Bardzo często licznik i mianownik ułamka są wyrażeniami algebraicznymi, które należy najpierw rozłożyć na czynniki, a następnie, znajdując to samo wśród nich, podzielić na nie zarówno licznik, jak i mianownik, czyli zmniejszyć ułamek. Cały rozdział podręcznika do algebry w 7 klasie poświęcony jest zadaniu rozkładania na czynniki wielomianu. Faktoring można zrobić 3 sposoby, a także połączenie tych metod.
1. Zastosowanie skróconych wzorów mnożenia
Jak wiadomo pomnóż wielomian przez wielomian, musisz pomnożyć każdy składnik jednego wielomianu przez każdy składnik drugiego wielomianu i dodać otrzymane iloczyny. Istnieje co najmniej 7 (siedem) powszechnych przypadków mnożenia wielomianów, które są zawarte w pojęciu. Na przykład,
Tabela 1. Faktoryzacja w pierwszy sposób
2. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasu
Ta metoda opiera się na zastosowaniu rozdzielczego prawa mnożenia. Na przykład,
Każdy wyraz pierwotnego wyrażenia dzielimy przez czynnik, który wyjmujemy, a jednocześnie otrzymujemy wyrażenie w nawiasach (czyli wynik dzielenia tego, co było przez to, co wyjmujemy, pozostaje w nawiasach). Przede wszystkim potrzebujesz poprawnie określić mnożnik, który musi być umieszczony w nawiasach.
Wielomian w nawiasach może być również wspólnym czynnikiem:
Podczas wykonywania zadania „faktoryzowania” należy szczególnie uważać na znaki podczas wyjmowania wspólnego czynnika z nawiasów. Aby zmienić znak każdego terminu w nawiasie (b-a), usuwamy czynnik wspólny -1 , a każdy termin w nawiasie dzieli się przez -1: (b - a) = - (a - b) .
W przypadku, gdy wyrażenie w nawiasach jest podniesione do kwadratu (lub do dowolnej parzystej potęgi), wtedy Liczby w nawiasach można zamieniać całkowicie za darmo, ponieważ minusy wyjęte z nawiasów nadal zamieniają się w plus po pomnożeniu: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 i tak dalej…
3. Metoda grupowania
Czasami nie wszystkie terminy w wyrażeniu mają wspólny czynnik, ale tylko niektóre. Wtedy możesz spróbować warunki grupowe w nawiasach, aby z każdego z nich można było wyliczyć jakiś czynnik. Metoda grupowania to podwójne nawiasy wspólnych czynników.
4. Używając kilku metod jednocześnie
Czasami trzeba zastosować nie jeden, ale kilka sposobów na faktoryzację wielomianu na czynniki naraz.
To jest streszczenie na ten temat. "Faktoryzacja". Wybierz kolejne kroki:
- Przejdź do następnego streszczenia:
W tej lekcji przypomnimy sobie wszystkie wcześniej badane metody rozkładania wielomianu na czynniki i rozważymy przykłady ich zastosowania, ponadto przestudiujemy nową metodę - metodę pełnego kwadratu i nauczymy się ją stosować w rozwiązywaniu różnych problemów.
Temat:Rozkładanie wielomianów na czynniki
Lekcja:Faktoryzacja wielomianów. Pełnokwadratowa metoda selekcji. Połączenie metod
Przypomnij sobie główne metody rozkładania wielomianu na czynniki, które były badane wcześniej:
Metoda wyciągania z nawiasów czynnika wspólnego, czyli czynnika, który występuje we wszystkich elementach wielomianu. Rozważ przykład:
Przypomnij sobie, że jednomian jest iloczynem potęg i liczb. W naszym przykładzie oba elementy mają wspólne, identyczne elementy.
Wyjmijmy więc wspólny czynnik z nawiasów:
;
Przypomnijmy, że mnożąc wyrenderowany mnożnik przez nawias można sprawdzić poprawność renderowania.
metoda grupowania. Nie zawsze jest możliwe usunięcie wspólnego czynnika z wielomianu. W tym przypadku należy podzielić jej członków na grupy w taki sposób, aby w każdej grupie można było wyliczyć wspólny czynnik i spróbować go rozbić tak, aby po usunięciu czynników w grupach pojawił się wspólny czynnik dla cała ekspresja i ekspansja może być kontynuowana. Rozważ przykład:
Pogrupuj pierwszy termin z czwartym, drugi z piątym, a trzeci z szóstym:
Wyjmijmy wspólne czynniki w grupach:
Wyrażenie ma wspólny czynnik. Wyjmijmy to:
Zastosowanie skróconych wzorów mnożenia. Rozważ przykład:
;
Napiszmy szczegółowo wyrażenie:
Oczywiście mamy przed sobą wzór na kwadrat różnicy, ponieważ jest suma kwadratów dwóch wyrażeń i odejmuje się ich iloczyn podwójny. Rzućmy według wzoru:
Dziś poznamy inny sposób - metodę pełnego zaznaczania kwadratów. Opiera się na formułach kwadratu sumy i kwadratu różnicy. Przypomnij je:
Wzór na kwadrat sumy (różnicy);
Osobliwością tych formuł jest to, że zawierają kwadraty dwóch wyrażeń i ich podwójny iloczyn. Rozważ przykład:
Napiszmy wyrażenie:
Tak więc pierwsze wyrażenie to , a drugie .
Aby stworzyć wzór na kwadrat sumy lub różnicy, iloczyn podwójny wyrażeń nie wystarczy. Należy go dodać i odjąć:
Zwińmy cały kwadrat sumy:
Przekształćmy wynikowe wyrażenie:
Stosujemy wzór różnicy kwadratów, pamiętajmy, że różnica kwadratów dwóch wyrażeń to iloczyn, a sumy przez ich różnicę:
Tak więc metoda ta polega przede wszystkim na tym, że konieczne jest zidentyfikowanie wyrażeń a i b, które są podniesione do kwadratu, to znaczy określenie, które wyrażenia są podniesione do kwadratu w tym przykładzie. Następnie musisz sprawdzić obecność podwójnego produktu, a jeśli go tam nie ma, dodaj go i odejmij, nie zmieni to znaczenia przykładu, ale wielomian można rozłożyć na czynniki za pomocą wzorów na kwadrat sumy lub różnicy i różnicy kwadratów, jeśli to możliwe.
Przejdźmy do rozwiązywania przykładów.
Przykład 1 - faktoryzacja:
Znajdź wyrażenia, które są do kwadratu:
Napiszmy jaki powinien być ich podwójny produkt:
Dodajmy i odejmijmy iloczyn podwójny:
Zwińmy cały kwadrat sumy i podajmy podobne:
Napiszemy według wzoru różnicy kwadratów:
Przykład 2 - rozwiąż równanie:
;
Po lewej stronie równania znajduje się trójmian. Musisz to rozłożyć na czynniki. Używamy wzoru na kwadrat różnicy:
Mamy kwadrat pierwszego wyrażenia i iloczyn podwójny, brakuje kwadratu drugiego wyrażenia, dodajmy i odejmijmy:
Zwińmy pełny kwadrat i podajmy podobne wyrażenia:
Zastosujmy wzór różnicy kwadratów:
Więc mamy równanie 
Wiemy, że iloczyn jest równy zero tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Na tej podstawie napiszemy równania:
Rozwiążmy pierwsze równanie:
Rozwiążmy drugie równanie:
Odpowiedź: lub
;
Postępujemy podobnie jak w poprzednim przykładzie - wybieramy kwadrat różnicy.
Faktoryzacja wielomianów jest identyczną transformacją, w wyniku której wielomian przekształca się w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub jednomianów.
Istnieje kilka sposobów rozkładania wielomianów na czynniki.
Metoda 1. Bracketing wspólnego czynnika.
Ta transformacja opiera się na rozdzielczym prawie mnożenia: ac + bc = c(a + b). Istotą transformacji jest wyodrębnienie wspólnego czynnika w dwóch rozważanych składowych i „wyrzucenie” go z nawiasów.
Rozliczmy wielomian 28x 3 - 35x 4.
Rozwiązanie.
1. Znajdujemy wspólny dzielnik dla elementów 28x3 i 35x4. Dla 28 i 35 będzie to 7; dla x 3 i x 4 - x 3. Innymi słowy, nasz wspólny czynnik to 7x3.
2. Każdy z elementów reprezentujemy jako iloczyn czynników, z których jeden:
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.
3. Wzięcie w nawias wspólnego czynnika
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).
Metoda 2. Korzystanie ze skróconych wzorów mnożenia. „Opanowaniem” opanowania tej metody jest dostrzeżenie w wyrażeniu jednej z formuł na skrócone mnożenie.
Rozłóżmy na czynniki wielomian x 6 - 1.
Rozwiązanie.
1. Do tego wyrażenia możemy zastosować wzór różnicy kwadratów. Aby to zrobić, reprezentujemy x 6 jako (x 3) 2, a 1 jako 1 2, tj. 1. Wyrażenie przybierze postać:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).
2. Do otrzymanego wyrażenia możemy zastosować wzór na sumę i różnicę sześcianów:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Więc,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Metoda 3. Grupowanie. Metoda grupowania polega na łączeniu składowych wielomianu w taki sposób, aby można było na nich łatwo wykonywać operacje (dodawanie, odejmowanie, odejmowanie wspólnego czynnika).
Faktoryzujemy wielomian x 3 - 3x 2 + 5x - 15.
Rozwiązanie.
1. Pogrupuj elementy w ten sposób: 1. z 2., a 3. z 4.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).
2. W otrzymanym wyrażeniu bierzemy wspólne czynniki z nawiasów: x 2 w pierwszym przypadku i 5 w drugim.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).
3. Wyciągamy wspólny dzielnik x - 3 i otrzymujemy:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).
Więc,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Naprawmy materiał.
Rozkład wielomianu na czynniki a 2 - 7ab + 12b 2 .
Rozwiązanie.
1. Reprezentujemy jednomian 7ab jako sumę 3ab + 4ab. Wyrażenie przyjmie postać:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 . 
Otwórzmy nawiasy i zdobądźmy:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .
2. Pogrupuj składniki wielomianu w ten sposób: 1. z 2. i 3. z 4.. Otrzymujemy:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).
3. Wyjmijmy wspólne czynniki:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).
4. Wyjmijmy wspólny czynnik (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) (a – 4b).
Więc,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (a – 3 b) (a – 4b).
strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Co zrobić, jeśli w trakcie rozwiązywania problemu z Jednolitego Egzaminu Państwowego lub na egzaminie wstępnym z matematyki otrzymałeś wielomian, którego nie można rozliczyć standardowymi metodami, których nauczyłeś się w szkole? W tym artykule korepetytor z matematyki opowie o jednym skutecznym sposobie, którego studiowanie wykracza poza ramy szkolnego programu nauczania, ale za pomocą którego nie będzie trudno rozłożyć wielomian. Przeczytaj ten artykuł do końca i obejrzyj załączony samouczek wideo. Zdobyta wiedza pomoże Ci na egzaminie.
Rozkładanie wielomianu na czynniki metodą dzielenia
W przypadku, gdy otrzymałeś wielomian większy niż drugi stopień i byłeś w stanie odgadnąć wartość zmiennej, przy której ten wielomian staje się równy zero (na przykład ta wartość jest równa), wiedz! Ten wielomian można podzielić bez reszty przez .
Na przykład łatwo zauważyć, że wielomian czwartego stopnia znika w . Oznacza to, że można go podzielić przez bez reszty, uzyskując w ten sposób wielomian trzeciego stopnia (mniej niż jeden). Oznacza to, że umieść to w formie:
gdzie A, B, C oraz D- kilka liczb. Rozwińmy nawiasy:
Ponieważ współczynniki przy tych samych potęgach muszą być takie same, otrzymujemy:
Więc dostaliśmy:
Pójść dalej. Wystarczy posortować kilka małych liczb całkowitych, aby zobaczyć, że wielomian trzeciego stopnia jest ponownie podzielny przez . Daje to wielomian drugiego stopnia (mniej niż jeden). Następnie przechodzimy do nowego rekordu:
gdzie mi, F oraz G- kilka liczb. Otwierając ponownie nawiasy, dochodzimy do następującego wyrażenia:
Ponownie, z warunku równości współczynników przy tych samych potęgach otrzymujemy:
Następnie otrzymujemy:
Oznacza to, że oryginalny wielomian można rozłożyć na czynniki w następujący sposób:
Zasadniczo, w razie potrzeby, wykorzystując wzór różnicy kwadratów, wynik można również przedstawić w następującej postaci:
Oto prosty i skuteczny sposób rozkładania wielomianów na czynniki. Pamiętaj o tym, może się przydać na egzaminie lub olimpiadzie matematycznej. Sprawdź, czy nauczyłeś się korzystać z tej metody. Spróbuj sam rozwiązać następujący problem.
Rozkład wielomianu na czynniki:
Napisz swoje odpowiedzi w komentarzach.
Przygotował Sergey Valerievich
Pojęcia „wielomian” i „faktoryzacja wielomianu” w algebrze są bardzo powszechne, ponieważ trzeba je znać, aby łatwo wykonywać obliczenia z dużymi liczbami wielowartościowymi. W tym artykule opiszemy kilka metod dekompozycji. Wszystkie są dość proste w użyciu, wystarczy wybrać odpowiedni w każdym przypadku.
Pojęcie wielomianu
Wielomian to suma jednomianów, czyli wyrażeń zawierających tylko operację mnożenia.
Na przykład 2 * x * y jest jednomianem, ale 2 * x * y + 25 jest wielomianem, który składa się z 2 jednomianów: 2 * x * y i 25. Takie wielomiany nazywane są dwumianami.
Czasami, dla wygody rozwiązywania przykładów z wartościami wielowartościowymi, wyrażenie musi zostać przekształcone, na przykład, rozłożone na pewną liczbę czynników, czyli liczby lub wyrażenia, pomiędzy którymi wykonywana jest operacja mnożenia. Istnieje kilka sposobów rozkładania wielomianu na czynniki. Warto rozważyć je zaczynając od tych najbardziej prymitywnych, które stosuje się nawet w klasach podstawowych.
Grupowanie (wpis ogólny)
Wzór na rozkładanie wielomianu na czynniki metodą grupowania ogólnie wygląda następująco:
ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)
Jednomiany należy pogrupować tak, aby w każdej grupie pojawił się wspólny czynnik. W pierwszym nawiasie jest to czynnik c, aw drugim - d. Należy to zrobić, aby następnie wyjąć go z nawiasu, upraszczając w ten sposób obliczenia.
Algorytm dekompozycji na konkretnym przykładzie
Najprostszy przykład rozkładania wielomianu na czynniki przy użyciu metody grupowania podano poniżej:
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)
W pierwszym nawiasie musisz wziąć terminy ze współczynnikiem a, który będzie wspólny, aw drugim - ze współczynnikiem b. Zwróć uwagę na znaki + i - w gotowym wyrażeniu. Przed jednomianem stawiamy znak, który był w początkowym wyrażeniu. Oznacza to, że musisz pracować nie z wyrażeniem 25a, ale z wyrażeniem -25. Znak minus jest niejako „przyklejony” do wyrażenia za nim i zawsze uwzględnia go w obliczeniach.
W następnym kroku musisz usunąć czynnik, który jest powszechny, z nawiasu. Po to jest grupowanie. Wyjęcie go z nawiasu oznacza wypisanie przed nawiasem (pomijając znak mnożenia) wszystkich tych czynników, które powtarzają się dokładnie we wszystkich terminach znajdujących się w nawiasie. Jeśli w nawiasie nie ma 2, ale 3 lub więcej wyrazów, czynnik wspólny musi być zawarty w każdym z nich, w przeciwnym razie nie można go wyjąć z nawiasu.
W naszym przypadku tylko 2 terminy w nawiasach. Całkowity mnożnik jest natychmiast widoczny. Pierwszy nawias to a, drugi to b. Tutaj musisz zwrócić uwagę na współczynniki cyfrowe. W pierwszym nawiasie oba współczynniki (10 i 25) są wielokrotnościami 5. Oznacza to, że można umieścić w nawiasie nie tylko a, ale także 5a. Przed nawiasem wypisz 5a, a następnie podziel każdy z wyrazów w nawiasach przez wyjęty czynnik wspólny, a także zapisz iloraz w nawiasach, nie zapominając o znakach + i -. Zrób to samo z drugim nawiasem , usuń 7b, ponieważ 14 i 35 wielokrotność 7.
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).
Okazało się, że 2 wyrazy: 5a (2c - 5) i 7b (2c - 5). Każdy z nich zawiera czynnik wspólny (całe wyrażenie w nawiasach jest tutaj takie samo, co oznacza, że jest to czynnik wspólny): 2c - 5. Należy go również wyjąć z nawiasu, czyli wyrazy 5a i 7b pozostają w drugim nawiasie:
5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).
Tak więc pełne wyrażenie to:
10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).
Zatem wielomian 10ac + 14bc - 25a - 35b rozkłada się na 2 czynniki: (2c - 5) i (5a + 7b). Znak mnożenia między nimi można pominąć podczas pisania
Czasami pojawiają się wyrażenia tego typu: 5a 2 + 50a 3, tutaj możesz umieścić w nawiasie nie tylko a lub 5a, ale nawet 5a 2. Zawsze powinieneś starać się wyciągnąć z nawiasu największy możliwy wspólny czynnik. W naszym przypadku, jeśli podzielimy każdy wyraz przez wspólny czynnik, otrzymamy:
5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(przy obliczaniu ilorazu kilku potęg o równych podstawach, podstawa jest zachowywana, a wykładnik jest odejmowany). Pozostaje więc jeden w nawiasie (w żadnym wypadku nie zapomnij go wpisać, jeśli z nawiasu usuniesz jeden z wyrazów w całości) i iloraz dzielenia: 10a. Okazało się, że:
5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)
Formuły kwadratowe
Dla wygody obliczeń wyprowadzono kilka wzorów. Nazywa się je skróconymi formułami mnożenia i są używane dość często. Te formuły pomagają rozkładać na czynniki wielomiany zawierające potęgi. To kolejny potężny sposób na faktoryzację. Oto one:
- a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - formuła zwana „kwadratem sumy”, ponieważ w wyniku rozwinięcia do kwadratu pobierana jest suma liczb ujętych w nawiasy, to znaczy wartość tej sumy jest mnożona przez siebie 2 razy, co oznacza, że jest mnożnikiem.
- a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - wzór na kwadrat różnicy, jest podobny do poprzedniego. Wynikiem jest różnica ujęta w nawiasy, zawarta w potędze kwadratowej.
- a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- jest to wzór na różnicę kwadratów, ponieważ początkowo wielomian składa się z 2 kwadratów liczb lub wyrażeń, między którymi wykonuje się odejmowanie. Jest to prawdopodobnie najczęściej używany z trzech.
Przykłady obliczania za pomocą wzorów kwadratów
Obliczenia na nich są dość proste. Na przykład:
- 25x2 + 20xy + 4 lata 2 - użyj formuły „kwadrat sumy”.
- 25x 2 to kwadrat 5x. 20xy to dwukrotność iloczynu 2*(5x*2y), a 4y 2 to kwadrat 2y.
- Zatem 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Ten wielomian jest rozkładany na 2 czynniki (czynniki są takie same, dlatego jest zapisany jako wyrażenie z potęgą kwadratową).
Podobnie do nich wykonuje się operacje według wzoru kwadratu różnicy. Pozostaje różnica w formule kwadratów. Przykłady tej formuły są bardzo łatwe do zidentyfikowania i znalezienia wśród innych wyrażeń. Na przykład:
- 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Ponieważ 25a 2 \u003d (5a) 2 i 400 \u003d 20 2
- 36x 2 - 25 lat 2 \u003d (6x - 5 lat) (6x + 5 lat). Ponieważ 36x 2 \u003d (6x) 2 i 25y 2 \u003d (5y 2)
- c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Ponieważ 169b 2 = (13b) 2
Ważne jest, aby każdy z terminów był kwadratem jakiegoś wyrażenia. Następnie wielomian ten należy rozłożyć na czynniki przez różnicę równania kwadratów. W tym celu nie jest konieczne, aby druga potęga znajdowała się powyżej liczby. Istnieją wielomiany zawierające duże potęgi, ale nadal odpowiednie dla tych wzorów.
a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2
W tym przykładzie 8 może być reprezentowana jako (a 4) 2 , czyli kwadrat pewnego wyrażenia. 25 to 5 2 a 10a to 4 - jest to iloczyn podwójny wyrazów 2*a 4*5. Oznacza to, że wyrażenie to, pomimo obecności stopni z dużymi wykładnikami, można rozłożyć na 2 czynniki, aby później z nimi pracować.
Formuły kostki
Te same wzory istnieją przy rozkładaniu na czynniki wielomianów zawierających kostki. Są trochę bardziej skomplikowane niż te z kwadratami:
- a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- ta formuła nazywa się sumą sześcianów, ponieważ w swojej początkowej postaci wielomian jest sumą dwóch wyrażeń lub liczb zawartych w sześcianie.
- a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - wzór identyczny jak poprzedni jest oznaczony jako różnica sześcianów.
- a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - kostka sum, w wyniku obliczeń otrzymuje się sumę liczb lub wyrażeń, ujętych w nawiasy i pomnożonych przez siebie 3 razy, czyli znajdujących się w kostce
- a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formuła, skompilowana przez analogię z poprzednią, ze zmianą tylko niektórych znaków operacji matematycznych (plus i minus), nazywana jest „kostką różnicy”.
Ostatnie dwie formuły praktycznie nie są używane do rozkładania wielomianu na czynniki, ponieważ są one złożone i dość rzadko można znaleźć wielomiany, które całkowicie odpowiadają takiej strukturze, aby można je było rozłożyć zgodnie z tymi wzorami. Ale nadal musisz je znać, ponieważ będą one wymagane do działań w przeciwnym kierunku - podczas otwierania nawiasów.
Przykłady formuł sześciennych
Rozważ przykład: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).
Wzięliśmy tutaj dość liczby pierwsze, więc od razu widać, że 64a 3 to (4a) 3 , a 8b 3 to (2b) 3 . Zatem ten wielomian jest rozszerzany przez wzór różnicy sześcianów na 2 czynniki. Działania na wzorze sumy kostek są wykonywane przez analogię.
Ważne jest, aby zrozumieć, że nie wszystkie wielomiany można rozłożyć na co najmniej jeden ze sposobów. Ale są takie wyrażenia, które zawierają większe potęgi niż kwadrat lub sześcian, ale można je również rozszerzyć do skróconych form mnożenia. Na przykład: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 – 5x 4 r + 25 lat 2).
Ten przykład zawiera aż 12 stopni. Ale nawet to można rozliczyć za pomocą wzoru sumy sześcianów. Aby to zrobić, musisz przedstawić x 12 jako (x 4) 3, czyli jako sześcian jakiegoś wyrażenia. Teraz zamiast a, musisz go zastąpić w formule. Cóż, wyrażenie 125y 3 to sześcian 5y. Następnym krokiem jest napisanie wzoru i wykonanie obliczeń.
Na początku lub w razie wątpliwości zawsze możesz sprawdzić przez odwrotne mnożenie. Wystarczy otworzyć nawiasy w wynikowym wyrażeniu i wykonać czynności z podobnymi terminami. Metoda ta ma zastosowanie do wszystkich wymienionych metod redukcji: zarówno do pracy ze wspólnym czynnikiem i grupowaniem, jak i do operacji na wzorach sześcianów i potęg kwadratowych.
