§ 129. Wyjaśnienia wstępne.

Człowiek nieustannie zajmuje się bardzo różnorodnymi ilościami. Pracownik i robotnik starają się dotrzeć do serwisu, do pracy w określonym czasie, pieszy śpieszy się do określonego miejsca najkrótszą drogą, parowe źródło martwi się, że temperatura w kotle powoli rośnie, kierownik firmy planuje obniżyć koszty produkcji itp.

Można by przytoczyć dowolną liczbę takich przykładów. Czas, odległość, temperatura, koszt - wszystko to są różne wielkości. W pierwszej i drugiej części tej książki zapoznaliśmy się z niektórymi szczególnie powszechnymi wielkościami: powierzchnia, objętość, waga. W badaniach fizyki i innych nauk spotykamy się z wieloma wielkościami.

Wyobraź sobie, że jedziesz pociągiem. Od czasu do czasu spoglądasz na zegarek i zauważasz, jak długo jesteś już w drodze. Mówisz na przykład, że od odjazdu Twojego pociągu upłynęły 2, 3, 5, 10, 15 godzin itd. Liczby te oznaczają różne okresy czasu; nazywane są wartościami tej wielkości (czasu). Albo wyglądasz przez okno i podążasz za słupkami drogowymi, aby zobaczyć odległość, jaką pokonuje Twój pociąg. Przed tobą migają liczby 110, 111, 112, 113, 114 km. Liczby te wskazują różne odległości, które pociąg przebył od punktu odjazdu. Nazywa się je również wartościami, tym razem z inną wartością (ścieżką lub odległością między dwoma punktami). Tak więc jedna wartość, na przykład czas, odległość, temperatura, może przyjąć dowolną różne wartości.

Zwróć uwagę na to, że człowiek prawie nigdy nie bierze pod uwagę tylko jednej wartości, ale zawsze łączy ją z innymi wartościami. Ma do czynienia jednocześnie z dwoma, trzema i więcej ilościami. Wyobraź sobie, że musisz dotrzeć do szkoły przed godziną 9 rano. Patrzysz na zegarek i widzisz, że masz 20 minut. Wtedy szybko decydujesz, czy jechać tramwajem, czy będziesz miał czas na spacer do szkoły. Po namyśle decydujesz się na spacer. Zauważ, że w czasie, gdy myślałeś, rozwiązywałeś jakiś problem. To zadanie stało się proste i znajome, ponieważ codziennie rozwiązujesz takie problemy. W nim szybko porównałeś kilka wartości. To ty patrzyłeś na zegar, czyli brałeś pod uwagę czas, potem w myślach wyobrażałeś sobie odległość z domu do szkoły; na koniec porównałeś dwie wielkości: prędkość swojego kroku i prędkość tramwaju i stwierdziłeś, że za dany czas (20 minut) będziesz miał czas na spacer. Z tego prostego przykładu widać, że w naszej praktyce niektóre wielkości są ze sobą powiązane, to znaczy zależą od siebie

W rozdziale dwunastym powiedziano o stosunku ilości jednorodnych. Na przykład, jeśli jeden segment ma 12 m, a drugi 4 m, stosunek tych segmentów wyniesie 12: 4.

Powiedzieliśmy, że jest to stosunek dwóch jednorodnych wielkości. Innymi słowy jest to stosunek dwóch liczb jedno imię.

Teraz, gdy zaznajomiliśmy się z ilościami i wprowadziliśmy pojęcie wartości ilości, możemy w nowy sposób określić definicję relacji. W rzeczywistości, gdy rozważaliśmy dwa odcinki 12 m i 4 m, mówiliśmy o jednej wartości - długości, a 12 m i 4 m to tylko dwie różne wartości tej wartości.

Dlatego w przyszłości, gdy zaczniemy mówić o stosunku, rozważymy dwie wartości jednej z niektórych wielkości, a stosunek jednej wartości wielkości do drugiej wartości tej samej wielkości będzie nazywany ilorazem dzielenia pierwsza wartość przez drugą.

§ 130. Ilości są wprost proporcjonalne.

Rozważ problem, którego stan obejmuje dwie wielkości: odległość i czas.

Zadanie 1. Ciało poruszające się w linii prostej i równomiernie przechodzące 12 cm na sekundę Określ drogę przebytą przez ciało w ciągu 2, 3, 4, ..., 10 sekund.

Zróbmy tabelę, za pomocą której będzie można monitorować zmianę czasu i odległości.

Tabela daje nam możliwość porównania tych dwóch serii wartości. Widzimy z niego, że gdy wartości pierwszej wielkości (czasu) stopniowo wzrastają 2, 3, ..., 10 razy, to wartości drugiej wielkości (odległość) również wzrastają o 2, 3, ..., 10 razy. Tak więc, gdy wartości jednej wielkości wzrosną kilkakrotnie, wartości innej wielkości wzrosną o tę samą kwotę, a gdy wartości jednej wielkości zmniejszą się kilkakrotnie, wartości drugiej wielkości zmniejszą się o taką samą kwotę.

Rozważmy teraz problem, który zawiera dwie takie wielkości: ilość materii i jej koszt.

Zadanie 2. 15 m tkaniny kosztuje 120 rubli. Oblicz koszt tej tkaniny dla kilku innych ilości metrów wskazanych w tabeli.

Z tej tabeli możemy zobaczyć, jak wartość towaru stopniowo wzrasta, w zależności od wzrostu jego ilości. Pomimo tego, że w zadaniu tym występują zupełnie inne wielkości (w zadaniu pierwszym - czas i odległość, a tu - ilość towaru i jego koszt), to jednak w zachowaniu tych wielkości można znaleźć duże podobieństwo.

Rzeczywiście, w górnym wierszu tabeli znajdują się liczby oznaczające liczbę metrów tkaniny, pod każdym z nich zapisana jest liczba wyrażająca koszt odpowiedniej ilości towaru. Nawet pobieżne spojrzenie na tę tabelę pokazuje, że liczby w górnym i dolnym rzędzie rosną; przy bliższym przyjrzeniu się tabeli i porównaniu poszczególnych kolumn okazuje się, że we wszystkich przypadkach wartości drugiej wielkości wzrastają o taki sam współczynnik, jak wartości pierwszej wielkości, czyli jeśli wartość pierwszej wielkości wzrosła powiedzmy 10 razy, to wartość drugiej wartości również wzrosła 10 razy.

Jeśli spojrzymy na tabelę od prawej do lewej, stwierdzimy, że wskazane wartości ilości zmniejszą się o tę samą liczbę razy. W tym sensie istnieje bezwarunkowe podobieństwo między pierwszym zadaniem a drugim.

Pary wielkości, które spotkaliśmy w pierwszym i drugim zadaniu nazywamy wprost proporcjonalne.

Tak więc, jeśli dwie wielkości są ze sobą połączone w taki sposób, że przy kilkukrotnym wzroście (spadku) jednej z nich wartość drugiej wzrasta (zmniejsza się) o tę samą wielkość, to takie wielkości nazywamy wprost proporcjonalnymi.

Mówią również o takich ilościach, że są one połączone bezpośrednio proporcjonalną zależnością.

W przyrodzie i otaczającym nas życiu takich ilości jest wiele. Oto kilka przykładów:

1. Czas pracy (dzień, dwa dni, trzy dni itd.) i zyski otrzymywane w tym czasie na dzienne wynagrodzenie.

2. Tom dowolny przedmiot wykonany z jednorodnego materiału, oraz waga ten przedmiot.

§ 131. Własność ilości wprost proporcjonalnych.

Weźmy zadanie, które obejmuje dwie wielkości: czas pracy i zarobki. Jeśli dzienne zarobki wynoszą 20 rubli, to zarobki za 2 dni wyniosą 40 rubli itd. Najwygodniej jest sporządzić tabelę, w której określone zarobki będą odpowiadać określonej liczbie dni.

Patrząc na tę tabelę, widzimy, że obie wielkości przyjęły 10 różnych wartości. Każda wartość pierwszej wartości odpowiada pewnej wartości drugiej wartości, na przykład 40 rubli odpowiada 2 dniom; 5 dni odpowiada 100 rubli. W tabeli liczby te są zapisane jedna pod drugą.

Wiemy już, że jeśli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, to każda z nich w procesie swojej zmiany wzrasta o tyle samo, co druga. Wynika z tego natychmiast: jeśli weźmiemy stosunek dowolnych dwóch wartości pierwszej wielkości, to będzie on równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości. Rzeczywiście:

Dlaczego to się dzieje? Ale ponieważ te wartości są wprost proporcjonalne, to znaczy, gdy jedna z nich (czas) wzrosła 3 razy, to druga (zarobki) wzrosła 3 razy.

Doszliśmy zatem do następującego wniosku: jeśli weźmiemy dowolne dwie wartości pierwszej wielkości i podzielimy je jedna po drugiej, a następnie podzielimy przez siebie odpowiednie wartości drugiej wielkości, to w obu przypadkach otrzymamy jedną i tę samą liczbę, czyli tę samą relację. Oznacza to, że dwie relacje, które pisaliśmy powyżej, można połączyć znakiem równości, tj.

Nie ulega wątpliwości, że gdybyśmy wzięli nie te relacje, ale inne, i to nie w tej kolejności, ale w odwrotnym kierunku, uzyskalibyśmy również równość relacji. Rzeczywiście, rozważymy wartości naszych ilości od lewej do prawej i przyjmiemy trzecią i dziewiątą wartość:

60:180 = 1 / 3 .

Możemy więc napisać:

Oznacza to następujący wniosek: jeśli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, wówczas stosunek dwóch arbitralnie przyjętych wartości pierwszej wielkości jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości.

§ 132. Formuła bezpośredniej proporcjonalności.

Zróbmy tabelę kosztów różnych ilości słodyczy, jeśli 1 kg kosztuje 10,4 rubla.

Teraz zróbmy to w ten sposób. Weźmy dowolną liczbę z drugiego rzędu i podzielmy ją przez odpowiednią liczbę z pierwszego rzędu. Na przykład:

Widzisz, że w ilorazie cały czas otrzymuje się tę samą liczbę. Dlatego dla danej pary wielkości wprost proporcjonalnych iloraz dzielenia dowolnej wartości jednej wielkości przez odpowiadającą jej wartość innej wielkości jest liczbą stałą (to znaczy niezmienną). W naszym przykładzie ten iloraz wynosi 10,4. Ta stała liczba nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności. W tym przypadku wyraża cenę jednostki miary, czyli jednego kilograma towaru.

Jak znaleźć lub obliczyć współczynnik proporcjonalności? Aby to zrobić, musisz wziąć dowolną wartość jednej wielkości i podzielić ją przez odpowiednią wartość innej.

Oznaczmy tę dowolną wartość jednej wielkości literą w , oraz odpowiadająca jej wartość innej ilości - litery X , to współczynnik proporcjonalności (oznaczamy go Do) znajdź dzieląc:

W tej równości w - podzielna X - przegroda i Do- iloraz, a ponieważ przez własność podziału dywidenda jest równa dzielnikowi pomnożonemu przez iloraz, możemy napisać:

y= K x

Powstała równość nazywa się formuła bezpośredniej proporcjonalności. Korzystając z tego wzoru, możemy obliczyć dowolną liczbę wartości jednej z wprost proporcjonalnych wielkości, jeśli znamy odpowiednie wartości drugiej wielkości i współczynnik proporcjonalności.

Przykład. Z fizyki wiemy, że waga R dowolnego ciała jest równy jego ciężarowi właściwemu d pomnożona przez objętość tego ciała V, tj. R = d V.

Weź pięć sztabek żelaza o różnych rozmiarach; znając ciężar właściwy żelaza (7,8), możemy obliczyć masy tych półfabrykatów za pomocą wzoru:

R = 7,8 V.

Porównanie tej formuły z formułą w = Do X , widzimy to y= R, x = V, oraz współczynnik proporcjonalności Do= 7,8. Formuła jest taka sama, tylko litery są inne.

Korzystając z tej formuły, stwórzmy tabelę: niech objętość pierwszego półfabrykatu wyniesie 8 metrów sześciennych. cm, to jego waga wynosi 7,8 8 \u003d 62,4 (g). Objętość drugiego półfabrykatu wynosi 27 metrów sześciennych. cm Jego waga wynosi 7,8 27 \u003d 210,6 (g). Tabela będzie wyglądać tak:

Oblicz liczby, których brakuje w tej tabeli, korzystając ze wzoru R= d V.

§ 133. Inne sposoby rozwiązywania problemów z wielkościami wprost proporcjonalnymi.

W poprzednim akapicie rozwiązaliśmy problem, którego stan obejmował ilości wprost proporcjonalne. W tym celu wcześniej wyprowadziliśmy formułę bezpośredniej proporcjonalności, a następnie zastosowaliśmy tę formułę. Teraz pokażemy dwa inne sposoby rozwiązania podobnych problemów.

Zróbmy problem zgodnie z danymi liczbowymi podanymi w tabeli w poprzednim akapicie.

Zadanie. Puste miejsce o objętości 8 metrów sześciennych. cm waży 62,4 g. Ile waży blank o objętości 64 metrów sześciennych? cm?

Rozwiązanie. Jak wiadomo, waga żelaza jest proporcjonalna do jego objętości. Jeśli 8 cu. cm waży 62,4 g, a następnie 1 cu. cm waży 8 razy mniej, czyli

62,4:8 = 7,8 (g).

Półfabrykat o objętości 64 metrów sześciennych. cm waży 64 razy więcej niż blank o pojemności 1 cu. cm, tj.

7,8 64 = 499,2 (g).

Rozwiązaliśmy nasz problem, sprowadzając się do jedności. Znaczenie tej nazwy uzasadnia fakt, że aby ją rozwiązać, w pierwszym pytaniu musieliśmy znaleźć wagę jednostki objętości.

2. Metoda proporcji. Rozwiążmy ten sam problem metodą proporcji.

Ponieważ waga żelaza i jego objętość są ilościami wprost proporcjonalnymi, stosunek dwóch wartości jednej ilości (objętości) jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości innej ilości (wagi), tj.

(list R oznaczyliśmy nieznaną wagę półfabrykatu). Stąd:

(G).

Problem rozwiązuje metoda proporcji. Oznacza to, że aby go rozwiązać, część składała się z liczb zawartych w warunku.

§ 134. Ilości są odwrotnie proporcjonalne.

Rozważmy następujący problem: „Pięciu murarzy może położyć ceglane ściany domu w 168 dni. Określ, w ilu dniach 10, 8, 6 itd. murarze mogą wykonać tę samą pracę.

Gdyby 5 murarzy zburzyło ściany domu w 168 dni, to (przy tej samej wydajności pracy) 10 murarzy mogłoby to zrobić dwa razy szybciej, ponieważ średnio 10 osób wykonuje pracę dwa razy więcej niż 5 osób.

Zróbmy tabelę, według której będzie można monitorować zmianę liczby godzin pracy i godzin pracy.

Na przykład, aby dowiedzieć się, ile dni zajmie 6 pracowników, należy najpierw obliczyć, ile dni zajmie to jednemu pracownikowi (168 5 = 840), a następnie sześciu pracownikom (840: 6 = 140). Patrząc na tę tabelę, widzimy, że obie wielkości przyjęły sześć różnych wartości. Każda wartość pierwszej wielkości odpowiada bardziej zdecydowanie; wartość drugiej wartości, na przykład 10 odpowiada 84, liczbie 8 - liczbie 105 itd.

Jeśli rozważymy wartości obu wartości od lewej do prawej, to zauważymy, że wartości górnej wartości rosną, a wartości dolnej maleją. Wzrost i spadek podlega następującemu prawu: wartości liczby pracowników wzrastają tyle razy, ile zmniejsza się wartość spędzanego czasu pracy. Mówiąc prościej, tę ideę można wyrazić w następujący sposób: im więcej pracowników jest zatrudnionych w jakiejkolwiek firmie, tym mniej czasu potrzebują na wykonanie określonej pracy. Dwie wielkości, które napotkaliśmy w tym problemie, nazywają się odwrotnie proporcjonalny.

Tak więc, jeśli dwie wielkości są ze sobą połączone, tak że przy kilkukrotnym wzroście (spadku) wartości jednej z nich wartość drugiej maleje (wzrasta) o tę samą wielkość, wówczas takie wielkości nazywane są odwrotnie proporcjonalnymi.

W życiu jest wiele takich rzeczy. Podajmy przykłady.

1. Jeśli za 150 rubli. musisz kupić kilka kilogramów słodyczy, wtedy liczba słodyczy będzie zależeć od ceny jednego kilograma. Im wyższa cena, tym mniej towarów można za te pieniądze kupić; widać to z tabeli:

Przy kilkukrotnym wzroście ceny słodyczy liczba kilogramów słodyczy, które można kupić za 150 rubli, spada o tę samą kwotę. W tym przypadku te dwie ilości (waga produktu i jego cena) są odwrotnie proporcjonalne.

2. Jeżeli odległość między dwoma miastami wynosi 1200 km, to można ją pokonać w różnym czasie, w zależności od prędkości poruszania się. Istnieją różne środki transportu: pieszo, konno, rowerem, statkiem, samochodem, pociągiem, samolotem. Im niższa prędkość, tym więcej czasu zajmuje ruch. Widać to z tabeli:

Przy kilkukrotnym wzroście prędkości czas ruchu zmniejsza się o tę samą wartość. Stąd w danych warunkach prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne.

§ 135. Własność wielkości odwrotnie proporcjonalnych.

Weźmy drugi przykład, który rozważaliśmy w poprzednim akapicie. Tam mieliśmy do czynienia z dwiema wielkościami – szybkością ruchu i czasem. Jeśli weźmiemy pod uwagę wartości tych wielkości od lewej do prawej w tabeli, zobaczymy, że wartości pierwszej wielkości (prędkości) rosną, a wartości drugiej (czasu) maleją, a prędkość wzrasta o ten sam współczynnik, w jakim zmniejsza się czas.Łatwo zrozumieć, że jeśli zapiszesz stosunek dowolnych wartości jednej wielkości, to nie będzie on równy stosunkowi odpowiednich wartości innej ilości. Rzeczywiście, jeśli weźmiemy stosunek czwartej wartości górnej wartości do siódmej wartości (40: 80), to nie będzie on równy stosunkowi czwartej i siódmej wartości dolnej wartości (30: 15 ). Można to napisać tak:

40:80 nie jest równe 30:15, czyli 40:80 =/= 30:15.

Ale jeśli zamiast jednego z tych stosunków przyjmiemy coś przeciwnego, to otrzymamy równość, tj. z tych stosunków będzie można zrobić proporcję. Na przykład:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Na podstawie powyższego możemy wyciągnąć następujący wniosek: jeśli dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, to stosunek dwóch arbitralnie przyjętych wartości jednej wielkości jest równy odwrotnemu stosunkowi odpowiednich wartości drugiej wielkości.

§ 136. Formuła odwrotnej proporcjonalności.

Rozważ problem: „Istnieje 6 kawałków jedwabnej tkaniny o różnych rozmiarach i różnych gatunkach. Wszystkie sztuki są w tej samej cenie. W jednym kawałku 100 m tkaniny w cenie 20 rubli. za metr. Ile metrów znajduje się w każdym z pozostałych pięciu kawałków, jeśli metr tkaniny w tych kawałkach kosztuje odpowiednio 25, 40, 50, 80, 100 rubli? Stwórzmy tabelę, aby rozwiązać ten problem:

Musimy wypełnić puste komórki w górnym rzędzie tej tabeli. Spróbujmy najpierw ustalić, ile metrów znajduje się w drugiej części. Można to zrobić w następujący sposób. Ze stanu problemu wiadomo, że koszt wszystkich sztuk jest taki sam. Koszt pierwszej sztuki jest łatwy do ustalenia: ma 100 m, a każdy metr kosztuje 20 rubli, co oznacza, że ​​w pierwszym kawałku jedwabiu za 2000 rubli. Ponieważ drugi kawałek jedwabiu zawiera taką samą liczbę rubli, dzieląc 2000 rubli. w cenie jednego metra, czyli przy 25, znajdujemy wartość drugiej sztuki: 2000:25 = 80 (m). W ten sam sposób znajdziemy rozmiar wszystkich pozostałych sztuk. Tabela będzie wyglądać tak:

Łatwo zauważyć, że istnieje odwrotna zależność między liczbą metrów a ceną.

Jeśli sam wykonasz niezbędne obliczenia, zauważysz, że za każdym razem musisz dzielić liczbę 2000 przez cenę 1 m. I odwrotnie, jeśli teraz zaczniesz mnożyć wielkość kawałka w metrach przez cenę 1 m, zawsze otrzyma liczbę 2000. i należało się tego spodziewać, ponieważ każda sztuka kosztuje 2000 rubli.

Z tego możemy wyciągnąć następujący wniosek: dla danej pary odwrotnie proporcjonalnych wielkości iloczyn dowolnej wartości jednej wielkości przez odpowiednią wartość innej wielkości jest liczbą stałą (to znaczy niezmienną).

W naszym zadaniu ten iloczyn jest równy 2000. Sprawdź, czy w poprzednim zadaniu, który mówił o szybkości poruszania się i czasie potrzebnym na przejście z jednego miasta do drugiego, była też stała liczba dla tego problemu (1200).

Biorąc pod uwagę wszystko, co zostało powiedziane, łatwo wyprowadzić wzór na odwrotną proporcjonalność. Oznacz literowo jakąś wartość jednej wielkości X , oraz odpowiadająca jej wartość innej wartości - litera w . Następnie na podstawie powyższej pracy X na w musi być równa jakiejś stałej wartości, którą oznaczamy literą Do, tj.

x y = Do.

W tej równości X - mnożnik, w - mnożnik i K- praca. Zgodnie z właściwością mnożenia, mnożnik jest równy iloczynowi podzielonemu przez mnożnik. Oznacza,

To jest wzór na odwrotną proporcjonalność. Za jego pomocą możemy obliczyć dowolną liczbę wartości jednej z odwrotnie proporcjonalnych wielkości, znając wartości drugiej i stałą liczbę Do.

Rozważmy inny problem: „Autor jednego eseju obliczył, że gdyby jego książka była w zwykłym formacie, to miałaby 96 stron, ale jeśli byłaby w formacie kieszonkowym, miałaby 300 stron. Próbował różnych opcji, zaczynał od 96 stron, a potem dostawał 2500 listów na stronę. Następnie wziął liczbę stron wskazaną w poniższej tabeli i ponownie obliczył, ile liter znajdzie się na stronie.

Spróbujmy obliczyć, ile liter będzie na stronie, jeśli książka ma 100 stron.

W całej księdze jest 240 000 liter, ponieważ 2500 96 = 240 000.

Biorąc to pod uwagę, posługujemy się formułą odwrotnej proporcjonalności ( w - liczba liter na stronie X - Numer stron):

W naszym przykładzie Do= 240 000, zatem

Na stronie jest więc 2400 liter.

Podobnie dowiadujemy się, że jeśli książka ma 120 stron, to liczba liter na stronie będzie wynosić:

Nasz stół będzie wyglądał tak:

Pozostałe komórki wypełnij samodzielnie.

§ 137. Inne sposoby rozwiązywania problemów z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

W poprzednim akapicie rozwiązaliśmy problemy, które obejmowały wielkości odwrotnie proporcjonalne. Wcześniej wyprowadziliśmy wzór na odwrotną proporcjonalność, a następnie zastosowaliśmy ten wzór. Teraz pokażemy dwa inne sposoby rozwiązania takich problemów.

1. Metoda redukcji do jedności.

Zadanie. 5 tokarzy może popracować w 16 dni. W ilu dniach 8 tokarzy może wykonać tę pracę?

Rozwiązanie. Istnieje odwrotna zależność między liczbą tokarek a czasem pracy. Jeśli 5 tokarzy wykona pracę w 16 dni, to jedna osoba będzie potrzebowała na to 5 razy więcej czasu, tj.

5 tokarzy wykonuje pracę w 16 dni,

1 tokarz wykona go w 16 5 = 80 dni.

Problem pyta, za ile dni 8 tokarzy zakończy pracę. Oczywiście wykonają pracę 8 razy szybciej niż 1 tokarz, czyli dla

80: 8 = 10 (dni).

To jest rozwiązanie problemu metodą redukcji do jedności. Tutaj przede wszystkim należało określić czas wykonywania pracy przez jednego pracownika.

2. Metoda proporcji. Rozwiążmy ten sam problem w drugi sposób.

Ponieważ istnieje odwrotna zależność między liczbą robotników a czasem pracy, możemy zapisać: czas pracy 5 tokarzy nowa liczba tokarzy (8) czas pracy 8 tokarzy poprzednia liczba tokarzy (5 ) Pożądany czas pracy oznaczmy literą X i zastąp w proporcji wyrażonej słownie niezbędne liczby:

Ten sam problem rozwiązuje metoda proporcji. Aby go rozwiązać, musieliśmy wykonać proporcję liczb zawartych w stanie problemu.

Notatka. W poprzednich akapitach rozważaliśmy kwestię proporcjonalności bezpośredniej i odwrotnej. Natura i życie dają nam wiele przykładów bezpośrednich i odwrotnych proporcji ilości. Należy jednak zauważyć, że te dwa rodzaje zależności są tylko najprostsze. Wraz z nimi istnieją inne, bardziej złożone relacje między wielkościami. Ponadto nie należy myśleć, że jeśli jakiekolwiek dwie wielkości wzrosną jednocześnie, to z konieczności istnieje między nimi bezpośrednia proporcjonalność. To jest dalekie od prawdy. Na przykład opłaty kolejowe rosną wraz z odległością: im dalej podróżujemy, tym więcej płacimy, ale nie oznacza to, że opłata za przejazd jest proporcjonalna do odległości.

Przykład

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.

Współczynnik proporcjonalności

Nazywa się stały stosunek proporcjonalnych wielkości współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pokazuje, ile jednostek jednej wielkości przypada na jednostkę innej.

Proporcjonalność bezpośrednia

Proporcjonalność bezpośrednia- zależność funkcjonalna, w której pewna wielkość zależy od innej wielkości w taki sposób, że ich stosunek pozostaje stały. Innymi słowy, te zmienne się zmieniają proporcjonalnie, w równych częściach, to znaczy, jeśli argument zmienił się dwukrotnie w dowolnym kierunku, to funkcja zmienia się również dwukrotnie w tym samym kierunku.

Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako formuła:

f(x) = ax,a = const

Odwrotna proporcjonalność

Odwrotna proporcja- jest to zależność funkcjonalna, w której wzrost wartości niezależnej (argumentu) powoduje proporcjonalny spadek wartości zależnej (funkcji).

Matematycznie odwrotna proporcjonalność jest zapisana jako formuła:

Właściwości funkcji:

Źródła

Fundacja Wikimedia. 2010 .

ADMINISTRACJA FORMACJI MIEJSKIEJ „MIASTO SARATOW”

MIEJSKA INSTYTUCJA EDUKACYJNA

„SZKOŁA ODPADOWA № 95 Z DOGŁĘBIENIEM

STUDIOWANIE POSZCZEGÓLNYCH PRZEDMIOTÓW”

Rozwój metodyczny

lekcja algebry w 7 klasie

w tym temacie:

„Proporcjonalność bezpośrednia”

i jej harmonogram.

Nauczyciel matematyki

1 kategoria kwalifikacji

Goryunova E.V.

2014 – 2015 rok akademicki

Notatka wyjaśniająca

do lekcji na ten temat:

„Proporcjonalność bezpośrednia i jej wykres”.

Nauczyciel matematyki Goryunova Elena Viktorovna.

Twoja uwaga jest skierowana na lekcję w 7 klasie. Nauczyciel pracuje zgodnie z programem opracowanym na podstawie Modelowych programów podstawowego kształcenia ogólnego i autorskiego programu dla instytucji edukacyjnych Yu.N. Makarychev. Zajęcia z algebry.7-9 // Zbiór programów na zajęciach z algebry 7-9. M. Enlightenment, 2009, oprac. T.A. Burmistrow. Program odpowiada podręcznikowi do algebry Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov., S.B. Suvorov., red. S.A. Teliakowski „Algebra Grade 7” (wydawnictwo „Oświecenie” 2009).

Na przestudiowanie tematu „Funkcje” przeznaczono 14 godzin, z czego 6 godzin na sekcję „Funkcje i ich wykresy”, 3 godziny - na sekcję „Proporcjonalność i jej wykres”, 4 godziny na sekcję „Funkcja liniowa i jego wykres” i 1 godzina K/R.

CELE:

Edukacyjny:

Rozwijanie:

3. Zachęć uczniów do samokontroli i wzajemnej kontroli.

Edukacyjny:

Zaszczepić poczucie szacunku dla kolegów z klasy, dbałość o słowo, promować edukację niezależności, odpowiedzialności, dokładności w konstruowaniu rysunków

Cele te osiąga się poprzez szereg zadań:

1. Kształtowanie umiejętności łączenia wiedzy i umiejętności zapewniających pomyślną realizację działań;

   Praca nad rozwojem mowy łączonej uczniów, umiejętność stawiania i rozwiązywania problemów.

Wyposażenie lekcji:

Na lekcji wykorzystano indywidualne karty z zadaniami oraz rzutnik multimedialny, wszystkie fakty dotyczące R. Descartes zostały zaczerpnięte przez nauczyciela z Internetu z oficjalnych stron medialnych i przeprojektowane specjalnie na tę lekcję, biorąc pod uwagę temat lekcji, podręcznik.

Rodzaj i struktura lekcji:

Ta lekcja to lekcja opanowania nowej wiedzy i umiejętności (rodzaje lekcji wg V.A. Onischuka), więc racjonalne było zastosowanie elementów działalności badawczej.

Wdrażanie zasad uczenia się:

Podczas lekcji wdrożono następujące zasady:

Nauczanie naukowe.

Zasada systematycznego i konsekwentnego nauczania była realizowana z ciągłym oparciem się na wcześniej przestudiowanym materiale.

Świadomość, aktywność i samodzielność uczniów osiągnięto w formie pobudzania aktywności poznawczej za pomocą skutecznych technik i pomocy wizualnych (takich jak pokazy slajdów, dostarczanie faktów historycznych i informacji z życia matematyka i filozofa R. Descartesa, druk indywidualny arkusze uczniów.

W lekcji realizowana była zasada komfortu.

Formy i metody nauczania:

Podczas lekcji zastosowano różne formy szkolenia – jest to praca indywidualna i frontalna, wzajemna weryfikacja. Takie formy są bardziej racjonalne dla tego typu lekcji, ponieważ pozwalają dziecku rozwinąć samodzielne myślenie, myślenie krytyczne, umiejętność obrony swojego punktu widzenia, umiejętność porównywania i wyciągania wniosków.

Główną metodą tej lekcji jest metoda poszukiwania cząstkowego, która charakteryzuje się pracą uczniów w rozwiązywaniu problematycznych zadań poznawczych.

Fiz. minuta była zarówno ćwiczeniami fizycznymi, jak i utrwaleniem właśnie badanego materiału.

Na koniec lekcji wskazane jest podsumowanie pracy wykonanej na lekcji.

Ogólne wyniki lekcji:

Uważam, że zadania postawione na lekcję zostały zrealizowane, dzieci zastosowały swoją wiedzę w nowej sytuacji, każdy mógł wyrazić swój punkt widzenia. Zastosowanie wizualizacji w formie prezentacji, indywidualnych drukowanych kartek uczniów pozwala zmotywować uczniów na każdym etapie lekcji i uniknąć przeciążenia i przepracowania uczniów.

Temat lekcji:

Zadanie dydaktyczne: znajomość proporcjonalności bezpośredniej i budowa jej wykresu.

Cele:

Edukacyjny:

1. Zorganizuj działania uczniów na temat postrzegania tematu „Bezpośrednia proporcjonalność i jej harmonogram” oraz pierwotna konsolidacja: określanie bezpośredniej proporcjonalności i kreślenie jej harmonogramu, kształtowanie umiejętności kompetentnego kreślenia

2. Stworzenie warunków do tworzenia systemu podstawowej wiedzy i umiejętności w pamięci uczniów, stymulowania aktywności poszukiwawczej

Rozwijanie:

1. Rozwijanie myślenia analitycznego i syntetyzującego (promowanie rozwoju obserwacji, umiejętności analizowania, rozwijania umiejętności klasyfikowania faktów, wyciągania uogólniających wniosków).

2. Rozwijanie myślenia abstrakcyjnego (rozwijanie umiejętności identyfikowania wspólnych i istotnych cech, odróżniania nieistotnych cech i rozpraszania się od nich).

3. Zachęć uczniów do samokontroli i wzajemnej kontroli

Edukacyjny:

Zaszczepić poczucie szacunku dla kolegów z klasy, dbałość o słowo, promować edukację samodzielności, odpowiedzialności, dokładności w konstruowaniu rysunków.

Ekwipunek: komputer, prezentacja, wydrukowane karty z zadaniami dla każdego ucznia.

Plan lekcji:

1. Moment organizacyjny.

2.Motywacja lekcji.

3.Aktualizacja wiedzy.

4. Studium nowego materiału.

5. Mocowanie materiału.

6. Wynik lekcji.

Podczas zajęć.

1. Moment organizacyjny.

Dzień dobry chłopaki! Chciałbym rozpocząć lekcję następującymi słowami. (Slajd 1)

Francuski naukowiec René Descartes powiedział kiedyś: „Myślę, więc jestem”.

Chłopaki przygotowali wiadomość o francuskim naukowcu R. Descartesie.

Rene Descartes jest bardziej znany jako wielki filozof niż matematyk. Ale to on był pionierem współczesnej matematyki, a jego zasługi w tej dziedzinie są tak wielkie, że słusznie zalicza się go do grona wielkich matematyków naszych czasów.

Wiadomość dla ucznia:(Slajd 2)

Born Descartes urodził się we Francji, w małym miasteczku Lae. Jego ojciec był prawnikiem, jego matka zmarła, gdy Rene miał 1 rok. Po ukończeniu kolegium dla synów rodów arystokratycznych, wzorem brata, rozpoczął studia prawnicze. W wieku 22 lat opuścił Francję i jako ochotnik służył w oddziałach różnych dowódców wojskowych, którzy brali udział w 13-letniej wojnie. Kartezjusz w swojej doktrynie filozoficznej rozwinął ideę wszechmocy ludzkiego umysłu i dlatego był prześladowany przez Kościół katolicki. Chcąc znaleźć bezpieczną przystań dla spokojnej pracy w filozofii i matematyce, którą interesował się od dzieciństwa, Kartezjusz osiadł w 1629 roku w Holandii, gdzie mieszkał prawie do końca życia. Wszystkie ważniejsze prace Kartezjusza z dziedziny filozofii, matematyki, fizyki, kosmologii i fizjologii zostały napisane przez niego w Holandii.

Matematyczne prace Kartezjusza zebrane są w jego książce „Geometria” (1637).W „Geometrii” Kartezjusz podał podstawy geometrii analitycznej i algebry. Kartezjusz jako pierwszy wprowadził do matematyki pojęcie funkcji zmiennej. Zwrócił uwagę na fakt, że krzywa na płaszczyźnie charakteryzuje się równaniem, które ma tę właściwość, że współrzędne dowolnego punktu leżącego na tej prostej spełniają to równanie. Podzielił krzywe podane przez równanie algebraiczne na klasy w zależności od największej potęgi nieznanej wielkości w równaniu. Kartezjusz wprowadził do matematyki znaki plus i minus dla oznaczenia wielkości dodatnich i ujemnych, oznaczenie stopnia oraz znak dla oznaczenia nieskończenie dużej ilości. Dla zmiennych i nieznanych wielkości Kartezjusz przyjął oznaczenia x, y, z, a dla znanych i stałych wielkości -a.b.c, jak wiadomo, oznaczenia te są używane w matematyce do dziś. Mimo że Kartezjusz nie posunął się zbyt daleko w dziedzinie geometrii analitycznej, jego prace miały decydujący wpływ na dalszy rozwój matematyki. Od 150 lat matematyka rozwija się zgodnie z liniami nakreślonymi przez Kartezjusza.

Postępujmy zgodnie z radą naukowca. Będziemy aktywni, uważni, będziemy rozumowali, myśleli i uczyli się nowych rzeczy, bo wiedza przyda się Wam w późniejszym życiu.A te słowa (slajd 3) R. Descartes'a chciałbym zaproponować jako motto naszej lekcji : „Szacunek dla innych rodzi szacunek dla samego siebie”.

2. Motywacja.

Sprawdźmy, w jakim nastroju przyszedłeś na lekcję. Na marginesach rysujemy buźkę.

Weź karty. Tu też są napisane słowa R. Kartezjusza: „ Aby poprawić swój umysł, musisz bardziej rozumować niż zapamiętywać. Te słowa poprowadzą nas w naszej pracy.

Zadanie numer 1 z terminami matematycznymi, których użyjemy na lekcji. Popraw błędy popełnione w pisowni tych terminów. (slajd 4)

Zmień ulotki i sprawdź, czy wszystkie błędy zostały poprawione. (Slajd 5) Co zauważyłeś? Które słowo nie zawiera błędów? (funkcja, wykres)

3. Aktualizacja wiedzy.

a) Zapoznaliśmy się z pojęciem „funkcja” na poprzednich lekcjach. Przypomnijmy podstawowe pojęcia i definicje na ten temat.

Pracowaliśmy również z wykresami funkcji. Którego ze słów dyktando użyliśmy podczas pracy nad tematem „Wykresy funkcji”? Co one oznaczają?

Na tym slajdzie określ, która z linii będzie wykresem funkcji? (slajd 6)

A kto powie, o czym będziemy rozmawiać w tej lekcji? Jakie są cele lekcji? (slajd 7)

Na arkuszach uczniów wpisz numer i napisz temat lekcji: „Proporcjonalność bezpośrednia i jej wykres”

Przywołaj materiał z poprzednich lekcji

Napisz formuły, aby rozwiązać następujące problemy. (Slajd 9,10)

Jakie są zmienne zależne i niezależne? Co zależy od czego? Jakie uzależnienie? (Slajd)

Która z formuł różni się od pozostałych? (Slajd)

c) Jak można pisać formuły w formie ogólnej? (Slajd)

y =kx , y - zmienna zależna

x - zmienna niezależna

k - liczba stała (współczynnik)

Zapisaliśmy formułę i jest to jeden ze sposobów definiowania funkcji. Bezpośrednia zależność proporcjonalna jest funkcją.

4. Studium nowego materiału.

Definicja. Proporcjonalność bezpośrednia to funkcja, którą można określić za pomocą wzoru y \u003d kx, gdzie x jest zmienną niezależną, a k jest pewną liczbą, która nie jest równa zeru, współczynnik bezpośredniej proporcjonalności (stały stosunek wartości proporcjonalnych)

Przeczytaj zasadę w podręczniku na stronie 65

Zakres tej funkcji? (Zbiór wszystkich liczb)

Mocowanie materiału.

Wykonaj zadanie w arkuszach nr 4 (Slajd) Podziel formuły na 2 grupy zgodnie z tematem lekcji: (przeczytaj zasadę w podręczniku na s. 65)

y=2x, y=3x-7, y=-0,2x, y=x, y=x², y=x, y=-5,8+3x, y=-x, y=50x,

I grupa: _________________________________________

II grupa: ______________________________________________________

Podkreśl bezpośredni współczynnik proporcjonalności.

Wykonujemy nr 298 na stronie 68 (ustnie), dyktuję, ustalasz formułę proporcjonalności ze słuchu i kręcisz oczy, jeśli nie proporcjonalność, to obracasz oczy od lewej do prawej.

Wymyśl i zapisz 4 wzory na funkcję proporcjonalności bezpośredniej:

1)y=_________2)y=__________3)y=__________4)y=__________

Nauka nowego materiału

Jaki jest wykres tej funkcji? Chcesz wiedzieć?

Zbudowaliśmy już wykres funkcji w zadaniu nr 2, czy możemy nazwać tę funkcję proporcjonalnością? Więc zbudowaliśmy już wykres proporcjonalności. Zasada w podręczniku na stronie 67.

Zobaczmy, jak zbudujemy wykres tej funkcji (Slajd)

Mocowanie materiału.

Zbudujmy wykres numer 7 w arkuszach uczniów (Slajd)

Jaki mamy punkt na dowolnym wykresie proporcjonalności?

Pracujemy według gotowych rysunków. (Slajd)

Wniosek: wykres jest linią prostą przechodzącą przez początek.

T.K. wykres jest linią prostą, ile punktów potrzeba do jego wykreślenia? Jeden już istnieje (0;0)

Wykonujemy nr 300

Podsumowanie lekcji. Podsumujmy pracę w dzisiejszej lekcji (Slajd). Zrobili wszystko. Co zaplanowałeś?

Odbicie. (Slajd)

Sprawdź nastrój uczniów pod koniec lekcji. (Smiley) (Slajd)

>>Matematyka: proporcjonalność bezpośrednia i jej wykres

Proporcjonalność bezpośrednia i jej wykres

Wśród funkcji liniowych y = kx + m zaznaczony jest przypadek, gdy m = 0; w tym przypadku przyjmuje postać y = kx i nazywa się to proporcjonalnością bezpośrednią. Nazwę tę tłumaczy fakt, że dwie wielkości y i x są nazywane wprost proporcjonalnymi, jeśli ich stosunek jest równy określonemu
liczba inna niż zero. Tutaj ta liczba k nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności.

Wiele rzeczywistych sytuacji jest modelowanych przy użyciu bezpośredniej proporcjonalności.

Na przykład droga s i czas t przy stałej prędkości 20 km/h są powiązane zależnością s = 20t; jest to bezpośrednia proporcjonalność, przy k = 20.

Inny przykład:

koszt yi ilość x bochenków chleba w cenie 5 rubli. na bochenek są powiązane zależnością y = 5x; jest to bezpośrednia proporcjonalność, gdzie k = 5.

Dowód. Zróbmy to w dwóch etapach.
1. y \u003d kx jest szczególnym przypadkiem funkcji liniowej, a wykres funkcji liniowej jest linią prostą; oznaczmy to przez I.
2. Para x \u003d 0, y \u003d 0 spełnia równanie y - kx, a zatem punkt (0; 0) należy do wykresu równania y \u003d kx, czyli linii I.

Dlatego linia, którą przechodzę przez początek. Twierdzenie zostało udowodnione.

Trzeba umieć przejść nie tylko z modelu analitycznego y \u003d kx do geometrycznego (wykres bezpośredniej proporcjonalności), ale także z geometrycznego modele analityczne. Rozważmy na przykład linię prostą na płaszczyźnie współrzędnych xOy pokazaną na rysunku 50. Jest to wykres bezpośredniej proporcjonalności, wystarczy znaleźć wartość współczynnika k. Ponieważ y wystarczy wziąć dowolny punkt na prostej i znaleźć stosunek rzędnej tego punktu do jego odciętej. Linia prosta przechodzi przez punkt P (3; 6) i dla tego punktu mamy: Stąd k = 2, a zatem dana linia prosta służy jako wykres bezpośredniej proporcjonalności y \u003d 2x.

W rezultacie współczynnik k w zapisie funkcji liniowej y \u003d kx + m jest również nazywany nachyleniem. Jeśli k>0, to linia y \u003d kx + m tworzy kąt ostry z dodatnim kierunkiem osi x (ryc. 49, a), a jeśli k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

Planowanie kalendarzowo-tematyczne w matematyce, wideo w matematyce online, Matematyka w szkole pobierz

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych

Treść lekcji podsumowanie lekcji wsparcie ramka prezentacja lekcji metody akceleracyjne technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia samokontrola warsztaty, szkolenia, case'y, questy praca domowa pytania do dyskusji pytania retoryczne od studentów Ilustracje audio, wideoklipy i multimedia fotografie, obrazki grafika, tabele, schematy humor, anegdoty, dowcipy, komiksy przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły chipy dla dociekliwych ściągawki podręczniki podstawowe i dodatkowe słowniczek pojęć inne Doskonalenie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementów innowacji na lekcji zastępując przestarzałą wiedzę nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarzowy na rok zalecenia metodyczne programu dyskusji Zintegrowane lekcje

Proporcjonalność bezpośrednia i odwrotna

Jeżeli t to czas ruchu pieszego (w godzinach), s to przebyta odległość (w kilometrach), a porusza się on jednostajnie z prędkością 4 km/h, to zależność między tymi wielkościami można wyrazić wzorem s = 4t. Ponieważ każda wartość t odpowiada unikalnej wartości s, możemy powiedzieć, że funkcja jest podana za pomocą wzoru s = 4t. Nazywa się to bezpośrednią proporcjonalnością i jest zdefiniowane w następujący sposób.

Definicja. Proporcjonalność bezpośrednia to funkcja, którą można określić za pomocą wzoru y \u003d kx, gdzie k jest niezerową liczbą rzeczywistą.

Nazwa funkcji y \u003d k x wynika z faktu, że we wzorze y \u003d kx znajdują się zmienne x i y, które mogą być wartościami ilości. A jeśli stosunek dwóch wartości jest równy jakiejś liczbie innej niż zero, nazywa się je wprost proporcjonalne . W naszym przypadku = k (k≠0). Ten numer nazywa się współczynnik proporcjonalności.

Funkcja y \u003d k x jest modelem matematycznym wielu rzeczywistych sytuacji rozważanych już na początkowym kursie matematyki. Jedna z nich została opisana powyżej. Inny przykład: jeśli w jednym opakowaniu znajdują się 2 kg mąki, a x takich opakowań jest kupowanych, wówczas całą masę zakupionej mąki (oznaczamy ją przez y) można przedstawić jako formułę y \u003d 2x, tj. zależność między liczbą opakowań a całkowitą masą zakupionej mąki jest wprost proporcjonalna do współczynnika k=2.

Przypomnij sobie niektóre właściwości bezpośredniej proporcjonalności, które są badane w szkolnym kursie matematyki.

1. Dziedziną funkcji y \u003d k x i dziedziną jej wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.

2. Wykres bezpośredniej proporcjonalności jest linią prostą przechodzącą przez początek. Dlatego do skonstruowania wykresu o bezpośredniej proporcjonalności wystarczy znaleźć tylko jeden punkt, który do niego należy i nie pokrywa się z początkiem, a następnie poprowadzić linię prostą przez ten punkt i początek.

Na przykład, aby wykreślić funkcję y = 2x, wystarczy mieć punkt o współrzędnych (1, 2), a następnie poprowadzić przez niego linię prostą i początek (rys. 7).

3. Dla k > 0 funkcja y = kx rośnie w całej dziedzinie definicji; widelec< 0 - убывает на всей области определения.

4. Jeśli funkcja f jest wprost proporcjonalnością i (x 1, y 1), (x 2, y 2) - pary odpowiadających sobie wartości zmiennych x i y oraz x 2 ≠ 0 wtedy.

Rzeczywiście, jeśli funkcja f jest bezpośrednią proporcjonalnością, można ją podać wzorem y \u003d kx, a następnie y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Ponieważ przy x 2 ≠0 i k≠0, to y 2 ≠0. Dlatego i oznacza .

Jeżeli wartości zmiennych x i y są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to udowodnioną właściwość bezpośredniej proporcjonalności można sformułować w następujący sposób: przy kilkukrotnym wzroście (spadku) wartości zmiennej x odpowiednia wartość zmiennej y wzrasta (spada) o tę samą kwotę.

Ta właściwość jest nieodłączna tylko w bezpośredniej proporcjonalności i może być używana do rozwiązywania problemów tekstowych, w których brane są pod uwagę ilości wprost proporcjonalne.

Zadanie 1. W ciągu 8 godzin tokarz wykonał 16 części. Ile godzin zajmie tokarzowi wyprodukowanie 48 części, jeśli będzie pracował z taką samą wydajnością?

Rozwiązanie. Problem dotyczy ilości - czasu pracy tokarza, liczby wykonanych przez niego części oraz wydajności (czyli liczby części wyprodukowanych przez tokarza w ciągu 1 godziny), przy czym ta ostatnia wartość jest stała, a pozostałe dwie różne wartości. Ponadto liczba wykonanych części i czas pracy są wprost proporcjonalne, ponieważ ich stosunek jest równy pewnej liczbie, która nie jest równa zeru, a mianowicie liczbie części wykonanych przez tokarza w ciągu 1 godziny. wykonanych części oznaczono literą y, czas pracy to x, a wydajność - k, wtedy otrzymujemy, że = k lub y = kx, czyli matematycznym modelem sytuacji przedstawionej w zadaniu jest bezpośrednia proporcjonalność.

Problem można rozwiązać na dwa sposoby arytmetyczne:

1 droga: 2 droga:

1) 16:8 = 2 (dzieci) 1) 48:16 = 3 (razy)

2) 48:2 = 24(godz.) 2) 8-3 = 24(godz.)

Rozwiązując problem w pierwszy sposób, najpierw znaleźliśmy współczynnik proporcjonalności k, który jest równy 2, a następnie, wiedząc, że y \u003d 2x, znaleźliśmy wartość x, pod warunkiem, że y \u003d 48.

Rozwiązując problem w drugi sposób, wykorzystaliśmy właściwość bezpośredniej proporcjonalności: ile razy zwiększa się liczba części wykonanych przez tokarza, czas ich wytwarzania wzrasta o tę samą ilość.

Przejdźmy teraz do rozważenia funkcji zwanej odwrotną proporcjonalnością.

Jeżeli t to czas ruchu pieszego (w godzinach), v to jego prędkość (w km/h) i przebył 12 km, to zależność między tymi wartościami można wyrazić wzorem v∙t = 20 lub v = .

Ponieważ każda wartość t (t ≠ 0) odpowiada pojedynczej wartości prędkości v, możemy powiedzieć, że funkcja jest podana za pomocą wzoru v = . Nazywa się to odwrotną proporcjonalnością i jest zdefiniowane w następujący sposób.

Definicja. Odwrotna proporcjonalność to funkcja, którą można określić za pomocą wzoru y \u003d, gdzie k jest niezerową liczbą rzeczywistą.

Nazwa tej funkcji wzięła się stąd, że y= istnieją zmienne x i y, które mogą być wartościami wielkości. A jeśli iloczyn dwóch wielkości jest równy jakiejś liczbie innej niż zero, to nazywa się je odwrotnie proporcjonalnymi. W naszym przypadku xy = k(k ≠ 0). Ta liczba k nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności.

Funkcjonować y= jest matematycznym modelem wielu rzeczywistych sytuacji rozważanych już na początkowym toku matematyki. Jedna z nich została opisana przed definicją odwrotnej proporcjonalności. Inny przykład: jeśli kupiłeś 12 kg mąki i umieściłeś ją w l: słoiki o wadze y kg każdy, wówczas związek między tymi ilościami można przedstawić jako x-y \u003d 12, tj. jest odwrotnie proporcjonalna do współczynnika k=12.

Przypomnij sobie pewne własności odwrotnej proporcjonalności, znane ze szkolnego kursu matematyki.

1. Zakres funkcji y= a jego zakres x jest zbiorem niezerowych liczb rzeczywistych.

2. Wykres odwrotnej proporcjonalności to hiperbola.

3. Dla k > 0 gałęzie hiperboli znajdują się w 1. i 3. ćwiartce, a funkcja y= maleje na całej domenie x (rys. 8).

Ryż. 8 Rys.9

Kiedy k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= rośnie w całej dziedzinie x (ryc. 9).

4. Jeśli funkcja f jest odwrotnie proporcjonalna, a (x 1, y 1), (x 2, y 2) są parami odpowiednich wartości zmiennych x i y, to.

Rzeczywiście, jeśli funkcja f jest odwrotnie proporcjonalna, to można ją podać wzorem y= ,i wtedy . Ponieważ x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, to

Jeżeli wartości zmiennych x i y są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to tę właściwość odwrotnej proporcjonalności można sformułować w następujący sposób: przy kilkukrotnym wzroście (spadku) wartości zmiennej x odpowiednia wartość zmiennej y maleje (rośnie) o tę samą kwotę.

Ta właściwość jest nieodłączna tylko w odwrotnej proporcjonalności i może być używana do rozwiązywania zadań tekstowych, w których brane są pod uwagę wielkości odwrotnie proporcjonalne.

Zadanie 2. Rowerzysta poruszający się z prędkością 10 km/h pokonał dystans z punktu A do punktu B w 6 godzin.

Rozwiązanie. Problem uwzględnia następujące wielkości: prędkość rowerzysty, czas poruszania się i odległość od A do B, przy czym ta ostatnia wartość jest stała, a dwie pozostałe przyjmują różne wartości. Ponadto prędkość i czas ruchu są odwrotnie proporcjonalne, ponieważ ich iloczyn jest równy pewnej liczbie, a mianowicie przebytej odległości. Jeśli czas ruchu rowerzysty jest oznaczony literą y, prędkość wynosi x, a odległość AB to k, to otrzymujemy xy \u003d k lub y \u003d, tj. matematycznym modelem sytuacji przedstawionej w zadaniu jest odwrócona proporcjonalność.

Możesz rozwiązać problem na dwa sposoby:

1 droga: 2 droga:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (razy)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(godz.)

Rozwiązując problem w pierwszy sposób, najpierw znaleźliśmy współczynnik proporcjonalności k, który jest równy 60, a następnie, wiedząc, że y \u003d, znaleźliśmy wartość y, pod warunkiem, że x \u003d 20.

Rozwiązując problem w drugi sposób, wykorzystaliśmy właściwość odwrotnej proporcjonalności: ile razy prędkość ruchu wzrasta, czas przebycia tej samej odległości zmniejsza się o tę samą wartość.

Zauważ, że podczas rozwiązywania konkretnych problemów z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi lub wprost proporcjonalnymi, pewne ograniczenia są nakładane na x i y, w szczególności można je rozpatrywać nie na całym zbiorze liczb rzeczywistych, ale na jego podzbiorach.

Problem 3. Lena kupiła x ołówków, a Katia kupiła 2 razy więcej. Oznacz liczbę ołówków kupionych przez Katię jako y, wyraź y jako x i wykreśl ustalony wykres korespondencji, pod warunkiem, że x ≤ 5. Czy to pasuje do funkcji? Jaka jest jego domena definicji i zakresu wartości?

Rozwiązanie. Katya kupiła u = 2 ołówki. Wykreślając funkcję y=2x należy wziąć pod uwagę, że zmienna x oznacza liczbę ołówków i x≤5, co oznacza, że ​​może przyjmować tylko wartości 0, 1, 2, 3, 4, 5. To będzie domena tej funkcji. Aby uzyskać zasięg tej funkcji, należy pomnożyć każdą wartość x z dziedziny definicji przez 2, czyli będzie to zestaw (0, 2, 4, 6, 8, 10). Dlatego wykres funkcji y \u003d 2x z dziedziną definicji (0, 1, 2, 3, 4, 5) będzie zbiorem punktów pokazanym na rysunku 10. Wszystkie te punkty należą do linii y \u003d 2x.