Методы разложения многочленов на множители

Вопрос о нахождении рациональных корней многочлена f (x )Q [x ] (с рациональными коэффициентами) сводится к вопросу об отыскании рациональных корней многочленов k ∙ f (x )Z [x ] (с целыми коэффициентами). Здесь число k является наименьшим общим кратным знаменателей коэффициентов данного многочлена.

Необходимые, но не достаточные условия существования рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами дает следующая теорема.

Теорема 6.1 (о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами). Если – рациональный корень многочлена f (x ) = a n  x n + + …+ a 1  x + a 0 с целыми коэффициентами, причем (p , q ) = 1, то числитель дроби p является делителем свободного члена а 0 , а знаменатель q является делителем старшего коэффициента а 0 .

Теорема 6.2. Если Q ( где (p , q ) = 1) является рациональным корнем многочлена f (x ) с целыми коэффициентами, то
–целые числа.

Пример. Найтивсе рациональные корнимногочлена

f (x ) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 х+ 1.

1. По теореме 6.1: если – рациональный корень многочлена f (x ), (где(p , q ) = 1), то a 0 = 1 p , a n = 6 q . Поэтому p { 1}, q{1, 2, 3, 6}, значит,

.

2. Известно, что (следствие 5.3) число а является корнем многочлена f (x ) тогда и только тогда, когда f (x ) делится на (х – а ).

Следовательно, для проверки того, являются ли числа 1 и –1 корнями многочлена f (x ) можно воспользоваться схемой Горнера:

f (1) = 60,f (–1) = 120, поэтому 1 и –1 не являются корнями многочленаf (x ).

3. Чтобы отсеять часть оставшихся чисел
, воспользуемся теоремой 6.2. Если выраженияили
принимает целые значения для соответствующих значений числителяp и знаменателя q , то в соответствующих клетках таблицы (см. ниже) будем писать букву “ц”, в противном случае – “др”.

=
=

4. С помощью схемы Горнера проверяем, будут ли оставшиеся после отсеивания числа
корнямиf (x ). Вначале разделим f (x ) на (х – ).

В результате имеем: f (x ) = (х – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 х – 2) и – кореньf (x ). Частное q (x ) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 х – 2 разделим на (х + ).

Так как q (–) = 30, то (–) не является корнем многочленаq (x ), а значит и многочлена f (x ).

Наконец, разделим многочлен q (x ) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 х – 2 на (х – ).

Получили: q () = 0, т.е.– кореньq (x ), а значит, – кореньf (x ). Таким образом, многочлен f (x ) имеет два рациональных корня: и.

Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

В школьном курсе при решении некоторых типов задач на освобождение от иррациональности в знаменателе дроби достаточно домножить числитель и знаменатель дроби на число сопряженное знаменателю.

Примеры. 1.t =
.

Здесь в знаменателе срабатывает формула сокращенного умножения (разность квадратов), что позволяет освободиться от иррациональности в знаменателе.

2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

t =
. Выражение – неполный квадрат разности чисела =
иb = 1. Воспользовавшись формулой сокращенного умножения а 3 – b 3 = (а + b ) · (a 2 – ab + b 2 ), можно определить множитель m = (а + b ) =
+ 1, на который следует домножать числитель и знаменатель дробиt , чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби t . Таким образом,

В ситуациях, где формулы сокращенного умножения не работают, можно использовать другие приемы. Ниже будет сформулирована теорема, доказательство которой, в частности, позволяет найти алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби в более сложных ситуациях.

Определение 6.1. Число z называется алгебраическим над полем F , если существует многочлен f (x ) F [x ], корнем которого является z , в противном случае число z называется трансцендентным над полем F .

Определение 6.2. Степенью алгебраического над полем F числа z называется степень неприводимого над полем F многочлена p (x )F [x ], корнем которого является число z .

Пример. Покажем, что числоz =
является алгебраическим над полемQ и найдем его степень.

Найдем неприводимый над полем Q многочлен p (х ), корнем которого является x =
. Возведем обе части равенстваx =
в четвертую степень, получимх 4 = 2 или х 4 – 2 = 0. Итак, p (х ) = х 4 – 2, а степень числа z равна deg p (х ) = 4.

Теорема 6.3 (об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби). Пусть z – алгебраическое число над полем F степени n . Выражение вида t = ,где f (x ), (x )F [x ], (z)0

единственным образом может быть представлено в виде:

t = с n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F .

Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби продемонстрируем на конкретном примере.

Пример. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

t =

1. Знаменателем дроби является значение многочлена (х ) = х 2 – х +1 при х =
. В предыдущем примере показано, что
– алгебраическое число над полемQ степени 4, так как оно является корнем неприводимого над Q многочлена p (х ) = х 4 – 2.

2. Найдем линейное разложение НОД ((х ), p (x )) с помощью алгоритма Евклида.

_ x 4 – 2 | x 2 – x + 1

x 4 – x 3 + x 2 x 2 + x = q 1 (x )

_ x 3 – x 2 – 2

x 3 – x 2 + x

x 2 – x + 1 | – x –2 = r 1 (x )

x 2 + 2 x – x + 3 = q 2 (x )

_–3x + 1

–3 x – 6

_ – x –2 |7 = r 2

– x –2 -x - =q 3 (x )

Итак, НОД ((х ), p (x )) = r 2 = 7. Найдем его линейное разложение.

Запишем последовательность Евклида, пользуясь обозначениями многочленов.

p (x ) = (x ) · q 1 (x ) + r 1 (x )
r 1 (x ) = p (x ) – (x ) · q 1 (x )

При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. В этой статье мы рассмотрим, каким образом это сделать проще всего.

Как обычно, обратимся за помощью к теории.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Но для нас важна не сама теорема, а следствие из нее:

Если число является корнем многочлена , то многочлен делится без остатка на двучлен .

Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на , где - корень многочлена. В результате мы получаем многочлен, степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.

Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена, и как разделить многочлен на двучлен .

Остановимся подробнее на этих моментах.

1. Как найти корень многочлена.

Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.

Здесь нам помогут такие факты:

Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число является корнем многочлена.

Например, в многочлене сумма коэффициентов равна нулю: . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если сумма коэффициентов многочлена при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку , а - четное число.

Например, в многочлене сумма коэффициентов при четных степенях : , и сумма коэффициентов при нечетных степенях : . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.

Для приведенного многочлена степени (то есть многочлена, в котором старший коэффициент - коэффициент при - равен единице) справедлива формула Виета:

Где - корни многочлена .

Есть ещё формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.

Из этой формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.

Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.

Рассмотрим, например, многочлен

Делители свободного члена: ; ; ;

Сумма всех коэффициентов многочлена равна , следовательно, число 1 не является корнем многочлена.

Сумма коэффициентов при четных степенях :

Сумма коэффициентов при нечетных степенях :

Следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.

Проверим, является ли число 2 корнем многочлена: , следовательно, число 2 является корнем многочлена. Значит, по теореме Безу, многочлен делится без остатка на двучлен .

2. Как разделить многочлен на двучлен.

Многочлен можно разделить на двучлен столбиком.

Разделим многочлен на двучлен столбиком:

Есть и другой способ деления многочлена на двучлен - схема Горнера.

Посмотрите это видео, чтобы понять, как делить многочлен на двучлен столбиком, и с помощью схемы Горнера.

Замечу, что если при делении столбиком какая-то степень неизвестного в исходном многочлене отсутствует, на её месте пишем 0 - так же, как при составлении таблицы для схемы Горнера.

Итак, если нам нужно разделить многочлен на двучлен и в результате деления мы получаем многочлен , то коэффициенты многочлена мы можем найти по схеме Горнера:

Мы также можем использовать схему Горнера для того, чтобы проверить, является ли данное число корнем многочлена: если число является корнем многочлена , то остаток от деления многочлена на равен нулю, то есть в последнем столбце второй строки схемы Горнера мы получаем 0.

Используя схему Горнера, мы "убиваем двух зайцев": одновременно проверяем, является ли число корнем многочлена и делим этот многочлен на двучлен .

Пример. Решить уравнение:

1. Выпишем делители свободного члена, и будем искать корни многочлена среди делителей свободного члена.

Делители числа 24:

2. Проверим, является ли число 1 корнем многочлена.

Сумма коэффициентов многочлена , следовательно, число 1 является корнем многочлена.

3. Разделим исходный многочлен на двучлен с помощью схемы Горнера.

А) Выпишем в первую строку таблицы коэффициенты исходного многочлена.

Так как член, содержащий отсутствует, в том столбце таблицы, в котором должен стоять коэффициент при пишем 0. Слева пишем найденный корень: число 1.

Б) Заполняем первую строку таблицы.

В последнем столбце, как и ожидалось, мы получили ноль, мы разделили исходный многочлен на двучлен без остатка. Коэффициенты многочлена, получившегося в результате деления изображены синим цветом во второй строке таблицы:

Легко проверить, что числа 1 и -1 не являются корнями многочлена

В) Продолжим таблицу. Проверим, является ли число 2 корнем многочлена :

Так степень многочлена, который получается в результате деления на единицу меньше степени исходного многочлена, следовательно и количество коэффициентов и количество столбцов на единицу меньше.

В последнем столбце мы получили -40 - число, не равное нулю, следовательно, многочлен делится на двучлен с остатком, и число 2 не является корнем многочлена.

В) Проверим, является ли число -2 корнем многочлена . Так как предыдущая попытка оказалась неудачной, чтобы не было путаницы с коэффициентами, я сотру строку, соответствующую этой попытке:

Отлично! В остатке мы получили ноль, следовательно, многочлен разделился на двучлен без остатка, следовательно, число -2 является корнем многочлена. Коэффициенты многочлена, который получается в результате деления многочлена на двучлен в таблице изображены зеленым цветом.

В результате деления мы получили квадратный трехчлен , корни которого легко находятся по теореме Виета:

Итак, корни исходного уравнения :

{}

Ответ: {}

Доказано, что для разложения многочлена на множители, нужно найти его корни. Формулы корней квадратного многочлена. Метод нахождения целых корней. Метод разложения на множители биквадратного многочлена и приводящихся к квадратным. Возвратные многочлены.

Основа метода

Пусть

- многочлен степени n ≥ 1 от действительной или комплексной переменной z с действительными или комплексными коэффициентами a i . Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 1

Уравнение P n (z) = 0 имеет хотя бы один корень.

Докажем следующую лемму.

Лемма 1

Пусть P n (z) - многочлен степени n , z 1 - корень уравнения:
P n (z 1) = 0 .
Тогда P n (z) можно представить единственным способом в виде:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z) ,
где P n-1 (z) - многочлен степени n - 1 .

Доказательство

Для доказательства, применим теорему (см. Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком), согласно которой для любых двух многочленов P n (z) и Q k (z) , степеней n и k , причем n ≥ k , существует единственное представление в виде:
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z) ,
где P n-k (z) - многочлен степени n-k , U k-1 (z) - многочлен степени не выше k-1 .

Положим k = 1 , Q k (z) = z - z 1 , тогда
P n (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c ,
где c - постоянная. Подставим сюда z = z 1 и учтем, что P n (z 1) = 0 :
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c ;
0 = 0 + c .
Отсюда c = 0 . Тогда
P n ,
что и требовалось доказать.

Итак, на основании теоремы 1, многочлен P n (z) имеет хотя бы один корень. Обозначим его как z 1 , P n (z 1) = 0 . Тогда на основании леммы 1:
P n (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) .
Далее, если n > 1 , то многочлен P n-1 (z) также имеет хотя бы один корень, который обозначим как z 2 , P n-1 (z 2) = 0 . Тогда
P n-1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z) ;
P n (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z) .

Продолжая этот процесс, мы приходим к выводу, что существует n чисел z 1 , z 2 , ... , z n таких, что
P n (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z) .
Но P 0 (z) - это постоянная. Приравнивая коэффициенты при z n , находим что она равна a n . В результате получаем формулу разложения многочлена на множители:
(1) P n (z) = a n (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) .

Числа z i являются корнями многочлена P n (z) .

В общем случае не все z i , входящие в (1) , различны. Среди них могут оказаться одинаковые значения. Тогда разложение многочлена на множители (1) можно записать в виде:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k ;
.
Здесь z i ≠ z j при i ≠ j . Если n i = 1 , то корень z i называется простым . Он входит в разложение на множители в виде (z-z i ) . Если n i > 1 , то корень z i называется кратным корнем кратности n i . Он входит в разложение на множители в виде произведения n i простых множителей: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i .

Многочлены с действительными коэффициентами

Лемма 2

Если - комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, , то комплексно сопряженное число также является корнем многочлена, .

Доказательство

Действительно, если , и коэффициенты многочлена - действительные числа, то .

Таким образом, комплексные корни входят в разложение на множителями парами со своими комплексно сопряженными значениями:
,
где , - действительные числа.
Тогда разложение (2) многочлена с действительными коэффициентами на множители можно представить в виде, в котором присутствуют только действительные постоянные:
(3) ;
.

Методы разложения многочлена на множители

С учетом сказанного выше, для разложения многочлена на множители, нужно найти все корни уравнения P n (z) = 0 и определить их кратность. Множители с комплексными корнями нужно сгруппировать с комплексно сопряженными. Тогда разложение определяется по формуле (3) .

Таким образом, метод разложения многочлена на множители заключается в следующем:
1. Находим корень z 1 уравнения P n (z 1) = 0 .
2.1. Если корень z 1 действительный, то в разложение добавляем множитель (z - z 1) (z - z 1) 1 :
.
1 (z) , начиная с пункта (1) , пока не найдем все корни.
2.2. Если корень комплексный, то и комплексно сопряженное число является корнем многочлена. Тогда в разложение входит множитель

,
где b 1 = - 2 x 1 , c 1 = x 1 2 + y 1 2 .
В этом случае, в разложение добавляем множитель (z 2 + b 1 z + c 1) и делим многочлен P n (z) на (z 2 + b 1 z + c 1) . В результате получаем многочлен степени n - 2 :
.
Далее повторяем процесс для многочлена P n-2 (z) , начиная с пункта (1) , пока не найдем все корни.

Нахождение корней многочлена

Главной задачей, при разложении многочлена на множители, является нахождение его корней. К сожалению, не всегда это можно сделать аналитически. Здесь мы разберем несколько случаев, когда можно найти корни многочлена аналитически.

Корни многочлена первой степени

Многочлен первой степени - это линейная функция. Она имеет один корень. Разложение имеет только один множитель, содержащий переменную z :
.

Корни многочлена второй степени

Чтобы найти корни многочлена второй степени, нужно решить квадратное уравнение:
P 2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0 .
Если дискриминант , то уравнение имеет два действительных корня:
, .
Тогда разложение на множители имеет вид:
.
Если дискриминант D = 0 , то уравнение имеет один двукратный корень:
;
.
Если дискриминант D < 0 , то корни уравнения комплексные,
.

Многочлены степени выше второй

Существуют формулы для нахождения корней многочленов 3-ей и 4-ой степеней. Однако ими редко пользуются, поскольку они громоздкие. Формул для нахождения корней многочленов степени выше 4-ой нет. Несмотря на это, в некоторых случаях, удается разложить многочлен на множители.

Нахождение целых корней

Если известно, что многочлен, у которого коэффициенты - целые числа, имеет целый корень, то его можно найти, перебрав все возможные значения.

Лемма 3

Пусть многочлен
,
коэффициенты a i которого - целые числа, имеет целый корень z 1 . Тогда этот корень является делителем числа a 0 .

Доказательство

Перепишем уравнение P n (z 1) = 0 в виде:
.
Тогда - целое,
M z 1 = - a 0 .
Разделим на z 1 :
.
Поскольку M - целое, то и - целое. Что и требовалось доказать.

Поэтому, если коэффициенты многочлена - целые числа, то можно попытаться найти целые корни. Для этого нужно найти все делители свободного члена a 0 и, подстановкой в уравнение P n (z) = 0 , проверить, являются ли они корнями этого уравнения.
Примечание . Если коэффициенты многочлена - рациональные числа, , то умножая уравнение P n (z) = 0 на общий знаменатель чисел a i , получим уравнение для многочлена с целыми коэффициентами.

Нахождение рациональных корней

Если коэффициенты многочлена - целые числа и целых корней нет, то при a n ≠ 1 , можно попытаться найти рациональные корни. Для этого нужно сделать подстановку
z = y/a n
и умножить уравнение на a n n-1 . В результате мы получим уравнение для многочлена от переменной y с целыми коэффициентами.Далее ищем целые корни этого многочлена среди делителей свободного члена. Если мы нашли такой корень y i , то перейдя к переменной x , получаем рациональный корень
z i = y i /a n .

Полезные формулы

Приведем формулы, с помощью которых можно разложить многочлен на множители.

В более общем случае, чтобы разложить многочлен
P n (z) = z n - a 0 ,
где a 0 - комплексное, нужно найти все его корни, то есть решить уравнение:
z n = a 0 .
Это уравнение легко решается, если выразить a 0 через модуль r и аргумент φ :
.
Поскольку a 0 не изменится, если к аргументу прибавить 2 π , то представим a 0 в виде:
,
где k - целое. Тогда
;
.
Присваивая k значения k = 0, 1, 2, ... n-1 , получаем n корней многочлена. Тогда его разложение на множители имеет вид:
.

Биквадратный многочлен

Рассмотрим биквадратный многочлен:
.
Биквадратный многочлен можно разложить на множители, без нахождения корней.

При , имеем:

,
где .

Бикубический и многочлены, приводящиеся к квадратному

Рассмотрим многочлен:
.
Его корни определяются из уравнения:
.
Оно приводится к квадратному уравнению подстановкой t = z n :
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0 .
Решив это уравнение, найдем его корни, t 1 , t 2 . После чего находим разложение в виде:
.
Далее методом, указанным выше, раскладываем на множители z n - t 1 и z n - t 2 . В заключении группируем множители, содержащие комплексно сопряженные корни.

Возвратные многочлены

Многочлен называется возвратным , если его коэффициенты симметричны:

Пример возвратного многочлена:
.

Если степень возвратного многочлена n - нечетна, то такой многочлен имеет корень z = -1 . Разделив такой многочлен на z + 1 , получим возвратный многочлен степени n - 1 .
Если степень возвратного многочлена n - четна, то подстановкой , он приводится к многочлену степени n/2 . См.