Znaki podzielności liczb dwucyfrowych. Zacznij od nauki

Tekst pracy jest umieszczony bez obrazów i wzorów.
Pełna wersja pracy dostępna jest w zakładce „Pliki pracy” w formacie PDF

Wstęp

Na lekcjach matematyki, studiując temat „Znaki podzielności”, gdzie zapoznaliśmy się ze znakami podzielności przez 2; 5; 3; dziewięć; 10, interesowało mnie, czy istnieją oznaki podzielności przez inne liczby i czy istnieje uniwersalna metoda podzielności przez dowolną liczbę naturalną. Więc zacząłem robić badania na ten temat.

Cel badania: badanie znaków podzielności liczb naturalnych do 100, dodanie znanych już znaków podzielności liczb naturalnych jako całości, studiowane w szkole.

Aby osiągnąć cel zostały ustalone zadania:

Zbieraj, badaj i systematyzuj materiał na temat znaków podzielności liczb naturalnych, korzystając z różnych źródeł informacji.

Znajdź uniwersalne kryterium podzielności przez dowolną liczbę naturalną.

Naucz się używać testu podzielności Pascala do określenia podzielności liczb, a także spróbuj sformułować znaki podzielności przez dowolną liczbę naturalną.

Przedmiot studiów: podzielność liczb naturalnych.

Przedmiot badań: znaki podzielności liczb naturalnych.

Metody badawcze: kolekcja informacji; praca z materiałami drukowanymi; analiza; synteza; analogia; głosowanie; pytający; systematyzacja i uogólnienie materiału.

Hipoteza badawcza: Jeśli można wyznaczyć podzielność liczb naturalnych przez 2, 3, 5, 9, 10, to muszą istnieć znaki, za pomocą których można określić podzielność liczb naturalnych przez inne liczby.

Nowość Z przeprowadzonych prac badawczych wynika, że praca ta systematyzuje wiedzę o znakach podzielności i uniwersalnej metodzie podzielności liczb naturalnych.

Praktyczne znaczenie: materiał tej pracy badawczej można wykorzystać w klasach 6-8 na zajęciach fakultatywnych podczas studiowania tematu „Podzielność liczb”.

Rozdział I. Definicja i własności podzielności liczb

1.1 Definicje pojęć podzielności i znaków podzielności, własności podzielności.

Teoria liczb to dział matematyki zajmujący się badaniem właściwości liczb. Głównym przedmiotem teorii liczb są liczby naturalne. Ich główną własnością, którą rozważa teoria liczb, jest podzielność. Definicja: Liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b, która nie jest równa zero, jeśli istnieje liczba całkowita k taka, że a = bk (na przykład 56 jest podzielne przez 8, ponieważ 56 = 8x7). znak podzielności- reguła, która pozwala ustalić, czy dana liczba naturalna jest podzielna przez inne liczby, czyli bez śladu.

Właściwości podzielności:

Każda niezerowa liczba a jest podzielna przez samą siebie.

Zero jest podzielne przez b nierówne zero.

Jeśli a jest podzielne przez b (b0) i b jest podzielne przez c (c0), to a jest podzielne przez c.

Jeśli a jest podzielne przez b (b0) i b jest podzielne przez a (a0), to a i b są liczbami równymi lub przeciwstawnymi.

1.2. Własności podzielności sumy i iloczynu:

Jeżeli w sumie liczb całkowitych każdy wyraz jest podzielny przez pewną liczbę, to suma jest podzielna przez tę liczbę.

2) Jeżeli w różnicy liczb całkowitych odjemna i odjemna są podzielne przez określoną liczbę, to różnica jest również podzielna przez określoną liczbę.

3) Jeżeli w sumie liczb całkowitych wszystkie wyrazy, z wyjątkiem jednego, są podzielne przez jakąś liczbę, to suma nie jest podzielna przez tę liczbę.

4) Jeżeli w iloczynu liczb całkowitych jeden z czynników jest podzielny przez pewną liczbę, to iloczyn jest również podzielny przez tę liczbę.

5) Jeżeli w iloczynie liczb całkowitych jeden z czynników jest podzielny przez m, a drugi przez n, to iloczyn jest podzielny przez mn.

Ponadto, badając znaki podzielności liczb, zapoznałem się z pojęciem „cyfrowy korzeń”. Weźmy liczbę naturalną. Znajdźmy sumę jego cyfr. Znajdujemy również sumę cyfr wyniku i tak dalej, aż do uzyskania liczby jednocyfrowej. Wynik nazywany jest cyfrowym pierwiastkiem liczby. Na przykład pierwiastek cyfrowy 654321 to 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. A teraz możesz pomyśleć o pytaniu: „Jakie są znaki podzielności i czy istnieje uniwersalny znak podzielności jednej liczby przez drugą?”

Rozdział II. Znaki podzielności liczb naturalnych.

2.1. Znaki podzielności przez 2,3,5,9,10.

Wśród znaków podzielności najwygodniejsze i najbardziej znane z kursu matematyki w szóstej klasie szkoły to:

Podzielna przez 2. Jeżeli zapis liczby naturalnej kończy się cyfrą parzystą lub zerem, to liczba jest podzielna przez 2. Liczba 52738 jest podzielna przez 2, ponieważ ostatnia cyfra 8 jest parzysta.

Podzielna przez 3 . Jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3, to liczba jest podzielna przez 3 (liczba 567 jest podzielna przez 3, ponieważ 5+6+7 = 18, a 18 jest podzielne przez 3.)

Podzielna przez 5. Jeżeli zapis liczby naturalnej kończy się liczbą 5 lub zerem, to liczba ta jest podzielna przez 5 (liczby 130 i 275 są podzielne przez 5, ponieważ ostatnie cyfry liczb to 0 i 5, ale liczba 302 to niepodzielne przez 5, ponieważ ostatnie cyfry to nie 0 i 5).

Podzielna przez 9. Jeśli suma cyfr jest podzielna przez 9, to liczba jest podzielna przez 9 (676332 jest podzielne przez 9, ponieważ 6+7+6+3+3+2=27, a 27 jest podzielne przez 9).

Podzielna przez 10 . Jeżeli zapis liczby naturalnej kończy się liczbą 0, to liczba ta jest podzielna przez 10 (230 jest podzielne przez 10, ponieważ ostatnia cyfra liczby to 0).

2.2 Znaki podzielności przez 4,6,8,11,12,13 itd.

Po pracy z różnymi źródłami poznałem inne oznaki podzielności. Opiszę niektóre z nich.

Dzielenie przez 6 . Musimy sprawdzić podzielność interesującej nas liczby przez 2 i 3. Liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest parzysta, a jej cyfrowy pierwiastek jest podzielny przez 3. (Na przykład 678 jest podzielne przez 6, ponieważ jest parzyste i 6 +7+8=21, 2+1=3) Kolejny znak podzielności: liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy czterokrotność liczby dziesiątek dodanych do liczby jedynek jest podzielna przez 6. (73,7*4+3=31, 31 nie jest podzielne przez 6, więc 7 nie jest podzielne przez 6.)

Dzielenie przez 8. Liczba jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnie trzy cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8. (12224 jest podzielna przez 8, ponieważ 224:8=28). Trzycyfrowa liczba jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jedynek dodana do dwukrotności liczby dziesiątek i czterokrotnej liczby setek jest podzielna przez 8. Na przykład 952 jest podzielne przez 8, ponieważ 8 jest podzielne przez 9* 4 + 5 * 2 + 2 = 48 .

Podziel przez 4 i przez 25. Jeśli dwie ostatnie cyfry są zerami lub wyrażają liczbę podzielną przez 4 lub (i) przez 25, to liczba jest podzielna przez 4 lub (i) przez 25 (liczba 1500 jest podzielna przez 4 i 25, ponieważ kończy się na dwa zer, liczba 348 jest podzielna przez 4, ponieważ 48 jest podzielne przez 4, ale ta liczba nie jest podzielna przez 25, ponieważ 48 nie jest podzielne przez 25, liczba 675 jest podzielna przez 25, ponieważ 75 jest podzielne przez 25, ale niepodzielne przez 4, więc .k. 75 nie jest podzielne przez 4).

Znając główne znaki podzielności przez liczby pierwsze, możemy wyprowadzić znaki podzielności przez liczby złożone:

Znak podzielności przez11 . Jeżeli różnica między sumą cyfr w miejscach parzystych a sumą cyfr w miejscach nieparzystych jest podzielna przez 11, to liczba jest również podzielna przez 11 (liczba 593868 jest podzielna przez 11, ponieważ 9 + 8 + 8 = 25 i 5 + 3 + 6 = 14, ich różnica wynosi 11, a 11 jest podzielne przez 11).

Znak podzielności przez 12: Liczba jest podzielna przez 12 wtedy i tylko wtedy, gdy dwie ostatnie cyfry są podzielne przez 4, a suma cyfr jest podzielna przez 3.

ponieważ 12= 4 3, tj. Liczba musi być podzielna przez 4 i 3.

Znak podzielności przez 13: Liczba jest podzielna przez 13 wtedy i tylko wtedy, gdy naprzemienna suma liczb utworzonych przez kolejne trójki cyfr danej liczby jest podzielna przez 13. Skąd wiesz, na przykład, że liczba 354862625 jest podzielna przez 13? 625-862+354=117 jest podzielne przez 13, 117:13=9, więc 354862625 jest również podzielne przez 13.

Znak podzielności przez 14: liczba jest podzielna przez 14 wtedy i tylko wtedy, gdy kończy się na parzystej cyfrze i jeśli wynik dwukrotnego odjęcia ostatniej cyfry od tej liczby bez ostatniej cyfry jest podzielny przez 7.

ponieważ 14= 2 7, tj. Liczba musi być podzielna przez 2 i 7.

Znak podzielności przez 15: Liczba jest podzielna przez 15 wtedy i tylko wtedy, gdy kończy się na 5 i 0, a suma cyfr jest podzielna przez 3.

ponieważ 15= 3 ∙ 5, tj. Liczba musi być podzielna przez 3 i 5.

Znak podzielności przez 18: Liczba jest podzielna przez 18 wtedy i tylko wtedy, gdy kończy się cyfrą parzystą, a suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

ponieważ k18= 2 ∙ 9, tj. Liczba musi być podzielna przez 2 i 9.

Znak podzielności przez 20: liczba jest podzielna przez 20 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kończy się na 0, a przedostatnia cyfra jest parzysta.

ponieważ 20 = 10 ∙ 2 tj. Liczba musi być podzielna przez 2 i 10.

Znak podzielności przez 25: liczba z co najmniej trzema cyframi jest podzielna przez 25 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 25.

Znak podzielności przez30 .

Znak podzielności przez59 . Liczba jest podzielna przez 59 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jedynek pomnożonej przez 6 jest podzielna przez 59. Na przykład 767 jest podzielne przez 59, ponieważ 76 + 6*7 = 118 i 11 + 6* są podzielne przez 59 8 = 59.

Znak podzielności przez79 . Liczba jest podzielna przez 79 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jednostek pomnożonych przez 8 jest podzielna przez 79. Na przykład 711 jest podzielne przez 79, ponieważ 71 + 8*1 = 79 jest podzielne przez 79.

Znak podzielności przez99. Liczba jest podzielna przez 99 wtedy i tylko wtedy, gdy suma liczb tworzących grupy dwóch cyfr (zaczynając od jednostek) jest podzielna przez 99. Na przykład 12573 jest podzielne przez 99, ponieważ 1 + 25 + 73 = 99 jest podzielne przez 99.

Znak podzielności przez100 . Tylko te liczby są podzielne przez 100, jeśli dwie ostatnie cyfry są zerami.

Znak podzielności przez 125: liczba z co najmniej czterema cyframi jest podzielna przez 125 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona przez ostatnie trzy cyfry jest podzielna przez 125.

Wszystkie powyższe cechy zostały podsumowane w formie tabeli. (Załącznik 1)

2.3 Znaki podzielności przez 7.

1) Do testów weź liczbę 5236. Zapiszmy tę liczbę w następujący sposób: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 („systematyczne » forma zapisu liczb), i wszędzie zastępujemy podstawę 10 podstawą 3); 3 3 * 5 + Z 2 * 2 + 3 * 3 + 6 \u003d 168. Jeśli wynikowa liczba jest podzielna (nie podzielna) przez 7, to ta liczba jest podzielna (nie podzielna) przez 7. Ponieważ 168 jest podzielne przez 7 , to 5236 jest podzielne przez 7. 68:7=24, 5236:7=748.

2) W tym znaku należy postępować dokładnie tak samo, jak w poprzednim, z tą tylko różnicą, że mnożenie powinno zaczynać się od skrajnej prawej strony i mnożyć nie przez 3, ale przez 5. (5236 jest dzielone przez 7, od 6 * 5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)

3) Ten znak jest trudniejszy do zaimplementowania w umyśle, ale też bardzo interesujący. Podwoić ostatnią cyfrę i odjąć drugą od prawej, podwoić wynik i dodać trzecią od prawej itd., naprzemiennie odejmowanie i dodawanie, zmniejszając każdy wynik, jeśli to możliwe, o 7 lub o wielokrotność siedmiu. Jeżeli wynik końcowy jest podzielny (niepodzielny) przez 7, to numer testu jest również podzielny (niepodzielny) przez 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7 =5.

4) Liczba jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy naprzemienna suma liczb utworzonych przez kolejne trójki cyfr danej liczby jest podzielna przez 7. Skąd wiesz, na przykład, że liczba 363862625 jest podzielna przez 7? 625-862+363=126 jest podzielne przez 7, 126:7=18, więc 363862625 jest również podzielne przez 7, 363862625:7=51980375.

5) Jeden z najstarszych znaków podzielności przez 7 jest następujący. Cyfry liczby należy brać w odwrotnej kolejności, od prawej do lewej, mnożąc pierwszą cyfrę przez 1, drugą przez 3, trzecią przez 2, czwartą przez -1, piątą przez -3, szóstą przez - 2 itd. (jeżeli liczba znaków jest większa niż 6, ciąg czynników 1, 3, 2, -1, -3, -2 należy powtarzać tyle razy, ile jest to konieczne). Powstałe produkty należy dodać. Pierwotna liczba jest podzielna przez 7, jeśli obliczona suma jest podzielna przez 7. Oto, na przykład, co ta cecha daje liczbie 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) = 14. 14: 7=2, więc liczba 5236 jest również podzielna przez 7.

6) Liczba jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy potrójna liczba dziesiątek dodana do liczby jedynek jest podzielna przez 7. Na przykład 154 jest podzielne przez 7, ponieważ 7 to liczba 49, którą otrzymujemy ta podstawa: 15 * 3 + 4 = 49.

2.4 Znak Pascala.

Wielki wkład w badanie znaków podzielności liczb wniósł francuski matematyk i fizyk B. Pascal (1623-1662). Znalazł algorytm znajdowania kryteriów podzielności dowolnej liczby całkowitej przez dowolną inną liczbę całkowitą, który opublikował w traktacie „O naturze podzielności liczb”. Prawie wszystkie znane obecnie znaki podzielności są szczególnym przypadkiem znaku Pascala: „Jeśli suma reszt przy dzieleniu liczbya cyframi na numerw podzielony przezw , to liczbaa podzielony przezw ». Wiedza o tym jest przydatna nawet dzisiaj. Jak udowodnić sformułowane powyżej kryteria podzielności (np. znane nam kryterium podzielności przez 7)? Postaram się odpowiedzieć na to pytanie. Ale najpierw ustalmy sposób pisania liczb. Aby zapisać liczbę, której cyfry są oznaczone literami, zgadzamy się na narysowanie linii nad tymi literami. Zatem abcdef będzie oznaczać liczbę mającą f jednostek, e dziesiątki, d setki itd.:

abcdef = a . 10 5 + b . 10 4 + c . 10 3 + d . 10 2 + e . 10 + fa. Teraz udowodnię sformułowany powyżej test na podzielność przez 7. Mamy:

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(pozostałe po podzieleniu przez 7).

W rezultacie otrzymujemy piątą regułę sformułowaną powyżej: aby znaleźć resztę z dzielenia liczby naturalnej przez 7, należy podpisać współczynniki (pozostałe z dzielenia) pod cyframi tej liczby od prawej do lewej: następnie należy pomnożyć każdą cyfrę przez współczynnik pod nią i dodać wynikowy produkty; znaleziona suma będzie miała taką samą resztę po podzieleniu przez 7, jak wzięta liczba.

Weźmy jako przykład liczby 4591 i 4907 i działając zgodnie z regułą znajdujemy wynik:

-1 2 3 1

4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (reszta 6) (nie podzielna przez 7)

-1 2 3 1

4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (podzielne przez 7)

W ten sposób można znaleźć kryterium podzielności przez dowolną liczbę t. Musisz tylko znaleźć, które współczynniki (pozostałości z dzielenia) powinny być podpisane pod cyframi pobranej liczby A. Aby to zrobić, musisz zastąpić każdą potęgę dziesięciu 10, jeśli to możliwe, tą samą resztą po podzieleniu przez t, jako liczba 10. Kiedy t= 3 lub t = 9, te współczynniki okazały się bardzo proste: wszystkie są równe 1. Dlatego test na podzielność przez 3 lub 9 okazał się bardzo prosty. Na t= 11, współczynniki również nie były złożone: są na przemian równe 1 i - 1. A kiedy t=7 współczynniki okazały się bardziej skomplikowane; dlatego kryterium podzielności przez 7 okazało się bardziej złożone. Po rozważeniu znaków dzielenia do 100 byłem przekonany, że najbardziej złożone współczynniki dla liczb naturalnych to 23 (z 10 23 współczynniki się powtarzają), 43 (z 10 39 współczynniki się powtarzają).

Wszystkie wymienione znaki podzielności liczb naturalnych można podzielić na 4 grupy:

1 grupa- gdy podzielność liczb określa ostatnia cyfra (mi) - są to znaki podzielności przez 2, przez 5, przez bit, przez 4, przez 8, przez 25, przez 50.

2 grupy- gdy podzielność liczb określa suma cyfr liczby, są to znaki podzielności przez 3, przez 9, przez 7, przez 37, przez 11 (1 znak).

3 grupy- gdy podzielność liczb określa się po wykonaniu pewnych czynności na cyfrach liczby, są to znaki podzielności przez 7, przez 11 (1 znak), przez 13, przez 19.

4 grupy- gdy do określenia podzielności liczby stosuje się inne znaki podzielności, są to znaki podzielności przez 6, przez 15, przez 12, przez 14.

część eksperymentalna

Głosowanie

Ankieta została przeprowadzona wśród uczniów klas VI i VII. W badaniu wzięło udział 58 uczniów gimnazjum nr 1 MOBU Karaidel okręgu MR Karaidel Republiki Białorusi. Poproszono ich o odpowiedź na następujące pytania:

Czy uważasz, że istnieją inne oznaki podzielności, inne niż te, które były przedmiotem lekcji?

Czy istnieją oznaki podzielności dla innych liczb naturalnych?

Czy chciałbyś poznać te znaki podzielności?

Czy znasz jakieś oznaki podzielności liczb naturalnych?

Wyniki ankiety wykazały, że 77% respondentów uważa, że istnieją inne oznaki podzielności, inne niż te, których uczy się w szkole; 9% nie uważa, 13% respondentów miało trudności z odpowiedzią. Na drugie pytanie „Czy chciałbyś poznać znaki podzielności dla innych liczb naturalnych?” 33% odpowiedziało twierdząco, 17% odpowiedziało „nie”, a 50% miało trudności z udzieleniem odpowiedzi. Na trzecie pytanie 100% respondentów odpowiedziało twierdząco. Na czwarte pytanie odpowiedziało twierdząco 89%, odpowiedziało "Nie" - 11% studentów, którzy wzięli udział w ankiecie podczas pracy badawczej.

Wniosek

W ten sposób w trakcie pracy rozwiązano następujące zadania:

studiował materiał teoretyczny na ten temat;

oprócz znaków znanych mi przez 2, 3, 5, 9 i 10 dowiedziałem się, że są też znaki podzielności przez 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 itd. .;

3) badał znak Pascala - uniwersalny znak podzielności przez dowolną liczbę naturalną;

Pracując z różnymi źródłami, analizując materiał znaleziony na badany temat, nabrałem przekonania, że istnieją oznaki podzielności przez inne liczby naturalne. Na przykład 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, co potwierdziło słuszność mojej hipotezy o istnieniu innych znaków podzielności liczb naturalnych. Odkryłem też, że istnieje uniwersalny znak podzielności, którego algorytm znalazł francuski matematyk Pascal Blaise i opublikował go w swoim traktacie „O naturze podzielności liczb”. Korzystając z tego algorytmu, możesz uzyskać znak podzielności przez dowolną liczbę naturalną.

Wynik prac badawczych stał się usystematyzowanym materiałem w postaci tabeli „Znaki podzielności liczb”, które można wykorzystać na lekcjach matematyki, w zajęciach pozalekcyjnych w celu przygotowania uczniów do rozwiązywania problemów olimpijskich, w przygotowaniu uczniów do OGE i Zunifikowanego Egzaminu Państwowego .

W przyszłości zamierzam kontynuować prace nad zastosowaniem znaków podzielności liczb do rozwiązywania problemów.

Lista wykorzystanych źródeł

Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka. Klasa 6: podręcznik. dla kształcenia ogólnego instytucje / - wyd. 25, ster. — M.: Mnemozina, 2009. — 288 s.

Vorobyov V.N. Znaki podzielności.-M.: Nauka, 1988.-96s.

Wygodski M.Ya. Podręcznik matematyki elementarnej. - Elista.: Dzhangar, 1995. - 416 s.

Gardner M. Wypoczynek matematyczny. / Pod. Wyd. Ya.A.Smorodinsky. - M.: Oniks, 1995. - 496 s.

Gelfman E.G., Beck E.F. i inne Sprawa podzielności i inne historie: Podręcznik matematyki do klasy 6. - Tomsk: Wydawnictwo Tom.un-ta, 1992. - 176p.

Gusiew V.A., Mordkovich AG Matematyka: ref. materiały: Książka. dla uczniów. - wyd. 2 - M .: Edukacja, 1990. - 416 s.

Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental A.V. Praca pozalekcyjna z matematyki w klasach 6-8. Moskwa.: Edukacja, 1984. - 289s.

Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. M.: Oświecenie, 1989. - 97p.

Kulanin ED Matematyka. Informator. -M.: EKSMO-Prasa, 1999-224p.

Perelman Ya.I. Zabawna algebra. M.: Triada-Litera, 1994. -199s.

Tarasow B.N. Pascala. -M.: Mol. Straż, 1982.-334s.

http://dic.academic.ru/ (Wikipedia - bezpłatna encyklopedia).

http://www.bymath.net (encyklopedia).

Załącznik 1

TABELA ZNAKÓW PODZIELNOŚCI

	znak	Przykład
	Numer kończy się liczbą parzystą.	………………2(4,6,8,0)
	Suma cyfr jest podzielna przez 3.	3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3
	Liczba jego dwóch ostatnich cyfr to zera lub podzielna przez 4.	………………12
	Numer kończy się na 5 lub 0.	………………0(5)
	Liczba kończy się cyfrą parzystą, a suma cyfr jest podzielna przez 3.	375018: 8-parzysta liczba 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3
	Wynik odjęcia dwukrotnej ostatniej cyfry od tej liczby bez ostatniej cyfry jest podzielny przez 7.	36 – (2 × 4) = 28, 28:7
	Jego ostatnie trzy cyfry liczby są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 8.	……………..064
	Suma jego cyfr jest podzielna przez 9.	3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9
	Numer kończy się na zero	………………..0
	Suma cyfr liczby z naprzemiennymi cyframi jest podzielna przez 11.	1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22
	Dwie ostatnie cyfry liczby są podzielne przez 4, a suma cyfr jest podzielna przez 3.	2+1+6=9, 9:3 i 16:4
	Liczba dziesiątek danej liczby, dodana do czterokrotności liczby jednostek, jest wielokrotnością 13.	84 + (4 × 5) = 104,
	Liczba kończy się parzystą cyfrą i gdy wynik odjęcia dwukrotnie ostatniej cyfry od tej liczby bez ostatniej cyfry jest podzielny przez 7.	364: 4 to liczba parzysta 36 – (2 × 4) = 28, 28:7
	Liczba 5 i 0 oraz suma cyfr jest podzielna przez 3.	6+3+4+8+0=21, 21:3
	Ostatnie cztery cyfry liczby to zera lub tworzą liczbę podzielną przez 16.	…………..0032
	Liczba dziesiątek danej liczby, dodana do liczby jednostek powiększonych 12 razy, jest wielokrotnością 17.	29053→2905+36=2941→294+12= 306→30+72=102→10+24=34. Ponieważ 34 jest podzielne przez 17, to 29053 jest również podzielne przez 17
	Liczba kończy się cyfrą parzystą, a suma jej cyfr jest podzielna przez 9.	2034: 4 to liczba parzysta
	Liczba dziesiątek danej liczby, dodana do dwukrotności liczby jednostek, jest wielokrotnością 19	64 + (6 × 2) = 76
	Liczba kończy się na 0, a przedostatnia cyfra jest parzysta	…………………40
	Liczba składająca się z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 25	…………….75
	Liczba jest podzielna przez 30 wtedy i tylko wtedy, gdy kończy się na 0, a suma wszystkich cyfr jest podzielna przez 3.	……………..360
	Liczba jest podzielna przez 59 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jedynek pomnożonej przez 6 jest podzielna przez 59.	Na przykład 767 jest podzielne przez 59, ponieważ 76 + 67 = 118 i 11 + 68 = 59 są podzielne przez 59.
	Liczba jest podzielna przez 79 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jedynek pomnożonej przez 8 jest podzielna przez 79.	Na przykład 711 jest podzielne przez 79, ponieważ 79 jest podzielne przez 71 + 8*1 = 79
	Liczba jest podzielna przez 99 wtedy i tylko wtedy, gdy suma liczb tworzących grupy dwóch cyfr (zaczynając od jednostek) jest podzielna przez 99.	Na przykład 12573 jest podzielne przez 99, ponieważ 1 + 25 + 73 = 99 jest podzielne przez 99.
w 125	Liczba składająca się z trzech ostatnich cyfr jest podzielna przez 125	……………375

Ciąg dalszy serii artykułów na temat znaków podzielności znak podzielności przez 3. W tym artykule najpierw podano sformułowanie kryterium podzielności przez 3 i podano przykłady zastosowania tego kryterium przy ustalaniu, które z podanych liczb całkowitych są podzielne przez 3, a które nie. Dalej podany jest dowód testu podzielności przez 3. Rozważane są również podejścia do ustalenia podzielności przez 3 liczb podanych jako wartość jakiegoś wyrażenia.

Nawigacja po stronach.

Znak podzielności przez 3, przykłady

Zacznijmy sformułowania testu podzielności przez 3: liczba całkowita jest podzielna przez 3 jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3 , jeśli suma jej cyfr nie jest podzielna przez 3 , to sama liczba nie jest podzielna przez 3 .

Z powyższego sformułowania jasno wynika, że znak podzielności przez 3 nie może być użyty bez możliwości wykonania. Ponadto, aby pomyślnie zastosować znak podzielności przez 3, musisz wiedzieć, że wszystkie liczby 3, 6 i 9 są podzielne przez 3, a liczby 1, 2, 4, 5, 7 i 8 nie są podzielne o 3.

Teraz możemy rozważyć najprostsze przykłady zastosowania testu podzielności przez 3. Dowiedz się, czy liczba −42 jest podzielna przez 3. Aby to zrobić, obliczamy sumę cyfr liczby −42, która jest równa 4+2=6. Ponieważ 6 jest podzielne przez 3, to na mocy kryterium podzielności przez 3 można argumentować, że liczba −42 jest również podzielna przez 3. Ale dodatnia liczba całkowita 71 nie jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr wynosi 7+1=8, a 8 nie jest podzielne przez 3.

Czy 0 jest podzielne przez 3? Aby odpowiedzieć na to pytanie, test na podzielność przez 3 nie jest potrzebny, tutaj musimy przypomnieć odpowiednią własność podzielności, która mówi, że zero jest podzielne przez dowolną liczbę całkowitą. Więc 0 jest podzielne przez 3 .

W niektórych przypadkach, aby wykazać, że dana liczba ma lub nie może być podzielna przez 3, test na podzielność przez 3 należy zastosować kilka razy z rzędu. Weźmy przykład.

Przykład.

Pokaż, że liczba 907444812 jest podzielna przez 3.

Decyzja.

Suma cyfr 907444812 to 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Aby sprawdzić, czy 39 jest podzielne przez 3 , obliczamy jego sumę cyfr: 3+9=12 . Aby dowiedzieć się, czy 12 jest podzielne przez 3, znajdujemy sumę cyfr liczby 12, mamy 1+2=3. Ponieważ otrzymaliśmy liczbę 3, która jest podzielna przez 3, to ze względu na znak podzielności przez 3 liczba 12 jest podzielna przez 3. Dlatego 39 jest podzielne przez 3, ponieważ suma jego cyfr wynosi 12, a 12 jest podzielne przez 3. Wreszcie, 907333812 jest podzielne przez 3, ponieważ suma jego cyfr wynosi 39, a 39 jest podzielne przez 3.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie innego przykładu.

Przykład.

Czy liczba −543205 jest podzielna przez 3?

Decyzja.

Obliczmy sumę cyfr tej liczby: 5+4+3+2+0+5=19 . Z kolei suma cyfr liczby 19 to 1+9=10 , a suma cyfr liczby 10 to 1+0=1 . Ponieważ otrzymaliśmy liczbę 1, która nie jest podzielna przez 3, z kryterium podzielności przez 3 wynika, że 10 nie jest podzielne przez 3. Dlatego 19 nie jest podzielne przez 3, ponieważ suma jego cyfr wynosi 10, a 10 nie jest podzielne przez 3. Dlatego oryginalna liczba -543205 nie jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr równa 19 nie jest podzielna przez 3.

Odpowiedź:

Nie.

Warto zauważyć, że bezpośrednie dzielenie danej liczby przez 3 pozwala również stwierdzić, czy dana liczba jest podzielna przez 3, czy nie. Chcemy przez to powiedzieć, że nie należy lekceważyć dzielenia na rzecz znaku podzielności przez 3. W ostatnim przykładzie, 543205 razy 3 , upewnilibyśmy się, że 543205 nie jest nawet podzielne przez 3 , z czego moglibyśmy powiedzieć, że −543205 również nie jest podzielne przez 3.

Dowód testu podzielności przez 3

Poniższa reprezentacja liczby a pomoże nam udowodnić znak podzielności przez 3. Dowolna liczba naturalna a możemy , po której możemy uzyskać reprezentację postaci , gdzie a n , a n−1 , ..., a 0 to cyfry od lewej do prawej w zapisie liczby a . Dla jasności podajemy przykład takiej reprezentacji: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Napiszmy teraz kilka dość oczywistych równości: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 i tak dalej.

Podstawianie na równość a=a n 10 n +a n−1 10 n−1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 zamiast 10 , 100 , 1 000 i tak dalej wyrażenia 3 3+1 , 33 3+1 , 999+1=333 3+1 i tak dalej, otrzymujemy
.

I pozwól, aby wynikowa równość została przepisana w następujący sposób:

Wyrażenie to suma cyfr a. Oznaczmy to dla zwięzłości i wygody literą A, czyli weźmy . Następnie otrzymujemy reprezentację liczby a postaci , której użyjemy do udowodnienia testu podzielności przez 3 .

Ponadto, aby udowodnić test na podzielność przez 3, potrzebujemy następujących własności podzielności:

że liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b jest konieczne i wystarczające, aby a jest podzielne przez moduł b;
jeśli w równości a=s+t wszystkie wyrazy, z wyjątkiem jednego, są podzielne przez jakąś liczbę całkowitą b, to ten wyraz jest również podzielny przez b.

Teraz jesteśmy w pełni przygotowani i możemy wykonać dowód podzielności przez 3 dla wygody formułujemy tę cechę jako warunek konieczny i wystarczający podzielności przez 3 .

Twierdzenie.

Aby liczba całkowita a była podzielna przez 3, konieczne i wystarczające jest, aby suma jej cyfr była podzielna przez 3.

Dowód.

Do a=0 twierdzenie jest oczywiste.

Jeśli a jest różne od zera, to moduł a jest liczbą naturalną, wtedy reprezentacja jest możliwa, gdzie jest sumą cyfr liczby a.

Ponieważ suma i iloczyn liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, to jest liczbą całkowitą, to z definicji podzielności iloczyn jest podzielny przez 3 dla dowolnego a 0 , a 1 , …, an .

Jeżeli suma cyfr liczby a jest podzielna przez 3, to znaczy A jest podzielna przez 3, to ze względu na właściwość podzielności wskazaną przed twierdzeniem jest podzielna przez 3, a zatem a jest podzielne przez 3. To dowodzi wystarczalności.

Jeśli a jest podzielne przez 3, to jest podzielne przez 3, a następnie ze względu na tę samą własność podzielności liczba A jest podzielna przez 3, czyli suma cyfr liczby a jest podzielna przez 3. To dowodzi konieczności.

Inne przypadki podzielności przez 3

Czasami liczby całkowite nie są podawane wprost, ale jako wartość określonej wartości zmiennej. Na przykład wartość wyrażenia dla pewnego naturalnego n jest liczbą naturalną. Oczywiste jest, że przy takim zestawieniu liczb dzielenie bezpośrednie przez 3 nie pomoże w ustaleniu ich podzielności przez 3, a znak podzielności przez 3 nie zawsze będzie mógł być zastosowany. Teraz rozważymy kilka podejść do rozwiązania takich problemów.

Istotą tych podejść jest przedstawienie oryginalnego wyrażenia jako iloczynu kilku czynników, a jeśli przynajmniej jeden z czynników jest podzielny przez 3, to dzięki odpowiedniej własności podzielności będzie można wnioskować, że całość produkt jest podzielny przez 3.

Czasami takie podejście pozwala na wdrożenie. Rozważmy przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Czy wartość wyrażenia jest podzielna przez 3 dla dowolnego naturalnego n ?

Decyzja.

Równość jest oczywista. Wykorzystajmy wzór dwumianowy Newtona:

W ostatnim wyrażeniu możemy wziąć 3 z nawiasów i otrzymamy . Otrzymany iloczyn jest podzielny przez 3, ponieważ zawiera czynnik 3, a wartość wyrażenia w nawiasie dla naturalnego n jest liczbą naturalną. Dlatego jest podzielna przez 3 dla dowolnego naturalnego n.

Odpowiedź:

Tak.

W wielu przypadkach udowodnienie podzielności przez 3 pozwala . Przeanalizujmy jego zastosowanie w rozwiązaniu przykładu.

Przykład.

Wykazać, że dla dowolnego naturalnego n wartość wyrażenia jest podzielna przez 3 .

Decyzja.

Jako dowód posługujemy się metodą indukcji matematycznej.

Na n=1 wartość wyrażenia to , a 6 jest podzielne przez 3 .

Załóżmy, że wartość wyrażenia jest podzielna przez 3, gdy n=k , czyli podzielna przez 3 .

Biorąc pod uwagę, że jest podzielne przez 3 , pokażemy, że wartość wyrażenia dla n=k+1 jest podzielna przez 3 , czyli pokażemy, że jest podzielna przez 3.

Są znaki, dzięki którym można czasem łatwo stwierdzić, bez faktycznego dzielenia, czy dana liczba jest podzielna, czy nie jest podzielna przez inne liczby.

Liczby podzielne przez 2 są nazywane parzysty. Liczba zero jest również liczbą parzystą. Wszystkie inne numery są nazywane dziwne:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - parzyste,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... są dziwne.

Oznaki podzielności

Znak podzielności przez 2. Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra jest parzysta. Na przykład liczba 4376 jest podzielna przez 2, ponieważ ostatnia cyfra (6) jest parzysta.

Znak podzielności przez 3. Tylko te liczby są podzielne przez 3, których suma cyfr jest podzielna przez 3. Na przykład liczba 10815 jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 jest podzielna przez 3.

Znaki podzielności przez 4. Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 4. Na przykład liczba 244500 jest podzielna przez 4, ponieważ kończy się dwoma zerami. Liczby 14708 i 7524 są podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tych liczb (08 i 24) są podzielne przez 4.

Znaki podzielności przez 5. Liczby kończące się na 0 lub 5 są podzielne przez 5. Na przykład liczba 320 jest podzielna przez 5, ponieważ ostatnia cyfra to 0.

Znak podzielności przez 6. Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest podzielna przez 2 i 3. Na przykład liczba 912 jest podzielna przez 6, ponieważ jest podzielna przez 2 i 3.

Znaki podzielności przez 8. Podzielna przez 8 to te liczby, w których ostatnie trzy cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 8. Na przykład liczba 27000 jest podzielna przez 8, ponieważ kończy się trzema zerami. Liczba 63128 jest podzielna przez 8, ponieważ ostatnie trzy cyfry tworzą liczbę (128), która jest podzielna przez 8.

Znak podzielności przez 9. Tylko te liczby, których suma cyfr jest podzielna przez 9, są podzielne przez 9. Na przykład liczba 2637 jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr 2 + 6 + 3 + 7 = 18 jest podzielna przez 9.

Znaki podzielności przez 10, 100, 1000 itd. 10, 100, 1000 i tak dalej są podzielne przez te liczby, które kończą się odpowiednio jednym zerem, dwoma zerami, trzema zerami i tak dalej. Na przykład liczba 3800 jest podzielna przez 10 i 100.

Nadal badamy oznaki podzielności. Ten artykuł został zdemontowany podzielność przez 4 znak. W pierwszej kolejności podano jej sformułowanie oraz przykłady użycia. Dowód testu podzielności przez 4 jest pokazany dalej. Podsumowując, rozważane są podejścia, które pozwalają udowodnić podzielność przez 4 liczb podanych jako wartość wyrażenia dosłownego.

Nawigacja po stronach.

Znak podzielności przez 4, przykłady

Aby sprawdzić, czy dane jest podzielne przez 4, najprościej jest dokonać dzielenia bezpośrednio, z liczb jednocyfrowych tylko 4 i 8 są podzielne przez 4. Dzielenie dwucyfrowej liczby naturalnej przez 4 również nie jest trudne (nawet przy dzieleniu ustnym). Na przykład 24 jest podzielne przez 4 bez reszty, ponieważ 24:4=6, a 83 nie jest podzielne przez 4, ponieważ 83:4=20 (reszta 3) (jeśli to konieczne, zobacz artykuły i). Ale im więcej cyfr zawiera liczba, tym bardziej „nieprzyjemne” jest dzielenie.

Dla prostszego sprawdzenia podzielności danej liczby wielocyfrowej istnieje podzielność przez 4 znak, co ogranicza badanie danej liczby a pod kątem jej podzielności przez 4 do testu podzielności liczby jednocyfrowej lub dwucyfrowej. Przedstawiamy sformułowanie tej cechy. Liczba całkowita a jest podzielna przez 4, jeśli liczba złożona z dwóch ostatnich cyfr w zapisie liczby a (w ich kolejności) jest podzielna przez 4 ; jeśli złożona liczba nie jest podzielna przez 4, to liczba a nie jest podzielna przez 4.

Rozważać przykłady zastosowania testu podzielności przez 4.

Przykład.

Które z liczb -98028, 7612 i 999888777 są podzielne przez 4?

Decyzja.

Użyjmy znaku podzielności przez 4.

Dwie ostatnie cyfry -98028 dają liczbę 28, ponieważ 28 jest podzielne przez 4 (28:4=7), to liczba -98028 jest również podzielna przez 4.

Ostatnie dwie cyfry 7612 to 12, a 12 jest podzielne przez 4 (12:4=3), więc 7612 jest podzielne przez 4.

Wreszcie dwie ostatnie cyfry liczby 999 888 777 dają liczbę 77, ponieważ 77 nie jest podzielne przez 4 (77:4=19 (poz.1)), to pierwotna liczba również nie jest podzielna przez 4.

Odpowiedź:

-98028 i 7612 .

A jak zastosować znak podzielności przez 4, jeśli dwie ostatnie cyfry we wpisie liczby to np. 01 , 02 , 03 , ..., 09 ? W takich przypadkach liczba 0 po lewej stronie musi zostać odrzucona, po czym pozostanie jednocyfrowa liczba 1, 2, 3, ..., 9.

Przykład.

Czy liczby 75003 i −88108 są podzielne przez 4?

Decyzja.

Spójrzmy na dwie ostatnie cyfry w rekordzie liczby 75 003 - widzimy 03, odrzucamy zero po lewej stronie i mamy numer 3. Ponieważ 3 nie jest podzielne przez 4, to na podstawie podzielności przez 4 możemy wywnioskować, że 75.003 nie jest podzielne przez 4.

Podobnie dwie ostatnie cyfry w zapisie liczby -88108 tworzą liczbę 8, a ponieważ 8 jest podzielne przez 4, to liczba -88108 jest również podzielna przez 4.

Odpowiedź:

75003 nie jest podzielna przez 4, ale −88108 jest.

Osobno trzeba powiedzieć o liczbach, których dwie kolejne cyfry (lub więcej) to zera po prawej stronie. Podajmy przykłady takich liczb: 100 , 893 900 , 40 000 , 373 002 000 itd. Takie liczby są podzielne przez 4. Udowodnijmy to.

Liczba 100 jest podzielna przez 4. Rzeczywiście, 100:4=25. pozwala reprezentować dowolną inną liczbę całkowitą a, której zapis kończy się dwoma zerami, jako iloczyn a 1 100, gdzie liczba a 1 jest otrzymywana z liczby a, jeśli dwa zera są odrzucane w jej zapisie po prawej stronie. Na przykład 588 300=5 883 100 i 30 000=300 100 . Iloczyn a 1 100 jest podzielny przez 4, ponieważ zawiera czynnik 100, który jest podzielny przez 4 (patrz właściwości podzielności). Udowodniono więc, że każda liczba całkowita, w zapisie której są dwa zera po prawej stronie, jest podzielna przez 4.

Dowód testu podzielności przez 4

Aby udowodnić test na podzielność przez 4, potrzebujemy następującej reprezentacji liczby naturalnej a. Dowolna liczba naturalna a może być reprezentowana jako a=a 1 100+a 0 , gdzie liczba a 1 jest otrzymywana z liczby a jeśli dwie ostatnie cyfry są usuwane z jej zapisu, a liczba a 0 odpowiada dwóm ostatnim w zapisie liczby a . Na przykład 5431=54 100+31 . Jeśli liczba a jest jednocyfrowa lub dwucyfrowa, to a=a 0 .

Potrzebujemy również dwóch własności podzielności:

aby liczba całkowita a była podzielna przez liczbę całkowitą b konieczne i wystarczające jest, aby moduł a był podzielny przez moduł b;
jeśli w równości a=s+t wszystkie wyrazy, z wyjątkiem jednego, są podzielne przez jakąś liczbę całkowitą b, to ten wyraz jest również podzielny przez b.

Teraz możesz przynieść dowód testu podzielności przez 4, którą najpierw przeformułujemy jako konieczny i wystarczający warunek podzielności przez 4 .

Twierdzenie.

Aby liczba całkowita a była podzielna przez 4, konieczne i wystarczające jest, aby liczba odpowiadająca dwóm ostatnim cyfrom w zapisie liczby a była podzielna przez 4.

Dowód.

Do a=0 twierdzenie jest oczywiste.

Dla pozostałych liczb całkowitych a a jest liczbą dodatnią i można ją przedstawić jako , jak powiedzieliśmy przed twierdzeniem.

Na końcu pierwszego akapitu tego artykułu pokazaliśmy, że iloczyn a 1 ·100 jest zawsze podzielny przez 4 . Jeśli weźmiemy pod uwagę również własności podzielności podane przed twierdzeniem, to dochodzimy do następujących wniosków.

Jeśli numer a jest podzielne przez 4, to moduł liczby a jest również podzielny przez 4, to z równości wynika podzielność liczby a 0 . To dowodzi konieczności.

Z drugiej strony podzielność przez 4 z a 0 przez 4 i równość implikuje podzielność przez 4 moduły a, co implikuje podzielność przez 4 samej liczby a. To dowodzi wystarczalności.

Inne przypadki podzielności przez 4

Czasami wymagane jest sprawdzenie podzielności przez 4 liczby całkowitej, która jest podawana jako wartość jakiegoś wyrażenia. W takich przypadkach bezpośredni podział nie jest możliwy. Również użycie znaku podzielności przez 4 nie zawsze jest możliwe. Jak być w takich przypadkach?

Główną ideą jest sprowadzenie pierwotnego wyrażenia do iloczynu kilku czynników, z których jeden jest podzielny przez 4 . W takim przypadku, na podstawie odpowiedniej własności podzielności, będzie można stwierdzić, że pierwotne wyrażenie jest podzielne przez 4.

Czasami taki pomysł pomaga. Weźmy przykład dla wyjaśnienia.

Przykład.

Czy wartość wyrażenia jest podzielna przez 4 dla jakiegoś naturalnego n ?

Decyzja.

Reprezentujmy 9 jako 8+1 , po czym użyjemy wzoru dwumianowego Newtona:

Otrzymany iloczyn jest podzielny przez 4, ponieważ zawiera czynnik 4, a wyrażenie w nawiasach jest liczbą naturalną. Stąd,

Odpowiedź:

Tak.

Dość często można dowieść podzielności przez 4 jakiegoś wyrażenia. Pokażemy, jak to się robi, korzystając z warunku z poprzedniego przykładu.

Przykład.

Udowodnij to jest podzielna przez 4 dla dowolnej naturalnej n.

Decyzja.

Pokażmy, że dla n=1 wartość wyrażenia jest podzielna przez 4. Mamy , a 4 jest podzielne przez 4 .

Udawajmy, że jest podzielna przez 4 dla n=k , czyli założymy, że jest podzielna przez 4 .

W tym artykule szczegółowo omówiono test na podzielność przez 2. Najpierw podano jego sformułowanie, a następnie podano przykłady jego zastosowania w ustaleniu, które z liczb całkowitych są podzielne przez dwa. Dowód testu na podzielność przez 2 jest pokazany dalej. Podsumowując, rozważane są alternatywne metody, które pozwalają ustalić podzielność przez 2 liczb podanych jako wartości niektórych wyrażeń.

Nawigacja po stronach.

Znak podzielności przez 2, przykłady

Sformułowanie testu podzielności przez 2 jest następująca: jeżeli rekord kończy się jedną z cyfr 0, 2, 4, 6, 8, to liczba ta jest podzielna przez 2, jeżeli rekord liczby całkowitej kończy się jedną z cyfr 1, 3, 5, 7 lub 9, to taka liczba nie jest podzielna 2 bez śladu.

Zwróć uwagę, że wyrażony znak podzielności przez 2 umożliwia sprawdzenie zarówno dodatnich liczb całkowitych () jak i ujemnych liczb całkowitych pod kątem ich zdolności do dzielenia przez 2 bez reszty.

Teraz możesz rozważyć przykłady użycia znaku podzielności przez 2.

Przykład.

Które z podanych liczb 8 , -946 , 53 , 10 900 , -988 123 761 są podzielne przez 2 ?

Decyzja.

Niewątpliwie każdą z tych liczb można podzielić przez 2 (np. robiąc), z czego będzie widać, czy liczba jest podzielna przez 2 bez reszty czy z resztą. Jednak znak podzielności przez 2 pozwala znacznie szybciej odpowiedzieć na pytanie dotyczące problemu.

Ponieważ liczby 8 , -946 , 10900 kończą się odpowiednio cyframi 8 , 6 i 0, są one podzielne przez 2 bez reszty. Z kolei liczby 53 i -988 123 761 nie są podzielne przez 2, ponieważ kończą się odpowiednio na 3 i 1.

Odpowiedź:

8, -946 i 10900 są podzielne przez 2, natomiast 53 i -988123761 nie są podzielne przez 2.

Teraz możesz rozważyć dowód testu podzielności przez 2. Dla wygody przeformułujemy test podzielności przez 2, wyrażony w pierwszym akapicie tego artykułu, w postaci warunku koniecznego i wystarczającego na podzielność liczby całkowitej przez 2 i udowodnijmy to.

Twierdzenie.

Aby liczba całkowita a była podzielna przez 2, konieczne i wystarczające jest, aby ostatnia cyfra w a wynosiła 0 , 2 , 4 , 6 lub 8 .

Dowód.

Numer a zawsze można przedstawić jako sumę liczby całkowitej dziesiątek i liczby jednostek, czyli w postaci a=a 1 10+a 0, gdzie a 1 jest liczbą otrzymaną z liczby a, jeśli ostatnia cyfra jest usuwana z jej wpisu, a 0 jest liczbą odpowiadającą ostatniej cyfrze w zapisie liczby a (dla wyjaśnienia podamy przykłady takich reprezentacji: 46=4 10+6 , 24 328=2 432 10 +8 ). W równości a=a 1 ·10+a 0 iloczyn a 1 ·10 jest zawsze podzielny przez 2, co pokazaliśmy przed tym twierdzeniem.

Cały dalszy dowód opiera się na następującej własności podzielności: jeśli dwie z trzech liczb całkowitych w równości t=u+v są podzielne przez pewną liczbę całkowitą z , to trzecia liczba również jest podzielna przez z .

Jeśli a jest podzielne przez 2, to z podanej własności podzielności i reprezentacji a=a 1 ·10+a 0 wynika, że a 0 jest podzielne przez 2, a jest to możliwe tylko dla a 0 równego 0 , 2 , 4 , 6 lub 8 . Jeśli a nie jest podzielne przez 2, to znowu, ze względu na wskazaną właściwość podzielności, liczba a 0 nie może być podzielna przez 2 (w przeciwnym razie a byłoby podzielne przez 2), a jest to możliwe tylko wtedy, gdy 0 jest równe 1 , 3, 5, 7 lub 9 . To dowodzi konieczności.

Teraz z powrotem. Jeśli liczba a kończy się jedną z cyfr 0 , 2 , 4 , 6 lub 8 , to 0 jest podzielne przez 2 . Zatem ze względu na określoną własność podzielności i reprezentacji a=a 1 ·10+a 0 możemy wnioskować, że liczba a jest podzielna przez 2. Jeśli a kończy się jedną z cyfr 1 , 3 , 5 , 7 lub 9 , to 0 nie jest podzielne przez 2 , więc a także nie jest podzielne przez 2 . W przeciwnym razie, ze względu na wskazaną własność podzielności i reprezentacji a=a 1 ·10+a 0, liczba a 0 byłaby podzielna przez 2, co jest niemożliwe. To dowodzi wystarczalności.

Na zakończenie tego akapitu zauważamy, że liczby, których wpisy kończą się cyframi 1, 3, 5, 7 lub 9, podzielone przez 2, zawsze dają resztę z 1.

Inne przypadki podzielności przez 2

W tym akapicie chcemy poruszyć przypadki, w których liczba całkowita jest podana nie wprost, ale jako pewna wartość i konieczne jest ustalenie, czy dana liczba jest podzielna przez 2, czy nie. Zwykle w takich przypadkach znak podzielności przez 2 nie pomaga, nie można też dokonać bezpośredniego podziału. Dlatego konieczne jest poszukanie innych rozwiązań.

Jedno z podejść do rozwiązania takich problemów sugeruje następującą własność podzielności: jeśli przynajmniej jeden z czynników w iloczynie liczb całkowitych jest podzielny przez podaną liczbę, to cały iloczyn jest podzielny przez tę liczbę. Tak więc, jeśli przedstawimy oryginalne wyrażenie dosłowne jako iloczyn kilku czynników, z których jeden będzie podzielny przez 2, to udowodni to podzielność oryginalnej liczby 2.

Czasami pomaga przedstawienie oryginalnego wyrażenia jako iloczynu kilku czynników. Rozważmy przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Czy wartość wyrażenia obliczona dla pewnego naturalnego n jest podzielna przez 2 ?

Decyzja.

Równość jest oczywista. Teraz używamy wzoru dwumianowego Newtona, po czym upraszczamy wynikowe wyrażenie:

W ostatnim wyrażeniu z nawiasów można wyjąć 2, w wyniku czego mamy równość . Dla każdego naturalnego n, jego prawa strona jest podzielna przez 2, ponieważ zawiera czynnik 2, dlatego lewa strona równości jest podzielna przez 2.

Odpowiedź:

Tak, jest udostępniany.

W wielu przypadkach, aby udowodnić podzielność przez 2. Weźmy wyrażenie z poprzedniego przykładu i udowodnijmy przez indukcję matematyczną, że dla każdego naturalnego n jego wartość jest podzielna przez 2 .

Przykład.

Wykazać, że wartość wyrażenia dla dowolnego naturalnego n jest podzielna przez 2 .

Decyzja.

Wykorzystajmy metodę indukcji matematycznej.

Najpierw pokażmy, że wartość wyrażenia jest podzielna przez 2, gdy n=1 . Mamy , a 6 jest oczywiście podzielne przez 2 .

Po drugie, załóżmy, że wartość wyrażenia jest podzielna przez 2, gdy n=k , czyli - jest podzielna przez 2 .

Po trzecie, na podstawie tego, co jest podzielne przez 2 , udowodnimy, że wartość wyrażenia jest podzielna przez 2 dla n=k+1 . Oznacza to, że udowodnimy, że jest podzielna przez 2 biorąc pod uwagę, że jest podzielna przez 2 .

W tym celu wykonaj następujące przekształcenia: . Wyrażenie jest podzielne przez 2, ponieważ jest podzielne przez 2, wyrażenie jest również podzielne przez 2, ponieważ zawiera czynnik 2, dlatego ze względu na właściwości podzielności różnica tych wyrażeń jest również podzielna przez 2.

Dowodzi to, że dla dowolnego naturalnego n wartość wyrażenia jest podzielna przez 2.

Oddzielnie należy powiedzieć, że jeśli w produkcie występują dwie liczby, które następują po sobie, to taki produkt jest podzielny przez 2. Na przykład iloczyn liczb całkowitych postaci (n+7) (n−1) (n +2) (n+6) jest podzielny przez 2 dla dowolnego naturalnego n, ponieważ zawiera dwie kolejne liczby z naturalnego ciągu liczb (są to liczby n+6 i n+7), a jedna z nich jest koniecznie podzielna przez 2 dla dowolnego naturalnego n .

Podobnie, jeśli w iloczynie występują dwa czynniki, między którymi występuje parzysta liczba członków szeregu naturalnego, to taki iloczyn jest podzielny przez 2. Na przykład wartość wyrażenia (n+1) (n+6) dla dowolnego naturalnego n jest podzielna przez 2, ponieważ między liczbami naturalnymi n+1 i n+6 jest liczba parzysta: n+2 , n+3 , n+ 4 i n+5 .

Podsumujmy informacje z dwóch poprzednich akapitów. Jeśli pokażemy, że wartość jakiegoś wyrażenia jest podzielna przez 2 w lub n+3 jest koniecznie podzielna przez 2 , zatem iloczyn (n+2) 2 ·(n+3) jest podzielny przez 2 , stąd wartość oryginału wyrażenie jest podzielne przez 2 .

Podajmy bardziej rygorystyczny dowód.

Na n=2 m mamy . To wyrażenie jest podzielne przez 2, ponieważ zawiera czynnik 4, który jest podzielny przez 2 .

Na n=2 m+1 mamy . Otrzymany iloczyn jest podzielny przez 2, ponieważ zawiera czynnik 2.

To dowodzi, że n 3 +7 n 2 +16 n+12=(n+2) 2 (n+3) jest podzielna przez 2 dla dowolnej naturalnej n.

Bibliografia.

Vilenkin N.Ya. itd. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych.
Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
Michelowicz Sz.Kh. Teoria liczb.
Kulikov L.Ya. i inne Zbiór zadań z algebry i teorii liczb: Podręcznik dla studentów fiz.-mat. specjalności instytutów pedagogicznych.