Przykłady:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Jak rozwiązywać równania wykładnicze

Rozwiązując dowolne równanie wykładnicze, staramy się doprowadzić je do postaci \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), a następnie dokonać przejścia do równości wskaźników, czyli:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Na przykład:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Ważny! Z tej samej logiki wynikają dwa wymagania dla takiego przejścia:
- numer w lewa i prawa powinny być takie same;
- stopnie lewy i prawy muszą być „czyste” czyli nie powinno być żadnych, mnożenia, dzielenia itp.

Na przykład:

Aby sprowadzić równanie do postaci \(a^(f(x))=a^(g(x))\) i są używane.

Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Rozwiązanie:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Wiemy, że \(27 = 3^3\). Mając to na uwadze, przekształcamy równanie.

\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Z własności pierwiastka \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) otrzymujemy \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Dalej, używając własności stopnia \((a^b)^c=a^(bc)\), otrzymujemy \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Wiemy również, że \(a^b a^c=a^(b+c)\). Stosując to po lewej stronie, otrzymujemy: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).

\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Teraz pamiętaj, że: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ta formuła może być również użyta w odwrotnej kolejności: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Następnie \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)

Stosując właściwość \((a^b)^c=a^(bc)\) po prawej stronie otrzymujemy: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)

A teraz mamy równe podstawy i nie ma współczynników zakłócających itp. Więc możemy dokonać przejścia.

Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
Rozwiązanie:

\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)		Ponownie używamy własności degree \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) w przeciwnym kierunku.
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\)		Teraz pamiętaj, że \(4=2^2\).
\((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\)		Wykorzystując właściwości stopnia przekształcamy: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\)
\(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\)		Przyjrzyjmy się uważnie równaniu i widzimy, że zastąpienie \(t=2^x\) nasuwa się tutaj.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		Jednak znaleźliśmy wartości \(t\) i potrzebujemy \(x\). Wracamy do X, dokonując odwrotnego podstawienia.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		Przekształć drugie równanie za pomocą ujemnej właściwości potęgi...
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...i rozwiązuj aż do odpowiedzi.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Odpowiadać : \(-1; 1\).

Pozostaje pytanie - jak zrozumieć, kiedy zastosować jaką metodę? To przychodzi z doświadczeniem. W międzyczasie nie rozpracowałeś tego, skorzystaj z ogólnej rekomendacji rozwiązywania złożonych problemów - "jeśli nie wiesz, co robić - rób, co możesz". To znaczy, poszukaj, jak możesz przekształcić równanie w zasadzie i spróbuj to zrobić - co jeśli wyjdzie? Najważniejsze jest, aby wykonywać tylko matematycznie uzasadnione przekształcenia.

równania wykładnicze bez rozwiązań

Przyjrzyjmy się jeszcze dwóm sytuacjom, które często wprawiają uczniów w zakłopotanie:
- liczba dodatnia do potęgi równa się zeru, np. \(2^x=0\);
- liczba dodatnia do potęgi jest równa liczbie ujemnej, na przykład \(2^x=-4\).

Spróbujmy rozwiązać go brutalną siłą. Jeśli x jest liczbą dodatnią, to wraz ze wzrostem x cała potęga \(2^x\) będzie rosła tylko:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Także przeszłość. Istnieją ujemne iksy. Pamiętając właściwość \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), sprawdzamy:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

Pomimo tego, że z każdym krokiem liczba ta maleje, nigdy nie osiągnie zera. Tak więc negatywny stopień też nas nie uratował. Dochodzimy do logicznego wniosku:

Liczba dodatnia do dowolnej potęgi pozostanie liczbą dodatnią.

Zatem oba powyższe równania nie mają rozwiązań.

równania wykładnicze o różnych podstawach

W praktyce czasami istnieją równania wykładnicze o różnych podstawach, które nie są do siebie redukowalne, a jednocześnie z tymi samymi wykładnikami. Wyglądają tak: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami dodatnimi.

Na przykład:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

Takie równania można łatwo rozwiązać dzieląc przez dowolną część równania (najczęściej dzieląc przez prawą stronę, czyli przez \ (b ^ (f (x)) \). liczba jest w dowolnym stopniu dodatnia (czyli nie dzielimy przez zero). Otrzymujemy:

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Rozwiązanie:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		Tutaj nie możemy zamienić piątki w trójkę lub odwrotnie (przynajmniej bez użycia). Nie możemy więc dojść do postaci \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Jednocześnie wskaźniki są takie same. Podzielmy równanie przez prawą stronę, czyli przez \(3^(x+7)\) (możemy to zrobić, ponieważ wiemy, że trójka nie będzie w żadnym stopniu równa zero).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		Teraz zapamiętaj właściwość \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) i użyj jej od lewej w przeciwnym kierunku. Po prawej stronie po prostu zmniejszamy ułamek.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		Nie wydawało się, żeby było lepiej. Pamiętaj jednak o innej własności stopnia: \(a^0=1\), innymi słowy: „każda liczba do potęgi zerowej równa się \(1\)”. Odwrotność jest również prawdziwa: „jednostkę można przedstawić jako dowolną liczbę podniesioną do potęgi zera”. Używamy tego, robiąc podstawę po prawej stronie taką samą jak ta po lewej.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		Voila! Pozbywamy się fundamentów.
		Piszemy odpowiedź.

Odpowiadać : \(-7\).

Czasami „identyczność” wykładników nie jest oczywista, ale umiejętne wykorzystanie właściwości stopnia rozwiązuje ten problem.

Przykład . Rozwiąż równanie wykładnicze \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Rozwiązanie:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Równanie wygląda dość smutno... Nie tylko nie można sprowadzić podstaw do tej samej liczby (siedem nie będzie równych \(\frac(1)(3)\)), ale także wskaźniki są różne... Użyjmy jednak dwójki lewego wykładnika.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Pamiętając o własności \((a^b)^c=a^(b c)\) przekształć po lewej stronie: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Teraz pamiętając o ujemnej właściwości potęgi \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), przekształcamy po prawej stronie: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1)^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		Alleluja! Wyniki są takie same! Działając według znanego nam schematu, decydujemy przed odpowiedzią.

Odpowiadać : \(2\).

Wykład: „Metody rozwiązywania równań wykładniczych”.

1 . równania wykładnicze.

Równania zawierające niewiadome w wykładniku nazywane są równaniami wykładniczymi. Najprostszym z nich jest równanie ax = b, gdzie a > 0 i a ≠ 1.

1) Dla b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Dla b > 0, używając monotoniczności funkcji i twierdzenia pierwiastka, równanie ma jeden pierwiastek. Aby to znaleźć, b musi być reprezentowane jako b = aс, ax = bс ó x = c lub x = logab.

Równania wykładnicze, poprzez przekształcenia algebraiczne, prowadzą do standardowych równań, które rozwiązuje się następującymi metodami:

1) sposób redukcji do jednej bazy;

2) sposób oceny;

3) metoda graficzna;

4) sposób wprowadzania nowych zmiennych;

5) metoda faktoryzacji;

6) wykładniczy - równania potęgowe;

7) wykładniczy z parametrem.

2 . Metoda redukcji do jednej podstawy.

Metoda opiera się na następującej własności stopni: jeśli dwa stopnie są równe i ich podstawy są równe, to ich wykładniki są równe, tj. należy spróbować sprowadzić równanie do postaci

Przykłady. Rozwiązać równanie:

1 . 3x=81;

Przedstawmy prawą stronę równania w postaci 81 = 34 i zapiszmy równanie odpowiadające oryginalnemu 3 x = 34; x = 4. Odpowiedź: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> i przejdź do równania dla wykładników 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Odpowiedź: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Zauważ, że liczby 0.2, 0.04, √5 i 25 są potęgami 5. Użyjmy tego i przekształćmy oryginalne równanie w następujący sposób:

, skąd 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, z którego znajdujemy rozwiązanie x = -1. Odpowiedź 1.

5. 3x = 5. Z definicji logarytmu x = log35. Odpowiedź: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Zapiszmy równanie jako 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, tj. png" width="181" height="49 src="> Stąd x - 4 =0, x = 4. Odpowiedź: cztery.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Wykorzystując własności potęg, zapisujemy równanie w postaci e. x+1 = 2, x =1. Odpowiedź 1.

Bank zadań nr 1.

Rozwiązać równanie:

Test nr 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez korzeni
	1) 7;1 2) bez korzeni 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) bez korzeni 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda oceny.

Twierdzenie pierwiastkowe: jeśli funkcja f (x) rośnie (maleje) w przedziale I, liczba a jest dowolną wartością przyjętą przez f w tym przedziale, to równanie f (x) = a ma pojedynczy pierwiastek w przedziale I.

Przy rozwiązywaniu równań metodą estymacji wykorzystuje się to twierdzenie i właściwości monotoniczności funkcji.

Przykłady. Rozwiąż równania: 1. 4x = 5 - x.

Rozwiązanie. Zapiszmy równanie jako 4x + x = 5.

1. jeśli x \u003d 1, to 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 jest prawdą, to 1 jest pierwiastkiem równania.

Funkcja f(x) = 4x rośnie od R i g(x) = x rośnie od R => h(x)= f(x)+g(x) rośnie od R jako suma funkcji rosnących, więc x = 1 jest jedynym pierwiastkiem równania 4x = 5 – x. Odpowiedź 1.

Rozwiązanie. Przepisujemy równanie w postaci .

1. jeśli x = -1, to , 3 = 3-prawda, więc x = -1 jest pierwiastkiem równania.

2. udowodnić, że jest wyjątkowy.

3. Funkcja f(x) = - maleje od R, a g(x) = - x - maleje od R => h(x) = f(x) + g(x) - maleje od R, jako suma funkcji malejących . Więc według twierdzenia pierwiastka, x = -1 jest jedynym pierwiastkiem równania. Odpowiedź 1.

Bank zadań nr 2. Rozwiązać równanie

a) 4x + 1 = 6 - x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Sposób wprowadzania nowych zmiennych.

Metoda została opisana w punkcie 2.1. Wprowadzenie nowej zmiennej (podstawienie) następuje zwykle po przekształceniach (uproszczeniu) członów równania. Rozważ przykłady.

Przykłady. R jedz równanie: 1. .

Przepiszmy równanie inaczej: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj. png" width="210" height = "45">

Rozwiązanie. Zapiszmy równanie inaczej:

Oznacz https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nieodpowiednie.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> to irracjonalne równanie.

Rozwiązaniem równania jest x = 2,5 ≤ 4, więc 2,5 jest pierwiastkiem równania. Odpowiedź: 2.5.

Rozwiązanie. Przepiszmy równanie w postaci i podzielmy obie strony przez 56x+6 ≠ 0. Otrzymujemy równanie

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, czyli..png" width="118" height="56">

Pierwiastki równania kwadratowego - t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Rozwiązanie . Przepisujemy równanie w postaci

i zauważ, że jest to jednorodne równanie drugiego stopnia.

Podziel równanie przez 42x, otrzymujemy

Zastąp https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Odpowiedź: 0; 0,5.

Bank zadań #3. Rozwiązać równanie

Test #3 z wyborem odpowiedzi. Poziom minimalny.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) bez korzeni 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) bez korzeni 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test #4 z wyborem odpowiedzi. Poziom ogólny.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) bez korzeni

5. Metoda faktoryzacji.

1. Rozwiąż równanie: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Rozwiązanie..png" width="169" height="69"> , skąd

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Rozwiązanie. Wyjmijmy 6x po lewej stronie równania i 2x po prawej stronie. Otrzymujemy równanie 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Ponieważ 2x >0 dla wszystkich x, możemy podzielić obie strony tego równania przez 2x bez obawy o utratę rozwiązań. Otrzymujemy 3x = 1ó x = 0.

Rozwiązanie. Równanie rozwiązujemy przez faktoring.

Wybieramy kwadrat dwumianu

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 jest pierwiastkiem równania.

Równanie x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test #6 Poziom ogólny.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3,4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Wykładniczy - równania potęgowe.

Do równań wykładniczych przylegają tzw. równania potęgowe, czyli równania postaci (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Jeśli wiadomo, że f(x)>0 i f(x) ≠ 1, to równanie, podobnie jak wykładnicze, rozwiązujemy przez przyrównanie wykładników g(x) = f(x).

Jeśli warunek nie wyklucza możliwości f(x)=0 i f(x)=1, to musimy wziąć pod uwagę te przypadki przy rozwiązywaniu wykładniczego równania potęgowego.

1..png" width="182" height="116 src=">

Rozwiązanie. x2 +2x-8 - ma sens dla dowolnego x, ponieważ jest wielomianem, więc równanie jest równoważne zbiorowi

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Równania wykładnicze z parametrami.

1. Dla jakich wartości parametru p równanie 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) ma jednoznaczne rozwiązanie?

Rozwiązanie. Wprowadźmy zmianę 2x = t, t > 0, wtedy równanie (1) przyjmie postać t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Wyróżnikiem równania (2) jest D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Równanie (1) ma unikalne rozwiązanie, jeśli równanie (2) ma jeden pierwiastek dodatni. Jest to możliwe w następujących przypadkach.

1. Jeśli D = 0, czyli p = 1, to równanie (2) przyjmie postać t2 – 2t + 1 = 0, stąd t = 1, zatem równanie (1) ma jednoznaczne rozwiązanie x = 0.

2. Jeżeli p1, to 9(p – 1)2 > 0, to równanie (2) ma dwa różne pierwiastki t1 = p, t2 = 4p – 3. Zbiór układów spełnia warunek problemu

Podstawiając t1 i t2 do systemów, mamy

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!JĘZYK:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Rozwiązanie. Wynajmować wtedy równanie (3) przyjmie postać t2 – 6t – a = 0. (4)

Znajdźmy wartości parametru a, dla których przynajmniej jeden pierwiastek równania (4) spełnia warunek t > 0.

Wprowadźmy funkcję f(t) = t2 – 6t – a. Możliwe są następujące przypadki.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!JĘZYK:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!JĘZYK:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Przypadek 2. Równanie (4) ma jednoznaczne rozwiązanie dodatnie, jeśli

D = 0, jeśli a = – 9, to równanie (4) przyjmie postać (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Przypadek 3. Równanie (4) ma dwa pierwiastki, ale jeden z nich nie spełnia nierówności t > 0. Jest to możliwe, jeśli

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!JĘZYK:no35_17" width="267" height="63">!}

Zatem przy a 0 równanie (4) ma jeden pierwiastek dodatni . Wtedy równanie (3) ma unikalne rozwiązanie

Dla< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Jeśli< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jeśli a = – 9, to x = – 1;

jeśli  0, to

Porównajmy metody rozwiązywania równań (1) i (3). Zauważ, że przy rozwiązywaniu równania (1) zostało ono zredukowane do równania kwadratowego, którego wyróżnikiem jest pełny kwadrat; w ten sposób pierwiastki równania (2) zostały natychmiast obliczone ze wzoru pierwiastków równania kwadratowego, a następnie wyciągnięto wnioski dotyczące tych pierwiastków. Równanie (3) zostało zredukowane do równania kwadratowego (4), którego dyskryminator nie jest kwadratem idealnym, dlatego przy rozwiązywaniu równania (3) wskazane jest stosowanie twierdzeń o położeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i model graficzny. Zauważ, że równanie (4) można rozwiązać za pomocą twierdzenia Vieta.

Rozwiążmy bardziej złożone równania.

Zadanie 3. Rozwiąż równanie

Rozwiązanie. ODZ: x1, x2.

Wprowadźmy zamiennik. Niech 2x = t, t > 0, to w wyniku przekształceń równanie przyjmie postać t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Znajdź wartości a, dla których przynajmniej jeden pierwiastek z równanie (*) spełnia warunek t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!JĘZYK:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!JĘZYK:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!JĘZYK:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odpowiedź: jeśli a > - 13, a 11, a  5, to jeśli a - 13,

a = 11, a = 5, to nie ma pierwiastków.

Bibliografia.

1. Podstawy technologii edukacyjnej Guzeeva.

2. Technologia Guzeev: od recepcji do filozofii.

M. "Dyrektor" nr 4, 1996

3. Guzeev i organizacyjne formy kształcenia.

4. Guzeev i praktyka integralnej technologii edukacyjnej.

M. „Edukacja ludowa”, 2001

5. Guzeev z form lekcji - seminarium.

Matematyka w szkole nr 2, 1987, s. 9 - 11.

6. Technologie edukacyjne Selevko.

M. „Edukacja ludowa”, 1998

7. Dzieci w wieku szkolnym Episheva uczą się matematyki.

M. "Oświecenie", 1990

8. Iwanow przygotować lekcje - warsztaty.

Matematyka w Szkole nr 6, 1990, s. 37-40.

9. Model Smirnowa nauczania matematyki.

Matematyka w Szkole nr 1, 1997, s. 32-36.

10. Sposoby organizacji pracy praktycznej Tarasenko.

Matematyka w Szkole nr 1, 1993, s. 27-28.

11. O jednym z rodzajów pracy indywidualnej.

Matematyka w Szkole nr 2, 1994, s. 63 - 64.

12. Zdolności twórcze Khazankina uczniów.

Matematyka w Szkole nr 2, 1989, s. dziesięć.

13. Skanawi. Wydawca, 1997

14. i wsp. Algebra i początki analizy. Materiały dydaktyczne dla

15. Zadania Krivonogova w matematyce.

M. "Pierwszy Wrzesień", 2002

16. Czerkasow. Podręcznik dla uczniów szkół średnich i

wchodzenie na uniwersytety. "A S T - szkoła prasowa", 2002

17. Zhevnyak dla kandydatów na uniwersytety.

Mińsk i RF "Przegląd", 1996

18. Pisemne D. Przygotowanie do egzaminu z matematyki. M. Rolf, 1999

19. i inne Nauka rozwiązywania równań i nierówności.

M. "Intelekt - Centrum", 2003

20. i inne Materiały edukacyjne i szkoleniowe przygotowujące do E G E.

M. "Intelekt - Centrum", 2003 i 2004

21 i inne Warianty CMM. Centrum Testowe Ministerstwa Obrony Federacji Rosyjskiej, 2002, 2003

22. Równania Goldberga. „Kwant” nr 3, 1971

23. Volovich M. Jak skutecznie uczyć matematyki.

Matematyka, 1997 nr 3.

24 Okunev na lekcję, dzieci! M. Oświecenie, 1988

25. Yakimanskaya - edukacja zorientowana w szkole.

26. Limity działają na lekcji. Wiedza M., 1975

Pierwszy poziom

równania wykładnicze. Kompleksowy przewodnik (2019)

Witam! Dzisiaj porozmawiamy z Wami o tym, jak rozwiązywać równania, które mogą być zarówno elementarne (i mam nadzieję, że po przeczytaniu tego artykułu, prawie wszystkie będą tak dla Was), jak i te, które zwykle otrzymują „zasypanie”. Podobno całkowicie zasnąć. Ale postaram się zrobić, co w mojej mocy, abyś teraz nie wpadł w kłopoty w obliczu tego typu równania. Nie będę już owijał w bawełnę, ale od razu zdradzę mały sekret: dzisiaj będziemy się uczyć równania wykładnicze.

Zanim przejdę do analizy sposobów ich rozwiązania, od razu nakreślę dla Ciebie krąg pytań (dość małe), które powinieneś powtórzyć, zanim rzucisz się na szturm na ten temat. Aby uzyskać najlepsze wyniki, proszę powtarzać:

właściwości i
Rozwiązanie i równania

Powtarzający się? Wspaniale! Wtedy nie będzie ci trudno zauważyć, że pierwiastkiem równania jest liczba. Czy na pewno rozumiesz, jak to zrobiłem? Prawda? Następnie kontynuujemy. Teraz odpowiedz mi na pytanie, co jest równe trzeciej potędze? Masz całkowitą rację: . Ósemka to jaka potęga dwójki? Zgadza się - trzeci! Dlatego. A teraz spróbujmy rozwiązać następujący problem: Pozwólcie, że raz pomnożę tę liczbę przez samą siebie i otrzymam wynik. Pytanie brzmi, ile razy sam się pomnożyłem? Możesz to oczywiście sprawdzić bezpośrednio:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( wyrównywać)

Wtedy możesz wywnioskować, że sam pomnożyłem razy. Jak jeszcze można to zweryfikować? A oto jak: bezpośrednio z definicji stopnia: . Ale, musisz przyznać, gdybym spytał, ile razy trzeba pomnożyć dwa, żeby otrzymać powiedzmy, powiedziałbyś mi: nie oszukam się i nie pomnożę, dopóki nie zrobisz się niebieski. I miałby całkowitą rację. Bo jak możesz? zapisz krótko wszystkie działania(a zwięzłość jest siostrą talentu)

gdzie - to jest bardzo "czasy" kiedy mnożysz się sam.

Myślę, że wiesz (a jeśli nie wiesz, to pilnie, bardzo pilnie powtórz stopnie!), że wtedy mój problem będzie napisany w postaci:

Jak możesz rozsądnie wywnioskować, że:

Więc po cichu zapisałem najprostsze równanie wykładnicze:

I nawet to znalazłem źródło. Nie uważasz, że wszystko jest banalne? Ja też tak myślę. Oto kolejny przykład dla Ciebie:

Ale co robić? W końcu nie można tego zapisać jako stopnia (rozsądnej) liczby. Nie rozpaczajmy i zauważmy, że obie te liczby są doskonale wyrażone w kategoriach potęgi tej samej liczby. Co? Prawidłowy: . Następnie pierwotne równanie jest przekształcane do postaci:

Skąd, jak już zrozumiałeś, . Nie ciągnijmy już i nie piszmy definicja:

W naszym przypadku z Tobą: .

Równania te rozwiązuje się, sprowadzając je do postaci:

z kolejnym rozwiązaniem równania

W rzeczywistości zrobiliśmy to w poprzednim przykładzie: otrzymaliśmy to. I rozwiązaliśmy z tobą najprostsze równanie.

Wydaje się, że to nic skomplikowanego, prawda? Poćwiczmy najpierw na najprostszym. przykłady:

Ponownie widzimy, że prawa i lewa strona równania muszą być reprezentowane jako potęga jednej liczby. To prawda, po lewej już to zostało zrobione, ale po prawej jest numer. Ale mimo wszystko jest w porządku, a moje równanie cudownie przekształca się w to:

Co musiałem tutaj zrobić? Jaka zasada? Zasada mocy do mocy który brzmi:

Co jeśli:

Zanim odpowiemy na to pytanie, wypełnijmy ze sobą poniższą tabelę:

Nietrudno nam zauważyć, że im mniejsza, tym mniejsza wartość, niemniej jednak wszystkie te wartości są większe od zera. I ZAWSZE TAK BĘDZIE!!! Ta sama właściwość jest prawdziwa DLA KAŻDEJ PODSTAWY Z DOWOLNYM INDEKSEM!! (dla każdego i). Co zatem możemy wyciągnąć z równania? A oto jeden: to nie ma korzeni! Tak jak każde równanie nie ma pierwiastków. Teraz poćwiczmy i Rozwiążmy kilka prostych przykładów:

Sprawdźmy:

1. Nie wymaga się od Ciebie niczego poza znajomością właściwości potęg (które, notabene, prosiłem Cię o powtórzenie!) Z reguły wszystko prowadzi do najmniejszej podstawy: , . Wtedy oryginalne równanie będzie równoważne z następującym: Wszystko, czego potrzebuję, to użyć własności potęg: mnożąc liczby o tej samej podstawie, dodaje się wykładniki, a podczas dzielenia odejmuje się. Wtedy otrzymam: Cóż, teraz z czystym sumieniem przejdę od równania wykładniczego do równania liniowego: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(wyrównaj)

2. W drugim przykładzie musisz być bardziej ostrożny: problem polega na tym, że po lewej stronie również nie możemy przedstawić tej samej liczby jako potęgi. W tym przypadku czasem się przydaje reprezentują liczby jako iloczyn potęg o różnych podstawach, ale tych samych wykładnikach:

Lewa strona równania przyjmie postać: Co nam to dało? A oto co: Liczby o różnych podstawach, ale z tym samym wykładnikiem można pomnożyć.W tym przypadku podstawy są mnożone, ale wykładnik się nie zmienia:

W przypadku mojej sytuacji da to:

\begin(wyrównaj)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(wyrównaj)

Nieźle, prawda?

3. Nie lubię, gdy po jednej stronie równania mam dwa wyrazy, a po drugiej żaden (czasami oczywiście jest to uzasadnione, ale teraz tak nie jest). Przesuń termin minus w prawo:

Teraz, tak jak poprzednio, napiszę wszystko przez potęgi trójki:

Dodaję potęgi po lewej i otrzymuję równoważne równanie

Możesz łatwo znaleźć jego korzeń:

4. Jak w przykładzie trzecim, termin z minusem - miejsce po prawej stronie!

Po lewej prawie wszystko jest u mnie w porządku, z wyjątkiem czego? Tak, przeszkadza mi „niewłaściwy stopień” dwójki. Ale mogę to łatwo naprawić, pisząc: . Eureka - po lewej wszystkie podstawy są różne, ale wszystkie stopnie są takie same! Rozmnażamy się szybko!

Tutaj znowu wszystko jest jasne: (jeśli nie zrozumiałeś, jak magicznie uzyskałem ostatnią równość, zrób sobie przerwę na chwilę, zrób sobie przerwę i ponownie bardzo uważnie przeczytaj właściwości stopnia. Kto powiedział, że możesz pominąć stopień z ujemnym wykładnikiem?Cóż, tutaj jestem prawie taki sam jak nikt). Teraz dostanę:

\begin(wyrównaj)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(wyrównaj)

Oto zadania do przećwiczenia, na które udzielę tylko odpowiedzi (ale w formie „mieszanej”). Rozwiąż je, sprawdź, a my będziemy kontynuować badania!

Gotowy? Odpowiedzi jak te:

Jakikolwiek numer

Dobra, dobra, żartowałem! Oto zarys rozwiązań (niektóre są dość krótkie!)

Nie sądzisz, że to nie przypadek, że jeden ułamek po lewej jest „odwróconym” drugim? Grzechem byłoby nie użyć tego:

Ta zasada jest bardzo często stosowana przy rozwiązywaniu równań wykładniczych, pamiętaj o tym dobrze!

Wtedy oryginalne równanie staje się:

Rozwiązując to równanie kwadratowe, otrzymasz następujące pierwiastki:

2. Inne rozwiązanie: podzielenie obu części równania przez wyrażenie po lewej (lub po prawej). Podzielę przez to co po prawej, to otrzymam:

Gdzie dlaczego?!)

3. Nawet nie chcę się powtarzać, wszystko już tak bardzo zostało „przeżute”.

4. odpowiednik równania kwadratowego, pierwiastki

5. Musisz skorzystać ze wzoru podanego w zadaniu pierwszym, wtedy otrzymasz, że:

Równanie zmieniło się w trywialną tożsamość, która jest prawdziwa dla każdego. Wtedy odpowiedzią jest dowolna liczba rzeczywista.

Cóż, oto jesteś i ćwiczyłeś podejmowanie decyzji najprostsze równania wykładnicze. Teraz chcę podać kilka przykładów z życia, które pomogą ci zrozumieć, dlaczego są one w zasadzie potrzebne. Tutaj podam dwa przykłady. Jedna z nich jest dość codzienna, ale druga jest bardziej naukowa niż praktyczna.

Przykład 1 (handlowy) Niech masz ruble, ale chcesz zamienić je na ruble. Bank oferuje Ci odebranie tych pieniędzy po rocznej stopie procentowej z miesięczną kapitalizacją odsetek (miesięczne naliczanie). Pytanie brzmi, na ile miesięcy trzeba założyć lokatę, aby zebrać żądaną ostateczną kwotę? Całkiem przyziemne zadanie, prawda? Jednak jego rozwiązanie wiąże się z budową odpowiedniego równania wykładniczego: Niech – kwota początkowa, – kwota końcowa, – stopa procentowa okresu, – liczba okresów. Następnie:

W naszym przypadku (jeśli stawka jest roczna, to jest naliczana miesięcznie). Dlaczego jest podzielony na? Jeśli nie znasz odpowiedzi na to pytanie, pamiętaj o temacie „”! Wtedy otrzymujemy następujące równanie:

To równanie wykładnicze można już rozwiązać tylko za pomocą kalkulatora (jego wygląd na to wskazuje, a to wymaga znajomości logarytmów, z którymi zapoznamy się nieco później), co zrobię: ... Tak więc, aby otrzymać milion, musimy wpłacić składkę na miesiąc (niezbyt szybko, prawda?).

Przykład 2 (raczej naukowy). Pomimo jego pewnej "izolacji", polecam zwrócić na niego uwagę: regularnie "wpada na egzamin!" (zadanie zaczerpnięte z wersji „rzeczywistej”) Podczas rozpadu izotopu promieniotwórczego jego masa maleje zgodnie z prawem, gdzie (mg) to masa początkowa izotopu, (min.) to czas, jaki upłynął od moment początkowy (min.) to okres półtrwania. W początkowym momencie masa izotopu wynosi mg. Jego okres półtrwania to min. Za ile minut masa izotopu będzie równa mg? W porządku: po prostu bierzemy i zastępujemy wszystkie dane w zaproponowanym nam wzorze:

Podzielmy obie części „w nadziei”, że po lewej stronie otrzymamy coś strawnego:

Cóż, mamy szczęście! Stoi po lewej stronie, przejdźmy więc do równoważnego równania:

Gdzie min.

Jak widać, równania wykładnicze mają w praktyce bardzo realne zastosowanie. Teraz chcę omówić z wami inny (prosty) sposób rozwiązywania równań wykładniczych, który polega na wyjęciu wspólnego czynnika z nawiasów, a następnie pogrupowaniu terminów. Nie bój się moich słów, z tą metodą spotkałeś się już w 7 klasie, kiedy uczyłeś się wielomianów. Na przykład, jeśli musisz rozłożyć wyrażenie na czynniki:

Pogrupujmy: pierwszy i trzeci termin, a także drugi i czwarty. Oczywiste jest, że pierwszy i trzeci to różnica kwadratów:

a drugi i czwarty mają wspólny czynnik równy trzy:

Wtedy oryginalne wyrażenie jest równoważne z tym:

Gdzie wyjąć wspólny czynnik, nie jest już trudny:

W konsekwencji,

W przybliżeniu tak będziemy postępować przy rozwiązywaniu równań wykładniczych: poszukaj „wspólności” wśród terminów i wyjmij ją z nawiasów, a potem - co się stanie, wierzę, że będziemy mieli szczęście =)) Na przykład:

Po prawej jest daleko od potęgi siódemki (sprawdzałem!) A po lewej - trochę lepiej, możesz oczywiście „odciąć” czynnik a z pierwszego terminu i od drugiego, a następnie zająć się co masz, ale zróbmy z tobą ostrożniej. Nie chcę zajmować się frakcjami, które nieuchronnie powstają w wyniku „selekcji”, więc czy nie byłoby lepiej wytrwać? Wtedy nie będę miał ułamków: jak mówią, oba wilki są pełne, a owce bezpieczne:

Policz wyrażenie w nawiasach. Magicznie, magicznie okazuje się, że (o dziwo, choć czego innego możemy się spodziewać?).

Następnie zmniejszamy obie strony równania o ten czynnik. Dostajemy: gdzie.

Oto bardziej skomplikowany przykład (tak naprawdę trochę):

Oto kłopot! Nie mamy tu wspólnego języka! Nie jest do końca jasne, co teraz zrobić. I zróbmy, co możemy: po pierwsze przesuniemy „czwórki” w jedną stronę, a „piątki” w drugą:

Teraz wyjmijmy „wspólne” po lewej i prawej stronie:

Co teraz? Jaka jest korzyść z tak głupiego zgrupowania? Na pierwszy rzut oka w ogóle nie widać, ale zajrzyjmy głębiej:

No to teraz zróbmy tak, że po lewej mamy tylko wyrażenie c, a po prawej wszystko inne. Jak możemy to zrobić? A oto jak: Podziel obie strony równania najpierw przez (aby pozbyć się wykładnika po prawej), a następnie podziel obie strony przez (aby pozbyć się współczynnika liczbowego po lewej). Wreszcie otrzymujemy:

Niesamowite! Po lewej stronie mamy wyraz, a po prawej - po prostu. Wtedy od razu dochodzimy do wniosku, że

Oto kolejny przykład do wzmocnienia:

Podam jego krótkie rozwiązanie (nie zawracam sobie głowy wyjaśnieniem), spróbuj sam wymyślić wszystkie „subtelności” rozwiązania.

Teraz ostateczna konsolidacja omówionego materiału. Spróbuj samodzielnie rozwiązać następujące problemy. Podam tylko krótkie zalecenia i wskazówki dotyczące ich rozwiązania:

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:
Reprezentujemy pierwsze wyrażenie w postaci: , dzielimy obie części przez i otrzymujemy to
, następnie oryginalne równanie jest konwertowane do postaci: No to teraz podpowiedź - poszukaj, gdzie ty i ja już rozwiązaliśmy to równanie!
Wyobraź sobie, jak, jak, ach, potem podziel obie części przez, żeby otrzymać najprostsze równanie wykładnicze.
Wyjmij go z nawiasów.
Wyjmij go z nawiasów.

RÓWNANIA EKSPOZYCYJNE. ŚREDNI POZIOM

Zakładam, że po przeczytaniu pierwszego artykułu, który opowiadał czym są równania wykładnicze i jak je rozwiązywać, opanowałeś niezbędne minimum wiedzy potrzebnej do rozwiązywania najprostszych przykładów.

Teraz przeanalizuję inną metodę rozwiązywania równań wykładniczych, to jest

„metoda wprowadzenia nowej zmiennej” (lub podstawienia). Rozwiązuje większość „trudnych” problemów, na temat równań wykładniczych (i nie tylko). Ta metoda jest jedną z najczęściej stosowanych w praktyce. Na początek polecam zapoznać się z tematem.

Jak już zrozumiałeś z nazwy, istotą tej metody jest wprowadzenie takiej zmiany zmiennej, aby twoje równanie wykładnicze cudownie przekształciło się w takie, które już możesz łatwo rozwiązać. Po rozwiązaniu tego bardzo „uproszczonego równania” pozostaje ci tylko dokonać „odwrotnej wymiany”, to znaczy wrócić z zastąpionego do zastąpionego. Zilustrujmy to, co właśnie powiedzieliśmy, bardzo prostym przykładem:

Przykład 1:

To równanie jest rozwiązane przez „proste podstawienie”, jak lekceważąco nazywają to matematycy. Rzeczywiście, substytucja tutaj jest najbardziej oczywista. Po prostu trzeba to zobaczyć

Wtedy oryginalne równanie staje się:

Jeśli dodatkowo wyobrazimy sobie jak, to jest całkiem jasne, co należy wymienić: oczywiście . Co zatem staje się pierwotnym równaniem? A oto co:

Możesz łatwo znaleźć jego korzenie na własną rękę:. Co powinniśmy teraz zrobić? Czas wrócić do pierwotnej zmiennej. O czym zapomniałem dołączyć? Mianowicie: przy wymianie pewnego stopnia na nową zmienną (czyli przy wymianie typu) będę zainteresowany tylko pozytywne korzenie! Sam możesz łatwo odpowiedzieć, dlaczego. Dlatego nie jesteśmy tobą zainteresowani, ale drugi korzeń jest dla nas całkiem odpowiedni:

Więc gdzie.

Odpowiadać:

Jak widać, w poprzednim przykładzie zastępca prosił o nasze ręce. Niestety, nie zawsze tak jest. Nie przechodźmy jednak od razu do smutku, ale poćwiczmy na jeszcze jednym przykładzie z dość prostym zamiennikiem

Przykład 2

Oczywiste jest, że najprawdopodobniej konieczne będzie zastąpienie (jest to najmniejsza z potęg zawartych w naszym równaniu), jednak przed wprowadzeniem zamiany należy nasze równanie „przygotować” do tego, a mianowicie: , . Następnie możesz wymienić, w wyniku otrzymam następujące wyrażenie:

O zgrozo: równanie sześcienne z absolutnie okropnymi wzorami na jego rozwiązanie (cóż, mówiąc ogólnie). Ale nie rozpaczajmy od razu, ale zastanówmy się, co powinniśmy zrobić. Sugeruję oszukiwanie: wiemy, że aby uzyskać "piękną" odpowiedź, musimy uzyskać formę jakiejś potęgi trzech (dlaczego by to było, co?). Spróbujmy odgadnąć przynajmniej jeden pierwiastek z naszego równania (zacznę zgadywać od potęgi trzech).

Pierwsze przypuszczenie. Nie jest korzeniem. Niestety i ach...

.
Lewa strona jest równa.
Prawa część: !
Jest! Zgadłem pierwszy korzeń. Teraz będzie łatwiej!

Czy znasz schemat podziału „narożnego”? Oczywiście wiesz, że używasz go, gdy dzielisz jedną liczbę przez drugą. Ale niewiele osób wie, że to samo można zrobić z wielomianami. Jest jedno wspaniałe twierdzenie:

Odnosząc się do mojej sytuacji, mówi mi, co jest podzielne bez reszty przez. Jak przebiega podział? Właśnie tak:

Patrzę na to, który jednomian powinienem pomnożyć, aby uzyskać Clear, a następnie:

Odejmuję wynikowe wyrażenie od, otrzymuję:

Co muszę pomnożyć, aby uzyskać? Oczywiste jest, że dalej otrzymam:

i ponownie odejmij wynikowe wyrażenie od pozostałego:

Cóż, ostatni krok, mnożę przez i odejmuję od pozostałego wyrażenia:

Hurra, podział się skończył! Co zgromadziliśmy prywatnie? Samodzielnie: .

Następnie otrzymaliśmy następujące rozwinięcie oryginalnego wielomianu:

Rozwiążmy drugie równanie:

Ma korzenie:

Następnie oryginalne równanie:

ma trzy korzenie:

Oczywiście odrzucamy ostatni korzeń, ponieważ jest mniejszy od zera. A pierwsze dwa po odwrotnej wymianie dadzą nam dwa pierwiastki:

Odpowiadać: ..

Tym przykładem wcale nie chciałem cię przestraszyć, raczej chciałem pokazać, że chociaż mieliśmy dość prostą zamianę, to jednak doprowadziło to do dość złożonego równania, którego rozwiązanie wymagało od nas pewnych specjalnych umiejętności . Cóż, nikt nie jest na to odporny. Ale zmiana w tym przypadku była dość oczywista.

Oto przykład z nieco mniej oczywistym podstawieniem:

Wcale nie jest jasne, co powinniśmy zrobić: problem polega na tym, że w naszym równaniu istnieją dwie różne podstawy i jednej podstawy nie można uzyskać z drugiej przez podniesienie jej do jakiejkolwiek (rozsądnej, naturalnie) potęgi. Co jednak widzimy? Obie bazy różnią się tylko znakiem, a ich iloczynem jest różnica kwadratów równa jeden:

Definicja:

W ten sposób liczby będące podstawami w naszym przykładzie są sprzężone.

W takim przypadku mądrym posunięciem byłoby: pomnóż obie strony równania przez liczbę sprzężoną.

Na przykład po włączeniu lewa strona równania stanie się równa, a prawa strona. Jeśli dokonamy zamiany, nasze pierwotne równanie z tobą będzie wyglądać tak:

ma więc swoje korzenie, ale pamiętając o tym, rozumiemy to.

Odpowiadać: , .

Z reguły metoda zastępcza wystarcza do rozwiązania większości „szkolnych” równań wykładniczych. Poniższe zadania pochodzą z USE C1 (podwyższony poziom trudności). Jesteś już wystarczająco piśmienny, aby samodzielnie rozwiązać te przykłady. Dam tylko wymaganą wymianę.

Rozwiązać równanie:
Znajdź pierwiastki równania:
Rozwiązać równanie: . Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania, które należą do segmentu:

Teraz kilka szybkich wyjaśnień i odpowiedzi:

Tutaj wystarczy zauważyć, że i. Wtedy oryginalne równanie będzie równoważne z tym równaniem: To równanie jest rozwiązywane przez zastąpienie Wykonaj następujące obliczenia samodzielnie. Ostatecznie twoje zadanie zostanie zredukowane do rozwiązania najprostszego trygonometrycznego (w zależności od sinusa lub cosinusa). Omówimy rozwiązanie takich przykładów w innych sekcjach.
Tutaj możesz nawet obejść się bez zastępowania: wystarczy przenieść odcinek w prawo i przedstawić obie podstawy przez potęgi dwójki: a następnie natychmiast przejść do równania kwadratowego.
Trzecie równanie jest również rozwiązywane w dość standardowy sposób: wyobraź sobie, jak. Następnie zastępując otrzymujemy równanie kwadratowe: wtedy,
Czy wiesz już, co to jest logarytm? Nie? Następnie pilnie przeczytaj temat!

Pierwszy korzeń oczywiście nie należy do segmentu, a drugi jest niezrozumiały! Ale wkrótce się dowiemy! Skoro więc (jest to własność logarytmu!) porównajmy:

Odejmij od obu części, to otrzymamy:

Lewa strona może być reprezentowana jako:

pomnóż obie strony przez:

można pomnożyć przez, wtedy

Następnie porównajmy:

od tego czasu:

Wtedy drugi pierwiastek należy do pożądanego interwału

Odpowiadać:

Jak widzisz, dobór pierwiastków równań wykładniczych wymaga dość głębokiej znajomości własności logarytmów, więc radzę zachować ostrożność przy rozwiązywaniu równań wykładniczych. Jak wiecie, w matematyce wszystko jest ze sobą powiązane! Jak mawiał mój nauczyciel matematyki: „Nie możesz czytać matematyki jak historii z dnia na dzień”.

Z reguły wszystkie trudność w rozwiązaniu zadania C1 polega właśnie na wyborze pierwiastków równania. Poćwiczmy z innym przykładem:

Oczywiste jest, że samo równanie jest dość proste. Po dokonaniu podstawienia redukujemy nasze pierwotne równanie do następującego:

Spójrzmy najpierw na pierwszy korzeń. Porównaj i: od tego czasu. (własność funkcji logarytmicznej, w). Wtedy jasne jest, że pierwszy pierwiastek też nie należy do naszego przedziału. Teraz drugi korzeń: . Jasne jest, że (ponieważ funkcja rośnie). Pozostaje porównać i

od tego czasu w tym samym czasie. W ten sposób mogę „wbić kołek” między a. Ten kołek to liczba. Pierwsze wyrażenie jest mniejsze niż, a drugie większe niż. Wtedy drugie wyrażenie jest większe niż pierwsze, a pierwiastek należy do przedziału.

Odpowiadać: .

Na zakończenie spójrzmy na inny przykład równania, w którym zamiana jest raczej niestandardowa:

Zacznijmy od razu, co możesz zrobić, a co - w zasadzie możesz, ale lepiej tego nie robić. Jest możliwe - przedstawić wszystko mocami trzech, dwóch i sześciu. Dokąd to prowadzi? Tak i do niczego nie doprowadzi: mieszanka stopni, z których niektórych będzie trudno się pozbyć. Co zatem jest potrzebne? Zauważmy, że A co nam to da? I fakt, że możemy zredukować rozwiązanie tego przykładu do rozwiązania dość prostego równania wykładniczego! Najpierw przepiszmy nasze równanie jako:

Teraz dzielimy obie strony wynikowego równania na:

Eureko! Teraz możemy wymienić, otrzymujemy:

Cóż, teraz twoja kolej na rozwiązywanie problemów do demonstracji, a ja dam im tylko krótkie uwagi, aby nie zbłądzić! Powodzenia!

1. Najtrudniejszy! Widzenie tutaj zamiennika jest och, jakie brzydkie! Niemniej jednak ten przykład można całkowicie rozwiązać za pomocą wybór pełnego kwadratu. Aby go rozwiązać, wystarczy zauważyć, że:

Oto twój zamiennik:

(Zauważ, że tutaj, z naszym zamiennikiem, nie możemy odrzucić ujemnego korzenia!!! I dlaczego, jak myślisz?)

Teraz, aby rozwiązać ten przykład, musisz rozwiązać dwa równania:

Oba z nich rozwiązuje „standardowa wymiana” (ale druga w jednym przykładzie!)

2. Zauważ to i dokonaj zamiany.

3. Rozwiń liczbę na czynniki względnie pierwsze i uprość wynikowe wyrażenie.

4. Podziel licznik i mianownik ułamka przez (lub jeśli wolisz) i dokonaj podstawienia lub.

5. Zauważ, że liczby i są sprzężone.

RÓWNANIA EKSPOZYCYJNE. POZIOM ZAAWANSOWANY

Ponadto spójrzmy w inny sposób - rozwiązywanie równań wykładniczych metodą logarytmiczną. Nie mogę powiedzieć, że rozwiązywanie równań wykładniczych tą metodą jest bardzo popularne, ale tylko w niektórych przypadkach może nas doprowadzić do poprawnego rozwiązania naszego równania. Szczególnie często służy do rozwiązywania tzw. mieszane równania': czyli te, w których występują funkcje różnego typu.

Na przykład równanie takie jak:

w ogólnym przypadku można go rozwiązać tylko przez logarytm obu części (na przykład przez podstawę), w którym oryginalne równanie zamienia się w następujące:

Rozważmy następujący przykład:

Jasne jest, że interesuje nas tylko ODZ funkcji logarytmicznej. Wynika to jednak nie tylko z ODZ logarytmu, ale z innego powodu. Myślę, że nie będzie Ci trudno odgadnąć, który.

Przyjmijmy do podstawy logarytm obu stron naszego równania:

Jak widać, logarytmowanie naszego pierwotnego równania szybko doprowadziło nas do prawidłowej (i pięknej!) odpowiedzi. Poćwiczmy z innym przykładem:

Tutaj też nie ma się czym martwić: logarytmujemy obie strony równania w kategoriach podstawy, to otrzymujemy:

Zróbmy wymianę:

Coś jednak przegapiliśmy! Czy zauważyłeś, gdzie popełniłem błąd? W końcu wtedy:

który nie spełnia wymagań (pomyśl, skąd się wziął!)

Odpowiadać:

Spróbuj napisać rozwiązanie poniższych równań wykładniczych:

Teraz sprawdź swoje rozwiązanie za pomocą tego:

1. Logarytmujemy obie części do bazy, zakładając, że:

(drugi korzeń nam nie odpowiada z powodu wymiany)

2. Logarytm do podstawy:

Przekształćmy wynikowe wyrażenie do następującej postaci:

RÓWNANIA EKSPOZYCYJNE. KRÓTKI OPIS I PODSTAWOWA FORMUŁA

równanie wykładnicze

Wpisz równanie:

nazywa najprostsze równanie wykładnicze.

Właściwości stopnia

Podejścia do rozwiązań

Redukcja do tej samej bazy
Redukcja do tego samego wykładnika
Zmienna substytucja
Uprość wyrażenie i zastosuj jedno z powyższych.

Ekwipunek:

komputer,
projektor multimedialny,
ekran,
Załącznik 1(prezentacja slajdów w programie PowerPoint) „Metody rozwiązywania równań wykładniczych”
Załącznik 2(Rozwiązanie równania typu „Trzy różne podstawy stopni” w programie Word)
Załącznik 3(ulotka w Wordzie do pracy praktycznej).
Dodatek 4(ulotka w programie Word do pracy domowej).

Podczas zajęć

1. Etap organizacyjny

przesłanie tematu lekcji (zapisane na tablicy),
potrzeba lekcji uogólniającej w klasach 10-11:

Etap przygotowania uczniów do aktywnego przyswajania wiedzy

Powtórzenie

Definicja.

Równanie wykładnicze to równanie zawierające zmienną w wykładniku (odpowiada student).

Notatka nauczyciela. Równania wykładnicze należą do klasy równań transcendentalnych. Ta trudna do wymówienia nazwa sugeruje, że takich równań, ogólnie rzecz biorąc, nie da się rozwiązać za pomocą formuł.

Można je rozwiązać tylko w przybliżeniu metodami numerycznymi na komputerach. Ale co z pytaniami egzaminacyjnymi? Cała sztuczka polega na tym, że egzaminator komponuje problem w taki sposób, że po prostu dopuszcza rozwiązanie analityczne. Innymi słowy, możesz (i powinieneś!) wykonać takie identyczne przekształcenia, które sprowadzają dane równanie wykładnicze do najprostszego równania wykładniczego. Jest to najprostsze równanie i nazywa się: najprostsze równanie wykładnicze. To jest rozwiązane logarytm.

Sytuacja z rozwiązaniem równania wykładniczego przypomina podróż przez labirynt, który został specjalnie wymyślony przez kompilatora problemu. Z tych bardzo ogólnych rozważań wynikają dość konkretne zalecenia.

Aby pomyślnie rozwiązywać równania wykładnicze, musisz:

1. Nie tylko aktywnie znać wszystkie tożsamości wykładnicze, ale także znajdować zbiory wartości zmiennej, na której te tożsamości są zdefiniowane, tak aby korzystając z tych tożsamości nie nabywać zbędnych pierwiastków, a tym bardziej nie tracić rozwiązania równania.

2. Aktywnie znać wszystkie tożsamości wykładnicze.

3. Wyraźnie, szczegółowo i bez błędów, wykonuj matematyczne przekształcenia równań (przenieś warunki z jednej części równania na drugą, nie zapominając o zmianie znaku, skróć ułamek do wspólnego mianownika itp.). Nazywa się to kulturą matematyczną. Jednocześnie same obliczenia powinny być wykonywane automatycznie rękami, a głowa powinna pomyśleć o ogólnym wątku przewodnim rozwiązania. Konieczne jest dokonywanie transformacji tak starannie i szczegółowo, jak to możliwe. Tylko to zagwarantuje prawidłowe, bezbłędne rozwiązanie. I pamiętaj: mały błąd arytmetyczny może po prostu stworzyć równanie transcendentalne, którego w zasadzie nie da się rozwiązać analitycznie. Okazuje się, że zgubiłeś drogę i wpadłeś na ścianę labiryntu.

4. Znać metody rozwiązywania problemów (czyli znać wszystkie drogi przez labirynt rozwiązania). Dla prawidłowej orientacji na każdym etapie będziesz musiał (świadomie lub intuicyjnie!):

definiować typ równania;
zapamiętaj odpowiedni typ! metoda rozwiązania zadania.

Etap generalizacji i systematyzacji badanego materiału.

Nauczyciel wraz z uczniami, przy pomocy komputera, przeprowadza przeglądowe powtórzenie wszystkich typów równań wykładniczych i metod ich rozwiązywania oraz sporządza ogólny schemat. (Wykorzystywany jest szkoleniowy program komputerowy L.Ya. Borevsky'ego „Kurs matematyki - 2000”, autorem prezentacji PowerPoint jest T.N. Kuptsova.)

Ryż. jeden. Rysunek przedstawia ogólny schemat wszystkich typów równań wykładniczych.

Jak widać z tego diagramu, strategią rozwiązywania równań wykładniczych jest sprowadzenie tego równania wykładniczego do równania, przede wszystkim: z tymi samymi zasadami , a następnie - i z tymi samymi wykładnikami.

Po otrzymaniu równania o tych samych podstawach i wykładnikach zastępujesz ten stopień nową zmienną i otrzymujesz proste równanie algebraiczne (zwykle ułamkowe wymierne lub kwadratowe) w odniesieniu do tej nowej zmiennej.

Rozwiązując to równanie i dokonując odwrotnego podstawienia, otrzymujesz zestaw prostych równań wykładniczych, które można ogólnie rozwiązać za pomocą logarytmu.

Równania wyróżniają się, w których występują tylko iloczyny (prywatnych) potęg. Korzystając z tożsamości wykładniczych, można natychmiast sprowadzić te równania do jednej bazy, w szczególności do najprostszego równania wykładniczego.

Zastanów się, jak rozwiązywane jest równanie wykładnicze z trzema różnymi podstawami stopni.

(Jeśli nauczyciel ma program komputerowy do nauczania autorstwa L.Ya. Borevsky'ego "Kurs matematyki - 2000", to oczywiście pracujemy z dyskiem, jeśli nie, możesz wydrukować z niego ten typ równania dla każdego biurka, przedstawiony poniżej .)

Ryż. 2. Plan rozwiązania równania.

Ryż. 3. Zaczynam rozwiązywać równanie

Ryż. cztery. Koniec rozwiązania równania.

Wykonywanie praktycznej pracy

Określ typ równania i rozwiąż je.

1.
2.
3. 0,125
4.
5.
6.

Podsumowanie lekcji

Ocenianie lekcji.

koniec lekcji

Dla nauczyciela

Schemat praktycznych odpowiedzi do pracy.

Ćwiczenie: z listy równań wybierz równania określonego typu (wpisz numer odpowiedzi w tabeli):

Trzy różne bazy
Dwie różne podstawy - różne wykładniki
Podstawy potęg - potęgi jednej liczby
Te same podstawy, różne wykładniki
Te same podstawy wykładników - te same wykładniki
Iloczyn uprawnień
Dwie różne podstawy stopni - te same wskaźniki
Najprostsze równania wykładnicze

1. (iloczyn uprawnień)

2. (te same podstawy - różne wykładniki)

Przejdź do kanału youtube w naszej witrynie, aby być świadomym wszystkich nowych lekcji wideo.

Najpierw przypomnijmy sobie podstawowe wzory stopni i ich własności.

Iloczyn liczby a dzieje się na sobie n razy, możemy zapisać to wyrażenie jako a … a=a n

1. a 0 = 1 (a 0)

3. za n za m = za n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. n / m \u003d n - m

Równania potęgowe lub wykładnicze- są to równania, w których zmienne są potęgowane (lub wykładniki), a podstawą jest liczba.

Przykłady równań wykładniczych:

W tym przykładzie liczba 6 jest podstawą, zawsze jest na dole, a zmienna x stopień lub miarę.

Podajmy więcej przykładów równań wykładniczych.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Spójrzmy teraz, jak rozwiązywane są równania wykładnicze?

Weźmy proste równanie:

2 x = 2 3

Taki przykład można rozwiązać nawet w umyśle. Widać, że x=3. W końcu, aby lewa i prawa strona były równe, musisz wstawić cyfrę 3 zamiast x.
Zobaczmy teraz, jak należy podjąć tę decyzję:

2 x = 2 3
x = 3

Aby rozwiązać to równanie, usunęliśmy te same podstawy(czyli dwójki) i zapisałem to, co zostało, to są stopnie. Otrzymaliśmy odpowiedź, której szukaliśmy.

Podsumujmy teraz nasze rozwiązanie.

Algorytm rozwiązywania równania wykładniczego:
1. Musisz sprawdzić ten sam czy podstawy równania po prawej i po lewej stronie. Jeśli podstawy nie są takie same, szukamy opcji rozwiązania tego przykładu.
2. Gdy podstawy są takie same, zrównać stopnia i rozwiązać powstałe nowe równanie.

Rozwiążmy teraz kilka przykładów:

Zacznijmy prosto.

Podstawy po lewej i prawej stronie są równe liczbie 2, co oznacza, że możemy odrzucić podstawę i zrównać ich stopnie.

x+2=4 Wyszło najprostsze równanie.
x=4 - 2
x=2
Odpowiedź: x=2

W poniższym przykładzie widać, że podstawy są różne, są to 3 i 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Na początek przenosimy dziewięć na prawą stronę, otrzymujemy:

Teraz musisz zrobić te same podstawy. Wiemy, że 9=3 2 . Użyjmy wzoru na potęgę (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Otrzymujemy 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 teraz jest jasne, że podstawy po lewej i prawej stronie są takie same i równe trzem, co oznacza, że możemy je odrzucić i zrównać stopnie.

3x=2x+16 otrzymało najprostsze równanie
3x-2x=16
x=16
Odpowiedź: x=16.

Spójrzmy na następujący przykład:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Przede wszystkim przyjrzymy się podstawom, podstawami są różne dwie i cztery. I musimy być tacy sami. Przekształcamy czwórkę zgodnie ze wzorem (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Używamy również jednej formuły a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodaj do równania:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Ale przeszkadzają nam inne liczby 10 i 24. Co z nimi zrobić? Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że po lewej stronie powtarzamy 2 2x, oto odpowiedź - możemy umieścić 2 2x poza nawiasami:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Obliczmy wyrażenie w nawiasach:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Całe równanie dzielimy przez 6:

Wyobraź sobie 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 podstawy są takie same, odrzuć je i zrównaj stopnie.
2x \u003d 2 okazało się najprostszym równaniem. Dzielimy przez 2, otrzymujemy
x = 1
Odpowiedź: x = 1.

Rozwiążmy równanie:

9 x - 12*3 x +27= 0

Przekształćmy:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otrzymujemy równanie:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Nasze podstawy są takie same, równe 3. W tym przykładzie jest jasne, że pierwsza trójka ma stopień dwa razy (2x) niż druga (tylko x). W takim przypadku możesz zdecydować metoda substytucji. Liczba o najmniejszym stopniu zostaje zastąpiona przez:

Następnie 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Zamieniamy wszystkie stopnie na x w równaniu z t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Otrzymujemy równanie kwadratowe. Rozwiązujemy przez dyskryminację, otrzymujemy:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Powrót do zmiennej x.

Bierzemy t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

To znaczy,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Znaleziono jeden korzeń. Poszukujemy drugiego z t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpowiedź: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na stronie możesz w sekcji POMOC ZDECYDOWAĆ zadać interesujące Cię pytania, na pewno Ci odpowiemy.

Dołącz do grupy