Znalezienie największego wspólnego dzielnika online. Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności: metody, przykłady znajdowania LCM

Kalkulator online pozwala szybko znaleźć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch lub dowolną inną liczbę liczb.

Kalkulator do znajdowania GCD i NOC

Znajdź GCD i NOC

Znaleziono GCD i NOC: 5806

Jak korzystać z kalkulatora

• Wprowadź liczby w polu wprowadzania
• W przypadku wpisania błędnych znaków pole wejściowe zostanie podświetlone na czerwono
• naciśnij przycisk "Znajdź GCD i NOC"

Jak wpisywać cyfry

• Liczby są wprowadzane oddzielone spacjami, kropkami lub przecinkami
• Długość wprowadzanych liczb nie jest ograniczona, więc znalezienie gcd i lcm długich liczb nie będzie trudne

Co to jest NOD i NOK?

Największy wspólny dzielnik kilku liczb to największa naturalna liczba całkowita, przez którą wszystkie liczby pierwotne są podzielne bez reszty. Największy wspólny dzielnik jest w skrócie GCD.
Najmniejsza wspólna wielokrotność kilka liczb to najmniejsza liczba podzielna przez każdą z pierwotnych liczb bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność jest skrócona jako NOC.

Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez inną liczbę bez reszty?

Aby dowiedzieć się, czy jedna liczba jest podzielna przez drugą bez reszty, możesz użyć pewnych własności podzielności liczb. Następnie łącząc je można sprawdzić podzielność przez niektóre z nich i ich kombinacje.

Niektóre oznaki podzielności liczb

1. Znak podzielności liczby przez 2
Aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez dwa (czy jest parzysta), wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę tej liczby: jeśli jest równa 0, 2, 4, 6 lub 8, to liczba jest parzysta, co oznacza, że ​​jest podzielna przez 2.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 2.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że ​​liczba jest podzielna przez dwa.

2. Znak podzielności liczby przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Tak więc, aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez 3, musisz obliczyć sumę cyfr i sprawdzić, czy jest podzielna przez 3. Nawet jeśli suma cyfr okazała się bardzo duża, możesz powtórzyć ten sam proces ponownie.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 3.
Rozwiązanie: liczymy sumę cyfr: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 3, co oznacza, że ​​liczba jest podzielna przez trzy.

3. Znak podzielności liczby przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnia cyfra to zero lub pięć.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że ​​liczba NIE jest podzielna przez pięć.

4. Znak podzielności liczby przez 9
Ten znak jest bardzo podobny do znaku podzielności przez trzy: liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 9.
Rozwiązanie: obliczamy sumę cyfr: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 9, co oznacza, że ​​liczba jest podzielna przez dziewięć.

Jak znaleźć GCD i LCM dwóch liczb?

Jak znaleźć NWD dwóch liczb

Najprostszym sposobem obliczenia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb jest znalezienie wszystkich możliwych dzielników tych liczb i wybranie największego z nich.

Rozważ tę metodę na przykładzie znalezienia GCD(28, 36) :

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Znajdujemy wspólne czynniki, czyli takie, które obie liczby mają: 1, 2 i 2.
3. Obliczamy iloczyn tych czynników: 1 2 2 \u003d 4 - jest to największy wspólny dzielnik liczb 28 i 36.

Jak znaleźć LCM dwóch liczb

Istnieją dwa najczęstsze sposoby znajdowania najmniejszej wielokrotności dwóch liczb. Pierwszy sposób polega na tym, że możesz wypisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie wybrać spośród nich taką liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i jednocześnie najmniejsza. Drugim jest znalezienie GCD tych liczb. Po prostu rozważmy to.

Aby obliczyć LCM, musisz obliczyć iloczyn pierwotnych liczb, a następnie podzielić go przez poprzednio znaleziony GCD. Znajdźmy LCM dla tych samych numerów 28 i 36:

1. Znajdź iloczyn liczb 28 i 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) jest już znane jako 4
3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252.

Znajdowanie GCD i LCM dla wielu liczb

Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dla dwóch. W tym celu liczby do wyszukania dla największego wspólnego dzielnika są rozkładane na czynniki pierwsze, a następnie znajduje się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb. Ponadto, aby znaleźć GCD kilku liczb, możesz użyć następującej relacji: nwd(a, b, c) = nwd(ww(a, b), c).

Podobna zależność dotyczy również najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb: LKM(a, b, c) = LKM(LCM(a, b), c)

Przykład: znajdź GCD i LCM dla numerów 12, 32 i 36.

1. Najpierw rozliczmy liczby na czynniki: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Znajdźmy wspólne czynniki: 1, 2 i 2 .
3. Ich iloczyn da gcd: 1 2 2 = 4
4. Teraz znajdźmy LCM: w tym celu najpierw znajdujemy LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Aby znaleźć LCM wszystkich trzech liczb, musisz znaleźć NWD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , NWD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12,32,36) = 96 36/12 = 288.

Rozważ trzy sposoby znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności.

Wyszukiwanie przez faktoring

Pierwszym sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie podanych liczb na czynniki pierwsze.

Załóżmy, że musimy znaleźć LCM liczb: 99, 30 i 28. Aby to zrobić, rozkładamy każdą z tych liczb na czynniki pierwsze:

Aby żądana liczba była podzielna przez 99, 30 i 28, konieczne i wystarczające jest, aby zawierała wszystkie czynniki pierwsze tych dzielników. Aby to zrobić, musimy wziąć wszystkie czynniki pierwsze tych liczb do najwyższej występującej potęgi i pomnożyć je przez siebie:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Tak więc LCM (99, 30, 28) = 13 860. Żadna inna liczba mniejsza niż 13 860 nie jest podzielna przez 99, 30 lub 28.

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność podanych liczb, musisz rozłożyć je na czynniki pierwsze, a następnie wziąć każdy czynnik pierwszy o największym wykładniku, jaki występuje, i pomnożyć te czynniki przez siebie.

Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych czynników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb. Na przykład trzy liczby: 20, 49 i 33 są względnie pierwsze. Dlatego

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

To samo należy zrobić, szukając najmniejszej wspólnej wielokrotności różnych liczb pierwszych. Na przykład LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Znajdowanie według wyboru

Drugim sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez dopasowanie.

Przykład 1. Gdy największa z podanych liczb jest równo podzielna przez inne podane liczby, to LCM tych liczb jest równy większej z nich. Na przykład, biorąc pod uwagę cztery liczby: 60, 30, 10 i 6. Każda z nich jest podzielna przez 60, zatem:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

W innych przypadkach, aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, stosuje się następującą procedurę:

1. Określ największą liczbę z podanych liczb.
2. Następnie znajdujemy liczby będące wielokrotnościami największej liczby, mnożąc ją przez liczby naturalne w kolejności rosnącej i sprawdzając, czy pozostałe podane liczby są podzielne przez otrzymany iloczyn.

Przykład 2. Mając trzy liczby 24, 3 i 18. Wyznacz największą z nich - jest to liczba 24. Następnie znajdź wielokrotności 24, sprawdzając, czy każda z nich jest podzielna przez 18 i przez 3:

24 1 = 24 jest podzielne przez 3, ale nie jest podzielne przez 18.

24 2 = 48 - podzielne przez 3, ale niepodzielne przez 18.

24 3 \u003d 72 - podzielne przez 3 i 18.

Zatem LCM(24, 3, 18) = 72.

Wyszukiwanie za pomocą wyszukiwania sekwencyjnego LCM

Trzecim sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez sukcesywne znajdowanie LCM.

LCM dwóch danych liczb jest równy iloczynowi tych liczb podzielonemu przez ich największy wspólny dzielnik.

Przykład 1. Znajdź LCM dwóch podanych liczb: 12 i 8. Określ ich największy wspólny dzielnik: NWD (12, 8) = 4. Pomnóż te liczby:

Produkt dzielimy na ich GCD:

Tak więc LCM(12, 8) = 24.

Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, stosuje się następującą procedurę:

1. Najpierw znajduje się LCM dowolnych dwóch z podanych liczb.
2. Następnie LCM znalezionej najmniejszej wspólnej wielokrotności i trzeciej podanej liczby.
3. Następnie LCM wynikowej najmniejszej wspólnej wielokrotności i czwartej liczby, i tak dalej.
4. W ten sposób wyszukiwanie LCM trwa tak długo, jak długo są liczby.

Przykład 2. Znajdźmy LCM trzech podanych liczb: 12, 8 i 9. W poprzednim przykładzie znaleźliśmy LCM liczb 12 i 8 (jest to liczba 24). Pozostaje znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność 24 i trzecią podaną liczbę - 9. Wyznacz ich największy wspólny dzielnik: gcd (24, 9) = 3. Pomnóż LCM przez liczbę 9:

Produkt dzielimy na ich GCD:

Tak więc LCM(12, 8, 9) = 72.

Wyrażenia i zadania matematyczne wymagają dużo dodatkowej wiedzy. NOC jest jednym z głównych, szczególnie często używanym w temacie.Temat jest studiowany w liceum, podczas gdy nie jest on szczególnie trudny do zrozumienia materiału, nie będzie trudno wybrać osobie znającej potęgi i tabliczkę mnożenia niezbędne liczby i znajdź wynik.

Definicja

Wspólna wielokrotność to liczba, którą można całkowicie podzielić na dwie liczby jednocześnie (a i b). Najczęściej tę liczbę uzyskuje się przez pomnożenie oryginalnych liczb a i b. Liczba musi być podzielna przez obie liczby naraz, bez odchyleń.

NOC to skrócona nazwa, która pochodzi od pierwszych liter.

Sposoby na zdobycie numeru

Aby znaleźć LCM, metoda mnożenia liczb nie zawsze jest odpowiednia, znacznie lepiej nadaje się do prostych liczb jednocyfrowych lub dwucyfrowych. Zwyczajowo dzieli się na czynniki, im większa liczba, tym więcej będzie czynników.

Przykład 1

W najprostszym przykładzie szkoły zwykle przyjmują liczby proste, jednocyfrowe lub dwucyfrowe. Na przykład musisz rozwiązać następujące zadanie, znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 7 i 3, rozwiązanie jest dość proste, po prostu je pomnóż. W rezultacie jest liczba 21, po prostu nie ma mniejszej liczby.

Przykład #2

Druga opcja jest znacznie trudniejsza. Podano liczby 300 i 1260, znalezienie LCM jest obowiązkowe. Aby rozwiązać zadanie, zakłada się następujące działania:

Rozkład pierwszej i drugiej liczby na najprostsze czynniki. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Pierwszy etap został zakończony.

Drugi etap to praca z już uzyskanymi danymi. Każda z otrzymanych liczb musi uczestniczyć w obliczeniu końcowego wyniku. Dla każdego czynnika z pierwotnych liczb pobierana jest największa liczba wystąpień. LCM jest liczbą pospolitą, więc czynniki z liczb muszą się w nim powtarzać do końca, nawet te, które występują w jednym egzemplarzu. Obie liczby początkowe mają w swoim składzie liczby 2, 3 i 5, w różnym stopniu, 7 jest tylko w jednym przypadku.

Aby obliczyć ostateczny wynik, musisz wziąć do równania każdą liczbę w największej z ich reprezentowanych potęg. Pozostaje tylko pomnożyć i uzyskać odpowiedź, przy prawidłowym wypełnieniu zadanie bez wyjaśnienia składa się z dwóch kroków:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

To całe zadanie, jeśli spróbujesz obliczyć żądaną liczbę przez pomnożenie, odpowiedź na pewno nie będzie poprawna, ponieważ 300 * 1260 = 378 000.

Badanie:

6300 / 300 = 21 - prawda;

6300 / 1260 = 5 jest poprawne.

Poprawność wyniku określa się przez sprawdzenie - podzielenie LCM przez obie liczby pierwotne, jeżeli liczba jest w obu przypadkach liczbą całkowitą, to odpowiedź jest prawidłowa.

Co oznacza NOC w matematyce?

Jak wiecie, w matematyce nie ma ani jednej bezużytecznej funkcji, ta nie jest wyjątkiem. Najczęstszym celem tej liczby jest doprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Czego zwykle uczy się w klasach 5-6 liceum. Jest to również dodatkowo wspólny dzielnik dla wszystkich wielokrotności, jeśli takie warunki występują w problemie. Takie wyrażenie może znaleźć wielokrotność nie tylko dwóch liczb, ale także znacznie większej liczby - trzy, pięć i tak dalej. Im więcej liczb - tym więcej czynności w zadaniu, ale złożoność tego nie wzrasta.

Na przykład, biorąc pod uwagę liczby 250, 600 i 1500, musisz znaleźć ich całkowity LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ten przykład szczegółowo opisuje rozkład na czynniki, bez redukcji.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Aby skomponować wyrażenie, należy wymienić wszystkie czynniki, w tym przypadku podaje się 2, 5, 3 - dla wszystkich tych liczb wymagane jest określenie maksymalnego stopnia.

Uwaga: wszystkie mnożniki muszą zostać doprowadzone do pełnego uproszczenia, jeśli to możliwe, rozkładając je do poziomu pojedynczych cyfr.

Badanie:

1) 3000 / 250 = 12 - prawda;

2) 3000 / 600 = 5 - prawda;

3) 3000 / 1500 = 2 jest poprawne.

Ta metoda nie wymaga żadnych sztuczek ani zdolności na poziomie geniuszu, wszystko jest proste i jasne.

Inny sposób

W matematyce wiele jest ze sobą powiązanych, wiele można rozwiązać na dwa lub więcej sposobów, to samo dotyczy znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności, LCM. Poniższą metodę można zastosować w przypadku prostych liczb dwucyfrowych i jednocyfrowych. Zestawiana jest tabela, w której mnożnik jest wprowadzany pionowo, mnożnik poziomo, a iloczyn jest wskazywany w przecinających się komórkach kolumny. Tabelę można odzwierciedlić za pomocą linii, bierze się liczbę i zapisuje wyniki pomnożenia tej liczby przez liczby całkowite, od 1 do nieskończoności, czasami wystarczy 3-5 punktów, poddaje się drugą i kolejne liczby do tego samego procesu obliczeniowego. Wszystko dzieje się, dopóki nie zostanie znaleziona wspólna wielokrotność.

Mając liczby 30, 35, 42, musisz znaleźć LCM, który łączy wszystkie liczby:

1) Wielokrotności 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.

2) Wielokrotności 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.

3) Wielokrotności 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.

Widać, że wszystkie liczby są zupełnie inne, jedyną wspólną liczbą jest 210, więc będzie to LCM. Wśród procesów związanych z tym obliczeniem występuje również największy wspólny dzielnik, który jest obliczany według podobnych zasad i często spotykany w sąsiednich problemach. Różnica jest niewielka, ale wystarczająco znacząca, LCM polega na obliczeniu liczby podzielnej przez wszystkie podane wartości początkowe, a GCD zakłada obliczenie największej wartości, przez którą dzielone są liczby początkowe.

Wielokrotność liczby to liczba podzielna przez daną liczbę bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) grupy liczb to najmniejsza liczba podzielna równomiernie przez każdą liczbę w grupie. Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musisz znaleźć czynniki pierwsze podanych liczb. Ponadto LCM można obliczyć przy użyciu wielu innych metod, które mają zastosowanie do grup składających się z dwóch lub więcej liczb.

Kroki

Seria wielokrotności

Spójrz na te liczby. Opisana tutaj metoda najlepiej nadaje się do podania dwóch liczb, które są mniejsze niż 10. Jeśli podano duże liczby, użyj innej metody.

• Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 5 i 8. Są to małe liczby, więc można użyć tej metody.

1. Wielokrotność liczby to liczba podzielna przez daną liczbę bez reszty. W tabliczce mnożenia można znaleźć wiele liczb.

   • Na przykład liczby będące wielokrotnościami 5 to: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapisz serię liczb, które są wielokrotnościami pierwszej liczby. Zrób to pod wielokrotnościami pierwszej liczby, aby porównać dwa rzędy liczb.

   • Na przykład liczby będące wielokrotnościami 8 to: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Znajdź najmniejszą liczbę, która pojawia się w obu seriach wielokrotności. Być może będziesz musiał napisać długą serię wielokrotności, aby znaleźć sumę. Najmniejsza liczba występująca w obu seriach wielokrotności to najmniejsza wspólna wielokrotność.

   • Na przykład najmniejsza liczba występująca w szeregu wielokrotności 5 i 8 to 40. Dlatego 40 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością 5 i 8.

   Rozkład na czynniki pierwsze

   1. Spójrz na te liczby. Opisaną tutaj metodę najlepiej zastosować, gdy podano dwie liczby, które są większe od 10. Jeśli podano mniejsze liczby, użyj innej metody.

      • Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 20 i 84. Każda z liczb jest większa od 10, więc można użyć tej metody.

   2. Faktoryzuj pierwszą liczbę. Oznacza to, że musisz znaleźć takie liczby pierwsze, po pomnożeniu otrzymasz daną liczbę. Po znalezieniu czynników pierwszych zapisz je jako równość.

      • Na przykład, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2))\razy 10=20) oraz 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2))\times (\mathbf (5))=10). Czynnikami pierwszymi liczby 20 są więc liczby 2, 2 i 5. Zapisz je jako wyrażenie: .

   3. Podziel drugą liczbę na czynniki pierwsze. Zrób to w taki sam sposób, jak rozłożyłeś pierwszą liczbę na czynniki, to znaczy znajdź takie liczby pierwsze, które po pomnożeniu otrzymają tę liczbę.

      • Na przykład, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2))\razy 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7))\razy 6=42) oraz 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3))\times (\mathbf (2))=6). Czynnikami pierwszymi liczby 84 są więc liczby 2, 7, 3 i 2. Zapisz je jako wyrażenie: .

   4. Zapisz czynniki wspólne dla obu liczb. Napisz takie czynniki jak operacja mnożenia. Zapisując każdy czynnik, wykreśl go w obu wyrażeniach (wyrażeniach opisujących rozkład liczb na czynniki pierwsze).

      • Na przykład wspólny dzielnik dla obu liczb to 2, więc napisz 2 × (\displaystyle 2\razy) i skreślić 2 w obu wyrażeniach.
      • Wspólny czynnik dla obu liczb to kolejny czynnik 2, więc napisz 2 × 2 (\displaystyle 2\razy 2) i wykreśl drugie 2 w obu wyrażeniach.

   5. Dodaj pozostałe czynniki do operacji mnożenia. Są to czynniki, które nie są przekreślone w obu wyrażeniach, czyli czynniki, które nie są wspólne dla obu liczb.

      • Na przykład w wyrażeniu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\razy 2\razy 5) obie dwójki (2) są przekreślone, ponieważ są to czynniki wspólne. Współczynnik 5 nie jest przekreślony, więc zapisz operację mnożenia w następujący sposób: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\razy 2\razy 5)
      • W wyrażeniu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\razy 7\razy 3\razy 2) obie dwójki (2) są również przekreślone. Czynniki 7 i 3 nie są przekreślone, więc zapisz operację mnożenia w następujący sposób: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\razy 2\razy 5\razy 7\razy 3).

   6. Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność. Aby to zrobić, pomnóż liczby w operacji mnożenia pisemnego.

      • Na przykład, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Tak więc najmniejsza wspólna wielokrotność 20 i 84 wynosi 420.

   Znalezienie wspólnych dzielników

   1. Narysuj siatkę tak, jak podczas gry w kółko i krzyżyk. Taka siatka składa się z dwóch równoległych linii, które przecinają się (pod kątem prostym) z dwoma innymi równoległymi liniami. Spowoduje to powstanie trzech wierszy i trzech kolumn (siatka wygląda bardzo podobnie do znaku #). Wpisz pierwszą liczbę w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie. Wpisz drugą liczbę w pierwszym wierszu i trzeciej kolumnie.

      • Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczby 18 i 30. Wpisz 18 w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie, a 30 w pierwszym wierszu i trzeciej kolumnie.

   2. Znajdź dzielnik wspólny dla obu liczb. Zapisz to w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie. Lepiej poszukać dzielników pierwszych, ale nie jest to warunek konieczny.

      • Na przykład 18 i 30 to liczby parzyste, więc ich wspólny dzielnik to 2. Wpisz więc 2 w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie.

   3. Podziel każdą liczbę przez pierwszy dzielnik. Napisz każdy iloraz pod odpowiednią liczbą. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb.

      • Na przykład, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), więc napisz 9 poniżej 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), więc napisz 15 pod 30.

   4. Znajdź dzielnik wspólny dla obu ilorazów. Jeśli nie ma takiego dzielnika, pomiń kolejne dwa kroki. W przeciwnym razie zapisz dzielnik w drugim wierszu i pierwszej kolumnie.

      • Na przykład 9 i 15 są podzielne przez 3, więc wpisz 3 w drugim wierszu i pierwszej kolumnie.

   5. Podziel każdy iloraz przez drugi dzielnik. Zapisz każdy wynik dzielenia pod odpowiednim ilorazem.

      • Na przykład, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), więc napisz 3 pod 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), więc napisz 5 pod 15.

   6. W razie potrzeby uzupełnij siatkę o dodatkowe komórki. Powtarzaj powyższe kroki, aż iloraz będzie miał wspólny dzielnik.

   7. Zakreśl cyfry w pierwszej kolumnie i ostatnim wierszu siatki. Następnie zapisz podświetlone liczby jako operację mnożenia.

      • Na przykład liczby 2 i 3 znajdują się w pierwszej kolumnie, a liczby 3 i 5 w ostatnim wierszu, więc zapisz operację mnożenia w ten sposób: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\razy 3\razy 3\razy 5).

   8. Znajdź wynik mnożenia liczb. Spowoduje to obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch podanych liczb.

      • Na przykład, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\razy 3\razy 3\razy 5=90). Tak więc najmniejsza wspólna wielokrotność 18 i 30 wynosi 90.

   Algorytm Euklidesa

   1. Zapamiętaj terminologię związaną z operacją dzielenia. Dywidenda to liczba, która jest dzielona. Dzielnik to liczba, przez którą należy podzielić. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb. Reszta to liczba pozostała po podzieleniu dwóch liczb.

      • Na przykład w wyrażeniu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) reszta. 3:
        15 jest podzielne
        6 jest dzielnikiem
        2 jest prywatne
        3 to reszta.

Przedstawiony poniżej materiał jest logiczną kontynuacją teorii z artykułu pod nagłówkiem LCM - najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, związek między LCM a GCD. Tutaj porozmawiamy znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) i zwróć szczególną uwagę na rozwiązywanie przykładów. Najpierw pokażmy, w jaki sposób LCM dwóch liczb jest obliczany w kategoriach NWD tych liczb. Następnie rozważ znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczanie LCM liczb ujemnych.

Nawigacja po stronach.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd

Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest związek między LCM a GCD. Istniejąca zależność między LCM a NWD pozwala obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych przez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła ma postać LCM(a, b)=a b: NWD(a, b) . Rozważ przykłady znalezienia LCM zgodnie z powyższym wzorem.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70 .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a=126 , b=70 . Wykorzystajmy zależność między LCM a NWD wyrażoną wzorem LCM(a, b)=a b: NWD(a, b). Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb zgodnie z zapisanym wzorem.

Znajdź gcd(126, 70) używając algorytmu Euclida: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , stąd gcd(126, 70)=14 .

Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630.

Odpowiadać:

LCM(126,70)=630.

Przykład.

Co to jest LCM(68, 34)?

Rozwiązanie.

Dlatego 68 jest podzielne przez 34 , to gcd(68, 34)=34 . Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LKM(68, 34)=68 34: LKM(68, 34)= 68 34:34=68.

Odpowiadać:

LCM(68,34)=68.

Zauważ, że poprzedni przykład pasuje do następującej zasady znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych aib : jeśli liczba a jest podzielna przez b , najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a .

Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli zrobimy iloczyn wszystkich czynników pierwszych tych liczb, po czym wykluczymy z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze, które występują w rozwinięciach tych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb.

Ogłoszona zasada znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b: NWD(a, b). Rzeczywiście, iloczyn liczb a i b jest równy iloczynowi wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia liczb a i b. Z kolei nwd(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w rozwinięciach liczb a i b (co jest opisane w rozdziale dotyczącym znajdowania gcd za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze ).

Weźmy przykład. Wiedzmy, że 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Skomponuj iloczyn wszystkich czynników tych rozszerzeń: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz wykluczamy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak iw rozwinięciu liczby 210 (takie czynniki to 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2 3 5 5 7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 75 i 210, czyli LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Przykład.

Po rozłożeniu liczb 441 i 700 na czynniki pierwsze, znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:

Otrzymujemy 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Teraz zróbmy iloczyn wszystkich czynników związanych z rozwinięciami tych liczb: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik - jest to liczba 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . W ten sposób, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odpowiadać:

LCM(441,700)=44100.

Nieco inaczej można sformułować zasadę znajdowania LCM za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Jeśli dodamy brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b do czynników z rozkładu liczby a, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.

Na przykład weźmy te same liczby 75 i 210, ich rozwinięcia na czynniki pierwsze są następujące: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Do czynników 3, 5 i 5 z rozwinięcia liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozwinięcia liczby 210, otrzymujemy iloczyn 2 3 5 5 7 , którego wartość to LCM(75 , 210).

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.

Rozwiązanie.

Najpierw otrzymujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Do czynników 2 , 2 , 3 i 7 z rozwinięcia liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i 3 z rozwinięcia liczby 648 , otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7 , co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 84 i 648 wynosi 4536.

Odpowiadać:

LCM(84,648)=4 536.

Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, kolejno znajdując LCM dwóch liczb. Przypomnij sobie odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.

Twierdzenie.

Niech zostaną podane liczby całkowite dodatnie a 1 , a 2 , …, a k, najmniej wspólna wielokrotność m k tych liczb zostanie znaleziona w obliczeniu sekwencyjnym m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Rozważ zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.

Przykład.

Znajdź LCM czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie 1 =140 , 2 =9 , 3 =54 , 4 =250 .

Najpierw znajdujemy m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby to zrobić, używając algorytmu Euklidesa, wyznaczamy gcd(140,9) , mamy 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , zatem gcd( 140, 9)=1 , skąd LKM(140, 9)=140 9: LKM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Czyli m 2 =1 260 .

Teraz znajdujemy m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Obliczmy to za pomocą gcd(1 260, 54) , które jest również określone przez algorytm Euklidesa: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Wtedy gcd(1 260, 54)=18 , skąd LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd (1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Oznacza to, że m 3 \u003d 3 780.

Pozostało do znalezienia m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy GCD(3 780, 250) za pomocą algorytmu Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dlatego gcd(3 780, 250)=10 , skąd gcd(3 780, 250)= 3 780 250: gcd (3 780, 250)= 3780 250:10=94 500 . Oznacza to, że m 4 \u003d 94 500.

Tak więc najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb to 94500.

Odpowiadać:

LCM (140, 9, 54, 250) = 94500.

W wielu przypadkach najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można wygodnie znaleźć za pomocą faktoryzacji liczb pierwszych. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się w następujący sposób: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodawane są do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia liczby trzecia liczba jest dodawana do uzyskanych współczynników i tak dalej.

Rozważ przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Rozwiązanie.

Najpierw otrzymujemy rozwinięcia tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 czynników pierwszych) i 143=11 13 .

Aby znaleźć LCM tych liczb, do czynników pierwszej liczby 84 (są to 2 , 2 , 3 i 7 ) należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6 . Rozwinięcie liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozwinięciu pierwszej liczby 84 . Oprócz czynników 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 , otrzymujemy zestaw czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 . Nie ma potrzeby dodawania czynników do tego zestawu w następnym kroku, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143 . Otrzymujemy iloczyn 2 2 2 2 3 7 11 13 , który jest równy 48 048 .