Существует удобный метод нахождения разности двух натуральных чисел – вычитание в столбик, или вычитание столбиком. Этот способ берет свое название от метода записи уменьшаемого и разности друг под другом. Так можно провести и основные, и промежуточные вычисления в соответствии с нужными разрядами чисел.
Этим методом удобно пользоваться, поскольку это очень просто, быстро и наглядно. Все сложные на первый взгляд подсчеты можно свести к сложению и вычитанию простых чисел.
Ниже мы рассмотрим, как именно пользоваться этим методом. Наши рассуждения будут подкреплены примерами для большей наглядности.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Что нужно повторить перед изучением вычитания столбиком?
Метод основан на некоторых простых действиях, которые мы уже разбирали ранее. Необходимо повторить, как правильно вычитать с помощью таблицы сложения. Также желательно знать основное свойство вычитания равных натуральных чисел (в буквенном виде оно записывается как a − a = 0). Нам понадобятся следующие из него равенства a − 0 = a и 0 − 0 = 0 , где a – любое произвольно взятое натуральное число (если требуется, посмотрите основные свойства нахождения разности целых чисел).
Кроме того, важно знать, как определять разряд натуральных чисел.
Главное на первом этапе – правильно записать исходные данные. Для начала записываем первое число, из которого будем вычитать. Под ним располагаем вычитаемое. Цифры должны быть расположены строго одна под другой с учетом разряда: десятки под десятками, сотни под сотнями, единицы под единицами. Запись читается справа налево. Далее ставим минус с левой стороны от столбика и подводим черту под обоими числами. Под ней будет записываться конечный результат.
Пример 1
Покажем на примере, какая запись подсчета является правильной:
С помощью первой мы можем найти, сколько будет 56 − 9 , с помощью второй – 3 004 − 1 670 , третьей – 203 604 500 − 56 777 .
Как видно, с помощью этого метода можно производить вычисления разной сложности.
Далее рассмотрим сам процесс нахождения разности. Для этого выполняем поочередное вычитание значений разрядов: сначала вычитаем единицы из единиц, потом десятки из десятков, потом сотни из сотен и т.д. Значения записываем под чертой, отделяющей исходные данные от результата. В итоге у нас должно получиться число, которое и будет верным ответом задачи, т.е. разностью исходных чисел.
Как именно выполняются подсчеты, можно увидеть на этой схеме:
С общей картиной записи и подсчета мы разобрались. Однако в методе есть и некоторые моменты, нуждающиеся в уточнении. Для этого мы приведем конкретные примеры и поясним их. Начнем с простейших задач и будем постепенно наращивать сложность, пока наконец не разберем все нюансы.
Советуем внимательно прочитать все примеры, потому что каждый из них иллюстрирует отдельные непонятные моменты. Если вы дойдете до конца и запомните все объяснения, то подсчет разности натуральных чисел в дальнейшем не будет вызывать у вас ни малейших затруднений.
Пример 2
Условие: найдем разность 74 805 - 24 003 с помощью вычитания столбиком.
Решение:
Запишем эти числа одно под другим, правильно расположив разряды друг под другом, и подчеркнем их:
Вычитание начинается справа налево, то есть с единиц. Считаем: 5 - 3 = 2 (если нужно, повторите таблицы сложения натуральных чисел). Итог запишем под чертой там, где указаны единицы:
Вычитаем десятки. Оба значения в нашем столбике нулевые, а вычитание нуля из нуля всегда дает нуль (как вы помните, мы упоминали, что нам в дальнейшем потребуется это свойство вычитания). Результат записываем в нужное место:
Следующий шаг – нахождение значения разности тысяч: 4 − 4 = 0 . Получившийся нуль записываем на положенное ему место и получаем в итоге:
У нас получилось 50 802 , которое и будет верным ответом для указанного выше примера. На этом вычисления завершены.
Ответ: 50 802 .
Возьмем другой пример:
Пример 3
Условие : подсчитаем, сколько будет 5 777 - 5 751 с помощью метода нахождения разности столбиком.
Решение:
Шаги, которые нам нужно сделать, мы уже приводили выше. Выполняем их последовательно для новых чисел и получаем в итоге:
В начале результата стоит два нуля. Т.к. они стоят первыми, то можно смело их отбросить и получить в ответе 26 . Это число и будет правильным ответом нашего примера.
Ответ: 26 .
Если посмотреть на условия двух примеров, приведенных выше, легко заметить, что до сих пор мы брали только числа, равные по количеству знаков. Но метод столбика можно использовать и тогда, когда уменьшаемое включает в себя больше знаков, чем вычитаемое.
Пример 4
Условие: найдем разность 502 864 число 2 330 .
Решение
Запишем числа друг под другом, соблюдая нужную соотнесенность разрядов. Это будет выглядеть так:
Теперь поочередно вычисляем значения:
– единиц: 4 − 0 = 4 ;
– десятков: 6 − 3 = 3 ;
– сотен: 8 − 3 = 5 ;
– тысяч: 2 − 2 = 0 .
Запишем, что у нас получилось:
Вычитаемое имеет значения в месте десятков и сотен тысяч, а вот уменьшаемое нет. Что же делать? Вспомним, что пустота в математических примерах равнозначна нулю. Значит, нам нужно вычесть нули из исходных значений. Вычитание нуля из натурального числа всегда дает нуль, следовательно, все, что нам остается, – это переписать исходные значения разрядов в область ответа:
Наши подсчеты завершены. Мы получили итог: 502 864 - 2 330 = 500 534 .
Ответ: 500 534 .
В наших примерах значения разрядов вычитаемого всегда оказывались меньше, чем значения уменьшаемого, поэтому никаких трудностей при подсчете это не вызывало. Что делать, если из значения верхней строки нельзя вычесть значение нижней, не уйдя при этом в минус? Тогда нам нужно "взять взаймы" значения более старших разрядов. Возьмем конкретный пример.
Пример 5
Условие: найдите разность 534 - 71 .
Пишем уже привычный нам столбик и делаем первый шаг вычислений: 4 - 1 = 3 . Получаем:
Далее нам надо перейти к подсчету десятков. Для этого нам надо из 3 вычесть 7 . Это действие с натуральными числами выполнить нельзя, ведь оно имеет смысл только при таком уменьшаемом, которое больше вычитаемого. Поэтому в данном примере нам нужно "занять" единицу из старшего разряда и тем самым "разменять" его. То есть 100 мы как бы меняем на 10 десяток и берем одну из них. Чтобы не забыть об этом, отметим нужный разряд точкой, а в десятках запишем 10 другим цветом. У нас получилась запись следующего вида:
Получившийся результат пишем на нужном месте под чертой:
Нам осталось закончить подсчет, вычислив сотни. У нас стоит точка над числом 5: это значит, что мы отсюда брали десяток для предыдущего разряда. Тогда 5 − 1 = 4 . От четверки же ничего отнимать не нужно, поскольку вычитаемое в разряде сотен значений не имеет. Записываем 4 на место и получаем ответ:
Ответ : 463 .
Зачастую выполнять действие "размена" в рамках одного примера приходится несколько раз. Разберем такую задачу.
Пример 6
Условие: сколько будет 1 632 - 947 ?
Решение
В первом же этапе подсчета надо вычесть двойку из семерки, так что сразу "занимаем" десятку для размена на 10 единиц. Отмечаем это действие точкой и считаем 10 + 2 - 7 = 5 . Вот как выглядит наша запись с отметками:
Далее нам надо подсчитать десятки. Указанная точка означает, что для вычислений мы берем в этом разряде число на единицу меньше: 3 − 1 = 2 . Из двойки нам придется вычитать четверку, так что "размениваем" сотни. У нас получается (10 + 2) − 4 = 12 − 4 = 8 .
Движемся дальше к подсчету сотен. Из шестерки мы уже занимали единицу, так что 6 − 1 = 5 . Из пятерки вычитаем девятку, для чего берем имеющуюся у нас тысячу и "размениваем" ее на 10 сотен. Таким образом, (10 + 5) − 9 = 15 − 9 = 6 . Теперь наша запись с примечаниями выглядит так:
Нам осталось сделать подсчеты в тысячном разряде. Одну единицу отсюда мы уже занимали, так что 1 − 1 = 0 . Пишем результат под итоговую черту и смотрим, что получилось:
На этом вычисления закончены. Нуль в начале можно отбросить. Значит, 1 632 − 947 = 685 .
Ответ: 685 .
Возьмем еще более сложный пример.
Пример 7
Условие: вычтите 907 из 8 002 .
Чтобы найти разность методом «вычитание столбиком » (другими словами, как считать в столбик или столбиком вычитание), необходимо следовать таким шагам:
- поместить вычитаемое под уменьшаемое, записать единицы под единицами, десятки под десятками и т.д.
- вычесть поразрядно.
- если необходимо занять десяток из большего разряда, то над разрядом, в котором заняли, поставить точку. Над разрядом, для которого заняли, поставить 10.
- если в разряде, в котором заняли, стоит 0, тогда занимаем из следующего разряда уменьшаемого и над ним ставим точку. Над разрядом, для которого заняли, поставить 9, т.к. один десяток занят.
Ниже рассмотренные примеры покажут вам как происходит вычитание двухзначных, трехзначных и любых многозначных чисел столбиком.
Вычитание чисел в столбик очень помогает при вычитании больших чисел (как и сложение в столбик). Лучше всего научиться на примере.
Необходимо записать числа одно под другим таким образом, чтобы крайняя правая цифра 1-го числа стала под крайней правой цифрой 2-го числа. Число, которое больше (уменьшаемое) записываем сверху. Слева между числами ставим знак действия, здесь это «-» (вычитание).
2 - 1 = 1 . То, что у нас получается пишем под чертой:
10 + 3 = 13.
Из 13 вычтем девять.
13 - 9 = 4.
Так как мы заняли десяток у четверки, то она уменьшилось на 1. Для того, чтобы не забыть об этом у нас и стоит точка.
4 - 1 = 3.
Результат:
Вычитание столбиком из чисел, содержащих нули.
Опять же, разберем на примере:
Записываем числа в столбик. Которое больше - сверху. Начинаем вычитание справа налево по одной цифре. 9 - 3 = 6.
Из нуля вычесть 2 не получится, тогда опять занимаем у цифры слева. Это нуль. Ставим над нулем точку. И снова, у нуля занять не получится, тогда двигаемся дальше к следующей цифре. Занимаем у единицы. Ставим над ней точку.
Обратите внимание: когда в вычитании столбиком над 0 есть точка, нуль становится девяткой.
Над нашим нулем есть точка, значит, он стал девяткой. Вычитаем из нее 4. 9 - 4 = 5 . Над единицей есть точка, то есть она уменьшается на 1. 1 - 1 = 0. Полученный нуль не нужно записывать.
Как мы знаем, любое число можно записать с помощью десяти значков, которые называются (арабскими) цифрами . Это значит, что для выполнения любых письменных заданий по математике не нужно уметь считать больше, чем до десяти. Пусть нам, например, дано задание пересчитать огромное число песчинок, высыпанных на стол. Мы отсчитываем десять песчинок и складываем их в одну кучку. Потом отсчитываем еще десять песчинок и складываем их в другую кучку. И так далее, и так далее, пока только можно. Оставшиеся песчинки, не попавшие ни в одну из кучек (если такие будут), отодвигаем на дальний конец стола, чтобы не мешались. Перед нами остались только кучки-десятки. Их-то мы и начинаем пересчитывать. И принимаемся мы за дело точно так же, как и тогда, когда перед нами была лишь большая россыпь отдельных песчинок. Отсчитав десять кучек-десятков, мы собираем их в одну кучку побольше - кучку-сотню. Потом делаем еще одну кучку-сотню и так далее, пока можно. Лишние кучки-десятки, не вошедшие ни в одну кучку-сотню (если такие будут), отодвигаем на дальний конец стола. Теперь приступаем к пересчету кучек-сотен. И так далее, и так далее - по уже знакомой схеме. Всякий раз мы имеем дело со всё более и более крупными кучками. Рано или поздно мы добьемся того, что кучек перед нами окажется меньше десяти. Теперь осталось заполнить следующую таблицу.
|
Кучки- |
Кучки - |
Кучки - |
Кучки- |
Кучки- |
Кучки- |
Отдельные |
В самую правую колонку надо занести количество отдельных песчинок, не попавших ни в какие кучки. По-научному, эта колонка таблицы называется разрядом единиц . Говорят также, что это самый младший разряд числа. Во вторую колонку справа (разряд десятков ) следует поставить количество кучек-десятков. И так далее. При необходимости, слева к таблице можно приписать еще любое количество столбцов (старших разрядов), и не так уж важно, как они называются. Если же столбцов, наоборот, окажется слишком много, то лишние столбцы слева можно стереть. Задание по пересчету песчинок выполнено.
Теперь рассмотрим, как можно сложить два больших числа, не пользуясь счетами. Допустим, к 1234 песчинкам требуется прибавить 2345 песчинок. Заносим оба числа в таблицу:
Поскольку мы собрались складывать эти числа, то и назвали мы их слагаемыми . Сложим по отдельности содержимое каждого разряда: единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями, тысячи с тысячами, - и получим ответ:
Заметим, что результат сложения по-научному называется суммой. Таким образом,
1234 + 2345 = 3579.
К сожалению, не всегда всё получается так просто. Пусть надо вычислить
Заносим слагаемые в таблицу, складываем по отдельности каждый разряд и получаем:
Прямо скажем, вышло плохо. Вот, к примеру, в самом младшем разряде оказалось 17 песчинок. Из такого количества песчинок можно сделать одну полновесную кучку-десяток, и место этой кучке-десятку - в следующем по старшинству разряде. Придется переписать таблицу в другом виде, формируя по мере надобности новые кучки и сразу помещая их в правильный разряд. После этого остается еще раз выполнить сложение внутри каждого разряда, и только тогда получится правильный ответ:
|
Десятки тысяч |
|||||
|
1-е слагаемое |
|||||
|
2-е слагаемое |
|||||
|
Вспомогательные |
1 |
||||
Ну что ж, в принципе, так делать можно, но не всегда ответ получается быстро. Вот, например, какую длинную таблицу приходится составлять, чтобы сложить таким способом числа 9999 и 1:
|
Десятки тысяч |
|||||
|
1-е слагаемое |
|||||
|
2-е слагаемое |
|||||
|
Вспомогательные |
|||||
|
Вспомогательные |
|||||
|
Вспомогательные |
|||||
Подумаем, нельзя ли обойтись более короткой записью. Давайте еще раз сложим числа 5678 и 6789 и постараемся быть по возможности краткими. Ну, во-первых, нет никакой необходимости так тщательно разлиновывать таблицу и выписывать заголовки столбцов и строк. Напишем слагаемые просто так:
В результате такого сложения у нас образовалась дополнительная кучка-десяток, которую мы и записали в подходящий для нее разряд. Теперь, когда мы будем складывать кучки-десятки, мы учтем и эту дополнительную кучку тоже: 7 десятков + 8 десятков = 15 десятков; 15 десятков + 1 десяток = 16 десятков; 16 десятков = 1 сотня + 6 десятков. Значит, следует написать:
Наконец, осталось сложить всё, что оказалось в разряде тысяч (и, ради красоты, написать еще раз единицу из самого старшего разряда строчкой ниже):
Продолжая писать такие маленькие лесенки, мы получим конечный ответ в виде:
Очередь за разрядом десятков. Складываем 7 и 8 и получаем 15. Ну, и куда теперь писать цифру 1, куда цифру 5? Мы же забыли оставить под чертой свободную строчку, откуда должны начинаться лесенки! Но, конечно, мы не будем ничего зачеркивать и переделывать. Мы просто запишем цифру 1 на самый верх таблицы. Важно лишь то, чтобы она попала в правильный разряд:
Наконец-то всё стало хорошо! Но можно сделать еще лучше. На самом верху всё равно ничего, кроме единичек, стоять не может. А значит, вовсе не обязательно эти единички так уж тщательно выписывать. Достаточно вместо этих единичек ставить небольшие аккуратные точки. Вот так:
Проделываем вычитание в каждом разряде по отдельности и получаем ответ:
М-да… Ситуация в разряде единиц складывается очень неприятная. Из семи надо вычитать восемь. Но у нас уже есть кое-какой опыт. Мы знаем, как следует выходить из такого положения. Надо разбить кучку-десяток на отдельные песчинки, и всё тогда встанет на свои места. Записать это можно так:
Переходим к разряду десятков. Здесь нас тоже ожидает неприятность. Из шести надо вычесть семь, а потом вычесть еще одну единицу. Повторяем трюк с разбиением кучки из более старшего разряда:
В разряде десятков теперь имеем: 10 + 6 = 16; 16 − 7 = 9; 9 − 1 = 8. Продолжаем так дальше и в конце концов получаем:
Всё бы хорошо, да только мы уже знаем, что подобная форма записи может привести к некоторым неудобствам. Попробуем вычислить
В разряде единиц ситуация складывается очень удачно:
Переходим к вычислениям в разряде десятков. А здесь не всё так уж гладко. Придется записать так:
Доводим вычисления до конца и получаем:
Всё это сооружение можно заменить на одну-единственную точку, которую удобно записать на месте «−1». В результате получается:
Здесь, для того чтобы выполнить вычитание в разряде единиц, надо бы разбить кучку-десяток на отдельные песчинки, но и кучек-десятков у нас нет. Не беда! Мы немножко сфокусничаем. Сейчас мы как бы из воздуха позаимствуем одну кучку-десяток, но зато потом, когда мы будем проводить вычисления в разряде десятков, надо будет обязательно позаимствованную кучку вернуть. Смело ставим точку в разряд десятков. В разряде единиц получаем: 10 + 0 = 10; 10 − 1 = 9:
Пришло время разбираться с разрядом десятков. Здесь у нас есть ноль кучек, да еще одну кучку надо вернуть, о чем нам напоминает точка сверху. Ставим точку в разряд сотен и не задумываемся о том, разбивается ли при этом на десять кучек настоящая кучка-сотня или такая кучка заимствуется «из воздуха». Теперь в разряде десятков у нас есть десять кучек. Одну из них возвращаем, остается девять:
Теперь и про вычитание нам всё известно. Осталось нарабатывать навык.
Удобно проводить особым методом, который получил название вычитание столбиком или вычитание в столбик . Этот способ вычитания оправдывает свое название, так как уменьшаемое, вычитаемое и разность записываются в столбик. Промежуточные вычисления также проводятся в столбиках, соответствующих разрядам чисел.
Удобство вычитания натуральных чисел столбиком заключается в простоте вычислений. Вычисления сводятся к использованию таблицы сложения и применению свойств вычитания.
Давайте разберемся, как выполняется вычитание столбиком. Процесс вычитания будем рассматривать вместе с решением примеров. Так будет понятнее.
Навигация по странице.
Что необходимо знать для вычитания столбиком?
Для вычитания натуральных чисел столбиком необходимо знать, во-первых, как выполняется вычитание с помощью таблицы сложения .
Наконец, не помешает повторить определение разряда натуральных чисел .
Вычитание столбиком на примерах.
Начнем с записи. Сначала записывается уменьшаемое. Под уменьшаемым располагается вычитаемое. Причем делается это так, что цифры оказываются одна под другой, начиная справа. Слева от записанных чисел ставится знак минус, а внизу проводится горизонтальная линия, под которой будет записан результат после проведения необходимых действий.
Приведем несколько примеров правильных записей при вычитании столбиком. Запишем в столбик разность 56−9 , разность 3 004−1 670 , а так же 203 604 500−56 777 .
Итак, с записью разобрались.
Переходим к описанию процесса вычитания столбиком. Его суть заключается в последовательном вычитании значений соответствующих разрядов. Сначала вычитаются значения разряда единиц, далее – значения разряда десятков, далее – значения разряда сотен и т.д. Результаты записываются под горизонтальной линией на соответствующих местах. Число, которое образуется под линией после завершения процесса, является искомым результатом вычитания двух исходных натуральных чисел.
Представим схему, иллюстрирующую процесс вычитания столбиком натуральных чисел.
Приведенная схема дает общую картину вычитания натуральных чисел столбиком, однако она не отражает всех тонкостей. С этими тонкостями разберемся при решении примеров. Начнем с самых простых случаев, а дальше будем постепенно продвигаться к более сложным случаям, пока не разберемся со всеми нюансами, которые могут встретиться при вычитании столбиком.
Пример.
Для начала вычтем столбиком из числа 74 805 число 24 003 .
Решение.
Запишем эти числа так, как этого требует метод вычитания столбиком:
Начинаем с вычитания значений разрядов единиц, то есть, вычитаем из числа 5
число 3
. Из таблицы сложения имеем 5−3=2
. Записываем полученные результат под горизонтальную черту в этом же столбике, в котором находятся числа 5
и 3
:
Теперь вычитаем значения разряда десятков (в нашем примере они равны нулю). Имеем 0−0=0
(это свойство вычитания мы упоминали в предыдущем пункте). Записываем полученный нуль под линию в том же столбике:
Идем дальше. Вычитаем значения разряда сотен: 8−0=8
(по свойству вычитания, озвученному в предыдущем пункте). Теперь наша запись примет следующий вид:
Переходим к вычитанию значений разряда тысяч: 4−4=0
(это свойств вычитания равных натуральных чисел). Имеем:
Осталось вычесть значения разряда десятков тысяч: 7−2=5
. Записываем полученное число под черту на нужное место:
На этом вычитание столбиком завершено. Число 50 802 , которое получилось внизу, является результатом вычитания исходных натуральных чисел 74 805 и 24 003 .
Рассмотрим следующий пример.
Пример.
Отнимем столбиком от числа 5 777 число 5 751 .
Решение.
Делаем все так же, как в предыдущем примере – вычитаем значения соответствующих разрядов. После завершения всех шагов запись примет следующий вид:
Под чертой получили число, в записи которого слева находятся цифры 0 . Если эти цифры 0 отбросить, то получим результат вычитания исходных натуральных чисел. В нашем случае отбрасываем две цифры 0 , получившиеся слева. Имеем: разность 5 777−5 751 равна 26 .
До этого момента мы вычитали натуральные числа, записи которых состоят из одинакового количества знаков. Сейчас на примере разберемся, как вычитаются столбиком натуральные числа, когда в записи уменьшаемого больше знаков, чем в записи вычитаемого.
Пример.
Вычтем из числа 502 864 число 2 330 .
Решение.
Записываем уменьшаемое и вычитаемое в столбик:
По очереди вычитаем значения разряда единиц: 4−0=4
; далее – десятков: 6−3=3
; далее – сотен: 8−3=5
; далее – тысяч: 2−2=0
. Получаем:
Теперь, чтобы завершить вычитание столбиком, нам еще нужно вычесть значения разряда десятков тысяч, а дальше – значения разряда сотен тысяч. Но из значений этих разрядов (в нашем примере из чисел 0
и 5
) нам вычитать нечего (так как вычитаемое число 2 330
не имеет цифр в этих разрядах). Как же быть? Очень просто – значения этих разрядов просто переписываются под горизонтальную линию:
На этом вычитание столбиком натуральных чисел 502 864 и 2 330 завершено. Разность равна 500 534 .
Осталось рассмотреть случаи, когда на некотором шаге вычитания столбиком значение разряда уменьшаемого числа меньше, чем значение соответствующего разряда вычитаемого. В этих случаях приходится «занимать» из старших разрядов. Давайте разберемся с этим на примерах.
Пример.
Вычтем столбиком из числа 534 число 71 .
Решение.
На первом шаге вычитаем из 4
число 1
, получаем 3
. Имеем:
На следующем шаге нам нужно вычитать значения разряда десятков, то есть, из числа 3
нужно вычесть число 7
. Так как 3<7
, то мы не можем выполнить вычитание этих натуральных чисел (вычитание натуральных чисел определяется лишь когда вычитаемое не больше, чем уменьшаемое). Что же делать? В этом случае мы берем 1
единицу из старшего разряда и «размениваем» ее. В нашем примере «размениваем» 1
сотню на 10
десятков. Чтобы наглядно отразить наши действия, поставим жирную точку над числом в разряде сотен, а над числом в разряде десятков запишем число 10
, используя другой цвет. Запись примет следующий вид:
Прибавляем полученные после «размена» 10
десятков к 3
имеющимся десяткам: 3+10=13
, и из этого числа вычитаем 7
. Имеем 13−7=6
. Это число 6
записываем под горизонтальной чертой на свое место:
Переходим к вычитанию значений разряда сотен. Здесь мы видим над числом 5 точку, которая означает, что из этого числа мы брали единицу «на размен». То есть, сейчас мы имеем не 5
, а 5−1=4
. От числа 4
больше ничего отнимать не нужно (так как исходное вычитаемое число 71
не содержит цифр в разряде сотен). Таким образом, под горизонтальную черту записываем число 4
:
Итак, разность 534−71 равна 463 .
Иногда при вычитании столбиком «разменивать» единицы из старших разрядов приходится несколько раз. В подтверждение этих слов разберем решение следующего примера.
Пример.
Отнимем от натурального числа 1 632 число 947 столбиком.
Решение.
На первом же шаге нам нужно вычесть из числа 2
число 7
. Так как 2<7
,то сразу приходится «разменивать» 1
десяток на 10
единиц. После этого из суммы 10+2
вычитаем число 7
, получаем (10+2)−7=12−7=5
:
На следующем шаге нам нужно вычесть значения разряда десятков. Мы видим, что над числом 3
стоит точка, то есть, мы имеем не 3
, а 3−1=2
. И от этого числа 2
нам нужно отнять число 4
. Так как 2<4
, то опять приходится прибегать к «размену». Но сейчас уже размениваем 1
сотню на 10
десятков. При этом имеем (10+2)−4=12−4=8
:
Теперь вычитаем значения разряда сотен. Из числа 6
была занята единица на предыдущем шаге, поэтому имеем 6−1=5
. От этого числа нам нужно отнять число 9
. Так как 5<9
, то нам нужно «разменять» 1
тысячу на 10
сотен. Получаем (10+5)−9=15−9=6
:
Остался последний шаг. Из единицы в разряде тысяч мы занимали на предыдущем шаге, поэтому имеем 1−1=0
. От полученного числа нам ничего больше отнимать не нужно. Это число и записываем под горизонтальную черту:
Инструкция
Приступая к обучению, начните с самого простого - со сложения. Для этого возьмите чистый листок, и попросите записать , которые сложить следующим образом: единицы - под единицами, десятки - под десятками, сотни - под сотнями. Далее под самым нижним числом проведите черту.
Объясните, что складывать нужно, начиная с последних цифр, то есть с . При сумме десяти сразу записывайте под единицами. Если же получилось двузначное число, тогда под единицами запишите количество единиц, а количество десятков запомните.
Теперь сложите количество десятков и прибавьте число, которое вы запомнили в уме сложения единиц. Расскажите, что сотни и тысячи слаживаются таким же образом.
Выполняя операции с вычитанием, поясните, что числа нужно записывать в точности как и при сложении. Если при вычитании количество единиц в уменьшаемом больше, чем в вычитаемом, необходимо «занять» десяток.
Покажите, что при умножении многозначного числа на однозначное сначала умножаются единицы, затем десятки и последующие разряды. Перемножая многозначные числа, действуйте последовательно. Сначала умножьте множитель на количество единиц первого множителя и запишите под чертой. Затем умножьте на количество десятков первого множителя и снова запишите результат под первым.
Научите ребенка проводить операции и с делением. Для этого запишите рядышком делимое число с делителем и разделите их уголком, а результат запишите под ним.
Ежедневно тренируйтесь, чтобы знания развивались. Но имейте в виду: занятия не должны заключатся в зазубривании, иначе это не даст никаких положительных результатов. Не переходите от одной операции счета столбик ом к другой. То есть пока не научится складывать в столбик , не приступайте к обучению вычитания.
Многие родители сталкиваются с нежеланием ребенка есть быстро. Малыш может долго ковыряться в тарелке, явно избегая неприятной процедуры. Для того, чтобы ребенок научился есть быстро, вам нужно превратить его завтраки, обеды и ужины из обязательных дел в интересные приключения.
Инструкция
Выясните вкусовые предпочтения и проконсультируйтесь с диетологом. Часто дети не желают быстро есть, потому что просто не любят то, чем их пичкают родители. Допустим, ребенок ненавидит кашу, но легко соглашается на макароны. Составьте блюд, которые подойдут и по составу необходимых веществ, и по вкусовым предпочтениям. И тогда вы наполовину решите свою проблему.
Приучайте ребенка к столовому этикету. Порой нелегко справиться самостоятельно с вилкой или тем более с вилкой и ножом. Или научите чадо есть разными приборами, или дайте возможность есть тем, к чему оно привыкло, но тогда не ругайте его за его выбор. Это тоже может ускорить процесс поедания пищи.
Превратите еду в интересное приключение. Можно купить набор красивых тарелок и попросить съесть все, чтобы увидеть рисунок. Если у вас двое , можете попробовать устроить соревнования – еда на скорость. Главное, следите, чтобы они не переусердствовали и не подавились. Еще одним хорошим способом является еда перед интересной телепередачей или мультфильмом. Накройте стол за 15-20 минут до начала мультика и попросите его доесть, пока не начнется развлечение.
Позволяйте ребенку есть в разном темпе. Все должно быть в меру. Не обязательно есть быстро всегда. Например, в или вечером за ужином, когда не надо собираться или сад, вполне можно посидеть за столом подольше. Пообщаться, не спеша поесть. Ребенок должен понимать, что медленное поедание пищи – не недостаток, не что-то и привлекательное. Это просто один из вариантов поведения, который стоит использовать не всегда, а когда есть время. Чем расслабленнее он подойдет к вопросу, тем быстрее научится первым съедать все, что ему положили в тарелку.
Видео по теме
Изучение устного счета способствует у детей развитию умственных способностей. Учить ребенка считать в уме можно уже с 4-5 летнего возраста. Чтобы ребенок научился устному счету, занятия должны проходить в увлекательной форме, так как ему легче обучатся тому, что для него интересно.
Инструкция
Теперь можно начать осваивать с устное сложение и . Сначала можно показывать ему на каких-нибудь предметах, например яблоках или конфетах, чтобы ребенок понял механизм счета. Нужно ему объяснить, что при сложении получается большая сумма, а при вычитании получается меньшая сумма.
На примерах объясните ребенку, что если поменять слагаемые местами, то сума не изменится. Это поможет ему научиться считать в уме . Также можно научить ребенка считать в уме при помощи специальных обучающих игр. Это могут быть специальные таблицы с числами и точками, специальные или пластмассовые цифры со знаками.
Научите ребенка подсчитывать в пределах 10. Покажите ему результаты всех возможных вариантов вычитания и сложения в пределах этой цифры. Переходить к двузначным числам можно только тогда, когда ребенок нормально ориентируется и не путается в вычитании и сложении однозначных чисел.
Не нужно просто заучивать цифры и варианты, обучение должно проходить в . В таком случае ребенок осознанно запомнит цифры и правила счета, а также сможет закрепить свои знания.
Нужно регулярно заниматься с ребенком, но при этом не следует его перегружать. Объясните ребенку порядок счета при сложении и при вычитании, что сначала нужно посмотреть, сколько было, затем, сколько прибавили, потом сколько стало.
При переходе к двухзначным числам, а также к умножению и делению, в более старшем возрасте, также объясните ребенку принцип умножения и деления на простых числах и покажите ему порядок счета.
Связанная статья
Источники:
- как научить ребёнка считать примеры
Для быстрого счета в уме не нужно никаких специальных знаний или способностей, главное - постоянно тренироваться и соблюдать правила счета. Благодаря таким тренировкам, можно без особых усилий научиться считать в голове операции с двузначными и трехзначными числами.
Инструкция
При сложении многозначных слагаемых прибавьте старший разряд меньшего числа, затем младший разряд. Например, при прибавлении двузначного числа, сначала прибавляются десятки, затем единицы. При сложении сначала сложите все десятки, затем все единицы, после этого прибавьте единицы к общему числу десятков.
Перед началом изучения деления убедитесь, что ребенок хорошо знает таблицу умножения и понимает механизм, по которому осуществляется данное математическое действие.
Покажите ребенку связь между умножением и делением. Дайте ему интуитивно почувствовать, что это обратное действие. Например, показав на реальном примере, что три умножить на два - это шесть, а шесть поделить на два - это три и так далее.
Постоянно возвращайтесь к этим операциям, например, играйте в деление вне дома. Давайте ребенку задачки, которые отображают действительность. Так, при покупке яблок возьмите, к примеру, шесть штук и спросите, сколько яблок достанется каждому члену вашей семьи. Гуляя на , предлагайте ему поделить конфеты между всеми во дворе.
Если ребенок не сразу понимает, что от него требуется - будьте терпеливы и ищите способ объяснить лучше. Но не давите на него, так вы можете вызвать негативную психологическую реакцию, из-за которой ребенку будет тяжело воспринимать информацию. В этом случае процесс обучения займет куда больше времени.
Источники:
- как научить ребёнка делению
При подготовке к школе особенное внимание уделяется обучению счету. Это довольно сложный процесс требует от ребенка многих навыков – умение быстро ориентироваться, абстрагироваться, раскладывать числа на более простые. Учить этому лучше всего с самого раннего возраста.
Инструкция
Используйте для занятий наглядный материал. Маленьким трудно абстрагироваться, поэтому возьмите для своих объяснений конфеты, печенье, фрукты, игрушки, карандаши и т.п. Научить ребенка считать и складывать в пределах десяти несложно. У ребенка всегда при себе две ладошки с 10-ю пальчиками, которые помогут быстро . Чтобы быстро освоить счет на пальцах, ребенок должен потренироваться быстро показывать нужное количество пальчиков. Начните с простых чисел – 1 и 2, 5 и 10, 10 и 9. Помогите справиться с плохо слушающимися пальцами рук. Не торопитесь, пусть ребенок считает не спеша.
Допишите справа от делимого ноль и поставьте запятую, после цифры 3 в частном (то число, которое получается в ходе деления, и записывается под чертой, проведенной под делителем).
Снесите дописанный в делимом ноль (запишите его справа от 11) и проверьте, есть ли возможность разделить получившееся число на делитель. Ответ – да: 2 (обозначим его, как число G) умножить на 55 равно 110. Ответ - 23,2.Если бы снесенного в предыдущем шаге нуля не хватило бы для того, чтобы остаток с дописанным нулем оказался больше делителя, нужно было бы дописать еще один ноль в делимом и поставить 0 в частном после запятой (получилось бы 23,0...).
Деление в столбик десятичных дробей.Перенесите запятую на одинаковое количество знаков вправо в делимом и делителе так, чтобы и там, и там были целые числа. Дальше – алгоритм деления тот же.
Видео по теме
Обратите внимание
Записывайте все числа строго друг под другом согласно изложенным рекомендациям – это не даст возможности допустить ошибку в ходе выполнения расчетов.
Источники:
- Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей.
Совет 9: Как заставить выучить ребенка таблицу умножения
Таблица умножения нравится далеко не всем детям. Между тем выучить ее нужно, иначе через несколько лет у ребенка неизбежно возникнут трудности с вычислениями. Для того, чтобы младший школьник или дошкольник , вовсе не обязательно заставлять его зубрить. Любой материал запоминается легко, когда человек его понимает, а сам процесс обучения интересен и увлекателен. Таблица умножения в этом смысле - вовсе не исключение.
Вам понадобится
- - компьютер с текстовым редактором;
- - карточки с цифрами и знаками арифметических действий;
- - большое количество мелких одинаковых предметов - спичек, фишек, кубиков, зверушек.
Инструкция
Объясните ребенку, . Давать математическое дошкольнику или младшему школьнику не обязательно, это сделает . Ученик должен понять, что умножение служит для того, чтобы не приходилось много раз одно и то же число. Используйте для объяснения однородные предметы. Например, положите перед ребенком два камешка и спросите, что получится, если к камешкам прибавить два. А если добавить еще два? Сколько раз мы брали по 2 предмета, чтобы получилось 6? Повторяйте это задание с разными предметами и с разным их количеством.
Объясните, как записываются на умножение и каждое число. Например, 4х5 значит, что 4 одинаковых предмета взяли 5 раз. Можно переставить сомножители и взять четырежды по пять предметов. Результат получится тот же.
Начертите квадрат. Это можно сделать на листе бумаги или на компьютере. Сделайте 11 столбиков по ширине и 11 строчек по высоте. Правая верхняя клетка остается пустой, в остальных ячейках верхней строчки напишите числа от 1 до 10. То же самое сделайте в крайнем левом столбце. Вместе с ребенком заполните остальные строчки и столбцы. Во втором слева столбике напишите результаты единицы на каждое последующее число. В следующем столбце будут результаты умножения на 2, 3 и т. д. Таким образом, число, стоящее в каждой ячейке, представляет собой произведение чисел первой строчки и первого слева столбца.
Предложите ребенку несколько заданий. Попросите его найти, чему равен результат умножения 3 и 5, 7 и 6 и т. д. Не забывайте спрашивать и о том, как получается число 56 или 45. Ребенок будет с удовольствием искать нужные результаты, в особенности есть сделана на компьютере. Когда малыш научится хорошо ориентироваться в квадрате, предложите ему сделать точно такой же, но для перемножения чисел от 11 до 20, а потом и от 21 до 30 и дальше. Если он понимает принцип умножения, задание это особых трудностей у него не вызовет. Предложите ему в первый момент считать на калькуляторе, что же нужно написать в каждой клеточке.
Таблица Пифагора не всегда может оказаться у ребенка под рукой. Объясните ему, какие подсказки. На 9 можно умножать, например, на пальцах. Предложите своему ученику положить руки перед собой ладонями вниз. Пусть он задумает число, которое нужно умножить на 9. Например, это будет число 4. Отсчитайте его по пальцам слева направо. Получится указательный палец левой руки. Посмотрите, сколько пальцев осталось слева от него и сколько справа на обеих руках. Слева расположены средний, безымянный и мизинец, то есть три. Справа - 6. Соответственно, произведение будет равняться 36.
Выучите несколько считалок. «Пятью пять - двадцать пять» и «шестью шесть - тридцать шесть», равно как и другие рифмованные примеры, позволят ребенку в случае необходимости сориентироваться. Он точно знает, что если шесть раз взять по шесть яблок, то получится 36. Соответственно, 6х7 - это на 6 яблок больше. В дальнейшем можно показать ребенку способы быстрого умножения.
Полезный совет
Показывать принципы умножения можно в любом графическом редакторе. Например, найдите картинку с несколькими одинаковыми предметами. Откройте ее в редакторе, скопируйте и вставьте. Предложите ребенку посчитать фигурки на экране. Если добавлять предметы группами, принцип умножения ваш ученик поймет быстрее.
Младшим школьникам иногда бывает сложно освоить такое математическое действие, как умножение. Надо разобраться в причинах трудностей ребенка. Занятия, направленные на то, чтобы освоить саму суть этого действия и выучить таблицу умножения, обязательно принесут свои плоды.
Вам понадобится
- - счетные палочки или другие мелкие предметы;
- - детские книжки на тему «Умножение»;
- - таблица умножения.
Инструкция
Иной раз ребенок, успешно осваивающий программу начальной школы, вдруг спотыкается при изучении темы «Умножение». Не стоит паниковать по этому поводу и ругать ребенка. Надо просто с ним позаниматься. Но прежде чем приступить к дополнительным занятиям, необходимо понять, в чем дело.
Одной из причин осечек при решении примеров на умножение является то, что ребенок не понял самой сути этого действия. Поэтому постарайтесь объяснить ребенку, умножение.
Возьмите счетные палочки, конфеты или какие-то другие мелкие предметы. Разложите их на столе попарно. Например, 3 пары подряд. Конечно, ребенок быстро сосчитает, сколько конфет лежит на столе.
Предложите записать это в виде примера на сложение. Получится: «2+2+2=6». Понаблюдайте вместе с ребенком, в чем особенность слагаемых. Они одинаковые! А если продолжить ряд? «2+2+2+2+2=10» Теперь задайте ребенку вопрос: «Как иначе можно записать это математическое выражение?» И увидите, как он сам найдет правильный ответ: «2х3=6», «2х5=10».
Проделайте еще несколько опытов с конфетами или счетными палочками. Разложите их по 3, по 4 и т.д. Записывайте сначала на сложение, а потом преобразовывайте их в выражения на умножение. Совместно с ребенком нарисуйте группы различных предметов, чтобы на их основе записать примеры на сложение и на умножение.
Другой причиной трудностей с умножением может быть незнание таблицы умножения. Наберитесь терпения и помогите ребенку заучить таблицу наизусть.
Чтобы эти занятия не были скучными, приобретите книжки с веселыми стихами об умножении чисел. Читайте их вместе с ребенком. Положительные эмоции помогут лучше запомнить сложный школьный материал.
Обратите внимание
Для того чтобы ребенок освоил непонятный ему материал, не надо форсировать события. Возможно одно и то же придется повторить несколько раз.
Полезный совет
Занимаясь с ребенком, старайтесь не раздражаться. Важно, чтобы обстановка была спокойной и доброжелательной. Именно положительные эмоции способствуют лучшему усвоению материала. Кроме этого, будут полезны и поощрения даже за самые маленькие достижения. Наградите ребенка хотя бы конфетами, которые помогли ему понять суть умножения.
Инструкция
Люди разработали множество приемов, позволяющих вычислять в уме большие числа. Для того чтобы умножать, делить, возводить в квадрат, вовсе не обязательно пользоваться калькулятором или тетрадным листком. Чтобы производить в уме сложные вычисления, достаточно запомнить ряд простых правил.
Чтобы умножить двузначное число на 11, нужно сложить его первую и вторую цифру и поставить ее в середину числа. Например, требуется умножить на 11 число 27. Сложите 2 и 7 и поместите получившуюся девятку посередине числа. Получится 297. Если сумма первой и второй цифр дает двузначное число, вставлять посередине нужно только вторую его цифру, а к первой цифре исходного числа - прибавлять единицу. Например, умножаем 11 на 49. Сумма 4 и 9 составляет 13. Помещаем между четверкой и девяткой тройку, получается 439. Затем добавляем к четверке единицу - получаем 539.
Чтобы возвести в квадрат число, заканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру на саму себя плюс единица, а затем добавить в конце 25. Например, квадрат 95 равен 9*(9+1)_25 = 9*10_25 = 9025.
Умножать большие числа на 5 тоже легко. Сначала посмотрите, делится ли число полностью на 2. Если делится, то результатом его умножения на 5 будет результат его деления на 2, в конце которого записан ноль. Например, 620*5 = 310_0 = 3100. Если число не делится на 2 без остатка, отбросьте остаток и добавьте в конце вместо ноля пятерку. Например, 621*5 = 310_5 = 3105.
Чтобы умножить двузначное число на 4, достаточно дважды умножить его на 2. Например, 43*4 = 43*2*2 = 86*2 = 172.
Чтобы перемножить одно большое число на другое, посмотрите, не делится ли одно из них на два без остатка. Если делится, для умножения можно применить метод упрощения множителей, последовательно деля на 2 один множитель и умножая на 2 второй множитель. Например, 32*105 = 16*210 = 8*420 = 4*840 = 3360.
Складывать в уме большие числа лучше, сначала разделив одно из них на части. Например, 3570+5780 = (3000+5000) + (570+780) = 8000+(500+700)+70+80 = 9200+70+80 = 9350. Такой же прием можно использовать и при вычитании, последовательно разбивая числа на части, более удобные для вычисления.
Чтобы вычесть число из 1000, разбейте его на составляющие цифры и вычтите каждую из них из девятки. Последнюю цифру вычитайте не из девятки, а из десятки. Например, 1000-523 = (9-5)_(9-2)_(10-3) = 477.
Чтобы разделить большое число на 5, умножьте его в уме на два и разделите на десять. Например, 182/5 = (182*2)/10 = 364/10 = 36.4.
Совет 12: Как научить собаку командам - "Голос", "Сидеть", "Лежать"
Обучение любого питомца желательно начинать в щенячьем возрасте. Именно в этот период закладываются основы взаимоотношения с собакой. Научить собаку командам можно самостоятельно, но при первом опыте лучше начинать работу под присмотром инструктора-кинолога.
Как научить собаку команде «Голос»
Иногда бывает нужно, чтобы собака начинала лаять по вашей команде. Подача голоса отрабатывается в момент игры, как и большинство команд. Играя с питомцем, например, в мячик, периодически произносите команду «Голос», дождитесь от него самопроизвольного лая и тут же бурно и радостно похвалите собаку, повторяя «Голос, голос!», дайте лакомство (небольшой кусочек сыра, засушенного ливера).
Повторяйте процесс до полного закрепления команды. При этом важно менять игрушку и ситуации возбуждения, чтобы собака не связала похвалу от вас с игрой, а видела прямую связь между вашей командой, лаем и наградой.
Как научить собаку команде «Сидеть»
Классическое обучение данной команды выглядит следующим образом. В руку берется лакомство, показывается питомцу, но не дается. Рука с лакомством заносится над головой собаки, подается команда «Сидеть», одновременно другая рука надавливает на крестец собаки, принуждая собаку сесть. Как только она сядет, лакомство тут же отдается, следует бурная похвала с повтором команады.
В настоящее время кинологи предпочитают использовать бесконтактный вариант обучения данной команде. То есть, надавливания на крестец не производится, одновременно с произнесением команды «Сидеть», рука с лакомством заносится над головой и подается чуть вперед таким образом, чтобы собака была вынуждена запрокидывать ее назад, не отрывая взгляда от лакомства. В такой позиции для собаки будет естественно сесть, что она и сделает. Тут же нужно отдать лакомство и похвалить питомца.
Как научить собаку команде «Лежать»
Команда «Лежать» разучивается с питомцем по похожей методике. Собаке показывается лакомство, зажатое в левой руке, затем эта рука опускается к полу, одновременно с этим подается команда «Лежать», а правая рука нажимает на холку собаки, принуждая ее тем самым лечь. Как только требуемая позиция будет достигнута, лакомство тут же отдается и следует похвала, перемежаемая с повторением разучиваемой команды «Лежать».
