กฎสำหรับการแก้สมการอย่างง่าย การแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

สมการกำลังสองมีการศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นสิ่งสำคัญ

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a , b และ c เป็นตัวเลขทั่วไป และ a ≠ 0

ก่อนศึกษาวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะ เราสังเกตว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามคลาส:

1. ไม่มีราก
2. พวกมันมีรากเดียว
3. พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน

นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น โดยที่รูทจะมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะกำหนดจำนวนรากของสมการได้อย่างไร? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.

เลือกปฏิบัติ

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้น discriminant ก็แค่ตัวเลข D = b 2 − 4ac

สูตรนี้ต้องรู้ใจ มันมาจากไหนไม่สำคัญในตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: จากเครื่องหมายของ discriminant คุณสามารถกำหนดจำนวนรากของสมการกำลังสองได้ กล่าวคือ:

1. ถ้าD< 0, корней нет;
2. ถ้า D = 0 จะมีหนึ่งรูทพอดี
3. ถ้า D > 0 จะมีสองราก

โปรดทราบ: การเลือกปฏิบัติระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณทั้งหมด ด้วยเหตุผลบางอย่างที่หลายคนคิด ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:

งาน. สมการกำลังสองมีรากกี่ราก:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0

เราเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกและหาตัวจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ดังนั้น ดิสคริมิแนนต์จึงเป็นค่าบวก สมการจึงมีรากต่างกันสองราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131

การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายยังคงอยู่:
ก = 1; ข = -6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0

การเลือกปฏิบัติเท่ากับศูนย์ - รูตจะเป็นหนึ่ง

โปรดทราบว่ามีการเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับแต่ละสมการ ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ - แต่คุณจะไม่สับสนและไม่ทำผิดพลาดโง่ ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ

อย่างไรก็ตาม ถ้าคุณ "เติมมือของคุณ" หลังจากนั้นครู่หนึ่ง คุณจะไม่ต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดอีกต่อไป คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้ที่ไหนสักแห่งหลังจากแก้สมการได้ 50-70 ครั้ง - โดยทั่วไปไม่มากนัก

รากของสมการกำลังสอง

ทีนี้มาดูวิธีแก้ปัญหากัน ถ้า discriminant D > 0 สามารถหา root ได้โดยใช้สูตร:

สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้ คุณจะได้ตัวเลขเดียวกัน ซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0

สมการแรก:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:

สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = -1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 (-1) 15 = 64

D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหากัน

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ในที่สุด สมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0

D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูต ใช้สูตรไหนก็ได้ ตัวอย่างเช่น อันแรก:

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่าง ทุกอย่างง่ายมาก ถ้ารู้สูตรแล้วนับได้ก็ไม่มีปัญหา ข้อผิดพลาดส่วนใหญ่มักเกิดขึ้นเมื่อแทนค่าสัมประสิทธิ์เชิงลบในสูตร อีกครั้งที่เทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรอย่างแท้จริง ระบายสีแต่ละขั้นตอน - และกำจัดข้อผิดพลาดในไม่ช้า

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองค่อนข้างแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความ ตัวอย่างเช่น:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0

ง่ายที่จะเห็นว่าไม่มีคำศัพท์หนึ่งในสมการเหล่านี้ สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน: ไม่จำเป็นต้องคำนวณการเลือกปฏิบัติด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:

สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 เช่น สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์

แน่นอนว่ากรณีที่ยากมากเป็นไปได้เมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองนี้มีค่าเท่ากับศูนย์: b \u003d c \u003d 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 \u003d 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีสมการเดียว รูท: x \u003d 0

ลองพิจารณากรณีอื่นๆ ให้ b \u003d 0 แล้วเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c \u003d 0 ลองแปลงเล็กน้อย:

เนื่องจากสแควร์รูทเลขคณิตมีอยู่เฉพาะจากจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ ความเท่าเทียมกันสุดท้ายจึงสมเหตุสมผลเมื่อ (−c / a ) ≥ 0 เท่านั้น

1. หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ตรงกับความไม่เท่าเทียมกัน (−c / a ) ≥ 0 จะมีรากสองราก สูตรได้รับข้างต้น
2. ถ้า (−c / a )< 0, корней нет.

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องใช้การเลือกปฏิบัติ - ไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ อันที่จริง ไม่จำเป็นต้องจำอสมการ (−c / a ) ≥ 0 ด้วยซ้ำ แค่แสดงค่าของ x 2 และดูว่าอะไรอยู่อีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับ ถ้ามีจำนวนบวก จะมีสองราก ถ้าลบก็จะไม่มีรากเลย

ทีนี้มาจัดการกับสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระจะเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป เราจะวิเคราะห์สมการเหล่านี้หลายประการ:

งาน. แก้สมการกำลังสอง:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6 ไม่มีรากเพราะ กำลังสองต้องไม่เท่ากับจำนวนลบ

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.

เพื่อแก้คณิตศาสตร์ ค้นหาอย่างรวดเร็ว แก้สมการคณิตศาสตร์อยู่ในโหมด ออนไลน์. เว็บไซต์ www.site ช่วยให้ แก้สมการเกือบทุกอย่างที่ได้รับ พีชคณิต, ตรีโกณมิติหรือ สมการยอดเยี่ยมออนไลน์. เมื่อศึกษาวิชาคณิตศาสตร์เกือบทุกหมวดในแต่ละช่วง ก็ต้องตัดสินใจ สมการออนไลน์. เพื่อให้ได้คำตอบทันที และที่สำคัญที่สุดคือคำตอบที่ถูกต้อง คุณต้องมีแหล่งข้อมูลที่จะช่วยให้คุณทำสิ่งนี้ได้ ขอบคุณ www.site แก้สมการออนไลน์จะใช้เวลาสองสามนาที ข้อได้เปรียบหลักของ www.site เมื่อแก้โจทย์คณิตศาสตร์ สมการออนไลน์- คือความเร็วและความถูกต้องของการตอบสนองที่ออก เว็บไซต์สามารถแก้ไขได้ใดๆ สมการพีชคณิตออนไลน์, สมการตรีโกณมิติออนไลน์, สมการยอดเยี่ยมออนไลน์, เช่นเดียวกับ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักในโหมด ออนไลน์. สมการทำหน้าที่เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลัง โซลูชั่นงานปฏิบัติ ด้วยความช่วยเหลือ สมการทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้ที่จะแสดงข้อเท็จจริงและความสัมพันธ์ที่อาจดูสับสนและซับซ้อนในแวบแรก ไม่ทราบปริมาณ สมการหาได้จากการกำหนดปัญหาใน คณิตศาสตร์ภาษาในรูปแบบ สมการและ ตัดสินใจงานที่ได้รับในโหมด ออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. ใดๆ สมการพีชคณิต, สมการตรีโกณมิติหรือ สมการประกอบด้วย ยอดเยี่ยมคุณสมบัติคุณได้อย่างง่ายดาย ตัดสินใจออนไลน์และรับคำตอบที่ถูกต้อง ศึกษาธรรมศาสตร์ย่อมต้องสนองความต้องการอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ การแก้สมการ. ในกรณีนี้คำตอบต้องถูกต้องและต้องได้รับทันทีในโหมด ออนไลน์. ดังนั้น สำหรับ แก้สมการคณิตศาสตร์ออนไลน์เราขอแนะนำเว็บไซต์ www.site ซึ่งจะกลายเป็นเครื่องคิดเลขที่จำเป็นสำหรับคุณ แก้สมการพีชคณิตออนไลน์, สมการตรีโกณมิติออนไลน์, เช่นเดียวกับ สมการยอดเยี่ยมออนไลน์หรือ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก สำหรับปัญหาในทางปฏิบัติในการหารากเหง้าต่างๆ สมการทางคณิตศาสตร์ทรัพยากร www.. Solving สมการออนไลน์ตัวเองจะเป็นประโยชน์ในการตรวจสอบคำตอบที่ได้รับโดยใช้ แก้สมการออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. จำเป็นต้องเขียนสมการให้ถูกต้องและรับทันที โซลูชั่นออนไลน์หลังจากนั้นเหลือเพียงการเปรียบเทียบคำตอบกับคำตอบของคุณกับสมการ การตรวจสอบคำตอบจะใช้เวลาไม่เกินหนึ่งนาทีก็พอ แก้สมการออนไลน์และเปรียบเทียบคำตอบ สิ่งนี้จะช่วยคุณหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดใน การตัดสินใจและแก้ไขคำตอบในเวลา แก้สมการออนไลน์ไม่ว่า พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, พ้นหรือ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก

ภาคผนวก

การแก้ปัญหาของสมการประเภทใดก็ได้ทางออนไลน์ไปยังไซต์เพื่อรวมเนื้อหาที่ศึกษาโดยนักเรียนและเด็กนักเรียน การแก้สมการออนไลน์ สมการออนไลน์ มีสมการพีชคณิต พาราเมทริก ยอดเยี่ยม ฟังก์ชัน ดิฟเฟอเรนเชียล และอื่นๆ สมการบางคลาสมีคำตอบเชิงวิเคราะห์ซึ่งสะดวกที่ไม่เพียงให้ค่าที่แน่นอนของรูทเท่านั้น รูปแบบของสูตรที่อาจรวมถึงพารามิเตอร์ นิพจน์การวิเคราะห์ไม่เพียง แต่จะคำนวณรากเท่านั้น แต่ยังวิเคราะห์การมีอยู่และจำนวนของพวกเขาขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ซึ่งมักจะมีความสำคัญมากกว่าสำหรับการใช้งานจริงมากกว่าค่าเฉพาะของราก แก้สมการออนไลน์ สมการออนไลน์ การแก้ปัญหาของสมการคืองานในการค้นหาค่าดังกล่าวของอาร์กิวเมนต์เพื่อให้ได้ความเท่าเทียมกันนี้ สามารถกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติม (จำนวนเต็ม จำนวนจริง ฯลฯ) กับค่าที่เป็นไปได้ของอาร์กิวเมนต์ได้ แก้สมการออนไลน์ สมการออนไลน์ คุณสามารถแก้สมการออนไลน์ได้ทันทีและให้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำสูง อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่กำหนด (บางครั้งเรียกว่า "ตัวแปร") ในกรณีของสมการเรียกว่า "ไม่ทราบ" ค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักซึ่งบรรลุความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่าคำตอบหรือรากของสมการที่กำหนด มีการกล่าวถึงรากเพื่อให้เป็นไปตามสมการที่กำหนด การแก้สมการออนไลน์หมายถึงการหาเซตของคำตอบทั้งหมด (รูท) หรือพิสูจน์ว่าไม่มีรูท แก้สมการออนไลน์ สมการออนไลน์ เทียบเท่าหรือเทียบเท่าเรียกว่าสมการชุดของรากที่ตรงกัน เทียบเท่ายังถือว่าเป็นสมการที่ไม่มีราก ความสมมูลของสมการมีคุณสมบัติสมมาตร: หากสมการหนึ่งเทียบเท่ากับสมการอื่น สมการที่สองจะเทียบเท่ากับสมการแรก ความสมมูลของสมการมีคุณสมบัติของทรานสซิทิฟ: ถ้าสมการหนึ่งเทียบเท่ากับอีกสมการหนึ่ง และสมการที่สองเทียบเท่ากับสมการที่สาม สมการแรกจะเทียบเท่ากับสมการที่สาม คุณสมบัติสมมูลของสมการทำให้สามารถแปลงค่าได้โดยใช้วิธีการแก้สมการ แก้สมการออนไลน์ สมการออนไลน์ เว็บไซต์จะช่วยให้คุณแก้สมการออนไลน์ได้ สมการที่ทราบคำตอบเชิงวิเคราะห์รวมถึงสมการพีชคณิตไม่สูงกว่าดีกรีที่สี่: สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง สมการลูกบาศก์ และสมการดีกรีที่สี่ สมการพีชคณิตขององศาที่สูงกว่าโดยทั่วไปไม่มีคำตอบเชิงวิเคราะห์ แม้ว่าบางสมการสามารถลดเป็นสมการองศาที่ต่ำกว่าได้ สมการที่รวมฟังก์ชันเหนือธรรมชาติเรียกว่าอบายมุข ในหมู่พวกเขา การแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์เป็นที่รู้จักสำหรับสมการตรีโกณมิติบางอัน เนื่องจากค่าศูนย์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นที่รู้จักกันดี ในกรณีทั่วไป เมื่อไม่พบวิธีวิเคราะห์ จะใช้วิธีการเชิงตัวเลข วิธีการเชิงตัวเลขไม่ได้ให้คำตอบที่แน่นอน แต่อนุญาตให้จำกัดช่วงเวลาที่รูทอยู่กับค่าที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเท่านั้น การแก้สมการออนไลน์.. สมการออนไลน์.. แทนที่จะใช้สมการออนไลน์ เราจะนำเสนอวิธีที่นิพจน์เดียวกันสร้างการพึ่งพาเชิงเส้น และไม่เพียงแต่ตามแนวสัมผัสตรงเท่านั้น แต่ยังอยู่ที่จุดเปลี่ยนเว้าของกราฟด้วย วิธีนี้เป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการศึกษาวิชานี้ตลอดเวลา บ่อยครั้งการแก้สมการเข้าใกล้ค่าสุดท้ายโดยใช้จำนวนอนันต์และการเขียนเวกเตอร์ จำเป็นต้องตรวจสอบข้อมูลเบื้องต้นและนี่คือสาระสำคัญของงาน มิฉะนั้น เงื่อนไขท้องถิ่นจะถูกแปลงเป็นสูตร การผกผันของเส้นตรงของฟังก์ชันที่กำหนด ซึ่งเครื่องคำนวณสมการจะคำนวณโดยไม่ชักช้าในการดำเนินการ จะถูกชดเชยด้วยเอกสิทธิ์ของพื้นที่ มันจะเป็นเรื่องเกี่ยวกับประสิทธิภาพของนักเรียนในสภาพแวดล้อมทางวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับที่กล่าวข้างต้น มันจะช่วยเราในกระบวนการค้นหา และเมื่อคุณแก้สมการจนหมด ให้บันทึกคำตอบที่ได้ไว้ที่ปลายส่วนของเส้นตรง เส้นในช่องว่างตัดกันที่จุดหนึ่ง และจุดนี้เรียกว่าตัดกันด้วยเส้น ช่วงเวลาบนเส้นถูกทำเครื่องหมายตามที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ โพสต์สูงสุดเกี่ยวกับการศึกษาคณิตศาสตร์จะได้รับการตีพิมพ์ การกำหนดค่าอาร์กิวเมนต์จากพื้นผิวที่กำหนดโดยพาราเมตริกและการแก้สมการออนไลน์จะสามารถระบุหลักการของการเรียกใช้ฟังก์ชันที่มีประสิทธิผลได้ แถบ Möbius หรือที่เรียกว่าอินฟินิตี้ดูเหมือนเลขแปด นี่คือพื้นผิวด้านเดียวไม่ใช่ด้านเดียว ตามหลักการที่ทุกคนรู้จักกันดี เราจะยอมรับสมการเชิงเส้นอย่างเป็นกลางเป็นการกำหนดพื้นฐานเช่นเดียวกับที่อยู่ในสาขาวิชา อาร์กิวเมนต์ที่ได้รับอย่างต่อเนื่องเพียงสองค่าเท่านั้นที่สามารถเปิดเผยทิศทางของเวกเตอร์ได้ สมมติว่าคำตอบอื่นของสมการออนไลน์เป็นมากกว่าการแก้ มันหมายถึงการได้รับเวอร์ชันเต็มของค่าคงที่ที่เอาต์พุต หากไม่มีวิธีการแบบบูรณาการ นักเรียนจะเรียนรู้เนื้อหานี้ได้ยาก เช่นเคย สำหรับแต่ละกรณีพิเศษ เครื่องคำนวณสมการออนไลน์ที่สะดวกและชาญฉลาดของเราจะช่วยทุกคนในช่วงเวลาที่ยากลำบาก เพราะคุณเพียงแค่ระบุพารามิเตอร์อินพุตแล้วระบบจะคำนวณคำตอบเอง ก่อนที่เราจะเริ่มป้อนข้อมูล เราจำเป็นต้องมีเครื่องมือป้อนข้อมูล ซึ่งสามารถทำได้โดยไม่ยาก จำนวนคะแนนคำตอบแต่ละคะแนนจะเป็นสมการกำลังสองที่นำไปสู่ข้อสรุปของเรา แต่สิ่งนี้ไม่ง่ายนัก เนื่องจากเป็นการง่ายที่จะพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้าม ทฤษฎีนี้ไม่ได้รับการสนับสนุนจากความรู้เชิงปฏิบัติเนื่องจากลักษณะเฉพาะ การดูเครื่องคำนวณเศษส่วนในขั้นตอนการเผยแพร่คำตอบนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายในวิชาคณิตศาสตร์ เนื่องจากทางเลือกในการเขียนตัวเลขในชุดจะเพิ่มการเติบโตของฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม การไม่พูดเกี่ยวกับการฝึกอบรมนักเรียนจะไม่ถูกต้อง ดังนั้น เราจะอธิบายแต่ละข้อเท่าที่จำเป็น สมการกำลังสามที่พบก่อนหน้านี้จะอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความอย่างถูกต้อง และมีช่องว่างของค่าตัวเลข รวมถึงตัวแปรเชิงสัญลักษณ์ เมื่อเรียนรู้หรือจดจำทฤษฎีบทแล้ว นักเรียนของเราจะแสดงตัวเองจากด้านที่ดีที่สุดเท่านั้น และเราจะมีความสุขกับพวกเขา ตรงกันข้ามกับชุดของจุดตัดของสนาม สมการออนไลน์ของเราอธิบายโดยระนาบการเคลื่อนที่ตามการคูณของเส้นรวมที่เป็นตัวเลขสองและสามเส้น เซตในวิชาคณิตศาสตร์ไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง ทางออกที่ดีที่สุดสำหรับนักเรียนคือการแสดงออกที่เป็นลายลักษณ์อักษรจนจบ ดังที่กล่าวไว้ในภาษาวิทยาศาสตร์ นามธรรมของนิพจน์เชิงสัญลักษณ์ไม่รวมอยู่ในสถานะของกิจการ แต่การแก้สมการให้ผลลัพธ์ที่ชัดเจนในทุกกรณีที่ทราบ ระยะเวลาของเซสชั่นของครูขึ้นอยู่กับความต้องการในข้อเสนอนี้ การวิเคราะห์แสดงให้เห็นถึงความจำเป็นในการใช้เทคนิคการคำนวณทั้งหมดในหลาย ๆ ด้าน และเป็นที่แน่ชัดว่าเครื่องคำนวณสมการเป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้ในมือของนักเรียนที่มีพรสวรรค์ แนวทางที่ซื่อสัตย์ต่อการศึกษาคณิตศาสตร์เป็นตัวกำหนดความสำคัญของมุมมองของทิศทางต่างๆ คุณต้องการกำหนดหนึ่งในทฤษฎีบทสำคัญๆ และแก้สมการในลักษณะนั้น ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับคำตอบว่ามีความจำเป็นเพิ่มเติมสำหรับการประยุกต์ใช้หรือไม่ การวิเคราะห์ในพื้นที่นี้กำลังได้รับแรงผลักดัน เริ่มจากจุดเริ่มต้นและรับสูตร เส้นสัมผัสที่จุดเปลี่ยนเว้าจะนำไปสู่ความจริงที่ว่าการแก้สมการออนไลน์เป็นหนึ่งในประเด็นหลักในการสร้างกราฟเดียวกันจากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน แนวทางสมัครเล่นมีสิทธิที่จะนำไปใช้หากเงื่อนไขนี้ไม่ขัดแย้งกับข้อสรุปของนักเรียน เป็นงานย่อยอย่างแม่นยำที่ทำให้การวิเคราะห์เงื่อนไขทางคณิตศาสตร์เป็นสมการเชิงเส้นในโดเมนที่มีอยู่ของคำจำกัดความของวัตถุที่นำไปสู่พื้นหลัง การชดเชยในทิศทางของมุมฉากจะยกเลิกข้อได้เปรียบของค่าสัมบูรณ์เพียงอย่างเดียว Modulo การแก้สมการออนไลน์ให้คำตอบจำนวนเท่ากัน ถ้าคุณเปิดวงเล็บก่อนด้วยเครื่องหมายบวก แล้วตามด้วยเครื่องหมายลบ ในกรณีนี้ มีวิธีแก้ปัญหามากกว่าสองเท่า และผลลัพธ์จะแม่นยำยิ่งขึ้น เครื่องคำนวณสมการออนไลน์ที่เสถียรและถูกต้องคือความสำเร็จในการบรรลุเป้าหมายในงานที่ครูกำหนด ดูเหมือนว่าเป็นไปได้ที่จะเลือกวิธีการที่จำเป็นเนื่องจากความแตกต่างที่สำคัญในมุมมองของนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ สมการกำลังสองที่ได้จะอธิบายเส้นโค้งของเส้น เรียกว่าพาราโบลา และเครื่องหมายจะกำหนดความนูนของระบบพิกัดกำลังสอง จากสมการ เราได้ทั้ง discriminant และ root ตามทฤษฎีบท Vieta จำเป็นต้องนำเสนอนิพจน์เป็นเศษส่วนที่เหมาะสมหรือไม่เหมาะสม และใช้เครื่องคำนวณเศษส่วนในระยะแรก ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ แผนสำหรับการคำนวณเพิ่มเติมของเราจะถูกสร้างขึ้น คณิตศาสตร์กับวิธีการเชิงทฤษฎีมีประโยชน์ในทุกขั้นตอน เราจะนำเสนอผลลัพธ์เป็นสมการกำลังสามอย่างแน่นอน เพราะเราจะซ่อนรากของมันในนิพจน์นี้ เพื่อทำให้งานสำหรับนักศึกษาในมหาวิทยาลัยง่ายขึ้น วิธีการใดๆ ก็ดี หากเหมาะสำหรับการวิเคราะห์ผิวเผิน การดำเนินการเลขคณิตพิเศษจะไม่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณ กำหนดคำตอบด้วยความแม่นยำที่กำหนด ลองใช้วิธีแก้ปัญหาของสมการกัน - การหาตัวแปรอิสระของฟังก์ชันที่กำหนดนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย โดยเฉพาะเมื่อศึกษาเส้นคู่ขนานที่ระยะอนันต์ ในแง่ของข้อยกเว้น ความต้องการนั้นชัดเจนมาก ความแตกต่างของขั้วมีความชัดเจน จากประสบการณ์การสอนในสถาบัน ครูของเราได้เรียนรู้บทเรียนหลัก ซึ่งได้ศึกษาสมการออนไลน์ในความหมายทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด นี่เป็นเรื่องเกี่ยวกับความพยายามที่สูงขึ้นและทักษะพิเศษในการประยุกต์ใช้ทฤษฎี ไม่ควรมองผ่านปริซึม จนกระทั่งเมื่อไม่นานนี้ เชื่อกันว่าเซตปิดกำลังเติบโตอย่างรวดเร็วทั่วพื้นที่ตามที่เป็นอยู่ และเพียงแค่ต้องตรวจสอบคำตอบของสมการ ในระยะแรก เราไม่ได้พิจารณาทางเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด แต่แนวทางนี้มีความสมเหตุสมผลมากกว่าที่เคย การกระทำพิเศษที่มีวงเล็บแสดงให้เห็นถึงความก้าวหน้าบางอย่างตามแกน สังฆราช และ แกน abscissa ซึ่งไม่สามารถมองข้ามได้ด้วยตาเปล่า มีจุดเปลี่ยนเว้าในแง่ของการเพิ่มฟังก์ชันตามสัดส่วนในวงกว้าง อีกครั้ง เราจะพิสูจน์ว่าเงื่อนไขที่จำเป็นจะถูกนำไปใช้ในช่วงเวลาทั้งหมดโดยการลดตำแหน่งจากมากไปหาน้อยหนึ่งตำแหน่งหรืออีกตำแหน่งหนึ่งของเวกเตอร์ ในพื้นที่จำกัด เราจะเลือกตัวแปรจากบล็อกเริ่มต้นของสคริปต์ของเรา ระบบที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานของเวกเตอร์สามตัวมีหน้าที่รับผิดชอบในกรณีที่ไม่มีโมเมนต์กำลังหลัก อย่างไรก็ตาม เครื่องคำนวณสมการอนุมานและช่วยในการหาเงื่อนไขทั้งหมดของสมการที่สร้างขึ้น ทั้งเหนือพื้นผิวและตามเส้นคู่ขนาน มาอธิบายวงกลมรอบจุดเริ่มต้นกัน ดังนั้น เราจะเริ่มเคลื่อนขึ้นไปตามเส้นของส่วน และแทนเจนต์จะอธิบายวงกลมตามความยาวทั้งหมด ส่งผลให้เราจะได้เส้นโค้งซึ่งเรียกว่าเป็นวงกลม อย่างไรก็ตาม เรามาพูดถึงเส้นโค้งนี้กันซักหน่อย ความจริงก็คือว่าในอดีตในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีแนวคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในความหมายที่บริสุทธิ์ดังที่เป็นอยู่ในปัจจุบัน ก่อนหน้านี้ นักวิทยาศาสตร์ทุกคนมีส่วนร่วมในสิ่งเดียวกัน นั่นคือ วิทยาศาสตร์ ต่อมา ไม่กี่ศตวรรษต่อมา เมื่อโลกวิทยาศาสตร์เต็มไปด้วยข้อมูลจำนวนมหาศาล กระนั้นก็ตาม มนุษยชาติได้แยกแยะสาขาวิชาต่างๆ ออกไป พวกเขายังคงไม่เปลี่ยนแปลง และทุกปี นักวิทยาศาสตร์ทั่วโลกพยายามพิสูจน์ว่าวิทยาศาสตร์นั้นไร้ขอบเขต และคุณไม่สามารถแก้สมการได้เว้นแต่คุณจะมีความรู้เกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ มันคงเป็นไปไม่ได้ที่จะยุติมันในที่สุด คิดไปก็ไร้ค่าพอๆ กับทำให้อากาศภายนอกอุ่นขึ้น ลองหาช่วงเวลาที่อาร์กิวเมนต์ซึ่งมีค่าบวกกำหนดโมดูลัสของค่าในทิศทางที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ปฏิกิริยาจะช่วยในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยสามวิธี แต่จำเป็นต้องตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา เริ่มจากความจริงที่ว่าเราต้องแก้สมการออนไลน์โดยใช้บริการเฉพาะของเว็บไซต์ของเรา ให้ใส่ทั้งสองส่วนของสมการที่กำหนด กดปุ่ม "SOLVE" และรับคำตอบที่แน่นอนภายในเวลาเพียงไม่กี่วินาที ในกรณีพิเศษ เราจะหยิบหนังสือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์และตรวจสอบคำตอบของเราอีกครั้ง กล่าวคือ เราจะดูเฉพาะคำตอบและทุกอย่างจะชัดเจนขึ้น โครงการเดียวกันจะบินออกไปบน Parallelepiped ซ้ำซ้อนเทียม มีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านขนานกัน และอธิบายหลักการและวิธีการศึกษาความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ของกระบวนการจากน้อยไปมากของการสะสมของช่องว่างในสูตรรูปแบบธรรมชาติ สมการเชิงเส้นที่คลุมเครือแสดงถึงการพึ่งพาของตัวแปรที่ต้องการกับคำตอบทั่วไปในปัจจุบันของเรา และจำเป็นต้องหามาและลดเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมลงเป็นกรณีที่ไม่สำคัญ เราทำเครื่องหมายจุดสิบจุดบนเส้นตรงและวาดเส้นโค้งผ่านแต่ละจุดในทิศทางที่กำหนด และนูนขึ้นด้านบน เครื่องคำนวณสมการของเราจะนำเสนอนิพจน์ในรูปแบบที่ตรวจสอบความถูกต้องของกฎได้โดยไม่ยากแม้ในช่วงเริ่มต้นของการบันทึก ระบบการแสดงเสถียรภาพพิเศษสำหรับนักคณิตศาสตร์ตั้งแต่แรก เว้นแต่จะกำหนดไว้เป็นอย่างอื่นในสูตร เราจะตอบคำถามนี้ด้วยการนำเสนอโดยละเอียดของรายงานเกี่ยวกับสถานะ isomorphic ของระบบพลาสติกของร่างกาย และการแก้สมการออนไลน์จะอธิบายการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุแต่ละจุดในระบบนี้ ในระดับของการศึกษาเชิงลึก จำเป็นต้องชี้แจงรายละเอียดเกี่ยวกับคำถามเกี่ยวกับการผกผันของพื้นที่ชั้นล่างเป็นอย่างน้อย ในการเรียงลำดับจากน้อยไปมากในส่วนของความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน เราจะใช้วิธีทั่วไปของนักวิจัยที่ยอดเยี่ยม ยังไงก็ตาม เพื่อนร่วมชาติของเรา และเราจะบอกด้านล่างเกี่ยวกับพฤติกรรมของเครื่องบิน เนื่องจากคุณลักษณะที่ชัดเจนของฟังก์ชันที่วิเคราะห์ เราจึงใช้เครื่องคำนวณสมการออนไลน์เพื่อวัตถุประสงค์ที่ตั้งใจไว้ภายในขอบเขตอำนาจที่ได้รับเท่านั้น ในการโต้เถียงเพิ่มเติม เราหยุดทบทวนความสม่ำเสมอของสมการ นั่นคือ ด้านขวาของสมการเท่ากับศูนย์ เราจะตรวจสอบความถูกต้องของการตัดสินใจทางคณิตศาสตร์อีกครั้ง เพื่อหลีกเลี่ยงการแก้ปัญหาเล็กน้อย เราจะทำการปรับเปลี่ยนเงื่อนไขเบื้องต้นสำหรับปัญหาความเสถียรตามเงื่อนไขของระบบ มาเขียนสมการกำลังสองกัน ซึ่งเราเขียนสองค่าโดยใช้สูตรที่เป็นที่รู้จักและหารากเชิงลบ หากหนึ่งรูทเกินรูทที่สองและสามห้าหน่วย จากนั้นโดยการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์หลัก เราจะบิดเบือนเงื่อนไขเริ่มต้นของปัญหาย่อย แก่นแท้ของสิ่งแปลกปลอมในวิชาคณิตศาสตร์สามารถอธิบายเป็นจำนวนบวกที่ใกล้ที่สุดได้เสมอ เครื่องคำนวณเศษส่วนมีประสิทธิภาพเหนือกว่าเครื่องคำนวณหลายเท่าในทรัพยากรที่คล้ายคลึงกันในช่วงเวลาที่ดีที่สุดของการโหลดเซิร์ฟเวอร์ บนพื้นผิวของเวกเตอร์ความเร็วที่เติบโตตามแนวแกน y เราวาดเส้นเจ็ดเส้นที่โค้งงอในทิศตรงข้ามกัน ความสามารถในการเปรียบเทียบได้ของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่กำหนดนำไปสู่ตัวนับยอดดุลการกู้คืน ในวิชาคณิตศาสตร์ ปรากฏการณ์นี้สามารถแสดงผ่านสมการกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์จินตภาพ เช่นเดียวกับความก้าวหน้าของเส้นสองขั้วที่ลดลง จุดวิกฤตของความแตกต่างของอุณหภูมิในหลายความหมายและความคืบหน้าอธิบายกระบวนการแยกตัวประกอบฟังก์ชันเศษส่วนที่ซับซ้อน หากคุณได้รับคำสั่งให้แก้สมการ อย่ารีบเร่งที่จะทำในนาทีนี้ ให้ประเมินแผนปฏิบัติการทั้งหมดก่อนแล้วค่อยใช้วิธีการที่ถูกต้อง จะมีประโยชน์อย่างแน่นอน ความง่ายในการทำงานนั้นชัดเจนและในวิชาคณิตศาสตร์ก็เหมือนกัน แก้สมการออนไลน์ สมการออนไลน์ทั้งหมดเป็นการบันทึกตัวเลขหรือพารามิเตอร์บางประเภท และตัวแปรที่ต้องกำหนด คำนวณตัวแปรนี้ กล่าวคือ ค้นหาค่าเฉพาะหรือช่วงเวลาของชุดค่าที่ตัวตนจะพึงพอใจ เงื่อนไขเริ่มต้นและสุดท้ายขึ้นอยู่กับโดยตรง ตามกฎแล้ว คำตอบของสมการทั่วไปจะรวมถึงตัวแปรและค่าคงที่บางตัว โดยการตั้งค่า ซึ่งเราจะได้คำตอบทั้งครอบครัวสำหรับคำชี้แจงปัญหาที่กำหนด โดยทั่วไป สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงความพยายามที่ลงทุนในทิศทางของการเพิ่มฟังก์ชันการทำงานของลูกบาศก์เชิงพื้นที่ที่มีด้านเท่ากับ 100 เซนติเมตร คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทหรือบทแทรกในขั้นตอนใดก็ได้ของการสร้างคำตอบ ไซต์จะค่อยๆ ออกเครื่องคำนวณสมการ หากจำเป็น ให้แสดงค่าที่น้อยที่สุดในช่วงเวลาใดๆ ของการรวมผลคูณของผลิตภัณฑ์ ในครึ่งกรณี ลูกบอลที่มีลักษณะกลวงไม่เป็นไปตามข้อกำหนดสำหรับการกำหนดคำตอบระดับกลางในระดับที่มากขึ้น อย่างน้อยบนแกน y ในทิศทางของการแสดงเวกเตอร์ที่ลดลง สัดส่วนนี้จะเหมาะสมกว่านิพจน์ก่อนหน้าอย่างไม่ต้องสงสัย ในชั่วโมงที่มีการวิเคราะห์จุดเต็มในฟังก์ชันเชิงเส้น ที่จริงแล้ว เราจะรวบรวมจำนวนเชิงซ้อนและช่องว่างระนาบสองขั้วทั้งหมดของเรา โดยการแทนที่ตัวแปรลงในนิพจน์ผลลัพธ์ คุณจะแก้สมการเป็นขั้นๆ และให้คำตอบที่ละเอียดที่สุดด้วยความแม่นยำสูง อีกครั้งหนึ่ง การตรวจสอบการกระทำของคุณในวิชาคณิตศาสตร์จะเป็นรูปแบบที่ดีของนักเรียน สัดส่วนในอัตราส่วนของเศษส่วนแก้ไขความสมบูรณ์ของผลลัพธ์ในพื้นที่สำคัญทั้งหมดของกิจกรรมของเวกเตอร์ศูนย์ เรื่องไม่สำคัญได้รับการยืนยันเมื่อสิ้นสุดการกระทำที่ดำเนินการ ด้วยชุดงานง่าย ๆ นักเรียนจะไม่มีปัญหาหากพวกเขาแก้สมการออนไลน์ในช่วงเวลาที่สั้นที่สุด แต่อย่าลืมกฎทุกประเภท เซตของเซตย่อยตัดกันในพื้นที่ของสัญกรณ์บรรจบกัน ในบางกรณี ผลิตภัณฑ์ไม่ได้แยกตัวประกอบอย่างผิดพลาด คุณจะได้รับความช่วยเหลือในการแก้สมการออนไลน์ในส่วนแรกของเราเกี่ยวกับพื้นฐานของเทคนิคทางคณิตศาสตร์สำหรับส่วนสำคัญๆ สำหรับนักเรียนในมหาวิทยาลัยและโรงเรียนเทคนิค ตัวอย่างการตอบจะไม่ทำให้เราต้องรอเป็นเวลาหลายวัน เนื่องจากกระบวนการปฏิสัมพันธ์ที่ดีที่สุดของการวิเคราะห์เวกเตอร์กับการค้นหาโซลูชันตามลำดับได้รับการจดสิทธิบัตรเมื่อต้นศตวรรษที่ผ่านมา ปรากฎว่าความพยายามในการเชื่อมต่อกับทีมรอบข้างนั้นไม่ได้ไร้ผล มีอย่างอื่นที่ค้างชำระอย่างเห็นได้ชัดตั้งแต่แรก หลายชั่วอายุคนต่อมา นักวิทยาศาสตร์ทั่วโลกเชื่อว่าคณิตศาสตร์เป็นราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ ไม่ว่าจะเป็นคำตอบด้านซ้ายหรือคำตอบที่ถูกต้อง คำศัพท์ที่ละเอียดถี่ถ้วนจะต้องเขียนเป็นสามแถวอยู่ดี เนื่องจากในกรณีของเรา เราจะพูดถึงการวิเคราะห์เวกเตอร์ของคุณสมบัติของเมทริกซ์อย่างแจ่มแจ้งเท่านั้น สมการไม่เชิงเส้นและเชิงเส้น ร่วมกับสมการสองกำลังสอง เกิดขึ้นที่พิเศษในหนังสือของเราเกี่ยวกับวิธีที่ดีที่สุดในการคำนวณวิถีการเคลื่อนที่ในพื้นที่ของจุดวัสดุทั้งหมดของระบบปิด การวิเคราะห์เชิงเส้นของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์สามตัวต่อเนื่องกันจะช่วยให้แนวคิดนี้เป็นจริง ที่ส่วนท้ายของการตั้งค่าแต่ละรายการ งานจะง่ายขึ้นโดยการแนะนำข้อยกเว้นที่เป็นตัวเลขที่ปรับให้เหมาะสมในบริบทของการซ้อนทับพื้นที่ตัวเลขที่กำลังดำเนินการ การตัดสินอื่นจะไม่คัดค้านคำตอบที่พบในรูปสามเหลี่ยมในวงกลมตามอำเภอใจ มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองมีเปอร์เซ็นต์มาร์จิ้นที่ต้องการ และการแก้สมการออนไลน์มักจะเปิดเผยรากทั่วไปของสมการซึ่งต่างจากเงื่อนไขเริ่มต้น ข้อยกเว้นมีบทบาทเป็นตัวเร่งปฏิกิริยาในกระบวนการที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ทั้งหมดในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาเชิงบวกในด้านการกำหนดฟังก์ชัน ถ้าไม่ได้บอกว่าคุณไม่สามารถใช้คอมพิวเตอร์ได้ เครื่องคิดเลขสมการออนไลน์ก็เหมาะสำหรับงานยากๆ ของคุณ เพียงแค่ป้อนข้อมูลตามเงื่อนไขในรูปแบบที่ถูกต้องก็เพียงพอแล้ว และเซิร์ฟเวอร์ของเราจะออกคำตอบที่ครบถ้วนในเวลาที่สั้นที่สุด ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเชิงเส้นมาก นี่คือหลักฐานจากวรรณกรรมห้องสมุดอันชาญฉลาดของ Talmuds จะทำการคำนวณในความหมายทั่วไป เหมือนกับสมการกำลังสองที่ให้มาที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนสามตัว พาราโบลาในส่วนบนของครึ่งระนาบแสดงลักษณะการเคลื่อนที่ขนานเป็นเส้นตรงตามแนวแกนของจุด ที่นี่เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญถึงความแตกต่างที่อาจเกิดขึ้นในพื้นที่ทำงานของร่างกาย เพื่อแลกกับผลลัพธ์ที่ต่ำกว่าปกติ เครื่องคิดเลขเศษส่วนของเราครองตำแหน่งแรกอย่างถูกต้องในการให้คะแนนทางคณิตศาสตร์ของการทบทวนโปรแกรมการทำงานที่ส่วนหลัง ความง่ายในการใช้บริการนี้จะได้รับการชื่นชมจากผู้ใช้อินเทอร์เน็ตหลายล้านคน หากคุณไม่ทราบวิธีใช้งาน เรายินดีที่จะช่วยเหลือคุณ เรายังต้องการเน้นและเน้นสมการลูกบาศก์จากงานของนักเรียนชั้นประถมศึกษาจำนวนหนึ่ง เมื่อคุณต้องการค้นหารากของมันอย่างรวดเร็วและพล็อตกราฟฟังก์ชันบนระนาบ ระดับสูงสุดของการขยายพันธุ์เป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุดในสถาบัน และจัดสรรเวลาให้เพียงพอสำหรับการศึกษา เช่นเดียวกับสมการเชิงเส้นทั้งหมด กฎของเราก็ไม่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎวัตถุประสงค์หลายข้อ ลองมองจากมุมมองที่ต่างกัน และกลายเป็นว่าง่ายและเพียงพอที่จะกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นเกิดขึ้นพร้อมกับช่วงเวลานูนของฟังก์ชัน แก้สมการออนไลน์ การศึกษาทฤษฎีนี้ใช้สมการออนไลน์จากหลายส่วนเกี่ยวกับการศึกษาสาขาวิชาหลัก ในกรณีของแนวทางดังกล่าวในปัญหาที่ไม่แน่นอน เป็นเรื่องง่ายมากที่จะนำเสนอคำตอบของสมการในรูปแบบที่กำหนดไว้ล่วงหน้า และไม่เพียงแต่สรุปผลเท่านั้น แต่ยังคาดการณ์ผลลัพธ์ของคำตอบเชิงบวกดังกล่าวด้วย บริการนี้จะช่วยให้เราเรียนรู้วิชาในประเพณีที่ดีที่สุดของคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับที่เป็นธรรมเนียมปฏิบัติในภาคตะวันออก ในช่วงเวลาที่ดีที่สุดของช่วงเวลา งานที่คล้ายกันจะถูกคูณด้วยตัวคูณร่วมสิบครั้ง ด้วยการคูณของตัวแปรหลายตัวจำนวนมากในเครื่องคำนวณสมการ มันเริ่มคูณด้วยคุณภาพ ไม่ใช่ด้วยตัวแปรเชิงปริมาณ เช่น มวลหรือน้ำหนักตัว เพื่อหลีกเลี่ยงกรณีของความไม่สมดุลของระบบวัสดุ เป็นที่แน่ชัดสำหรับเราว่าได้มาจากตัวแปลงสามมิติบนจุดบรรจบกันเล็กน้อยของเมทริกซ์ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่เสื่อมสภาพ ทำงานให้เสร็จและแก้สมการในพิกัดที่กำหนด เนื่องจากไม่ทราบผลลัพธ์ล่วงหน้า รวมถึงตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในเวลาหลังอวกาศไม่เป็นที่รู้จัก ในช่วงเวลาสั้นๆ ผลักตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บแล้วหารด้วยตัวหารร่วมมากของทั้งสองส่วนล่วงหน้า จากใต้ชุดย่อยของตัวเลขที่เป็นผลลัพธ์ ให้ดึงข้อมูลโดยละเอียดสามสิบสามจุดติดต่อกันในช่วงเวลาสั้นๆ ตราบเท่าที่เป็นไปได้ที่นักเรียนทุกคนจะแก้สมการออนไลน์ในวิธีที่ดีที่สุด มองไปข้างหน้า สมมติว่าสิ่งสำคัญอย่างหนึ่ง แต่สิ่งสำคัญ หากปราศจากสิ่งนี้ เราจะใช้ชีวิตได้ไม่ง่ายในอนาคต ในศตวรรษที่ผ่านมา นักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ได้สังเกตเห็นความสม่ำเสมอหลายประการในทฤษฎีคณิตศาสตร์ ในทางปฏิบัติ เหตุการณ์ดังกล่าวกลับไม่เป็นไปตามที่คาดไว้ อย่างไรก็ตาม โดยหลักการแล้ว วิธีแก้ปัญหาสมการออนไลน์นี้ช่วยปรับปรุงความเข้าใจและการรับรู้ถึงแนวทางแบบองค์รวมในการศึกษาและการรวบรวมเนื้อหาเชิงทฤษฎีที่ครอบคลุมโดยนักเรียนในเชิงปฏิบัติ มันง่ายกว่ามากที่จะทำสิ่งนี้ในช่วงเวลาเรียนของคุณ

=

สมการเชิงเส้น โซลูชันตัวอย่าง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นไม่ใช่หัวข้อที่ยากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่มีกลอุบายบางอย่างที่สามารถไขปริศนาได้แม้กระทั่งนักเรียนที่ได้รับการฝึกฝน เรามาทำความเข้าใจกันดีไหม?)

สมการเชิงเส้นมักจะถูกกำหนดเป็นสมการของรูปแบบ:

ขวาน + ข = 0 ที่ไหน a และ b- ตัวเลขใด ๆ

2x + 7 = 0 ที่นี่ ก=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 ที่นี่ ก=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 ที่นี่ ก=12, ข=1/2

ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่สังเกตคำ: "โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ"... และถ้าคุณสังเกตแต่คิดอย่างไม่ระมัดระวัง?) ท้ายที่สุดถ้า เป็=0, b=0(ตัวเลขใด ๆ ที่เป็นไปได้?) จากนั้นเราก็ได้รับสำนวนตลก ๆ :

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ถ้าพูดว่า เป็=0,เอ ข=5,ปรากฎว่าค่อนข้างไร้สาระ:

สิ่งที่สายพันธุ์และบ่อนทำลายความมั่นใจในวิชาคณิตศาสตร์ใช่ ... ) โดยเฉพาะในการสอบ แต่สำหรับสำนวนแปลกๆ เหล่านี้ คุณยังต้องค้นหา X! ที่ไม่มีอยู่จริงเลย และน่าประหลาดใจที่ X ตัวนี้หาได้ง่ายมาก เราจะได้เรียนรู้วิธีการทำ ในบทเรียนนี้

วิธีการรับรู้สมการเชิงเส้นในลักษณะที่ปรากฏ? ขึ้นอยู่กับลักษณะที่ปรากฏ) เคล็ดลับคือสมการเชิงเส้นไม่ได้เรียกว่าสมการของรูปแบบเท่านั้น ขวาน + ข = 0 แต่ยังรวมถึงสมการใดๆ ที่ลดขนาดลงสู่รูปแบบนี้ด้วยการแปลงและการทำให้เข้าใจง่ายด้วย และใครจะรู้ว่าลดได้หรือเปล่า?)

ในบางกรณีสามารถจำสมการเชิงเส้นได้อย่างชัดเจน สมมุติว่าถ้าเรามีสมการที่มีค่าดีกรีแรกอยู่เท่านั้น ก็ใช่ว่าจะเป็นตัวเลข และสมการไม่ได้ เศษส่วนหารด้วย ไม่รู้จัก , มันเป็นสิ่งสำคัญ! และหารด้วย ตัวเลข,หรือเศษส่วนตัวเลข - เท่านั้น! ตัวอย่างเช่น:

นี่คือสมการเชิงเส้น มีเศษส่วนอยู่ที่นี่ แต่ไม่มี x อยู่ในกำลังสอง ในลูกบาศก์ ฯลฯ และไม่มี x อยู่ในตัวส่วน กล่าวคือ ไม่ หารด้วย x. และนี่คือสมการ

เรียกว่าเชิงเส้นไม่ได้ x ทั้งหมดอยู่ในดีกรีแรก แต่มี หารด้วยนิพจน์ด้วย x. หลังจากการทำให้เข้าใจง่ายและการแปลง คุณจะได้สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง และอะไรก็ได้ที่คุณต้องการ

ปรากฎว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะหาสมการเชิงเส้นในตัวอย่างที่ซับซ้อนบางตัวอย่าง จนกว่าคุณจะแก้มันเกือบหมด มันอารมณ์เสีย แต่ในการมอบหมายงาน ตามกฎแล้ว พวกเขาจะไม่ถามเกี่ยวกับรูปแบบของสมการใช่ไหม ในงานจะเรียงลำดับสมการ ตัดสินใจ.มันทำให้ฉันมีความสุข)

แก้สมการเชิงเส้น ตัวอย่าง.

คำตอบทั้งหมดของสมการเชิงเส้นประกอบด้วยการแปลงสมการเหมือนกัน ยังไงก็ตาม การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ (มากถึงสอง!) รองรับการแก้ปัญหา สมการคณิตศาสตร์ทั้งหมดกล่าวอีกนัยหนึ่งการตัดสินใจ ใดๆสมการเริ่มต้นด้วยการแปลงแบบเดียวกันนี้ ในกรณีของสมการเชิงเส้น มัน (คำตอบ) ของการแปลงเหล่านี้จบลงด้วยคำตอบที่สมบูรณ์ มันสมเหตุสมผลที่จะไปตามลิงก์ใช่ไหม) นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้นด้วย

เริ่มต้นด้วยตัวอย่างที่ง่ายที่สุด โดยไม่มีข้อผิดพลาดใดๆ สมมุติว่าเราต้องแก้สมการต่อไปนี้

x - 3 = 2 - 4x

นี่คือสมการเชิงเส้น X ล้วนเป็นยกกำลังแรก ไม่มีการหารด้วย X แต่ที่จริงแล้ว เราไม่สนใจว่าสมการคืออะไร เราจำเป็นต้องแก้ปัญหานี้ โครงการที่นี่เป็นเรื่องง่าย รวบรวมทุกอย่างที่มี x อยู่ทางด้านซ้ายของสมการ ทุกอย่างที่ไม่มี x (ตัวเลข) อยู่ทางขวา

ในการดำเนินการนี้ คุณต้องโอน - 4x ไปทางซ้าย พร้อมเปลี่ยนเครื่องหมาย แน่นอน แต่ - 3 - ไปทางขวา. อนึ่ง นี่คือ การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งแรกน่าประหลาดใจ? ดังนั้นพวกเขาไม่ได้ตามลิงค์ แต่ไร้ประโยชน์ ... ) เราได้รับ:

x + 4x = 2 + 3

เราให้สิ่งที่คล้ายกันเราพิจารณา:

เราต้องการอะไรเพื่อจะมีความสุขอย่างสมบูรณ์? ใช่เพื่อให้มี X ที่สะอาดอยู่ทางด้านซ้าย! ห้าได้รับในทาง กำจัดห้าด้วย การแปลงสมการที่เหมือนกันที่สองกล่าวคือเราหารทั้งสองส่วนของสมการด้วย 5 เราจะได้คำตอบสำเร็จรูป:

ตัวอย่างเบื้องต้นแน่นอน นี่เป็นการวอร์มอัพ) ไม่ชัดเจนนักว่าทำไมฉันจำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันที่นี่ ตกลง. เราจับวัวโดยเขา) ตัดสินใจสิ่งที่น่าประทับใจกว่านี้กันเถอะ

ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการนี้:

เราจะเริ่มต้นที่ไหน ด้วย X - ทางซ้าย, ไม่มี X - ทางขวา? อาจจะเป็นเช่นนั้น ก้าวเล็กๆ ไปตามถนนสายยาว และคุณสามารถทำได้ทันที ในแบบที่เป็นสากลและทรงพลัง แน่นอนว่าในคลังแสงของคุณจะมีการแปลงสมการเหมือนกัน

ฉันถามคำถามสำคัญกับคุณ: คุณไม่ชอบอะไรมากที่สุดเกี่ยวกับสมการนี้

95 คนจาก 100 คนจะตอบว่า: เศษส่วน ! คำตอบที่ถูกต้อง มากำจัดพวกมันกันเถอะ ดังนั้นเราจึงเริ่มทันทีด้วย การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันครั้งที่สอง. คุณต้องคูณเศษส่วนทางซ้ายด้วยอะไรเพื่อให้ตัวส่วนลดลงจนหมด? ถูกแล้ว 3. และทางขวา? ด้วย 4. แต่คณิตศาสตร์ทำให้เราคูณทั้งสองข้างด้วย เบอร์เดียวกัน. เราจะออกไปได้อย่างไร? ลองคูณทั้งสองข้างด้วย 12! เหล่านั้น. ถึงตัวส่วนร่วม จากนั้นสามจะลดลงและสี่ อย่าลืมว่าคุณต้องคูณแต่ละส่วน ทั้งหมด. นี่คือลักษณะขั้นตอนแรก:

การขยายวงเล็บ:

บันทึก! เศษ (x+2)ฉันเอาวงเล็บ! นี่เป็นเพราะเมื่อคูณเศษส่วน ตัวเศษจะถูกคูณด้วยทั้งหมดทั้งหมด! และตอนนี้คุณสามารถลดเศษส่วนและลด:

เปิดวงเล็บที่เหลือ:

ไม่ใช่ตัวอย่าง แต่เป็นความสุขอย่างแท้จริง!) ตอนนี้เราจำคาถาจากระดับที่ต่ำกว่า: ด้วย x - ทางซ้ายไม่มี x - ทางขวา!และใช้การเปลี่ยนแปลงนี้:

นี่คือบางส่วนเช่น:

และเราหารทั้งสองส่วนด้วย 25 นั่นคือ ใช้การแปลงครั้งที่สองอีกครั้ง:

นั่นคือทั้งหมดที่ ตอบ: X=0,16

จดบันทึก: เพื่อนำสมการที่สับสนดั้งเดิมมาอยู่ในรูปแบบที่น่าพอใจ เราใช้สอง (เพียงสองเท่านั้น!) การแปลงที่เหมือนกัน- แปลซ้าย-ขวา โดยเปลี่ยนเครื่องหมายและคูณหารของสมการด้วยตัวเลขเดียวกัน นี่เป็นวิธีสากล! เราจะทำงานในลักษณะนี้ ใดๆ สมการ! แต่อย่างใด นั่นคือเหตุผลที่ฉันยังคงทำซ้ำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันเหล่านี้ตลอดเวลา)

อย่างที่คุณเห็น หลักการแก้สมการเชิงเส้นนั้นง่าย เราใช้สมการและทำให้ง่ายขึ้นด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เหมือนกันจนกว่าเราจะได้คำตอบ ปัญหาหลักอยู่ที่การคำนวณ ไม่ใช่หลักการแก้ปัญหา

แต่ ... มีความประหลาดใจในกระบวนการแก้สมการเชิงเส้นพื้นฐานที่สุดที่พวกเขาสามารถผลักดันไปสู่อาการมึนงงที่รุนแรง ... ) โชคดีที่มีเพียงสองเรื่องที่น่าประหลาดใจเท่านั้น ให้เรียกว่ากรณีพิเศษ

กรณีพิเศษในการแก้สมการเชิงเส้น

เซอร์ไพรส์ไว้ก่อน

สมมติว่าคุณเจอสมการเบื้องต้น เช่น

2x+3=5x+5 - 3x - 2

เบื่อเล็กน้อยเราโอนด้วย X ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา ... ด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายทุกอย่างเป็นคาง - ชินาร์ ... เราได้รับ:

2x-5x+3x=5-2-3

เราเชื่อและ ... โอ้โห! เราได้รับ:

ในตัวของมันเอง ความเท่าเทียมกันนี้ไม่น่ารังเกียจ ศูนย์เป็นศูนย์จริงๆ แต่เอ็กซ์ หาย! และเราต้องเขียนคำตอบว่า x เท่ากับอะไรมิฉะนั้นวิธีแก้ปัญหาจะไม่นับใช่...) ทางตัน?

เงียบสงบ! ในกรณีที่น่าสงสัยดังกล่าว กฎทั่วไปส่วนใหญ่จะบันทึกไว้ จะแก้สมการได้อย่างไร? การแก้สมการหมายความว่าอย่างไร แปลว่า หาค่า x ทั้งหมดซึ่งเมื่อแทนค่าลงในสมการเดิมแล้วจะได้ค่าความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

แต่เรามีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง แล้วเกิดขึ้น! 0=0 ตรงไหนวะเนี่ย! มันยังคงต้องหาว่า x นี่ได้อะไรมา ค่าของ x ใดที่สามารถแทนค่าได้ ต้นฉบับสมการถ้า x เหล่านี้ ยังคงหดตัวเป็นศูนย์?มาเร็ว?)

ใช่!!! Xs ใช้แทนกันได้ ใดๆ!คุณต้องการอะไร. อย่างน้อย 5 อย่างน้อย 0.05 อย่างน้อย -220 พวกเขาจะยังคงหดตัว ไม่เชื่อก็เช็คได้) แทนค่า x ใดๆ ใน ต้นฉบับสมการและการคำนวณ จะได้รับความจริงที่บริสุทธิ์ตลอดเวลา: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 และอื่นๆ

นี่คือคำตอบของคุณ: x คือจำนวนใดๆ

คำตอบสามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน สาระสำคัญไม่เปลี่ยนแปลง นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องและครบถ้วนสมบูรณ์

เซอร์ไพรส์ที่สอง

ลองใช้สมการเชิงเส้นเบื้องต้นแบบเดียวกันแล้วเปลี่ยนเลขตัวเดียวในนั้น นี่คือสิ่งที่เราจะตัดสินใจ:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

หลังจากการแปลงที่เหมือนกัน เราก็ได้สิ่งที่น่าสนใจ:

แบบนี้. แก้สมการเชิงเส้น ได้ความเท่าเทียมกันแบบแปลกๆ ในทางคณิตศาสตร์ เรามี ความเท่าเทียมกันที่ผิดและในแง่ง่ายๆ สิ่งนี้ไม่เป็นความจริง เรฟ. แต่อย่างไรก็ตาม เรื่องไร้สาระนี้เป็นเหตุผลที่ดีสำหรับการแก้ปัญหาสมการที่ถูกต้อง)

อีกครั้งที่เราคิดบนพื้นฐานของกฎทั่วไป เมื่อแทนค่า x ลงในสมการเดิม จะได้อะไร ถูกต้องความเท่าเทียมกัน? ใช่ไม่มี! ไม่มี xes ดังกล่าว อะไรก็ตามที่คุณทดแทน ทุกสิ่งทุกอย่างจะลดลง เรื่องไร้สาระจะยังคงอยู่)

นี่คือคำตอบของคุณ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องสมบูรณ์เช่นกัน ในวิชาคณิตศาสตร์ คำตอบดังกล่าวมักเกิดขึ้น

แบบนี้. ฉันหวังว่าการสูญเสีย Xs ในกระบวนการแก้สมการใดๆ (ไม่ใช่แค่เชิงเส้น) จะไม่รบกวนคุณเลย เรื่องคุ้นเคย)

ตอนนี้เราได้จัดการกับหลุมพรางทั้งหมดในสมการเชิงเส้นแล้ว มันสมเหตุสมผลที่จะแก้มัน

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์สมการเชิงเส้นทั้งชุดที่แก้โดยใช้อัลกอริธึมเดียวกัน นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด

ในการเริ่มต้น มานิยามกัน: สมการเชิงเส้นคืออะไร และสมการใดควรเรียกว่าง่ายที่สุด

สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอยู่ในระดับแรกเท่านั้น

สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการก่อสร้าง:

สมการเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดให้เป็นสมการที่ง่ายที่สุดโดยใช้อัลกอริทึม:

1. วงเล็บเปิด ถ้ามี
2. ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปอยู่ด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายพจน์ที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
3. นำพจน์ที่เหมือนกันไปทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
4. หารสมการผลลัพธ์ด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$

แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ช่วยเสมอไป ความจริงก็คือว่าบางครั้ง หลังจากการคำนวณทั้งหมดนี้ สัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$ จะกลายเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:

1. สมการไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อคุณได้รับบางอย่างเช่น $0\cdot x=8$ นั่นคือ ด้านซ้ายเป็นศูนย์ และด้านขวาเป็นตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ ในวิดีโอด้านล่าง เราจะพิจารณาสาเหตุหลายประการที่ทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปได้
2. คำตอบคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือเมื่อสมการลดลงเป็นการสร้าง $0\cdot x=0$ ค่อนข้างสมเหตุสมผลว่าไม่ว่าเราจะแทนที่ $x$ อะไร มันก็จะกลายเป็น “ศูนย์เท่ากับศูนย์” นั่นคือ ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง

และตอนนี้เรามาดูกันว่ามันทำงานอย่างไรกับตัวอย่างของปัญหาจริง

ตัวอย่างการแก้สมการ

วันนี้เราจัดการกับสมการเชิงเส้นและสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นหมายถึงความเท่าเทียมกันใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และจะไปได้เฉพาะระดับแรกเท่านั้น

โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยประมาณ:

1. ก่อนอื่น คุณต้องเปิดวงเล็บ หากมี (ดังในตัวอย่างที่แล้ว);
2. แล้วนำสิ่งที่คล้ายกันมา
3. สุดท้าย แยกตัวแปรออก เช่น ทุกอย่างที่เชื่อมโยงกับตัวแปร - เงื่อนไขที่มีอยู่ - จะถูกถ่ายโอนไปยังด้านหนึ่งและทุกอย่างที่เหลือโดยไม่ได้ถูกโอนไปยังอีกด้านหนึ่ง

ตามกฎแล้วคุณต้องนำความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นในแต่ละด้านมาเหมือนกันและหลังจากนั้นก็เหลือเพียงหารด้วยสัมประสิทธิ์ที่ "x" และเราจะได้รับคำตอบสุดท้าย

ในทางทฤษฎี มันดูดีและเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติ แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายที่มีประสบการณ์ก็สามารถทำผิดพลาดเชิงรุกในสมการเชิงเส้นที่ค่อนข้างง่ายได้ โดยปกติ ข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นเมื่อเปิดวงเล็บเหลี่ยม หรือเมื่อนับ "บวก" และ "ลบ"

นอกจากนี้ มันเกิดขึ้นที่สมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบเลย หรือเพื่อให้คำตอบเป็นเส้นจำนวนเต็ม กล่าวคือ หมายเลขใดก็ได้ เราจะวิเคราะห์รายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในบทเรียนของวันนี้ แต่เราจะเริ่มตามที่คุณเข้าใจแล้วด้วยงานที่ง่ายที่สุด

แบบแผนสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ในการเริ่มต้น ให้ฉันเขียนโครงร่างทั้งหมดอีกครั้งสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด:

1. ขยายวงเล็บ หากมี
2. แยกตัวแปร กล่าวคือ ทุกอย่างที่มี "x" จะถูกโอนไปด้านหนึ่งและไม่มี "x" - ไปยังอีกด้านหนึ่ง
3. เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
4. เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ที่ "x"

แน่นอนว่าโครงการนี้ใช้ไม่ได้ผลเสมอไป มีรายละเอียดปลีกย่อยและลูกเล่นบางอย่าง และตอนนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพวกเขา

การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ภารกิจ #1

ในขั้นตอนแรก เราต้องเปิดวงเล็บ แต่ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างนี้ ดังนั้นเราจึงข้ามขั้นตอนนี้ ในขั้นตอนที่สอง เราต้องแยกตัวแปร โปรดทราบ: เรากำลังพูดถึงข้อกำหนดส่วนบุคคลเท่านั้น มาเขียนกัน:

เราให้คำศัพท์ที่คล้ายกันทางด้านซ้ายและด้านขวา แต่สิ่งนี้ได้ทำไปแล้วที่นี่ ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สี่: หารด้วยปัจจัย:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

ที่นี่เราได้คำตอบ

งาน #2

ในงานนี้ เราสามารถสังเกตวงเล็บได้ ดังนั้นมาขยายกัน:

ทั้งด้านซ้ายและด้านขวา เราเห็นโครงสร้างใกล้เคียงกัน แต่ลองทำตามอัลกอริทึมนั่นคือ ตัวแปรซีเควสเตอร์:

นี่คือบางส่วนเช่น:

มันทำงานที่รากอะไร? คำตอบ: สำหรับใด ๆ ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่า $x$ เป็นจำนวนใดๆ

งาน #3

สมการเชิงเส้นที่สามน่าสนใจกว่าอยู่แล้ว:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

มีวงเล็บหลายอันอยู่ที่นี่ แต่ไม่ได้คูณด้วยอะไร พวกมันมีเครื่องหมายต่างกันอยู่ข้างหน้า มาทำลายพวกเขากันเถอะ:

เราทำขั้นตอนที่สองที่เรารู้อยู่แล้ว:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

มาคำนวณกัน:

เราทำขั้นตอนสุดท้าย - เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ที่ "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

หากเราละเลยงานง่ายเกินไป ข้าพเจ้าขอกล่าวดังนี้

• ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้น ไม่ใช่ทุกสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบ - บางครั้งก็ไม่มีราก
• แม้ว่าจะมีรากอยู่ก็ตาม แต่ศูนย์ก็สามารถเข้าไปได้ - ไม่มีอะไรผิดปกติกับสิ่งนั้น

ศูนย์เป็นตัวเลขเดียวกับส่วนที่เหลือ คุณไม่ควรแยกแยะหรือคิดเอาเองว่าถ้าคุณได้ศูนย์ แสดงว่าคุณทำอะไรผิด

คุณลักษณะอื่นที่เกี่ยวข้องกับการขยายวงเล็บ โปรดทราบ: เมื่อมี "ลบ" อยู่ข้างหน้า เราจะลบออก แต่ในวงเล็บ เราเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม. จากนั้นเราสามารถเปิดมันตามอัลกอริธึมมาตรฐาน: เราจะได้สิ่งที่เราเห็นในการคำนวณด้านบน

การเข้าใจข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้จะช่วยให้คุณไม่ทำผิดพลาดที่โง่เขลาและทำร้ายจิตใจในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย เมื่อการกระทำดังกล่าวถือเป็นเรื่องปกติ

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน

มาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กัน ตอนนี้โครงสร้างจะซับซ้อนมากขึ้นและฟังก์ชันกำลังสองจะปรากฏขึ้นเมื่อทำการแปลงต่างๆ อย่างไรก็ตาม คุณไม่ควรกลัวสิ่งนี้ เพราะหากตามความตั้งใจของผู้เขียน เราแก้สมการเชิงเส้น จากนั้นในกระบวนการแปลง โมโนเมียมทั้งหมดที่มีฟังก์ชันกำลังสองจะต้องลดลง

ตัวอย่าง #1

เห็นได้ชัดว่าขั้นตอนแรกคือการเปิดวงเล็บ มาทำสิ่งนี้อย่างระมัดระวัง:

ตอนนี้ขอความเป็นส่วนตัว:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

นี่คือบางส่วนเช่น:

เห็นได้ชัดว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นในคำตอบเราเขียนดังนี้:

\[\ความหลากหลาย \]

หรือไม่มีราก

ตัวอย่าง #2

เราทำตามขั้นตอนเดียวกัน ขั้นแรก:

ย้ายทุกอย่างด้วยตัวแปรไปทางซ้ายและไม่มี - ไปทางขวา:

นี่คือบางส่วนเช่น:

แน่นอน สมการเชิงเส้นนี้ไม่มีคำตอบ เราจึงเขียนแบบนี้:

\[\varnothing\],

หรือไม่มีราก

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

สมการทั้งสองได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ ในตัวอย่างของนิพจน์ทั้งสองนี้ เราตรวจสอบอีกครั้งว่าแม้ในสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ทุกสิ่งทุกอย่างต้องไม่ธรรมดา: สามารถมีได้เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง หรือไม่มีเลย หรือหลายอย่างไม่จำกัด ในกรณีของเรา เราพิจารณาสมการสองสมการ โดยทั้งสองสมการไม่มีราก

แต่ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อเท็จจริงอื่น: วิธีทำงานกับวงเล็บและวิธีเปิดหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า พิจารณานิพจน์นี้:

ก่อนเปิด คุณต้องคูณทุกอย่างด้วย "x" โปรดทราบ: คูณ แต่ละเทอม. ข้างในมีสองเทอม - ตามลำดับ สองเทอมและถูกคูณ

และหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญและอันตรายเหล่านี้เสร็จสิ้นแล้วเท่านั้น วงเล็บสามารถเปิดได้จากมุมมองว่ามีเครื่องหมายลบตามมา ใช่ ใช่ ตอนนี้ เมื่อการแปลงเสร็จสิ้น เราจำได้ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าทุกอย่างด้านล่างเพียงแค่เปลี่ยนเครื่องหมาย ในเวลาเดียวกันวงเล็บก็หายไปและที่สำคัญที่สุดคือ "ลบ" ด้านหน้าก็หายไปเช่นกัน

เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันสนใจข้อเท็จจริงเล็กๆ น้อยๆ ที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเหล่านี้ เนื่องจากการแก้สมการมักจะเป็นลำดับของการแปลงเบื้องต้น ซึ่งการที่ไม่สามารถดำเนินการง่ายๆ ได้อย่างชัดเจนและมีความสามารถ นำไปสู่ความจริงที่ว่านักเรียนมัธยมปลายมาหาฉันและเรียนรู้ที่จะแก้สมการง่ายๆ ดังกล่าวอีกครั้ง

แน่นอนว่าวันนั้นจะมาถึงเมื่อคุณจะฝึกฝนทักษะเหล่านี้ให้เป็นระบบอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องทำการแปลงจำนวนมากในแต่ละครั้งอีกต่อไป คุณจะเขียนทุกอย่างในบรรทัดเดียว แต่ในขณะที่คุณกำลังเรียนรู้ คุณต้องเขียนแต่ละการกระทำแยกกัน

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

สิ่งที่เรากำลังจะแก้ไขในตอนนี้แทบจะเรียกได้ว่าเป็นงานที่ง่ายที่สุด แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม

ภารกิจ #1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

ลองคูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:

มาทำถอยกันเถอะ:

นี่คือบางส่วนเช่น:

มาทำขั้นตอนสุดท้ายกัน:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

นี่คือคำตอบสุดท้ายของเรา และแม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่าในกระบวนการแก้ เรามีสัมประสิทธิ์กับฟังก์ชันกำลังสอง แต่พวกมันก็ตัดกัน ซึ่งทำให้สมการเป็นเส้นตรงพอดี ไม่ใช่กำลังสอง

งาน #2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

มาทำขั้นตอนแรกกันอย่างระมัดระวัง: คูณทุกองค์ประกอบในวงเล็บปีกกาแรกด้วยทุกองค์ประกอบในวินาที โดยรวมแล้ว ควรได้รับคำศัพท์ใหม่สี่คำหลังจากการแปลง:

และตอนนี้ทำการคูณอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอม:

ลองย้ายเงื่อนไขด้วย "x" ไปทางซ้ายและไม่มี - ไปทางขวา:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

เราได้รับคำตอบที่ชัดเจน

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

ข้อสังเกตที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสมการทั้งสองนี้คือ ทันทีที่เราเริ่มคูณวงเล็บซึ่งมีมากกว่าหนึ่งพจน์ ก็จะเป็นไปตามกฎต่อไปนี้: เรานำเทอมแรกจากตัวแรกแล้วคูณกับแต่ละองค์ประกอบ จากวินาที; จากนั้นเรานำองค์ประกอบที่สองจากองค์ประกอบแรกและคูณด้วยแต่ละองค์ประกอบจากองค์ประกอบที่สองในทำนองเดียวกัน เป็นผลให้เราได้รับสี่เทอม

เกี่ยวกับผลรวมเชิงพีชคณิต

จากตัวอย่างที่แล้ว ฉันต้องการเตือนนักเรียนว่าผลรวมเชิงพีชคณิตคืออะไร ในคณิตศาสตร์คลาสสิก โดย $1-7$ เราหมายถึงโครงสร้างง่ายๆ เราลบเจ็ดออกจากหนึ่ง ในพีชคณิต เราหมายความดังนี้: สำหรับเลข "หนึ่ง" เราบวกอีกจำนวนหนึ่งคือ "ลบเจ็ด" ผลรวมเชิงพีชคณิตนี้แตกต่างจากผลรวมเลขคณิตปกติ

ทันทีที่ทำการแปลงทั้งหมด การบวกและการคูณแต่ละครั้ง คุณเริ่มเห็นโครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะไม่มีปัญหาในพีชคณิตเมื่อทำงานกับพหุนามและสมการ

โดยสรุป มาดูตัวอย่างเพิ่มเติมสองสามตัวอย่างที่จะซับซ้อนกว่าที่เราเพิ่งดูไป และเพื่อแก้ปัญหานั้น เราจะต้องขยายอัลกอริทึมมาตรฐานของเราเล็กน้อย

การแก้สมการด้วยเศษส่วน

ในการแก้ปัญหาดังกล่าว จะต้องเพิ่มขั้นตอนหนึ่งในอัลกอริทึมของเราเข้าไปอีก แต่ก่อนอื่น ฉันจะเตือนอัลกอริทึมของเรา:

1. เปิดวงเล็บ.
2. แยกตัวแปร
3. เอาแบบเดียวกัน.
4. หารด้วยปัจจัย

อนิจจา อัลกอรึทึมที่ยอดเยี่ยมนี้ ไม่เหมาะสมอย่างยิ่งเมื่อเรามีเศษส่วนอยู่ข้างหน้าเรา และสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่าง เรามีเศษส่วนทางซ้ายและทางขวาในสมการทั้งสอง

วิธีการทำงานในกรณีนี้? ใช่ มันง่ายมาก! ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเพิ่มอีกขั้นตอนหนึ่งในอัลกอริทึม ซึ่งสามารถทำได้ทั้งก่อนการดำเนินการครั้งแรกและหลังจากนั้น กล่าวคือ เพื่อกำจัดเศษส่วน ดังนั้นอัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:

1. กำจัดเศษส่วน
2. เปิดวงเล็บ.
3. แยกตัวแปร
4. เอาแบบเดียวกัน.
5. หารด้วยปัจจัย

การ "กำจัดเศษส่วน" หมายความว่าอย่างไร และเหตุใดจึงสามารถทำได้ทั้งหลังและก่อนขั้นตอนมาตรฐานแรก อันที่จริง ในกรณีของเรา เศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวเลขในแง่ของตัวส่วน นั่นคือ ทุกที่ที่ตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลข ดังนั้น หากเราคูณสมการทั้งสองส่วนด้วยจำนวนนี้ เราก็จะกำจัดเศษส่วน

ตัวอย่าง #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

กำจัดเศษส่วนในสมการนี้กัน:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

โปรดทราบ: ทุกอย่างถูกคูณด้วย "สี่" หนึ่งครั้งนั่นคือ เพียงเพราะคุณมีวงเล็บสองอัน ไม่ได้หมายความว่าคุณต้องคูณแต่ละวงเล็บด้วย "สี่" มาเขียนกัน:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

มาเปิดกันเลย:

เราดำเนินการแยกตัวแปร:

เราดำเนินการลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน:

][-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

เราได้รับคำตอบสุดท้ายแล้ว เราผ่านไปยังสมการที่สอง

ตัวอย่าง #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

ที่นี่เราดำเนินการเหมือนกันทั้งหมด:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

แก้ไขปัญหา.

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกในวันนี้

ประเด็นสำคัญ

การค้นพบที่สำคัญมีดังนี้:

• รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
• ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
• ไม่ต้องกังวลหากคุณมีฟังก์ชันกำลังสองอยู่ที่ไหนสักแห่ง เป็นไปได้มากว่าในกระบวนการแปลงเพิ่มเติม พวกมันจะลดลง
• รากในสมการเชิงเส้น แม้จะเป็นแบบที่ง่ายที่สุด ก็มีสามประเภท: รูทเดียว, เส้นจำนวนทั้งหมดคือรูท, ไม่มีรูทเลย

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเชี่ยวชาญในหัวข้อที่เรียบง่าย แต่สำคัญมากสำหรับการทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดเพิ่มเติม หากไม่ชัดเจน ให้ไปที่ไซต์ แก้ตัวอย่างที่นำเสนอที่นั่น คอยติดตามมีสิ่งที่น่าสนใจอีกมากมายรอคุณอยู่!