Problem znalezienia pochodnej danej funkcji jest jednym z głównych na lekcjach matematyki w szkołach średnich i na uczelniach wyższych. Niemożliwe jest pełne zbadanie funkcji i skonstruowanie jej wykresu bez obliczenia jej pochodnej. Pochodną funkcji można łatwo znaleźć, znając podstawowe zasady różniczkowania i tabelę pochodnych podstawowych funkcji. Zastanówmy się, jak znaleźć pochodną funkcji.

Pochodna funkcji to granica stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdy przyrost argumentu dąży do zera.

Zrozumienie tej definicji jest dość trudne, ponieważ pojęcie granicy nie jest w pełni studiowane w szkole. Aby jednak znaleźć pochodne różnych funkcji, nie trzeba znać definicji, zostawmy to matematykom i przejdźmy od razu do znajdowania pochodnej.

Proces znajdowania pochodnej nazywa się różniczkowaniem. Różniczkując funkcję otrzymamy nową funkcję.

Do ich oznaczenia użyjemy łacińskich liter f, g itd.

Istnieje wiele różnych oznaczeń instrumentów pochodnych. Użyjemy udaru. Przykładowo, napisanie g” oznacza, że znajdziemy pochodną funkcji g.

Tabela instrumentów pochodnych

Aby odpowiedzieć na pytanie jak znaleźć pochodną należy podać tabelę pochodnych funkcji głównych. Aby obliczyć pochodne funkcji elementarnych, nie trzeba wykonywać skomplikowanych obliczeń. Wystarczy spojrzeć na jego wartość w tabeli instrumentów pochodnych.

(sin x)”=cos x
(cos x)"= –sin x
(x n)"=n x n-1
(np. x)"=np. x
(lnx)"=1/x
(a x)"=a x ln a
(log a x)"=1/x ln a
(tg x)”=1/cos 2 x
(ctg x)"= – 1/sin 2 x
(arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
(arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
(arctg x)"= 1/(1+x 2)
(arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Przykład 1. Znajdź pochodną funkcji y=500.

Widzimy, że jest to stała. Z tabeli pochodnych wiadomo, że pochodna stałej jest równa zero (wzór 1).

Przykład 2. Znajdź pochodną funkcji y=x 100.

Jest to funkcja potęgowa, której wykładnik wynosi 100. Aby znaleźć jej pochodną należy pomnożyć funkcję przez wykładnik i zmniejszyć ją o 1 (wzór 3).

(x 100)"=100 x 99

Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji y=5 x

Jest to funkcja wykładnicza, obliczmy jej pochodną korzystając ze wzoru 4.

Przykład 4. Znajdź pochodną funkcji y= log 4 x

Pochodną logarytmu znajdujemy za pomocą wzoru 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Zasady różnicowania

Zastanówmy się teraz, jak znaleźć pochodną funkcji, jeśli nie ma jej w tabeli. Większość badanych funkcji nie jest funkcjami elementarnymi, lecz stanowią kombinacje funkcji elementarnych za pomocą prostych operacji (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i mnożenie przez liczbę). Aby znaleźć ich pochodne, należy znać zasady różniczkowania. Poniżej litery f i g oznaczają funkcje, a C jest stałą.

1. Ze znaku pochodnej można odjąć stały współczynnik

Przykład 5. Znajdź pochodną funkcji y= 6*x 8

Wyjmujemy stały współczynnik 6 i różniczkujemy tylko x 4. Jest to funkcja potęgowa, której pochodną wyznacza się za pomocą wzoru 3 z tabeli pochodnych.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych

(f + g)"=f" + g"

Przykład 6. Znajdź pochodną funkcji y= x 100 +sin x

Funkcja to suma dwóch funkcji, których pochodne możemy znaleźć w tabeli. Ponieważ (x 100)"=100 x 99 i (sin x)"=cos x. Pochodna sumy będzie równa sumie tych pochodnych:

(x 100 + sin x)"= 100 x 99 + cos x

3. Pochodna różnicy jest równa różnicy pochodnych

(f – g)"=f" – g"

Przykład 7. Znajdź pochodną funkcji y= x 100 – cos x

Funkcja ta jest różnicą dwóch funkcji, których pochodne również znajdziemy w tabeli. Wtedy pochodna różnicy jest równa różnicy pochodnych i nie zapomnij zmienić znaku, ponieważ (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + grzech x

Przykład 8. Znajdź pochodną funkcji y=e x +tg x– x 2.

Ta funkcja ma zarówno sumę, jak i różnicę; znajdźmy pochodne każdego wyrazu:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Wtedy pochodna funkcji pierwotnej jest równa:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Pochodna produktu

(f * g)"=f" * g + f * g"

Przykład 9. Znajdź pochodną funkcji y= cos x *e x

Aby to zrobić, najpierw znajdujemy pochodną każdego czynnika (cos x)"=–sin x i (e x)"=e x. Teraz podstawmy wszystko do formuły produktu. Mnożymy pochodną pierwszej funkcji przez drugą i dodajemy iloczyn pierwszej funkcji przez pochodną drugiej.

(cos x* mi x)"= e x cos x – mi x *sin x

5. Pochodna ilorazu

(f/g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Przykład 10. Znajdź pochodną funkcji y= x 50 /sin x

Aby znaleźć pochodną ilorazu, najpierw znajdujemy oddzielnie pochodną licznika i mianownika: (x 50)"=50 x 49 i (sin x)"= cos x. Podstawiając pochodną ilorazu do wzoru, otrzymujemy:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Pochodna funkcji zespolonej

Funkcja złożona to funkcja reprezentowana przez złożenie kilku funkcji. Istnieje również zasada znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

(u (v))"=u"(v)*v"

Zastanówmy się, jak znaleźć pochodną takiej funkcji. Niech y= u(v(x)) będzie funkcją zespoloną. Nazwijmy funkcję u zewnętrzną, a v - wewnętrzną.

Na przykład:

y=sin (x 3) jest funkcją złożoną.

Wtedy y=sin(t) jest funkcją zewnętrzną

t=x 3 - wewnętrzne.

Spróbujmy obliczyć pochodną tej funkcji. Zgodnie ze wzorem należy pomnożyć pochodne funkcji wewnętrznej i zewnętrznej.

(sin t)"=cos (t) - pochodna funkcji zewnętrznej (gdzie t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - pochodna funkcji wewnętrznej

Wtedy (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 jest pochodną funkcji zespolonej.

Pierwszy poziom

Pochodna funkcji. Najlepszy przewodnik (2019)

Wyobraźmy sobie prostą drogę przebiegającą przez pagórkowaty teren. Oznacza to, że porusza się w górę i w dół, ale nie skręca w prawo ani w lewo. Jeśli oś jest skierowana poziomo wzdłuż drogi i pionowo, wówczas linia drogi będzie bardzo podobna do wykresu jakiejś funkcji ciągłej:

Oś to pewien poziom zerowej wysokości, w życiu używamy jako tego poziomu morza.

Poruszając się do przodu taką drogą, poruszamy się także w górę lub w dół. Można też powiedzieć: gdy zmienia się argument (ruch wzdłuż osi odciętych), zmienia się wartość funkcji (ruch wzdłuż osi rzędnych). Zastanówmy się teraz, jak określić „stromość” naszej drogi? Jakiej to może być wartości? To bardzo proste: jak bardzo zmieni się wysokość, gdy przesuniesz się do przodu na określoną odległość. Rzeczywiście, na różnych odcinkach drogi, przesuwając się do przodu (wzdłuż osi x) o jeden kilometr, podniesiemy się lub opadniemy o różną liczbę metrów w stosunku do poziomu morza (wzdłuż osi y).

Oznaczmy postęp (czytaj „delta x”).

Grecka litera (delta) jest powszechnie używana w matematyce jako przedrostek oznaczający „zmianę”. To znaczy - jest to zmiana ilościowa, - zmiana; więc co to jest? Zgadza się, zmiana wielkości.

Ważne: wyrażenie to pojedyncza całość, jedna zmienna. Nigdy nie oddzielaj „delty” od „x” lub jakiejkolwiek innej litery! Czyli np. .

Zatem posunęliśmy się do przodu, poziomo, o. Jeśli porównamy linię drogi z wykresem funkcji, to jak oznaczyć wzrost? Z pewnością, . Oznacza to, że w miarę jak idziemy do przodu, wznosimy się wyżej.

Wartość jest łatwa do obliczenia: jeśli na początku byliśmy na wysokości, a po przeprowadzce znaleźliśmy się na wysokości, to. Jeśli punkt końcowy będzie niższy od punktu początkowego, będzie on ujemny – oznacza to, że nie wznosimy się, a opadamy.

Wróćmy do „stromości”: jest to wartość pokazująca, jak bardzo (stromo) wzrasta wysokość podczas poruszania się do przodu o jedną jednostkę odległości:

Załóżmy, że na pewnym odcinku drogi, przesuwając się o kilometr do przodu, droga wznosi się o kilometr. Wtedy nachylenie w tym miejscu jest równe. A jeśli droga poruszając się do przodu o m, obniży się o km? Wtedy nachylenie jest równe.

Spójrzmy teraz na szczyt wzgórza. Jeśli weźmiemy początek odcinka pół kilometra przed szczytem i koniec pół kilometra za nim, zobaczymy, że wysokość jest prawie taka sama.

Oznacza to, że zgodnie z naszą logiką okazuje się, że nachylenie tutaj jest prawie równe zeru, co oczywiście nie jest prawdą. Już na dystansie kilku kilometrów wiele może się zmienić. W celu bardziej odpowiedniej i dokładnej oceny stromości konieczne jest uwzględnienie mniejszych obszarów. Na przykład, jeśli zmierzysz zmianę wysokości w miarę przesuwania się o jeden metr, wynik będzie znacznie dokładniejszy. Ale nawet ta dokładność może nam nie wystarczyć – wszak jeśli na środku drogi stoi słup, możemy go po prostu minąć. Jaki dystans w takim razie wybrać? Centymetr? Milimetr? Mniej znaczy lepiej!

W prawdziwym życiu mierzenie odległości z dokładnością do milimetra jest więcej niż wystarczające. Ale matematycy zawsze dążą do perfekcji. Dlatego wymyślono taką koncepcję nieskończenie mały, to znaczy wartość bezwzględna jest mniejsza niż jakakolwiek liczba, którą możemy nazwać. Na przykład mówisz: jedna bilionowa! O ile mniej? I podzielisz tę liczbę przez - i będzie jeszcze mniej. I tak dalej. Jeśli chcemy napisać, że ilość jest nieskończenie mała, piszemy w ten sposób: (czytamy „x dąży do zera”). Bardzo ważne jest, aby zrozumieć że ta liczba nie jest zerowa! Ale bardzo blisko tego. Oznacza to, że możesz przez to dzielić.

Pojęcie przeciwne nieskończenie małemu jest nieskończenie duże (). Prawdopodobnie już się z tym spotkałeś, pracując nad nierównościami: ta liczba jest modulo większa niż jakakolwiek inna liczba, jaką możesz wymyślić. Jeśli otrzymasz największą możliwą liczbę, po prostu pomnóż ją przez dwa, a otrzymasz jeszcze większą liczbę. A nieskończoność jest jeszcze większa niż to, co się dzieje. W rzeczywistości nieskończenie duże i nieskończenie małe są względem siebie odwrotnością, to znaczy w i odwrotnie: w.

Wróćmy teraz na naszą drogę. Idealnie obliczone nachylenie to nachylenie obliczone dla nieskończenie małego odcinka ścieżki, czyli:

Zauważam, że przy nieskończenie małym przemieszczeniu zmiana wysokości będzie również nieskończenie mała. Ale przypomnę, że nieskończenie mały nie znaczy równy zeru. Jeśli podzielisz przez siebie nieskończenie małe liczby, możesz otrzymać zupełnie zwyczajną liczbę, na przykład . Oznacza to, że jedna mała wartość może być dokładnie razy większa od drugiej.

Po co to wszystko? Droga, stromość... Nie jedziemy na rajd samochodowy, ale uczymy matematyki. A w matematyce wszystko jest dokładnie takie samo, tylko inaczej się nazywa.

Pojęcie pochodnej

Pochodna funkcji to stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu.

Stopniowo w matematyce nazywają to zmianą. Nazywa się stopień, w jakim argument () zmienia się w miarę przesuwania się wzdłuż osi przyrost argumentu i jest wyznaczony.Jak bardzo zmieniła się funkcja (wysokość) podczas przesuwania się do przodu wzdłuż osi o odległość przyrost funkcji i jest wyznaczony.

Zatem pochodną funkcji jest stosunek do kiedy. Pochodną oznaczamy tą samą literą co funkcję, tylko liczbą pierwszą w prawym górnym rogu: lub po prostu. Zapiszmy więc wzór na pochodną, korzystając z następujących oznaczeń:

Podobnie jak w przypadku drogi, tutaj, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna.

Czy pochodna może być równa zero? Z pewnością. Przykładowo, jeśli jedziemy po płaskiej, poziomej drodze, nachylenie wynosi zero. I to prawda, wysokość w ogóle się nie zmienia. Podobnie jest z pochodną: pochodna funkcji stałej (stała) jest równa zeru:

ponieważ przyrost takiej funkcji jest dla dowolnego równy zero.

Przypomnijmy przykład ze wzgórza. Okazało się, że możliwe jest takie ułożenie końców odcinka po przeciwnych stronach wierzchołka, aby wysokość na końcach okazała się taka sama, czyli odcinek był równoległy do osi:

Ale duże segmenty są oznaką niedokładnego pomiaru. Podniesiemy nasz odcinek równolegle do siebie, wówczas jego długość będzie się zmniejszać.

Ostatecznie, gdy będziemy nieskończenie blisko szczytu, długość odcinka stanie się nieskończenie mała. Ale jednocześnie pozostał równoległy do osi, to znaczy różnica wysokości na jego końcach jest równa zeru (nie ma tendencji, ale jest równa). Zatem pochodna

Można to rozumieć w ten sposób: gdy stoimy na samej górze, niewielkie przesunięcie w lewo lub w prawo zmienia nasz wzrost w pomijalnym stopniu.

Istnieje również wyjaśnienie czysto algebraiczne: na lewo od wierzchołka funkcja rośnie, a na prawo maleje. Jak dowiedzieliśmy się wcześniej, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna. Ale zmienia się płynnie, bez skoków (ponieważ droga nigdzie nie zmienia gwałtownie nachylenia). Dlatego muszą istnieć wartości pomiędzy wartościami ujemnymi i dodatnimi. Będzie to miejsce, w którym funkcja ani nie rośnie, ani nie maleje - w punkcie wierzchołkowym.

To samo dotyczy doliny (obszaru, w którym funkcja po lewej stronie maleje, a po prawej rośnie):

Trochę więcej o przyrostach.

Zmieniamy więc argument na wielkość. Zmieniamy od jakiej wartości? Czym on się teraz (argumentem) stał? Możemy wybrać dowolny punkt, a teraz będziemy od niego tańczyć.

Rozważ punkt ze współrzędnymi. Wartość funkcji w nim jest równa. Następnie wykonujemy ten sam przyrost: zwiększamy współrzędną o. Jaka jest teraz argumentacja? Bardzo łatwe: . Jaka jest teraz wartość funkcji? Tam, gdzie trafia argument, tam też znajduje się funkcja: . A co z przyrostem funkcji? Nic nowego: nadal jest to kwota, o jaką zmieniła się funkcja:

Poćwicz znajdowanie przyrostów:

Znajdź przyrost funkcji w punkcie, w którym przyrost argumentu jest równy.
To samo dotyczy funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

W różnych punktach z tym samym przyrostem argumentu przyrost funkcji będzie inny. Oznacza to, że pochodna w każdym punkcie jest inna (rozmawialiśmy o tym na samym początku – stromość drogi jest różna w różnych punktach). Dlatego pisząc pochodną, musimy wskazać, w którym momencie:

Funkcja zasilania.

Funkcja potęgi to funkcja, której argument jest do pewnego stopnia (logiczny, prawda?).

Ponadto - w jakimkolwiek stopniu: .

Najprostszy przypadek ma miejsce, gdy wykładnik wynosi:

Znajdźmy jego pochodną w pewnym punkcie. Przypomnijmy definicję pochodnej:

Zatem argument zmienia się z na. Jaki jest przyrost funkcji?

Przyrost to jest to. Ale funkcja w dowolnym punkcie jest równa swojemu argumentowi. Dlatego:

Pochodna jest równa:

Pochodna jest równa:

b) Rozważmy teraz funkcję kwadratową (): .

Teraz pamiętajmy o tym. Oznacza to, że wartość przyrostu można pominąć, gdyż jest ona nieskończenie mała, a zatem nieistotna na tle drugiego członu:

Wymyśliliśmy więc kolejną zasadę:

c) Kontynuujemy ciąg logiczny: .

Wyrażenie to można uprościć na różne sposoby: otwórz pierwszy nawias, korzystając ze wzoru na skrócone pomnożenie sześcianu sumy, lub rozłóż całe wyrażenie na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę kostek. Spróbuj zrobić to sam, korzystając z dowolnej z sugerowanych metod.

Więc otrzymałem co następuje:

I jeszcze raz o tym pamiętajmy. Oznacza to, że możemy pominąć wszystkie terminy zawierające:

Otrzymujemy: .

d) Podobne zasady można uzyskać dla dużych potęg:

e) Okazuje się, że tę regułę można uogólnić dla funkcji potęgowej z dowolnym wykładnikiem, a nie nawet liczbą całkowitą:

(2)

Zasadę tę można sformułować słowami: „stopień jest podnoszony jako współczynnik, a następnie zmniejszany o ”.

Tę regułę udowodnimy później (prawie na samym końcu). Teraz spójrzmy na kilka przykładów. Znajdź pochodną funkcji:

(na dwa sposoby: według wzoru i korzystając z definicji pochodnej - obliczając przyrost funkcji);

. Wierzcie lub nie, ale to jest funkcja mocy. Jeśli masz pytania typu „Jak to jest? Gdzie jest stopień?”, pamiętajcie o temacie „”!
Tak, tak, pierwiastek to także stopień, tylko ułamkowy: .
Oznacza to, że nasz pierwiastek kwadratowy jest po prostu potęgą z wykładnikiem:
.
Pochodnej szukamy korzystając z niedawno poznanego wzoru:
Jeśli w tym momencie znów stanie się niejasne, powtórz temat „”!!! (około stopnia z wykładnikiem ujemnym)
. Teraz wykładnik:
A teraz poprzez definicję (zapomniałeś już?):
;
.
Teraz jak zwykle zaniedbujemy termin zawierający:
.
. Połączenie poprzednich przypadków: .

Funkcje trygonometryczne.

Tutaj wykorzystamy jeden fakt z wyższej matematyki:

Z ekspresją.

Dowód nauczysz się na pierwszym roku instytutu (a żeby się tam dostać, musisz dobrze zdać Unified State Exam). Teraz pokażę to graficznie:

Widzimy, że gdy funkcja nie istnieje – punkt na wykresie zostaje wycięty. Ale im bliżej wartości, tym bliżej jest funkcja. To jest jej „cel”.

Dodatkowo możesz sprawdzić tę regułę za pomocą kalkulatora. Tak, tak, nie wstydź się, weź kalkulator, nie jesteśmy jeszcze na egzaminie Unified State Exam.

Więc spróbujmy: ;

Nie zapomnij przełączyć kalkulatora w tryb radianów!

itp. Widzimy, że im mniejsza, tym bliższa jest wartość stosunku do.

a) Rozważmy funkcję. Jak zwykle, znajdźmy jego przyrost:

Zamieńmy różnicę sinusów na iloczyn. Aby to zrobić, używamy wzoru (pamiętaj temat „”): .

Teraz pochodna:

Dokonajmy zamiany: . Wtedy dla nieskończenie małego jest to również nieskończenie małe: . Wyrażenie for ma postać:

A teraz pamiętamy to z wyrażeniem. A także, co się stanie, jeśli w sumie można pominąć nieskończenie małą ilość (to znaczy at).

Otrzymujemy więc następującą regułę: pochodna sinusa jest równa cosinusowi:

Są to podstawowe („tabelaryczne”) instrumenty pochodne. Oto one na jednej liście:

Później dodamy do nich jeszcze kilka, ale te są najważniejsze, ponieważ są najczęściej używane.

Ćwiczyć:

Znajdź pochodną funkcji w punkcie;
Znajdź pochodną funkcji.

Rozwiązania:

Najpierw znajdźmy pochodną w postaci ogólnej, a następnie podstawmy jej wartość:
;
.
Tutaj mamy coś podobnego do funkcji potęgowej. Spróbujmy ją sprowadzić
normalny widok:
.
Świetnie, teraz możesz skorzystać ze wzoru:
.
.
. Eeeeee….. Co to jest????

OK, masz rację, nie wiemy jeszcze jak znaleźć takie pochodne. Mamy tutaj kombinację kilku typów funkcji. Aby z nimi pracować, musisz nauczyć się kilku dodatkowych zasad:

Wykładnik i logarytm naturalny.

W matematyce istnieje funkcja, której pochodna dla dowolnej wartości jest jednocześnie równa wartości samej funkcji. Nazywa się to „wykładnikiem” i jest funkcją wykładniczą

Podstawą tej funkcji - stałą - jest nieskończony ułamek dziesiętny, czyli liczba niewymierna (taka jak). Nazywa się ją „liczbą Eulera” i dlatego jest oznaczona literą.

Zatem zasada:

Bardzo łatwe do zapamiętania.

Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważmy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

Znajdź pochodną funkcji.
Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Logarytm wykładniczy i logarytm naturalny są wyjątkowo prostymi funkcjami z punktu widzenia pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne na dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

w pewnym momencie;
w pewnym momencie;
w pewnym momencie;
w tym punkcie.

Rozwiązania:

(pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

Znajdź pochodne funkcji i;
Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

W tym celu zastosujemy prostą regułę: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To po prostu liczba, której nie da się obliczyć bez kalkulatora, czyli nie da się jej zapisać w prostszej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie znajdują się w Unified State Examination, ale ich znajomość nie będzie zbyteczna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Możemy z łatwością wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś wynik do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla pierwszego przykładu .

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
A oryginalną funkcją jest ich skład: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wyodrębniamy z niej również korzeń, czyli wykonujemy trzecią akcję (wkładamy czekoladę do w opakowaniu i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy działania, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalne wyrażenie. .

2. Korzeń. .

3. Sinus. .

4. Kwadrat. .

5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

Podano przykłady obliczania pochodnych za pomocą wzoru na pochodną funkcji zespolonej.

Tutaj podajemy przykłady obliczania pochodnych następujących funkcji:
; ; ; ; .

Jeśli funkcję można przedstawić jako funkcję złożoną w następującej postaci:
,
wówczas jego pochodną wyznacza się ze wzoru:
.
W poniższych przykładach zapiszemy tę formułę w następujący sposób:
.
Gdzie .
Tutaj indeksy dolne lub , znajdujące się pod znakiem pochodnej, oznaczają zmienne, według których przeprowadzane jest różnicowanie.

Zwykle w tablicach pochodnych podaje się pochodne funkcji od zmiennej x. Jednak x jest parametrem formalnym. Zmienną x można zastąpić dowolną inną zmienną. Dlatego różniczkując funkcję od zmiennej, po prostu zamieniamy w tabeli pochodnych zmienną x na zmienną u.

Proste przykłady

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji zespolonej
.

Rozwiązanie

Zapiszmy daną funkcję w równoważnej formie:
.
W tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
;
.

Zgodnie ze wzorem na pochodną funkcji zespolonej mamy:
.
Tutaj .

Odpowiedź

Przykład 2

Znajdź pochodną
.

Rozwiązanie

Wyciągamy stałą 5 ze znaku pochodnej i z tabeli pochodnych znajdujemy:
.

.
Tutaj .

Odpowiedź

Przykład 3

Znajdź pochodną
.

Rozwiązanie

Wyciągamy stałą -1 dla znaku pochodnej i z tabeli pochodnych znajdujemy:
;
Z tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
.

Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej:
.
Tutaj .

Odpowiedź

Bardziej złożone przykłady

W bardziej złożonych przykładach stosujemy zasadę kilkukrotnego różniczkowania funkcji zespolonej. W tym przypadku pochodną obliczamy od końca. Oznacza to, że dzielimy funkcję na części składowe i za pomocą znajdujemy pochodne najprostszych części tabela instrumentów pochodnych. Używamy również zasady różnicowania kwot, produkty i frakcje. Następnie dokonujemy podstawień i stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.

Przykład 4

Znajdź pochodną
.

Rozwiązanie

Wybierzmy najprostszą część wzoru i znajdźmy jej pochodną. .

.
Tutaj zastosowaliśmy oznaczenie
.

Korzystając z otrzymanych wyników, znajdujemy pochodną kolejnej części pierwotnej funkcji. Stosujemy zasadę różniczkowania sumy:
.

Po raz kolejny stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych.

.
Tutaj .

Odpowiedź

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji
.

Rozwiązanie

Wybierzmy najprostszą część wzoru i znajdźmy jej pochodną z tabeli pochodnych. .

Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych.
.
Tutaj
.

Na którym zbadaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznaliśmy się z zasadami różniczkowania i niektórymi technicznymi technikami znajdowania pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry w pochodnych funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę o poważny nastrój – materiał nie jest prosty, ale mimo to postaram się go przedstawić prosto i przejrzyście.

W praktyce z pochodną funkcji złożonej mamy do czynienia bardzo często, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostaje się zadanie znalezienia pochodnych.

Patrzymy na tabelę z zasadą (nr 5) różniczkowania funkcji zespolonej:

Rozwiążmy to. Przede wszystkim zwróćmy uwagę na wpis. Tutaj mamy dwie funkcje - i , a funkcja, mówiąc w przenośni, jest zagnieżdżona w funkcji . Funkcja tego typu (kiedy jedna funkcja jest zagnieżdżona w drugiej) nazywana jest funkcją złożoną.

Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja – funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona)..

! Definicje te nie mają charakteru teoretycznego i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. Używam nieformalnych wyrażeń „funkcja zewnętrzna”, „funkcja wewnętrzna” tylko po to, aby ułatwić Państwu zrozumienie materiału.

Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji

Pod sinusem mamy nie samą literę „X”, ale całe wyrażenie, dlatego znalezienie pochodnej od razu z tabeli nie będzie działać. Zauważamy też, że tutaj nie da się zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że sinusa nie da się „rozerwać na kawałki”:

W tym przykładzie z moich wyjaśnień wynika już intuicyjnie, że funkcja jest funkcją zespoloną, a wielomian jest funkcją wewnętrzną (osadzeniem) i funkcją zewnętrzną.

Pierwszy krok co musisz zrobić, gdy znajdujesz pochodną funkcji zespolonej zrozumieć, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna.

W przypadku prostych przykładów wydaje się jasne, że pod sinusem osadzony jest wielomian. A co jeśli nie wszystko jest oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, sugeruję zastosowanie następującej techniki, którą można wykonać mentalnie lub w przeciągu.

Wyobraźmy sobie, że musimy obliczyć wartość wyrażenia w na kalkulatorze (zamiast jedynki może być dowolna liczba).

Co obliczymy najpierw? Przede wszystkim będziesz musiał wykonać następującą czynność: , dlatego wielomian będzie funkcją wewnętrzną:

Po drugie trzeba będzie znaleźć, więc sinus – będzie funkcją zewnętrzną:

Po tym, jak my WYPRZEDANE przy funkcjach wewnętrznych i zewnętrznych czas zastosować zasadę różniczkowania funkcji złożonych .

Zacznijmy decydować. Z lekcji Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się w ten sposób - wyrażenie zamykamy w nawiasach i stawiamy kreskę w prawym górnym rogu:

Najpierw znajdujemy pochodną funkcji zewnętrznej (sinus), spójrzmy na tabelę pochodnych funkcji elementarnych i zauważmy, że . Wszystkie formuły tabelaryczne mają również zastosowanie, jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, w tym przypadku:

Należy pamiętać, że funkcja wewnętrzna nie uległo zmianie, nie dotykamy tego.

Cóż, to całkiem oczywiste

Wynik zastosowania formuły w ostatecznej formie wygląda to tak:

Stały czynnik zwykle umieszcza się na początku wyrażenia:

W razie nieporozumień zapisz rozwiązanie na papierze i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Jak zwykle zapisujemy:

Zastanówmy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, próbujemy (w pamięci lub w wersji roboczej) obliczyć wartość wyrażenia w . Co powinieneś zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, ile wynosi podstawa: dlatego wielomian jest funkcją wewnętrzną:

I dopiero wtedy przeprowadzane jest potęgowanie, zatem funkcja potęgowa jest funkcją zewnętrzną:

Według formuły , najpierw musisz znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku stopień. Wymaganego wzoru szukamy w tabeli: . Powtarzamy ponownie: dowolna formuła tabelaryczna obowiązuje nie tylko dla „X”, ale także dla wyrażenia złożonego. Zatem wynik zastosowania reguły różniczkowania funkcji zespolonej Następny:

Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, nasza funkcja wewnętrzna nie ulegnie zmianie:

Teraz pozostaje tylko znaleźć bardzo prostą pochodną funkcji wewnętrznej i nieco zmodyfikować wynik:

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).

Aby utrwalić zrozumienie pochodnej funkcji złożonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuj sam to rozgryźć, uzasadnij, gdzie jest funkcja zewnętrzna, a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania są rozwiązywane w ten sposób?

Przykład 5

a) Znajdź pochodną funkcji

b) Znajdź pochodną funkcji

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj mamy pierwiastek i aby go rozróżnić, należy go przedstawić jako potęgę. Zatem najpierw doprowadzamy funkcję do postaci odpowiedniej do różniczkowania:

Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a podniesienie do potęgi funkcją zewnętrzną. Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych :

Ponownie przedstawiamy stopień jako pierwiastek, a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą zasadę różniczkowania sumy:

Gotowy. Możesz także sprowadzić wyrażenie do wspólnego mianownika w nawiasach i zapisać wszystko jako jeden ułamek. To oczywiście piękne, ale gdy otrzymasz kłopotliwe długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a sprawdzanie będzie niewygodne dla nauczyciela).

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).

Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji złożonej można zastosować regułę różniczkowania ilorazu , ale takie rozwiązanie będzie wyglądało na niecodzienną perwersję. Oto typowy przykład:

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz skorzystać z reguły różniczkowania ilorazu , ale znacznie bardziej opłacalne jest znalezienie pochodnej poprzez regułę różniczkowania funkcji zespolonej:

Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - usuwamy minus ze znaku pochodnej, a cosinus podnosimy do licznika:

Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Skorzystajmy z naszej reguły :

Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej i cofamy cosinus w dół:

Gotowy. W rozważanym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Nawiasem mówiąc, spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły , odpowiedzi muszą się zgadzać.

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).

Do tej pory przyglądaliśmy się przypadkom, w których mieliśmy tylko jedno zagnieżdżenie w funkcji zespolonej. W zadaniach praktycznych często można spotkać pochodne, gdzie niczym zagnieżdżanie lalek jedna w drugiej, zagnieżdżonych jest jednocześnie 3, a nawet 4-5 funkcji.

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Rozumiemy załączniki tej funkcji. Spróbujmy obliczyć wyrażenie, korzystając z wartości eksperymentalnej. Jak liczylibyśmy na kalkulatorze?

Najpierw musisz znaleźć , co oznacza, że arcsinus jest najgłębszym osadzeniem:

Ten arcsinus jedności należy następnie podnieść do kwadratu:

I na koniec podnosimy siedem do potęgi:

Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa osadzania, podczas gdy najbardziej wewnętrzną funkcją jest arcsinus, a najbardziej zewnętrzną funkcją jest funkcja wykładnicza.

Zacznijmy decydować

Zgodnie z zasadą Najpierw musisz wziąć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tabelę pochodnych i znajdujemy pochodną funkcji wykładniczej: Jedyną różnicą jest to, że zamiast „x” mamy wyrażenie złożone, co nie neguje ważności tego wzoru. A więc wynik zastosowania reguły różniczkowania funkcji zespolonej Następny.

Definicja. Niech funkcja $y = f(x)$ będzie zdefiniowana w pewnym przedziale zawierającym punkt $x_0$. Nadajmy argumentowi przyrost $\Delta x $ tak, aby nie opuścił tego przedziału. Znajdźmy odpowiedni przyrost funkcji $\Delta y $ (podczas przechodzenia od punktu $x_0 $ do punktu $x_0 + \Delta x $) i utwórz relację $\frac(\Delta y)(\Delta x) $. Jeżeli istnieje granica tego stosunku w $\Delta x \rightarrow 0$, to określona granica nazywana jest pochodna funkcji$y=f(x) $ w punkcie $x_0 $ i oznacz $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y jest często używany do oznaczenia pochodnej. Należy zauważyć, że y" = f(x) jest funkcją nową, ale w naturalny sposób powiązaną z funkcją y = f(x), określoną we wszystkich punktach x, w których istnieje powyższa granica. Ta funkcja nazywa się następująco: pochodna funkcji y = f(x).

Geometryczne znaczenie pochodnej następująco. Jeżeli można poprowadzić styczną do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x=a, który nie jest równoległy do osi y, to f(a) wyraża nachylenie stycznej :
$k = f"(a)$

Ponieważ $k = tg(a) $, to równość $f"(a) = tan(a) $ jest prawdziwa.

Zinterpretujmy teraz definicję pochodnej z punktu widzenia przybliżonych równości. Niech funkcja $y = f(x)$ ma pochodną w określonym punkcie $x$:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Oznacza to, że w pobliżu punktu x przybliżona równość $\frac(\Delta y)(\Delta x) \około f"(x)$, tj. $\Delta y \około f"(x) \cdot\ Delta x$. Znaczenie otrzymanej przybliżonej równości jest następujące: przyrost funkcji jest „prawie proporcjonalny” do przyrostu argumentu, a współczynnikiem proporcjonalności jest wartość pochodnej w danym punkcie x. Na przykład dla funkcji $y = x^2$ obowiązuje przybliżona równość $\Delta y \około 2x \cdot \Delta x $. Jeśli dokładnie przeanalizujemy definicję pochodnej, odkryjemy, że zawiera ona algorytm jej znajdowania.

Sformułujmy to.

Jak znaleźć pochodną funkcji y = f(x)?

1. Popraw wartość $x$, znajdź $f(x)$
2. Nadaj argumentowi $x$ przyrost $\Delta x$, przejdź do nowego punktu $x+ \Delta x $, znajdź $f(x+ \Delta x) $
3. Znajdź przyrost funkcji: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Utwórz relację $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Oblicz $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Granica ta jest pochodną funkcji w punkcie x.

Jeżeli funkcja y = f(x) ma pochodną w punkcie x, to nazywa się ją różniczkowalną w punkcie x. Wywołuje się procedurę znajdowania pochodnej funkcji y = f(x). różnicowanie funkcje y = f(x).

Omówmy następujące pytanie: w jaki sposób ciągłość i różniczkowalność funkcji w punkcie są ze sobą powiązane?

Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna w punkcie x. Następnie można narysować styczną do wykresu funkcji w punkcie M(x; f(x)) i, przypomnijmy, współczynnik kątowy stycznej jest równy f "(x). Takiego wykresu nie można „złamać” w punkcie M, czyli funkcja musi być ciągła w punkcie x.

To były argumenty „praktyczne”. Podajmy bardziej rygorystyczne uzasadnienie. Jeśli funkcja y = f(x) jest różniczkowalna w punkcie x, to zachodzi przybliżona równość $\Delta y \około f"(x) \cdot \Delta x $. Jeśli w tej równości $\Delta x $ dąży do zera, wówczas $\Delta y$ będzie dążyć do zera i jest to warunek ciągłości funkcji w punkcie.

Więc, jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x, to jest ciągła w tym punkcie.

Odwrotne stwierdzenie nie jest prawdziwe. Na przykład: funkcja y = |x| jest ciągła wszędzie, w szczególności w punkcie x = 0, ale styczna do wykresu funkcji w „punkcie przecięcia” (0; 0) nie istnieje. Jeśli w pewnym momencie nie można poprowadzić stycznej do wykresu funkcji, to pochodna w tym punkcie nie istnieje.

Jeszcze jeden przykład. Funkcja $y=\sqrt(x)$ jest ciągła na całej osi liczbowej, także w punkcie x = 0. Natomiast styczna do wykresu funkcji istnieje w dowolnym punkcie, także w punkcie x = 0 Ale w tym momencie styczna pokrywa się z osią y, tj. jest prostopadła do osi odciętych, jej równanie ma postać x = 0. Taka prosta nie ma współczynnika kąta, co oznacza, że $f „(0)$ nie istnieje.

Zapoznaliśmy się więc z nową właściwością funkcji - różniczkowalnością. Jak z wykresu funkcji można wywnioskować, że jest ona różniczkowalna?

Właściwie odpowiedź została podana powyżej. Jeśli w pewnym momencie można poprowadzić styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do osi odciętych, to w tym miejscu funkcja jest różniczkowalna. Jeśli w pewnym momencie styczna do wykresu funkcji nie istnieje lub jest prostopadła do osi odciętych, to w tym momencie funkcja nie jest różniczkowalna.

Zasady różnicowania

Nazywa się operację znajdowania pochodnej różnicowanie. Wykonując tę operację, często musisz pracować z ilorazami, sumami, iloczynami funkcji, a także „funkcjami funkcji”, czyli funkcjami złożonymi. Na podstawie definicji pochodnej możemy wyprowadzić reguły różniczkowania, które ułatwiają tę pracę. Jeśli C jest liczbą stałą, a f=f(x), g=g(x) są funkcjami różniczkowalnymi, to spełnione są następujące warunki zasady różnicowania:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Pochodna funkcji zespolonej:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabela pochodnych niektórych funkcji

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $