ปัญหาในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดเป็นหนึ่งในปัญหาหลักในหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับมัธยมปลายและในสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษา เป็นไปไม่ได้ที่จะสำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟโดยสมบูรณ์โดยไม่ต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันสามารถหาได้ง่ายหากคุณรู้กฎพื้นฐานของการหาอนุพันธ์ รวมถึงตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน ลองหาวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน
อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์
การทำความเข้าใจคำจำกัดความนี้ค่อนข้างยาก เนื่องจากแนวคิดเรื่องขีด จำกัด ยังไม่ได้รับการศึกษาอย่างถี่ถ้วนในโรงเรียน แต่การจะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ นั้น ไม่จำเป็นต้องเข้าใจคำจำกัดความ ปล่อยให้เป็นหน้าที่ของนักคณิตศาสตร์แล้วมุ่งตรงไปที่การหาอนุพันธ์
กระบวนการค้นหาอนุพันธ์เรียกว่าการสร้างความแตกต่าง เมื่อเราแยกฟังก์ชันเราจะได้ฟังก์ชันใหม่
เราจะใช้อักษรละติน f, g เป็นต้น
มีสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันมากมายสำหรับอนุพันธ์ เราจะใช้จังหวะ เช่น เขียน g" หมายความว่า เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน g ได้
ตารางอนุพันธ์
เพื่อที่จะตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีการค้นหาอนุพันธ์ จำเป็นต้องจัดทำตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันหลัก ในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน ไม่จำเป็นต้องคำนวณที่ซับซ้อน แค่ดูมูลค่าในตารางอนุพันธ์ก็เพียงพอแล้ว
- (บาป x)"=คอส x
- (cos x)"= –บาป x
- (x n)"= n x n-1
- (อีเอ็กซ์)"=อีเอ็กซ์
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (บันทึก a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/บาป 2 x
- (อาร์คซิน x)"= 1/√(1-x 2)
- (อาร์คคอส x)"= - 1/√(1-x 2)
- (ส่วนโค้ง x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=500
เราเห็นว่านี่เป็นค่าคงที่ จากตารางอนุพันธ์เป็นที่ทราบกันว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์ (สูตร 1)
ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=x 100
นี่คือฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น 100 และหากต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณต้องคูณฟังก์ชันด้วยเลขชี้กำลังแล้วลดด้วย 1 (สูตร 3)
(x 100)"=100 x 99
ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=5 x
นี่คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลองคำนวณอนุพันธ์ของมันโดยใช้สูตร 4 กัน
ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= log 4 x
เราค้นหาอนุพันธ์ของลอการิทึมโดยใช้สูตร 7
(บันทึก 4 x)"=1/x ln 4
กฎของความแตกต่าง
ตอนนี้เรามาดูวิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหากไม่ได้อยู่ในตาราง ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่ศึกษาไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐาน แต่เป็นการรวมกันของฟังก์ชันพื้นฐานโดยใช้การดำเนินการง่ายๆ (การบวก การลบ การคูณ การหาร และการคูณด้วยตัวเลข) ในการค้นหาอนุพันธ์ คุณจำเป็นต้องรู้กฎของการสร้างความแตกต่าง ด้านล่าง ตัวอักษร f และ g แสดงถึงฟังก์ชัน และ C เป็นค่าคงที่
1. ค่าสัมประสิทธิ์คงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้
ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= 6*x 8
เราเอาตัวประกอบคงที่เป็น 6 และหาอนุพันธ์เพียง x 4 เท่านั้น นี่คือฟังก์ชันยกกำลัง ซึ่งเป็นอนุพันธ์ซึ่งพบได้โดยใช้สูตร 3 ของตารางอนุพันธ์
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์
(ฉ + ก)"=ฉ" + ก"
ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 100 +sin x
ฟังก์ชันคือผลรวมของสองฟังก์ชัน ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราหาได้จากตาราง เนื่องจาก (x 100)"=100 x 99 และ (บาป x)"=cos x อนุพันธ์ของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์เหล่านี้:
(x 100 +ซิน x)"= 100 x 99 +คอส x
3. อนุพันธ์ของส่วนต่างเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์
(ฉ – ก)"=ฉ" – ก"
ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 100 – cos x
ฟังก์ชันนี้คือผลต่างของสองฟังก์ชัน ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราหาได้จากตาราง จากนั้นอนุพันธ์ของผลต่างจะเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์และอย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย เนื่องจาก (cos x)"= – sin x
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + บาป x
ตัวอย่างที่ 8 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=e x +tg x– x 2
ฟังก์ชันนี้มีทั้งผลรวมและผลต่าง มาหาอนุพันธ์ของแต่ละเทอมกันดีกว่า:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันเดิมจะเท่ากับ:
(เช่น x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
(ฉ * ก)"=ฉ" * ก + ฉ * ก"
ตัวอย่างที่ 9 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= cos x *e x
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะหาอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัย (cos x)"=–sin x และ (e x)"=e x ทีนี้ลองแทนที่ทุกอย่างลงในสูตรผลิตภัณฑ์กัน เราคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยวินาที และเพิ่มผลคูณของฟังก์ชันแรกด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. อนุพันธ์ของผลหาร
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
ตัวอย่างที่ 10 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 50 /sin x
ในการหาอนุพันธ์ของผลหาร ขั้นแรกให้หาอนุพันธ์ของทั้งเศษและส่วนแยกจากกัน: (x 50)"=50 x 49 และ (sin x)"= cos x เมื่อแทนอนุพันธ์ของผลหารลงในสูตร เราจะได้:
(x 50 /บาป x)"= 50x 49 *บาป x – x 50 *cos x/บาป 2 x
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือฟังก์ชันที่แสดงโดยองค์ประกอบของฟังก์ชันต่างๆ นอกจากนี้ยังมีกฎสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
(คุณ (วี))"=คุณ"(วี)*วี"
ลองหาวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวกัน ให้ y= u(v(x)) เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน มาเรียกฟังก์ชันกัน คุณภายนอก และ v - ภายใน
ตัวอย่างเช่น:
y=sin (x 3) เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน
ดังนั้น y=sin(t) จึงเป็นฟังก์ชันภายนอก
เสื้อ=x 3 - ภายใน
ลองคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้กัน ตามสูตร คุณต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและภายนอก
(sin t)"=cos (t) - อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก (โดยที่ t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน
จากนั้น (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ระดับแรก
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน สุดยอดคู่มือ (2019)
ลองจินตนาการถึงถนนเส้นตรงที่ผ่านบริเวณเนินเขา นั่นคือขึ้นลงแต่ไม่เลี้ยวขวาหรือซ้าย หากแกนถูกตั้งทิศทางในแนวนอนไปตามถนนและแนวตั้ง เส้นถนนจะคล้ายกับกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่างมาก:
แกนเป็นระดับความสูงเป็นศูนย์ในระดับหนึ่งในชีวิตเราใช้ระดับน้ำทะเลเป็นมัน
เมื่อเราก้าวไปข้างหน้าตามถนนเช่นนั้น เราก็จะเคลื่อนขึ้นหรือลงด้วย นอกจากนี้เรายังสามารถพูดได้ว่า: เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนไป (การเคลื่อนที่ไปตามแกน Abscissa) ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป (การเคลื่อนที่ไปตามแกนกำหนด) ทีนี้ลองคิดดูว่าจะกำหนด "ความชัน" ของถนนของเราได้อย่างไร? สิ่งนี้จะเป็นค่าอะไร? ง่ายมาก: ความสูงจะเปลี่ยนไปเท่าใดเมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าในระยะทางหนึ่ง แท้จริงแล้ว ในส่วนต่างๆ ของถนน เมื่อเคลื่อนไปข้างหน้า (ตามแกน x) ไปอีกหนึ่งกิโลเมตร เราจะขึ้นหรือลงตามจำนวนเมตรที่ต่างกันเมื่อเทียบกับระดับน้ำทะเล (ตามแกน y)
เรามาแสดงถึงความก้าวหน้ากันเถอะ (อ่านว่า “เดลต้า x”)
ตัวอักษรกรีก (เดลต้า) มักใช้ในทางคณิตศาสตร์เป็นคำนำหน้าหมายถึง "การเปลี่ยนแปลง" นั่นคือ - นี่คือการเปลี่ยนแปลงปริมาณ - การเปลี่ยนแปลง; แล้วมันคืออะไร? ถูกต้องการเปลี่ยนแปลงขนาด
สิ่งสำคัญ: นิพจน์คือข้อมูลทั้งหมดเพียงตัวแปรเดียว อย่าแยก “เดลต้า” ออกจาก “x” หรือตัวอักษรอื่นใด! กล่าวคือ ตัวอย่างเช่น .
เราก็เลยเคลื่อนไปข้างหน้าในแนวนอนโดย ถ้าเราเปรียบเทียบเส้นถนนกับกราฟของฟังก์ชัน แล้วเราจะระบุการเพิ่มขึ้นได้อย่างไร? แน่นอน, . นั่นคือเมื่อเราก้าวไปข้างหน้า เราก็สูงขึ้น
ค่านั้นง่ายต่อการคำนวณ: ถ้าในตอนแรกเราอยู่ที่ความสูงและหลังจากเคลื่อนที่แล้วเราก็พบว่าตัวเองอยู่ในที่สูงแล้ว หากจุดสิ้นสุดต่ำกว่าจุดเริ่มต้น จุดนั้นจะติดลบ ซึ่งหมายความว่าเราไม่ได้กำลังขึ้น แต่กำลังลง
กลับไปที่ "ความชัน": นี่คือค่าที่แสดงความสูงที่เพิ่มขึ้น (สูงชัน) เมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าหนึ่งหน่วยระยะทาง:
สมมติว่าส่วนหนึ่งของถนนเมื่อเคลื่อนไปข้างหน้าหนึ่งกิโลเมตร ถนนจะสูงขึ้นหนึ่งกิโลเมตร แล้วความชันตรงนี้จะเท่ากัน และถ้าถนนในขณะที่เคลื่อนไปข้างหน้าเมตรลดลงกิโลเมตร? แล้วความชันจะเท่ากัน
ทีนี้มาดูบนยอดเขากันดีกว่า หากคุณใช้จุดเริ่มต้นของส่วนนี้ครึ่งกิโลเมตรก่อนถึงยอดเขา และส่วนท้ายอีกครึ่งกิโลเมตรหลังจากนั้น คุณจะเห็นว่าความสูงเกือบจะเท่ากัน
นั่นคือตามตรรกะของเรา ปรากฎว่าความชันตรงนี้เกือบเท่ากับศูนย์ ซึ่งไม่เป็นความจริงอย่างชัดเจน แค่ระยะทางกว่ากิโลเมตร อะไรๆ ก็เปลี่ยนแปลงได้มากมาย จำเป็นต้องพิจารณาพื้นที่ขนาดเล็กเพื่อการประเมินความชันที่เพียงพอและแม่นยำยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น หากคุณวัดการเปลี่ยนแปลงของความสูงเมื่อคุณเคลื่อนที่ไปหนึ่งเมตร ผลลัพธ์ก็จะแม่นยำมากขึ้น แต่ความแม่นยำนี้ก็ยังไม่เพียงพอสำหรับเรา เพราะหากมีเสาอยู่กลางถนนเราก็ผ่านไปได้ แล้วเราควรเลือกระยะไหน? เซนติเมตร? มิลลิเมตร? น้อยดีกว่า!
ในชีวิตจริง การวัดระยะทางไปยังมิลลิเมตรที่ใกล้ที่สุดก็เกินพอแล้ว แต่นักคณิตศาสตร์มักมุ่งมั่นเพื่อความสมบูรณ์แบบอยู่เสมอ จึงได้คิดค้นแนวคิดขึ้นมา ไม่มีที่สิ้นสุดนั่นคือค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าตัวเลขใดๆ ที่เราตั้งชื่อได้ ตัวอย่างเช่น คุณพูดว่า: หนึ่งล้านล้าน! มากน้อยแค่ไหน? แล้วคุณหารตัวเลขนี้ด้วย - แล้วมันจะยิ่งน้อยลงไปอีก และอื่นๆ หากเราต้องการเขียนว่าปริมาณเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด เราจะเขียนดังนี้ (เราอ่านว่า “x มีแนวโน้มเป็นศูนย์”) มันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจ ว่าเลขนี้ไม่ใช่ศูนย์!แต่อยู่ใกล้มาก ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถหารด้วยมันได้.
แนวคิดที่ตรงข้ามกับ infinitesimal นั้นมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ () คุณอาจเคยเจอมันมาก่อนเมื่อคุณกำลังศึกษาเรื่องอสมการ: จำนวนนี้เป็นแบบโมดูโลมากกว่าจำนวนใดๆ ที่คุณคิดได้ หากคุณหาจำนวนมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ให้คูณด้วย 2 แล้วคุณจะได้จำนวนที่มากขึ้นอีก และอนันต์นั้นยิ่งใหญ่กว่าสิ่งที่เกิดขึ้นด้วยซ้ำ อันที่จริง ใหญ่เป็นอนันต์และเล็กเป็นอนันต์เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกัน นั่นคือ at และในทางกลับกัน: at
ตอนนี้เรากลับมาที่ถนนของเรากันดีกว่า ความชันที่คำนวณได้อย่างเหมาะสมคือความชันที่คำนวณสำหรับส่วนที่เล็กที่สุดของเส้นทาง นั่นคือ:
ฉันสังเกตว่าด้วยการกระจัดที่น้อยที่สุด การเปลี่ยนแปลงความสูงก็จะไม่มีขอบเขตเช่นกัน แต่ขอเตือนคุณว่าค่าน้อยที่สุดไม่ได้หมายความว่าเท่ากับศูนย์ หากคุณหารจำนวนที่น้อยที่สุดด้วยกัน คุณจะได้จำนวนสามัญที่สมบูรณ์ เช่น นั่นคือค่าเล็กๆ ค่าหนึ่งสามารถมีขนาดใหญ่กว่าค่าอื่นได้อย่างแน่นอน
ทั้งหมดนี้เพื่ออะไร? ถนน ความชัน... เราไม่ได้ไปแรลลี่รถยนต์ แต่เราสอนคณิตศาสตร์ และในทางคณิตศาสตร์ทุกอย่างเหมือนกันทุกประการ ต่างกันแค่เรียกต่างกันเท่านั้น
แนวคิดเรื่องอนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์สำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย
ทีละน้อยในทางคณิตศาสตร์พวกเขาเรียกว่าการเปลี่ยนแปลง ขอบเขตที่อาร์กิวเมนต์ () เปลี่ยนแปลงเมื่อเคลื่อนที่ไปตามแกนเรียกว่า อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นและถูกกำหนดไว้ เรียกว่าฟังก์ชัน (ความสูง) เปลี่ยนแปลงไปเท่าใดเมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าตามแกนตามระยะทาง เพิ่มฟังก์ชันและถูกกำหนดไว้
ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออัตราส่วนต่อเมื่อ เราแสดงอนุพันธ์ด้วยตัวอักษรเดียวกันกับฟังก์ชัน โดยจะมีเฉพาะจำนวนเฉพาะที่มุมขวาบนเท่านั้น: หรือเพียงแค่ ลองเขียนสูตรอนุพันธ์โดยใช้สัญลักษณ์เหล่านี้:
เหมือนกับการเปรียบเทียบกับถนน เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะเป็นค่าบวก และเมื่อมันลดลง จะเป็นค่าลบ
อนุพันธ์สามารถเท่ากับศูนย์ได้หรือไม่? แน่นอน. เช่น ถ้าเราขับรถบนถนนแนวราบ ความชันจะเป็นศูนย์ และมันเป็นเรื่องจริงที่ความสูงไม่เปลี่ยนแปลงเลย ดังนั้นจึงเป็นไปตามอนุพันธ์: อนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ (ค่าคงที่) เท่ากับศูนย์:
เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันดังกล่าวจะเท่ากับศูนย์สำหรับค่าใดๆ
ลองจำตัวอย่างยอดเขากัน ปรากฎว่าเป็นไปได้ที่จะจัดเรียงส่วนปลายของส่วนในด้านตรงข้ามของจุดยอดในลักษณะที่ความสูงที่ส่วนปลายจะเท่ากันนั่นคือส่วนนั้นขนานกับแกน:
แต่ส่วนขนาดใหญ่เป็นสัญญาณของการวัดที่ไม่ถูกต้อง เราจะยกส่วนของเราขึ้นขนานกับตัวมันเอง จากนั้นความยาวของมันจะลดลง
ในที่สุด เมื่อเราเข้าใกล้ด้านบนสุดอย่างไม่สิ้นสุด ความยาวของส่วนนั้นก็จะสั้นลง แต่ในขณะเดียวกันก็ยังคงขนานกับแกนนั่นคือความแตกต่างของความสูงที่ปลายเท่ากับศูนย์ (ไม่ได้มีแนวโน้ม แต่เท่ากับ) ดังนั้นอนุพันธ์
สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้ด้วยวิธีนี้: เมื่อเรายืนอยู่ที่จุดสูงสุด การเลื่อนไปทางซ้ายหรือขวาเล็กน้อยจะทำให้ความสูงของเราเปลี่ยนไปโดยประมาท
นอกจากนี้ยังมีคำอธิบายเกี่ยวกับพีชคณิตล้วนๆ อีกด้วย: ทางด้านซ้ายของจุดยอดฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และทางด้านขวาจะลดลง อย่างที่เราทราบไปก่อนหน้านี้ เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะเป็นค่าบวก และเมื่อมันลดลง จะเป็นค่าลบ แต่มันเปลี่ยนได้อย่างราบรื่นโดยไม่ต้องกระโดด (เนื่องจากถนนไม่เปลี่ยนความลาดชันทุกที่) ดังนั้นจึงต้องมีค่าระหว่างค่าลบและค่าบวก มันจะเป็นจุดที่ฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลง - ที่จุดยอด
เช่นเดียวกับรางน้ำ (พื้นที่ที่ฟังก์ชันทางด้านซ้ายลดลงและทางด้านขวาเพิ่มขึ้น):
เพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับการเพิ่มขึ้น
ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนข้อโต้แย้งเป็นขนาด เราเปลี่ยนจากค่าอะไร? ตอนนี้ (ข้อโต้แย้ง) กลายเป็นอะไรไปแล้ว? เราสามารถเลือกจุดใดก็ได้ และตอนนี้ เราจะเต้นจากจุดนั้น
พิจารณาจุดที่มีพิกัด ค่าของฟังก์ชันในนั้นเท่ากัน จากนั้นเราก็ทำการเพิ่มแบบเดียวกัน: เราเพิ่มพิกัดด้วย ตอนนี้เถียงอะไรกันอยู่? ง่ายมาก: . ตอนนี้ค่าของฟังก์ชันเป็นเท่าใด? อาร์กิวเมนต์ไปที่ไหน ฟังก์ชันก็เช่นกัน: . แล้วการเพิ่มฟังก์ชันล่ะ? ไม่มีอะไรใหม่: นี่ยังคงเป็นจำนวนที่ฟังก์ชันเปลี่ยนไป:
ฝึกหาส่วนเพิ่ม:
- ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน ณ จุดที่ส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์เท่ากับ
- เช่นเดียวกับฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
โซลูชั่น:
ในจุดที่ต่างกันซึ่งมีการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เท่ากัน การเพิ่มฟังก์ชันจะแตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ในแต่ละจุดจะแตกต่างกัน (เราคุยกันเรื่องนี้ตั้งแต่เริ่มต้น - ความชันของถนนแตกต่างกันในแต่ละจุด) ดังนั้นเวลาเราเขียนอนุพันธ์เราต้องระบุว่าจุดไหน:
ฟังก์ชั่นพลังงาน
ฟังก์ชันยกกำลังคือฟังก์ชันที่มีการโต้แย้งในระดับหนึ่ง (ตรรกะใช่ไหม)
ยิ่งกว่านั้น - ในระดับใด ๆ : .
กรณีที่ง่ายที่สุดคือเมื่อเลขชี้กำลังคือ:
ลองหาอนุพันธ์ของมัน ณ จุดหนึ่งกัน จำคำจำกัดความของอนุพันธ์:
ข้อโต้แย้งจึงเปลี่ยนจากเป็น ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นเท่าไหร่?
เพิ่มขึ้นเป็นเช่นนี้ แต่ฟังก์ชัน ณ จุดใดก็ตามจะเท่ากับอาร์กิวเมนต์ของมัน นั่นเป็นเหตุผล:
อนุพันธ์มีค่าเท่ากับ:
อนุพันธ์ของเท่ากับ:
b) ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันกำลังสอง (): .
ทีนี้มาจำไว้ว่า ซึ่งหมายความว่าสามารถละเลยค่าของการเพิ่มขึ้นได้ เนื่องจากมีค่าเพียงเล็กน้อย ดังนั้นจึงไม่มีนัยสำคัญเมื่อเทียบกับพื้นหลังของคำอื่น:
ดังนั้นเราจึงมีกฎอีกข้อหนึ่ง:
c) เราดำเนินการต่อในซีรีส์เชิงตรรกะ: .
นิพจน์นี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หลายวิธี: เปิดวงเล็บแรกโดยใช้สูตรสำหรับการคูณแบบย่อของกำลังสามของผลรวม หรือแยกตัวประกอบนิพจน์ทั้งหมดโดยใช้ผลต่างของสูตรลูกบาศก์ ลองทำด้วยตัวเองโดยใช้วิธีการที่แนะนำ
ดังนั้นฉันจึงได้สิ่งต่อไปนี้:
และอีกครั้งให้เราจำไว้ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถละเลยข้อกำหนดทั้งหมดที่มี:
เราได้รับ: .
d) สามารถรับกฎที่คล้ายกันสำหรับมหาอำนาจ:
e) ปรากฎว่ากฎนี้สามารถวางนัยทั่วไปสำหรับฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามใจชอบ ไม่ใช่จำนวนเต็มด้วยซ้ำ:
| (2) |
กฎสามารถกำหนดได้ในคำว่า: “ระดับจะถูกยกไปข้างหน้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์แล้วลดลงด้วย ”
เราจะพิสูจน์กฎนี้ในภายหลัง (เกือบจะในตอนท้ายสุด) ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างบางส่วนกัน ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
- (ในสองวิธี: โดยสูตรและการใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ - โดยการคำนวณการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน)
- . เชื่อหรือไม่ นี่คือฟังก์ชันกำลัง หากคุณมีคำถามเช่น “เป็นอย่างไรบ้าง? ปริญญาอยู่ที่ไหน?” จำหัวข้อ “” ไว้!
ใช่ ใช่ รูตก็เป็นดีกรีเช่นกัน เป็นเศษส่วนเท่านั้น:
ซึ่งหมายความว่ารากที่สองของเราเป็นเพียงกำลังที่มีเลขชี้กำลัง:
.
เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตรที่เพิ่งเรียนรู้:หากมาถึงจุดนี้ไม่ชัดเจนอีกครั้ง ย้ำหัวข้อ “”!!! (ประมาณองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ)
- . ตอนนี้เลขชี้กำลัง:
และตอนนี้ผ่านคำจำกัดความ (ลืมไปแล้วหรือยัง?):
;
.
ตามปกติแล้ว เราละเลยคำที่มี:
. - . การรวมกันของกรณีก่อนหน้า: .
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เราจะใช้ข้อเท็จจริงข้อหนึ่งจากคณิตศาสตร์ชั้นสูงดังนี้:
ด้วยการแสดงออก
คุณจะได้เรียนรู้การพิสูจน์ในปีแรกของสถาบัน (และเพื่อที่จะไปถึงที่นั่น คุณจะต้องผ่านการสอบ Unified State ให้ดี) ตอนนี้ฉันจะแสดงเป็นภาพกราฟิก:
เราจะเห็นว่าเมื่อไม่มีฟังก์ชัน - จุดบนกราฟจะถูกตัดออก แต่ยิ่งใกล้ค่ามากเท่าไรฟังก์ชันก็ยิ่งใกล้มากขึ้นเท่านั้น นี่คือสิ่งที่ "จุดมุ่งหมาย"
นอกจากนี้ คุณสามารถตรวจสอบกฎนี้ได้โดยใช้เครื่องคิดเลข ใช่ ใช่ อย่าเพิ่งอาย หยิบเครื่องคิดเลขมา เรายังไม่ถึงการสอบ Unified State
ดังนั้นเรามาลองกัน: ;
อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องคิดเลขของคุณเป็นโหมดเรเดียน!
ฯลฯ เราจะเห็นว่ายิ่งน้อยค่าของอัตราส่วนก็จะยิ่งใกล้มากขึ้นเท่านั้น
ก) พิจารณาฟังก์ชัน ตามปกติเราจะหาส่วนเพิ่มของมัน:
ลองเปลี่ยนผลต่างของไซน์ให้เป็นผลคูณกัน ในการทำเช่นนี้เราใช้สูตร (จำหัวข้อ “”): .
ตอนนี้อนุพันธ์:
มาทดแทนกัน: . จากนั้นสำหรับสิ่งเล็กน้อย มันก็ไม่สิ้นสุดเช่นกัน: นิพจน์สำหรับจะอยู่ในรูปแบบ:
และตอนนี้เราจำมันได้ด้วยพจน์นี้ และจะเกิดอะไรขึ้นหากสามารถละเลยปริมาณที่น้อยที่สุดไปเป็นผลรวมได้ (นั่นคือ ที่)
ดังนั้นเราจึงได้กฎต่อไปนี้: อนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์:
สิ่งเหล่านี้เป็นอนุพันธ์พื้นฐาน (“ตาราง”) นี่คือหนึ่งในรายการ:
ต่อมาเราจะเพิ่มอีกสองสามอย่าง แต่สิ่งเหล่านี้สำคัญที่สุดเนื่องจากมีการใช้บ่อยที่สุด
ฝึกฝน:
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
โซลูชั่น:
- อันดับแรก มาหาอนุพันธ์ในรูปแบบทั่วไปก่อน แล้วจึงแทนค่าของมัน:
;
. - ตรงนี้เรามีบางอย่างที่คล้ายกับฟังก์ชันกำลัง เราลองพาเธอไป
มุมมองปกติ:
.
เยี่ยมมาก ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตร:
.
. - . เอ๋…..นี่มันอะไรเนี่ย????
โอเค คุณพูดถูก เรายังไม่รู้ว่าจะหาอนุพันธ์แบบนั้นได้อย่างไร ที่นี่เรามีฟังก์ชันหลายประเภทรวมกัน หากต้องการทำงานร่วมกับพวกเขา คุณต้องเรียนรู้กฎเพิ่มเติมอีกสองสามข้อ:
เลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติ
มีฟังก์ชันในคณิตศาสตร์ซึ่งมีอนุพันธ์ของค่าใดๆ เท่ากับค่าของฟังก์ชันนั้นในเวลาเดียวกัน เรียกว่า “เลขชี้กำลัง” และเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฐานของฟังก์ชันนี้ซึ่งเป็นค่าคงที่คือเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ซึ่งก็คือจำนวนอตรรกยะ (เช่น) มันถูกเรียกว่า "หมายเลขออยเลอร์" ซึ่งเป็นสาเหตุที่เขียนแทนด้วยตัวอักษร
ดังนั้นกฎ:
จำง่ายมาก
อย่าเพิ่งไปไกล ลองพิจารณาฟังก์ชันผกผันทันที ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิทึม:
ในกรณีของเรา ฐานคือตัวเลข:
ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่า "ธรรมชาติ" และเราใช้สัญลักษณ์พิเศษสำหรับมัน: เราเขียนแทน
มันเท่ากับอะไร? แน่นอน, .
อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายมาก:
ตัวอย่าง:
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
- อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร?
คำตอบ: ลอการิทึมเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันง่ายๆ ที่ไม่เหมือนใครจากมุมมองของอนุพันธ์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมกับฐานอื่นจะมีอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลังหลังจากที่เราผ่านกฎการสร้างความแตกต่างแล้ว
กฎของความแตกต่าง
กฎของอะไร? ศัพท์ใหม่อีกแล้วเหรอ?!...
ความแตกต่างเป็นกระบวนการหาอนุพันธ์
นั่นคือทั้งหมดที่ คุณสามารถเรียกกระบวนการนี้ว่าอะไรอีกในคำเดียว? ไม่ใช่อนุพันธ์... นักคณิตศาสตร์เรียกอนุพันธ์ว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่เท่ากัน คำนี้มาจากภาษาละตินว่า differentia - ความแตกต่าง ที่นี่.
เมื่อได้รับกฎเหล่านี้ทั้งหมด เราจะใช้สองฟังก์ชัน เช่น และ นอกจากนี้เรายังต้องมีสูตรสำหรับการเพิ่ม:
มีกฎทั้งหมด 5 ข้อ
ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์
ถ้า - จำนวนคงที่ (คงที่) ดังนั้น
แน่นอนว่ากฎนี้ยังใช้ได้กับความแตกต่าง:
มาพิสูจน์กัน ปล่อยให้มันเป็นไปหรือง่ายกว่านั้น
ตัวอย่าง.
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
- ณ จุดหนึ่ง;
- ณ จุดหนึ่ง;
- ณ จุดหนึ่ง;
- ตรงจุด
โซลูชั่น:
- (อนุพันธ์จะเท่ากันทุกจุด เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น จำได้ไหม?);
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
ทุกอย่างจะคล้ายกันที่นี่ เรามาแนะนำฟังก์ชันใหม่และค้นหาส่วนที่เพิ่มขึ้นกันดีกว่า:
อนุพันธ์:
ตัวอย่าง:
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและ;
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง
โซลูชั่น:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ตอนนี้ความรู้ของคุณก็เพียงพอแล้วที่จะเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ไม่ใช่แค่เลขยกกำลัง (คุณลืมไปแล้วหรือว่ามันคืออะไร?)
แล้วเลขไหนล่ะ..
เรารู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว ลองลดฟังก์ชันของเราให้เป็นฐานใหม่:
ในการดำเนินการนี้ เราจะใช้กฎง่ายๆ: . แล้ว:
มันได้ผล ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ และอย่าลืมว่าฟังก์ชันนี้ซับซ้อน
เกิดขึ้น?
ที่นี่ตรวจสอบตัวเอง:
สูตรนี้ดูคล้ายกับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังมาก เหมือนเดิม มันยังคงเหมือนเดิม มีเพียงตัวประกอบเท่านั้นที่ปรากฏ ซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร
ตัวอย่าง:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
คำตอบ:
นี่เป็นเพียงตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณได้หากไม่มีเครื่องคิดเลข กล่าวคือ ไม่สามารถเขียนลงในรูปแบบที่ง่ายกว่านี้ได้ ดังนั้นเราจึงทิ้งคำตอบไว้ในรูปแบบนี้
อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
มันคล้ายกันตรงนี้: คุณรู้อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติแล้ว:
ดังนั้น หากต้องการค้นหาลอการิทึมตามอำเภอใจที่มีฐานต่างกัน เช่น
เราจำเป็นต้องลดลอการิทึมนี้ลงเหลือฐาน คุณจะเปลี่ยนฐานของลอการิทึมได้อย่างไร? ฉันหวังว่าคุณจะจำสูตรนี้:
ตอนนี้เราจะเขียนแทน:
ตัวส่วนเป็นเพียงค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์ได้มาง่ายมาก:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมแทบไม่เคยพบในการตรวจสอบ Unified State แต่การรู้จักฟังก์ชันเหล่านี้จะไม่ฟุ่มเฟือย
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
"ฟังก์ชันที่ซับซ้อน" คืออะไร? ไม่ นี่ไม่ใช่ลอการิทึม และไม่ใช่อาร์กแทนเจนต์ ฟังก์ชันเหล่านี้อาจเข้าใจได้ยาก (แม้ว่าคุณจะพบว่าลอการิทึมยาก ลองอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" แล้วคุณจะโอเค) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"
ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งและทำอะไรบางอย่างกับวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างเช่น อันแรกห่อแท่งช็อกโกแลตด้วยกระดาษห่อ และอันที่สองผูกด้วยริบบิ้น ผลลัพธ์ที่ได้คือวัตถุที่ประกอบขึ้นเป็นแท่งช็อกโกแลตที่พันและผูกด้วยริบบิ้น หากต้องการกินช็อกโกแลตแท่ง คุณต้องทำตามขั้นตอนย้อนกลับ
มาสร้างไปป์ไลน์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกันกัน: ก่อนอื่นเราจะหาโคไซน์ของตัวเลขแล้วยกกำลังสองของจำนวนผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงได้รับตัวเลข (ช็อคโกแลต) ฉันหาโคไซน์ของมัน (กระดาษห่อ) แล้วคุณก็ยกกำลังสองสิ่งที่ฉันได้ (ผูกมันด้วยริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น การทำงาน. นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อเราต้องการหาค่าของมัน เราจะดำเนินการแรกกับตัวแปรโดยตรง จากนั้นจึงดำเนินการที่สองกับผลลัพธ์จากฟังก์ชันแรก
เราสามารถทำขั้นตอนเดียวกันในลำดับย้อนกลับได้ง่ายๆ ขั้นแรกให้คุณยกกำลังสอง จากนั้นฉันจะหาโคไซน์ของตัวเลขผลลัพธ์: เป็นเรื่องง่ายที่จะคาดเดาว่าผลลัพธ์จะแตกต่างออกไปเกือบตลอดเวลา คุณลักษณะที่สำคัญของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อลำดับของการกระทำเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันอื่น: .
สำหรับตัวอย่างแรก .
ตัวอย่างที่สอง: (สิ่งเดียวกัน) .
การกระทำที่เราทำครั้งสุดท้ายจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชั่น "ภายนอก"และการกระทำนั้นเกิดขึ้นก่อน - ตามนั้น ฟังก์ชั่น "ภายใน"(ชื่อเหล่านี้เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการ ฉันใช้เพื่ออธิบายเนื้อหาเป็นภาษาง่ายๆ เท่านั้น)
ลองพิจารณาด้วยตัวเองว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดภายใน:
คำตอบ:การแยกฟังก์ชันภายในและภายนอกจะคล้ายกันมากกับการเปลี่ยนแปลงตัวแปร ตัวอย่างเช่น ในฟังก์ชัน
- เราจะดำเนินการใดก่อน? ก่อนอื่น มาคำนวณไซน์ก่อน แล้วค่อยยกกำลังสามเท่านั้น ซึ่งหมายความว่ามันเป็นฟังก์ชันภายใน แต่เป็นฟังก์ชันภายนอก
และฟังก์ชันดั้งเดิมคือองค์ประกอบ: . - ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: . - ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: . - ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: . - ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: .
เราเปลี่ยนตัวแปรและรับฟังก์ชัน
ทีนี้ เราจะแยกแท่งช็อกโกแลตออกมาแล้วมองหาอนุพันธ์ ขั้นตอนจะกลับกันเสมอ ขั้นแรกเรามองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก จากนั้นจึงคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน สัมพันธ์กับตัวอย่างดั้งเดิม ดูเหมือนว่า:
ตัวอย่างอื่น:
ในที่สุดเรามากำหนดกฎอย่างเป็นทางการกัน:
อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
ดูเหมือนง่ายใช่มั้ย?
ลองตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:
โซลูชั่น:
1) ภายใน: ;
ภายนอก: ;
2) ภายใน: ;
(อย่าเพิ่งพยายามตัดมันออกตอนนี้! ไม่มีอะไรออกมาจากใต้โคไซน์จำได้ไหม?)
3) ภายใน: ;
ภายนอก: ;
ชัดเจนทันทีว่านี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามระดับ: ท้ายที่สุดแล้วนี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนในตัวเองอยู่แล้วและเรายังแยกรากออกจากมันด้วยนั่นคือเราทำการกระทำที่สาม (เราใส่ช็อคโกแลตลงใน กระดาษห่อและมีริบบิ้นอยู่ในกระเป๋าเอกสาร) แต่ไม่มีเหตุผลที่ต้องกลัว: เราจะยังคง "แกะ" ฟังก์ชันนี้ในลำดับเดิมเหมือนปกติ: จากจุดสิ้นสุด
นั่นคือ ขั้นแรกเราแยกความแตกต่างของราก จากนั้นจึงแยกโคไซน์ และเฉพาะนิพจน์ในวงเล็บเท่านั้น แล้วเราก็คูณมันทั้งหมด.
ในกรณีเช่นนี้ จะสะดวกในการนับจำนวนการกระทำ นั่นคือลองจินตนาการถึงสิ่งที่เรารู้ เราจะดำเนินการตามลำดับใดเพื่อคำนวณค่าของนิพจน์นี้ ลองดูตัวอย่าง:
ยิ่งดำเนินการในภายหลังฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องก็จะยิ่งมี "ภายนอก" มากขึ้นเท่านั้น ลำดับของการกระทำเหมือนกับเมื่อก่อน:
โดยทั่วไปการทำรังจะมี 4 ระดับ เรามากำหนดแนวทางการดำเนินการกัน
1. การแสดงออกที่รุนแรง .
2. รูท .
3. ไซน์. .
4. สี่เหลี่ยม. .
5. นำทั้งหมดมารวมกัน:
อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์สำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย:
อนุพันธ์พื้นฐาน:
กฎของความแตกต่าง:
ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์:
อนุพันธ์ของผลรวม:
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:
อนุพันธ์ของผลหาร:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
- เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายใน" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
- เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายนอก" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
- เราคูณผลลัพธ์ของจุดที่หนึ่งและสอง
ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์โดยใช้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
เราจะยกตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้:
;
;
;
;
.
หากฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:
,
จากนั้นอนุพันธ์ของมันจะถูกกำหนดโดยสูตร:
.
ในตัวอย่างด้านล่าง เราจะเขียนสูตรดังนี้:
.
ที่ไหน .
ที่นี่ ตัวห้อย หรือ ซึ่งอยู่ใต้เครื่องหมายอนุพันธ์ แสดงถึงตัวแปรที่ใช้สร้างความแตกต่าง
โดยปกติแล้ว ในตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันจากตัวแปร x จะได้รับ อย่างไรก็ตาม x เป็นพารามิเตอร์ที่เป็นทางการ ตัวแปร x สามารถถูกแทนที่ด้วยตัวแปรอื่นได้ ดังนั้น เมื่อแยกฟังก์ชันออกจากตัวแปร เราก็เพียงเปลี่ยนตัวแปร x เป็นตัวแปร u ในตารางอนุพันธ์
ตัวอย่างง่ายๆ
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
.
สารละลาย
ลองเขียนฟังก์ชันที่กำหนดในรูปแบบที่เทียบเท่ากัน:
.
ในตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
;
.
ตามสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เราได้:
.
ที่นี่ .
คำตอบ
ตัวอย่างที่ 2
หาอนุพันธ์
.
สารละลาย
เรานำค่าคงที่ 5 ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ และจากตารางอนุพันธ์ที่เราพบ:
.
.
ที่นี่ .
คำตอบ
ตัวอย่างที่ 3
หาอนุพันธ์
.
สารละลาย
เรานำค่าคงที่ออกมา -1
สำหรับเครื่องหมายของอนุพันธ์และจากตารางอนุพันธ์ที่เราพบ:
;
จากตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
.
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
ที่นี่ .
คำตอบ
ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น
ในตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น เราใช้กฎเพื่อแยกแยะฟังก์ชันที่ซับซ้อนหลายครั้ง ในกรณีนี้ เราจะคำนวณอนุพันธ์จากจุดสิ้นสุด นั่นคือเราแบ่งฟังก์ชันออกเป็นส่วนต่างๆ และค้นหาอนุพันธ์ของส่วนที่ง่ายที่สุดโดยใช้ ตารางอนุพันธ์. เรายังใช้ กฎสำหรับการแยกผลรวมผลิตภัณฑ์และเศษส่วน จากนั้นเราจะทำการทดแทนและใช้สูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ตัวอย่างที่ 4
หาอนุพันธ์
.
สารละลาย
ลองเลือกส่วนที่ง่ายที่สุดของสูตรแล้วหาอนุพันธ์ของมัน .
.
ที่นี่เราใช้สัญกรณ์
.
เราค้นหาอนุพันธ์ของส่วนถัดไปของฟังก์ชันดั้งเดิมโดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ เราใช้กฎเพื่อแยกผลรวม:
.
เราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง
.
ที่นี่ .
คำตอบ
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
.
สารละลาย
เรามาเลือกส่วนที่ง่ายที่สุดของสูตรแล้วค้นหาอนุพันธ์จากตารางอนุพันธ์ .
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
.
ที่นี่
.
ซึ่งเราได้ตรวจสอบอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดและทำความคุ้นเคยกับกฎของการสร้างความแตกต่างและเทคนิคทางเทคนิคบางประการในการค้นหาอนุพันธ์ ดังนั้นหากคุณไม่เก่งเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือบางจุดในบทความนี้ยังไม่ชัดเจน ให้อ่านบทเรียนข้างต้นก่อน โปรดใช้อารมณ์จริงจัง - เนื้อหาไม่เรียบง่าย แต่ฉันจะพยายามนำเสนออย่างเรียบง่ายและชัดเจนต่อไป
ในทางปฏิบัติ คุณต้องจัดการกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนบ่อยครั้งมาก หรือเกือบทุกครั้ง เมื่อคุณได้รับมอบหมายงานให้ค้นหาอนุพันธ์
เราดูตารางตามกฎ (หมายเลข 5) เพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
ลองคิดดูสิ ก่อนอื่นมาใส่ใจกับรายการกันก่อน ที่นี่เรามีสองฟังก์ชัน - และ และฟังก์ชันที่พูดเป็นรูปเป็นร่างซ้อนอยู่ภายในฟังก์ชัน ฟังก์ชันประเภทนี้ (เมื่อฟังก์ชันหนึ่งซ้อนอยู่ภายในอีกฟังก์ชันหนึ่ง) เรียกว่าฟังก์ชันเชิงซ้อน
ฉันจะเรียกใช้ฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นภายนอกและฟังก์ชัน – ฟังก์ชั่นภายใน (หรือซ้อนกัน).
! คำจำกัดความเหล่านี้ไม่ใช่ทฤษฎีและไม่ควรปรากฏในการออกแบบงานขั้นสุดท้าย ฉันใช้สำนวนที่ไม่เป็นทางการ "ฟังก์ชันภายนอก", "ฟังก์ชันภายใน" เท่านั้นเพื่อให้คุณเข้าใจเนื้อหาได้ง่ายขึ้น
เพื่อชี้แจงสถานการณ์ ให้พิจารณา:
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ภายใต้ไซน์เราไม่ได้มีเพียงตัวอักษร "X" เท่านั้น แต่ยังมีนิพจน์ทั้งหมดด้วย ดังนั้นการค้นหาอนุพันธ์ทันทีจากตารางจะไม่ได้ผล นอกจากนี้เรายังสังเกตเห็นว่าที่นี่เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้กฎสี่ข้อแรก ดูเหมือนว่าจะมีความแตกต่าง แต่ความจริงก็คือไซน์ไม่สามารถ "ฉีกเป็นชิ้น ๆ":
ในตัวอย่างนี้ คำอธิบายของฉันชัดเจนอยู่แล้วว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน และพหุนามเป็นฟังก์ชันภายใน (การฝัง) และฟังก์ชันภายนอก
ขั้นแรกสิ่งที่คุณต้องทำเมื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนก็คือ ทำความเข้าใจว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายในและฟังก์ชันใดเป็นภายนอก.
ในกรณีของตัวอย่างง่ายๆ ดูเหมือนว่าพหุนามจะฝังอยู่ใต้ไซน์อย่างชัดเจน แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าทุกอย่างไม่ชัดเจน? จะทราบได้อย่างไรว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายใน ในการทำเช่นนี้ฉันขอแนะนำให้ใช้เทคนิคต่อไปนี้ซึ่งสามารถทำได้ทั้งทางจิตใจหรือแบบร่าง
สมมติว่าเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของนิพจน์บนเครื่องคิดเลข (แทนที่จะใช้ค่าใดค่าหนึ่งเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้)
เราจะคำนวณอะไรก่อน? ก่อนอื่นเลยคุณจะต้องดำเนินการต่อไปนี้: ดังนั้นพหุนามจะเป็นฟังก์ชันภายใน: 
ประการที่สองจะต้องค้นหา ดังนั้น ไซน์ – จะเป็นฟังก์ชันภายนอก: 
หลังจากที่เรา ขายหมดแล้วด้วยฟังก์ชันภายในและภายนอก ถึงเวลาที่จะใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน 
.
มาเริ่มตัดสินใจกันเลย จากบทเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?เราจำได้ว่าการออกแบบวิธีแก้ปัญหาสำหรับอนุพันธ์ใด ๆ มักจะเริ่มต้นเช่นนี้ - เราใส่นิพจน์ในวงเล็บและวางเส้นขีดที่มุมขวาบน:
ตอนแรกเราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก (ไซน์) ดูที่ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานแล้วสังเกตว่า . สูตรตารางทั้งหมดยังสามารถใช้ได้หากแทนที่ "x" ด้วยนิพจน์ที่ซับซ้อน, ในกรณีนี้:
โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นภายใน ไม่เปลี่ยนแปลงเราไม่แตะต้องมัน.
มันค่อนข้างชัดเจนว่า
ผลลัพธ์ของการใช้สูตร 
ในรูปแบบสุดท้ายมีลักษณะดังนี้:
โดยปกติปัจจัยคงที่จะถูกวางไว้ที่จุดเริ่มต้นของนิพจน์:
หากมีความเข้าใจผิดให้เขียนวิธีแก้ปัญหาลงในกระดาษแล้วอ่านคำอธิบายอีกครั้ง
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
และเช่นเคย เราเขียนไว้ว่า: 
ลองหาดูว่าเรามีฟังก์ชันภายนอกอยู่ที่ไหน และเรามีฟังก์ชันภายในอยู่ที่ไหน ในการทำเช่นนี้ เราพยายาม (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่ คุณควรทำอะไรก่อน? ก่อนอื่น คุณต้องคำนวณว่าฐานเท่ากับเท่าใด ดังนั้น พหุนามจึงเป็นฟังก์ชันภายใน: 
จากนั้นจึงทำการยกกำลัง ดังนั้น ฟังก์ชันยกกำลังจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก: 
ตามสูตรครับ 
ก่อนอื่นคุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ในกรณีนี้คือดีกรี เราค้นหาสูตรที่ต้องการในตาราง: . เราทำซ้ำอีกครั้ง: สูตรตารางใด ๆ ใช้ได้ไม่เพียง แต่สำหรับ "X" เท่านั้น แต่ยังรวมถึงนิพจน์ที่ซับซ้อนด้วย. ดังนั้นผลลัพธ์ของการใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน 
ต่อไป:
ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อเราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ฟังก์ชันภายในของเราจะไม่เปลี่ยนแปลง: 
ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาอนุพันธ์ที่เรียบง่ายของฟังก์ชันภายในและปรับแต่งผลลัพธ์เล็กน้อย:
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)
เพื่อรวบรวมความเข้าใจของคุณเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ฉันจะยกตัวอย่างโดยไม่มีความคิดเห็น พยายามคิดออกด้วยตัวเอง เหตุผลที่ฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันภายในอยู่ที่ไหน เหตุใดงานจึงถูกแก้ไขด้วยวิธีนี้
ตัวอย่างที่ 5
ก) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
b) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
ที่นี่เรามีราก และเพื่อที่จะแยกแยะรากนั้น จะต้องแสดงเป็นพลัง ดังนั้นก่อนอื่นเราจึงนำฟังก์ชันมาอยู่ในรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการสร้างความแตกต่าง:
จากการวิเคราะห์ฟังก์ชัน เราได้ข้อสรุปว่าผลรวมของพจน์ทั้งสามเป็นฟังก์ชันภายใน และการยกกำลังเป็นฟังก์ชันภายนอก เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน 
:
เราแสดงดีกรีเป็นราก (รูท) อีกครั้ง และสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน เราใช้กฎง่ายๆ เพื่อแยกความแตกต่างของผลรวม:
พร้อม. คุณยังสามารถลดนิพจน์ให้เหลือตัวส่วนร่วมในวงเล็บและเขียนทุกอย่างเป็นเศษส่วนได้ สวยงามแน่นอน แต่เมื่อได้อนุพันธ์ยาวๆ ที่ยุ่งยาก ก็อย่าทำแบบนี้ดีกว่า (สับสนง่าย ทำผิดโดยไม่จำเป็น แล้วครูจะตรวจสอบไม่สะดวก)
ตัวอย่างที่ 7
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)
เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าบางครั้งแทนที่จะใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน คุณสามารถใช้กฎในการหาอนุพันธ์ผลหาร 
แต่วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะดูเหมือนเป็นการบิดเบือนที่ผิดปกติ นี่คือตัวอย่างทั่วไป:
ตัวอย่างที่ 8
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ที่นี่คุณสามารถใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารได้ 
แต่จะทำกำไรได้มากกว่ามากในการค้นหาอนุพันธ์ผ่านกฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
เราเตรียมฟังก์ชันสำหรับการสร้างความแตกต่าง - เราย้ายเครื่องหมายลบออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์และเพิ่มโคไซน์เป็นตัวเศษ:
โคไซน์เป็นฟังก์ชันภายใน การยกกำลังเป็นฟังก์ชันภายนอก
ลองใช้กฎของเรา 
:
เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและรีเซ็ตโคไซน์กลับลงมา:
พร้อม. ในตัวอย่างที่พิจารณา สิ่งสำคัญคือต้องไม่สับสนกับสัญญาณต่างๆ ยังไงก็ลองแก้โดยใช้กฎดูครับ 
คำตอบจะต้องตรงกัน
ตัวอย่างที่ 9
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)
จนถึงตอนนี้เราได้ดูกรณีที่เรามีรังเพียงอันเดียวในฟังก์ชันที่ซับซ้อน ในงานภาคปฏิบัติ คุณมักจะพบอนุพันธ์ โดยที่เหมือนกับตุ๊กตาทำรัง มีอันหนึ่งอยู่ในอีกอันหนึ่ง มีฟังก์ชัน 3 หรือ 4-5 รายการที่ซ้อนกันในคราวเดียว
ตัวอย่างที่ 10
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
มาทำความเข้าใจกับไฟล์แนบของฟังก์ชันนี้กันดีกว่า เรามาลองคำนวณนิพจน์โดยใช้ค่าทดลองกัน เราจะนับเครื่องคิดเลขได้อย่างไร?
ก่อนอื่นคุณต้องค้นหา ซึ่งหมายความว่าอาร์คไซน์เป็นการฝังที่ลึกที่สุด:
อาร์คไซน์ของอันนี้ควรถูกยกกำลังสอง:
และในที่สุด เราก็ยกกำลังเจ็ดขึ้นมา: 
นั่นคือในตัวอย่างนี้ เรามีฟังก์ชันที่แตกต่างกันสามฟังก์ชันและการฝังสองฟังก์ชัน ในขณะที่ฟังก์ชันด้านในสุดคืออาร์คไซน์ และฟังก์ชันด้านนอกสุดคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
มาเริ่มตัดสินใจกันเลย
ตามกฎแล้ว 
ก่อนอื่น คุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกก่อน เราดูตารางอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือแทนที่จะเป็น "x" เรามีนิพจน์ที่ซับซ้อนซึ่งไม่ได้ลบล้างความถูกต้องของสูตรนี้ ดังนั้น ผลลัพธ์ของการใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน 
ต่อไป.
คำนิยาม.ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(y = f(x)\) ถูกกำหนดในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งมีจุด \(x_0\) ลองเพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ \(\Delta x \) เพื่อไม่ให้ออกจากช่วงเวลานี้ เรามาค้นหาส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน \(\Delta y \) (เมื่อย้ายจากจุด \(x_0 \) ไปยังจุด \(x_0 + \Delta x \)) และเขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\เดลต้า x) \) หากมีขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้ที่ \(\Delta x \rightarrow 0\) ขีดจำกัดที่ระบุจะถูกเรียก อนุพันธ์ของฟังก์ชัน\(y=f(x) \) ที่จุด \(x_0 \) และแสดงถึง \(f"(x_0) \)
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
สัญลักษณ์ y มักใช้เพื่อแสดงอนุพันธ์ โปรดทราบว่า y" = f(x) เป็นฟังก์ชันใหม่ แต่โดยธรรมชาติแล้วจะเกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งกำหนดไว้ที่ทุกจุด x ซึ่งมีขีดจำกัดข้างต้นอยู่ ฟังก์ชันนี้เรียกว่าดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x).
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์เป็นดังนี้ หากเป็นไปได้ที่จะวาดเส้นสัมผัสกันบนกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุดที่มี abscissa x=a ซึ่งไม่ขนานกับแกน y แล้ว f(a) จะแสดงความชันของเส้นสัมผัสกัน : :
\(k = ฉ"(ก)\)
เนื่องจาก \(k = tg(a) \) ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน \(f"(a) = tan(a) \) จึงเป็นจริง
ทีนี้มาตีความคำจำกัดความของอนุพันธ์จากมุมมองของความเท่าเทียมกันโดยประมาณ ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(y = f(x)\) มีอนุพันธ์ ณ จุดเฉพาะ \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ซึ่งหมายความว่า เมื่อใกล้กับจุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\) เช่น \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ เดลต้า x\) ความหมายที่มีความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เกิดขึ้นมีดังนี้: การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือ "เกือบเป็นสัดส่วน" กับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนด x ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน \(y = x^2\) ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) นั้นใช้ได้ หากเราวิเคราะห์คำจำกัดความของอนุพันธ์อย่างรอบคอบ เราจะพบว่ามันมีอัลกอริธึมในการค้นหา
มากำหนดกัน
จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ได้อย่างไร?
1. แก้ไขค่าของ \(x\), หา \(f(x)\)
2. เพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ \(x\) \(\Delta x\) ไปที่จุดใหม่ \(x+ \Delta x \) ค้นหา \(f(x+ \Delta x) \)
3. ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. สร้างความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. คำนวณ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ลิมิตนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x
ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x จะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ขั้นตอนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชัน y = ฉ(x)
ให้เราอภิปรายคำถามต่อไปนี้: ความต่อเนื่องและความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดที่เกี่ยวข้องกันเป็นอย่างไร
ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x จากนั้นสามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันที่จุด M(x; f(x)) และจำได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เท่ากับ f "(x) กราฟดังกล่าวไม่สามารถ "แตกหัก" ที่จุด M นั่นคือ ฟังก์ชันจะต้องต่อเนื่องที่จุด x
สิ่งเหล่านี้เป็นข้อโต้แย้งแบบ "ลงมือปฏิบัติ" ให้เราให้เหตุผลที่เข้มงวดมากขึ้น หากฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ดังนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ยังคงอยู่ หากในความเท่าเทียมกันนี้ \(\Delta x \) มีแนวโน้มเป็นศูนย์ จากนั้น \(\Delta y \) จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ และนี่คือเงื่อนไขสำหรับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
ดังนั้น, ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x แสดงว่าฟังก์ชันดังกล่าวมีความต่อเนื่องที่จุดนั้น.
ข้อความย้อนกลับไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น: ฟังก์ชัน y = |x| มีความต่อเนื่องในทุกที่ โดยเฉพาะที่จุด x = 0 แต่ไม่มีค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่ "จุดเชื่อมต่อ" (0; 0) หาก ณ จุดหนึ่งไม่สามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันได้ แสดงว่าอนุพันธ์นั้นไม่มีอยู่ที่จุดนั้น
อีกตัวอย่างหนึ่ง ฟังก์ชัน \(y=\sqrt(x)\) ต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด รวมถึงที่จุด x = 0 และค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันนั้นมีอยู่ที่จุดใดๆ รวมถึงที่จุด x = 0 แต่ ณ จุดนี้ แทนเจนต์เกิดขึ้นพร้อมกับแกน y กล่าวคือ มันตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา สมการของมันมีรูปแบบ x = 0 เส้นตรงดังกล่าวไม่มีสัมประสิทธิ์มุม ซึ่งหมายความว่า \(f "(0)\) ไม่มีอยู่
ดังนั้นเราจึงได้ทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติใหม่ของฟังก์ชัน - การหาอนุพันธ์ เราจะสรุปจากกราฟของฟังก์ชันว่ามันหาอนุพันธ์ได้อย่างไร
คำตอบได้รับจริงข้างต้น หาก ณ จุดใดจุดหนึ่ง มีความเป็นไปได้ที่จะวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะสามารถหาอนุพันธ์ได้ ถ้า ณ จุดหนึ่ง แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันไม่มีอยู่หรือตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้
กฎของความแตกต่าง
การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง. เมื่อดำเนินการนี้ คุณมักจะต้องทำงานกับผลหาร ผลรวม ผลคูณของฟังก์ชัน รวมถึง "ฟังก์ชันของฟังก์ชัน" ซึ่งก็คือฟังก์ชันที่ซับซ้อน จากคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถหากฎการหาอนุพันธ์ที่ทำให้งานนี้ง่ายขึ้น ถ้า C เป็นจำนวนคงที่และ f=f(x) g=g(x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ แล้วสิ่งต่อไปนี้เป็นจริง กฎความแตกต่าง:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
