения вариант от средней. Фактически, отвечает на вопрос: насколько далеко и как часто варианты распространяются от средней арифметической. Обозначается греческой буквой σ ("сигма") .
При численности совокупности более 30 единиц, стандартное отклонение рассчитывается по следующей формуле:
Для малых совокупностей - 30 единиц наблюдения и менее - стандартное отклонение рассчитывается по другой формуле:
Вариационный ряд - это статистический ряд, показывающий распределение изучаемого явления по величине какого-либо количественного признака. Например, больных по возрасту, по срокам лечения, новорожденных по весу и т.п.
Варианта - отдельные значения признака, по которому проводится группировка (обозначается V ) .
Частота- число, показывающее, как часто встречается та или иная варианта (обозначается P ) . Сумма всех частот показывает общее число наблюдений и обозначается n . Разность между наибольшей и наименьшей вариантой вариационного ряда называется размахом или амплитудой .
Различают вариационные ряды:
1. Прерывные (дискретные) и непрерывные.
Ряд считается непрерывным, если группировочный признак может выражаться дробными величинами (вес, рост т.п.), прерывным, если группировочный признак выражается только целым числом (дни нетрудоспособности, число ударов пульса и т.п.).
2.Простые и взвешенные.
Простой вариационный ряд представляет собой ряд, в котором количественное значение варьирующего признака встречается один раз. Во взвешенном вариационном ряду количественные значения варьирующего признака повторяются с определённой частотой.
3. Сгруппированные (интервальные) и несгруппированые.
Сгруппированный ряд имеет варианты, объединённые в группы, объединяющие их по величине в пределах определённого интервала. В несгруппированном ряду каждой отдельной варианте соответствует определённая частота.
4. Четные и нечетные.
В чётных вариационных рядах сумма частот или общее число наблюдений выражено чётным числом, в нечётных ― нечётным.
5. Симметричные и асимметричные.
В симметричном вариационном ряду все виды средних величин совпадают или очень близки (мода, медиана, среднее арифметическое).
В зависимости от характера изучаемых явлений, от конкретных задач и целей статистического исследования, а также от содержания исходного материала, в санитарной статистике применяются следующие виды средних величин:
структурные средние (мода, медиана);
средняя арифметическая;
средняя гармоническая;
средняя геометрическая;
средняя прогрессивная.
Мода (М о ) - величина варьирующего признака, которая более часто встречается в изучаемой совокупности т.е. варианта, соответствующая наибольшей частоте. Находят ее непосредственно по структуре вариационного ряда, не прибегая к каким-либо вычислениям. Она обычно является величиной очень близкой к средней арифметической и весьма удобна в практической деятельности.
Медиана (М е ) - делящая вариационный ряд (ранжированный, т.е. значения вариант располагаются в порядке возрастания или убывания) на две равные половины. Медиана вычисляется при помощи так называемого нечетного ряда, который получают путем последовательного суммирования частот. Если сумма частот соответствует четному числу, тогда за медиану условно принимают среднюю арифметическую из двух средних значений.
Мода и медиана применяются в случае незамкнутой совокупности, т.е. когда наибольшая или наименьшая варианты не имеют точной количественной характеристики (например, до 15 лет, 50 и старше и т.п.). В этом случае среднюю арифметическую (параметрические характеристики) рассчитать нельзя.
Средня я арифметическая - самая распространенная величина. Средняя арифметическая обозначается чаще через М .
Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную.
Средняя арифметическая простая вычисляется:
― в тех случаях, когда совокупность представлена простым перечнем знаний признака у каждой единицы;
― если число повторений каждой варианты нет возможности определить;
― если числа повторений каждой варианты близки между собой.
Средняя арифметическая простая исчисляется по формуле:
где V - индивидуальные
значения признака; n
- число индивидуальных значений; 
- знак суммирования.
Таким образом, простая средняя представляет собой отношение суммы вариант к числу наблюдений.
Пример: определить среднюю длительность пребывания на койке 10 больных пневмонией:
16 дней - 1 больной; 17–1; 18–1; 19–1; 20–1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.
койко-дня.
Средняя арифметическая взвешенная исчисляется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака повторяются. Ее можно вычислять двояким способом:
1. Непосредственным (среднеарифметическим или прямым способом) по формуле:
,
где P - частота (число случаев) наблюдений каждой варианты.
Таким образом, средняя арифметическая взвешенная представляет собой отношение суммы произведений вариант на частоты к числу наблюдений.
2. С помощью вычисления отклонений от условной средней (по способу моментов).
Основой для вычисления взвешенной средней арифметической является:
― сгруппированный материал по вариантам количественного признака;
― все варианты должны располагаться в порядке возрастания или убывания величины признака (ранжированный ряд).
Для вычисления по способу моментов обязательным условием является одинаковый размер всех интервалов.
По способу моментов средняя арифметическая вычисляется по формуле:
,
где М о - условная средняя, за которую чаще принимают величину признака, соответствующую наибольшей частоте, т.е. которая чаще повторяется (Мода).
i - величина интервала.
a - условное отклонение от условий средней, представляющее собой последовательный ряд чисел (1, 2 и т.д.) со знаком + для вариант больших условной средней и со знаком–(–1, –2 и т.д.) для вариант, которые ниже условной средней. Условное же отклонение от варианты, принятой за условную среднюю равно 0.
P - частоты.
- общее число наблюдений или n.
Пример: определить средний рост мальчиков 8 лет непосредственным способом (таблица1).
Т а б л и ц а 1
|
Рост в см |
мальчиков P |
Центральная варианта V | |
Центральная варианта ― середина интервала ― определяется как полу сумма начальных значений двух соседних групп:
; 
и т.д.
Произведение VP
получают путем умножения центральных
вариант на частоты
;
и т.д. Затем полученные произведения
складывают и получают
,
которую делят на число наблюдений (100)
и получают среднюю арифметическую
взвешенную.
см.
Эту же задачу решим по способу моментов, для чего составляется следующая таблица 2:
Т а б л и ц а 2
|
Рост в см (V) |
мальчиков P | ||
n=100 
В
качестве М о
принимаем 122, т.к. из 100 наблюдений у 33
человек рост был 122см. Находим условные
отклонения (a) от условной средней в
соответствии с вышесказанным. Затем
получаем произведение условных отклонений
на частоты (aP) и суммируем полученные
величины (
).
В итоге получится 17. Наконец, данные
подставляем в формулу:
При изучении варьирующего признака нельзя ограничиваться только вычислением средних величин. Необходимо вычислять и показатели, характеризующие степень разнообразия изучаемых признаков. Величина того или иного количественного признака неодинакова у всех единиц статистической совокупности.
Характеристикой
вариационного ряда является среднее
квадратичное отклонение (
),
которое показывает разброс (рассеивание)
изучаемых признаков относительно
средней арифметической, т.е. характеризует
колеблемость вариационного ряда. Оно
может определяться непосредственным
способом по формуле:
Среднее квадратичное
отклонение равняется квадратному корню
из суммы
произведений квадратов отклонений
каждой варианты от средней арифметической
(V–M) 2
на свои частоты деленной на сумму частот
(
).
Пример вычисления: определить среднее число больничных листов, выдаваемых в поликлинике за день (таблица 3).
Т а б л и ц а 3
|
Число больничных листов, выданных врачом за день (V) |
Число врачей (Р) | ||||
; 
В знаменателе при
числе наблюдений менее 30 необходимо от
отнимать единицу.
Если ряд сгруппирован с равными интервалами, тогда можно определить среднее квадратичное отклонение по способу моментов:
,
где i - величина интервала;
- условное отклонение от условной
средней;
P - частоты вариант соответствующих интервалов;
- общее число наблюдений.
Пример вычисления : Определить среднюю длительность пребывания больных на терапевтической койке (по способу моментов) (таблица 4):
Т а б л и ц а 4
|
Число дней пребывания на койке (V) |
больных (Р) |
|
|
|
;
Бельгийский
статистик А. Кетле обнаружил, что вариации
массовых явлений подчиняются закону
распределения ошибок, открытому почти
одновременно К. Гауссом и П. Лапласом.
Кривая, отображающая это распределение,
имеет вид колокола. По нормальному
закону распределения колеблемость
индивидуальных значений признака
находится в пределах
,
что охватывает 99,73% всех единиц
совокупности.
Подсчитано, что
если к средней арифметической прибавить
и отнять 2
,
то в пределах полученных величин
находится 95,45% всех членов вариационного
ряда и, наконец, если к средней
арифметической прибавить и отнять 1
,
то в пределах полученных величин будут
находиться 68,27% всех членов данного
вариационного ряда. В медицине с величиной
1
связано понятие нормы. Отклонение от
средней арифметической больше, чем на
1
,
но меньше, чем на 2
является субнормальным, а отклонение
больше, чем на 2
ненормальным (выше или ниже нормы).
В санитарной статистике правило трех сигм применяется при изучении физического развития, оценке деятельности учреждений здравоохранения, оценке здоровья населения. Это же правило широко применяется в народном хозяйстве при определении стандартов.
Таким образом, среднее квадратичное отклонение служит для:
― измерения дисперсии вариационного ряда;
― характеристики степени разнообразия признаков, которые определяются коэффициентом вариации:
Если коэффициент вариации более 20% - сильное разнообразие, от 20 до 10% - среднее, менее 10% - слабое разнообразие признаков. Коэффициент вариации в известной мере является критерием надежности средней арифметической.
В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения .
Наличие общего признака является основой для образования статистической совокупности, которая представляет собой результаты описания или измерения общих признаков объектов исследования.
Предметом изучения в статистике являются изменяющиеся (варьирующие) признаки или статистические признаками.
Виды статистических признаков .
Атрибутивными называют ряды распределения
, построенные по качественным признакам. Атрибутивный
– это признак, имеющий наименование, (например профессия: швея, учитель и т.д.).
Ряд распределения принято оформлять в виде таблиц. В табл. 2.8 приведён атрибутивный ряд распределения.
Таблица 2.8 - Распределение видов юридической помощи, оказанной адвокатами гражданам одного из регионов РФ.
Вариационными рядами называют ряды распределения , построенные по количественному признаку. Любой вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот.
Вариантами считаются отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду.
Частоты – это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. это числа, показывающие, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, её объём.
Частостями называются частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу. Соответственно сумма частостей равна 1 или 100 %. Вариационный ряд позволяет по фактическим данным оценить форму закона распределения.
В зависимости от характера вариации признака различают дискретные и интервальные вариационные ряды
.
Пример дискретного вариационного ряда приведен в табл. 2.9.
Таблица 2.9 - Распределение семей по числу занимаемых комнат в отдельных квартирах в 1989 г. в РФ.
Вариационный ряд
В генеральной совокупности исследуется некоторый количественный признак. Из нее случайным образом извлекается выборка объема n , то есть число элементов выборки равно n . На первом этапе статистической обработки производят ранжирование выборки, т.е. упорядочивание чисел x 1 , x 2 , …, x n по возрастанию. Каждое наблюдаемое значение x i называется вариантой . Частота m i – это число наблюдений значения x i в выборке. Относительная частота (частость) w i – это отношение частоты m i к объему выборкиn : .При изучении вариационного ряда также используют понятия накопленной частоты и накопленной частости. Пусть x некоторое число. Тогда количество вариантов, значения которых меньше x , называется накопленной частотой: для x i
Признак называется дискретно варьируемым, если его отдельные значения (варианты) отличаются друг от друга на некоторую конечную величину (обычно целое число). Вариационный ряд такого признака называется дискретным вариационным рядом.
Таблица 1. Общий вид дискретного вариационного ряда частот
| Значения признака | x i | x 1 | x 2 | … | x n |
| Частоты | m i | m 1 | m 2 | … | m n |
Признак называется непрерывно варьирующим, если его значения отличаются друг от друга на сколь угодно малую величину, т.е. признак может принимать любые значения в некотором интервале. Непрерывный вариационный ряд для такого признака называется интервальным.
Таблица 2. Общий вид интервального вариационного ряда частот
Таблица 3. Графические изображения вариационного ряда
| Ряд | Полигон или гистограмма | Эмпирическая функция распределения | |
| Дискретный |  |  |  |
| Интервальный |  |  |  |
Для графического изображения вариационных рядов наиболее часто используются полигон, гистограмма, кумулятивная кривая и эмпирическая функция распределения.
В табл. 2.3 (Группировка населения России по размеру среднедушевого дохода в апреле 1994г.) представлен интервальный вариационный ряд
.
Удобно ряды распределения анализировать при помощи графического изображения, позволяющего судить и о форме распределения. Наглядное представление о характере изменения частот вариационного ряда дают полигон и гистограмма
.
Полигон используется при изображении дискретных вариационных рядов
.
Изобразим, например графически распределение жилого фонда по типу квартир, (табл. 2.10).
Таблица 2.10 - Распределение жилого фонда городского района по типу квартир (цифры условные).
Рис. Полигон распределения жилого фонда
На оси ординат могут наноситься не только значения частот, но и частостей вариационного ряда.
Гистограмма принимается для изображения интервального вариационного ряда . При построении гистограммы на оси абсцисс откладываются величины интервалов, а частоты изображаются прямоугольниками, построенными на соответствующих интервалах. Высота столбиков в случае равных интервалов должна быть пропорциональна частотам. Гистограмма – график, на котором ряд изображен в виде смежных друг с другом столбиков.
Изобразим графически интервальный ряд распределения, приведённый в табл. 2.11.
Таблица 2.11 - Распределение семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека (цифры условные).
| N п/п | Группы семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека | Число семей с данным размером жилой площади | Накопленное число семей |
| 1 | 3 – 5 | 10 | 10 |
| 2 | 5 – 7 | 20 | 30 |
| 3 | 7 – 9 | 40 | 70 |
| 4 | 9 – 11 | 30 | 100 |
| 5 | 11 – 13 | 15 | 115 |
| ВСЕГО | 115 | ---- | |
Рис. 2.2. Гистограмма распределения семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека
Используя данные накопленного ряда (табл. 2.11), построим кумуляту распределения.
Рис. 2.3. Кумулята распределения семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека
Изображение вариационного ряда в виде кумуляты особенно эффективно для вариационных рядов, частоты которых выражены в долях или процентах к сумме частот ряда.
Если при графическом изображении вариационного ряда в виде кумуляты оси поменять, то мы получим огиву . На рис. 2.4 приведена огива, построенная на основе данных табл. 2.11.
Гистограмма может быть преобразована в полигон распределения, если найти середины сторон прямоугольников и затем эти точки соединить прямыми линиями. Полученный полигон распределения изображён на рис. 2.2 пунктирной линией.
При построении гистограммы распределения вариационного ряда с неравными интервалами по оси ординат наносят не частоты, а плотность распределения признака в соответствующих интервалах.
Плотность распределения – это частота, рассчитанная на единицу ширины интервала, т.е. сколько единиц в каждой группе приходится на единицу величины интервала. Пример расчета плотности распределения представлен в табл. 2.12.
Таблица 2.12 - Распределение предприятий по числу занятых (цифры условные)
| N п/п | Группы предприятий по числу занятых, чел. | Число предприятий | Величина интервала, чел. | Плотность распределения |
| А | 1 | 2 | 3=1/2 | |
| 1 | До 20 | 15 | 20 | 0,75 |
| 2 | 20 – 80 | 27 | 60 | 0,25 |
| 3 | 80 – 150 | 35 | 70 | 0,5 |
| 4 | 150 – 300 | 60 | 150 | 0,4 |
| 5 | 300 – 500 | 10 | 200 | 0,05 |
| ВСЕГО | 147 | ---- | ---- |
Для графического изображения вариационных рядов может также использоваться кумулятивная кривая . При помощи кумуляты (кривой сумм) изображается ряд накопленных частот. Накопленные частоты определяются путём последовательно суммирования частот по группам и показывают, сколько единиц совокупности имеют значения признака не больше, чем рассматриваемое значение.
Рис. 2.4. Огива распределения семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека
При построении кумуляты интервального вариационного ряда по оси абсцисс откладываются варианты ряда, а по оси ординат накопленные частоты.
