О лотереях

Игра эта давно приобрела массовый характер и стала неотъемлемой частью современной жизни. И хотя лотерея всё больше расширяет свои возможности, многие люди по-прежнему видят в ней лишь способ обогащения. Пусть и не бесплатный и не надёжный. С другой стороны, как заметил один из героев Джека Лондона, в азартной игре нельзя не считаться с фактами - людям иногда везёт.

Математика случая. История теории вероятностей

Александр Буфетов

Стенограмма и видеозапись лекции доктора физико-математических наук, ведущего научного сотрудника Математического института имени Стеклова, ведущего научного сотрудника ИППИ РАН, профессора факультета математики Высшей школы экономики, директора исследований Национального центра научных исследований во Франции (CNRS) Александра Буфетова, прочитанной в рамках цикла «Публичные лекции "Полит.ру"» 6 февраля 2014 г.

Иллюзия закономерности: почему случайность кажется неестественной

Наши представления о случайном, закономерном и невозможном часто расходятся с данными статистики и теории вероятностей. В книге «Несовершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью» американский физик и популяризатор науки Леонард Млодинов рассказывает о том, почему случайные алгоритмы выглядят так странно, в чем подвох «рандомной» тасовки песен на IPod и от чего зависит удача биржевого аналитика. «Теории и практики» публикуют отрывок из книги.

Детерминизм

Детерминизм — общенаучное понятие и философское учение о причинности, закономерности, генетической связи, взаимодействии и обусловленности всех явлений и процессов, происходящих в мире.

Бог - это статистика

Дебора Нолан, профессор статистики в Университете Калифорнии в Беркли, предлагает своим студентам выполнить очень странное на первый взгляд задание. Первая группа должна сто раз подбрасывать монетку и записывать результат: орёл или решка. Вторая должна представить, что подбрасывает монетку – и тоже составить список из сотни «мнимых» результатов.

Что такое детерминизм

Если известны начальные условия системы, можно, используя законы природы, предсказать ее конечное состояние.

Задача о разборчивой невесте

Гусейн-Заде С. М.

Парадокс Зенона

Можно ли из одной точки в пространстве добраться до другой? Древнегреческий философ Зенон Элейский считал, что перемещение невозможно осуществить вообще, но как он это аргументировал? Колм Келлер расскажет о том, как разрешить знаменитый парадокс Зенона.

Парадоксы бесконечных множеств

Представьте отель с бесконечным числом номеров. Приезжает автобус с бесконечным числом будущих постояльцев. Но разместить их всех - не так-то просто. Это бесконечная морока, а гости бесконечно уставшие. И если справиться с задачей не удастся, то можно потерять бесконечно много денег! Что же делать?

Зависимость роста ребенка от роста родителей

Молодым родителям, конечно, хочется знать, какого роста будет их ребенок, став взрослым. Математическая статистика может предложить простую линейную зависимость для приближен ной оценки роста детей, исходя только из роста отца и матери, а также указать точность такой оценки.

Парадокс Монти Холла - наверно самый известный парадокс в теории вероятностей. Существует масса его вариаций, например, парадокс трёх узников. И существует масса толкований и объяснений этого парадокса. Но здесь, я хотел бы дать не только формальное объяснение, но показать «физическую» основу того, что происходит в парадоксе Монти Холла и ему подобных.

Классическая формулировка такова:

«Вы участник игры. Перед вами три двери. За одной из них приз. Ведущий предлагает вам попытаться угадать, где приз. Вы указываете на одну из дверей (наугад).

Формулировка парадокса Монти Холла

Ведущий знает, где на самом деле находится приз. Он, пока, не открывает ту дверь, на которую вы показали. Но открывает вам ещё одну из оставшихся дверей, за которой нет приза. Вопрос в том, сто́ит ли вам изменить свой выбор, или остаться при прежнем решении?»

Оказывается, что если вы просто измените выбор, то ваши шансы выиграть возрастут!

Парадоксальность ситуации очевидна. Кажется, что всё происходящее случайно. Нет никакой разницы, поменяете вы своё решение или нет. Но это не так.

«Физическое» объяснение природы этого парадокса

Давайте, сперва, не будем вдаваться в математические тонкости, а просто не предвзято посмотрим на ситуацию.

В этой игре вы лишь сперва делаете случайный выбор. Потом ведущий сообщает вам дополнительную информацию , которая и позволяет вам увеличить свои шансы на победу.

Каким образом ведущий сообщает вам дополнительную информацию? Очень просто. Обратите внимание, что он открывает не любую дверь.

Давайте, для простоты (хоть в этом и есть элемент лукавства), рассмотрим более вероятную ситуацию: вы показали на дверь, за которой нет приза. Тогда, за одной из оставшихся дверей приз есть . То есть, у ведущего нет выбора. Он открывает вполне определённую дверь. (На одну указали вы, за другой есть приз, остаётся только одна дверь, которую может открыть ведущий.)

Именно в этот момент осмысленного выбора, он и сообщает вам информацию, которой вы можете воспользоваться.

В данном случае, использование информации заключается в том, что вы меняете решение.

Кстати, ваш второй выбор уже тоже не случаен (вернее, не на столько случаен, как первый выбор). Ведь вы выбираете из закрытых дверей, а одна уже открыта и она не произвольная .

Собственно, уже после этих рассуждений у вас может появиться ощущение, что лучше поменять решение. Это действительно так. Давайте покажем это более формально.

Более формальное объяснение парадокса Монти Холла

На самом деле ваш первый, случайный, выбор разбивает все двери на две группы. За той дверью, которую выбрали вы приз находится с вероятностью 1/3, за двумя другими - с вероятностью 2/3. Теперь ведущий вносит изменения: он открывает одну дверь во второй группе. И теперь вся вероятность 2/3 относится только к закрытой двери из группы из двух дверей.

Понятно, что теперь вам выгодней поменять своё решение.

Хотя, конечно, у вас остаётся шанс проиграть.

Тем не менее смена выбора увеличивает ваши шансы на выигрыш.

Парадокс Монти Холла

Парадокс Монти Холла - вероятностная задача, решение которой (по мнению некоторых) противоречит здравому смыслу. Формулировка задачи:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы.
Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза.

Парадокс Монти Холла. Самая неточная математика

После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2.
Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

При решении задачи часто ошибочно полагают что два выбора являются независимыми и, следовательно, вероятность при изменении выбора не изменится. На самом деле это не так, в чём можно убедиться вспомнив формулу Байеса или посмотрев на результаты симуляции ниже:

Здесь: «стратегия 1» - не менять выбор, «стратегия 2» - изменить выбор. Теоретически, для случая с 3-мя дверями, распределение вероятностей - 33,(3)% и 66,(6)%. При численной симуляции должны бы получаться похожие результаты.

Ссылки

Парадокс Монти Холла – задача из раздела теории вероятности, в решении которой просматривается противоречие здравому смыслу.

История возникновения[править | править вики-текст]

В конце 1963 года в эфир вышло новое ток-шоу под названием «Let’s Make a Deal» («Давайте договоримся»). По сценарию викторины зрители из аудитории получали призы за правильные ответы, имея шанс приумножить их, делая новые ставки, но рискуя имеющимся выигрышем. Основателями шоу являлись Стефан Хатосу и Монти Холл, последний из которых стал его неизменным ведущим на многие годы.

Одним из заданий для участников стал розыгрыш Главного приза, который был расположен за одной из трех дверей. За двумя оставшимися находились поощрительные призы, в свою очередь ведущий знал порядок их расположения. Участнику необходимо было определить выигрышную дверь, поставив на кон весь свой выигрыш за шоу.

Когда угадывающий определялся с номером, ведущий открывал одну из оставшихся дверей, за которой находился поощрительный приз, и предлагал игроку поменять первоначально выбранную дверь.

Формулировки[править | править вики-текст]

Как конкретную задачу, парадокс впервые сформулировал Стив Селвин (Steve Selvin) в 1975 году, отправивший в журнал The American Statistician («Американский статистик»), и ведущему Монти Холлу, вопрос: изменятся ли шансы участника выиграть Главный приз, если после открытия двери с поощрительным он поменяет свой выбор? После этого случая появилось понятие «Парадокс Монти Холла».

В 1990 была в Parade Magazine (Журнал «Парад») опубликована самая распространенная версия парадокса с примером:

«Представьте себя на телеигре, где нужно отдать предпочтенье одной из трех дверей: за двумя из них козы, а за третьей — автомобиль. Когда Вы совершите выбор, предположив, например, что выигрышная дверь номер один, ведущий открывает одну из оставшихся двух дверей, например, номер три, за которой коза. Затем Вам дается шанс изменить выбор на другую дверь? Можно ли увеличить шансы выиграть автомобиль, если поменять свой выбор с двери номер один на дверь номер два?»

Эта формулировка является упрощенным вариантом, т.к. остается фактор влияния ведущего, который точно знает, где автомобиль и заинтересован в проигрыше участника.

Чтоб задача стала сугубо математической, необходимо исключить человеческий фактор, введя открытие двери с поощрительным призом и возможность изменить первоначальный выбор как неотъемлемые условия.

Решение[править | править вики-текст]

При сравнении шансов на первый взгляд изменение номера двери не даст никаких преимуществ, т.к. все три варианта имеют шанс на выигрыш 1/3 (ок. 33,33% на каждую из трех дверей). При этом открытие одной из дверей никак не отразится на шансах двух оставшихся, чьи шансы станут 1/2 к 1/2 (50% на каждую из двух оставшихся дверей). В основу такого суждения ложится суждение, что выбор двери игроком и выбор двери ведущим – два независимых события, не влияющих одно на другое. В действительности необходимо рассматривать всю последовательность событий как единое целое. В соответствии с теорией вероятности, у первой выбранной двери шансы с начала и до конца игры неизменно 1/3 (ок.33,33%), а у двух оставшихся в сумме 1/3+1/3 = 2/3 (ок. 66,66%). Когда открывается одна из двух оставшихся дверей, ее шансы становятся 0% (за ней спрятан поощрительный приз), и как результат шансы закрытой невыбранной двери составят 66,66%, т.е. в два раза больше, чем у выбранной первоначально.

Для облегчения понимания результатов выбора можно рассмотреть альтернативную ситуацию, в которой количество вариантов будет больше, например — тысяча. Вероятность выбрать выигрышный вариант составит 1/1000 (0,1%). При условии, что в последствии из оставшихся девятьсот девяносто девяти вариантов будут открыты девятьсот девяносто восемь неверных, становится очевидно, что вероятность одной оставшейся двери из девятьсот девяносто девяти невыбранных выше, чем у единственной, выбранной вначале.

Упоминания[править | править вики-текст]

Встретить упоминание Парадокса Монти Холла можно в «Двадцать одно» (фильма Роберта Лукетича), «Недотёпа» (романе Сергея Лукьяненко), телесериале «4исла» (телесериал), «Загадочное ночное убийство собаки» (повести Марка Хэддона), «XKCD» (комикс), «Разрушители легенд» (телешоу).

См. также[править | править вики-текст]

На изображении процесс выбора между двумя зарытыми дверьми из трех предложенных первоначально

Примеры решений задач по комбинаторике

Комбинаторика — это наука, с который каждый встречается в повседневной жизни: сколько способов выбрать 3 дежурных для уборки класса или сколько способов составить слово из данных букв.

В целом, комбинаторика позволяет вычислить, сколько различных комбинаций, согласно некоторым условиям, можно составить из заданных объектов (одинаковых или разных).

Как наука комбинаторика возникла еще в 16 веке, а теперь ее изучает каждый студент (и зачастую даже школьник). Начинают изучение с понятий перестановок, размещений, сочетаний (с повторениями или без), на эти темы вы найдете задачи и ниже. Наиболее известные правила комбинаторики — правила суммы и произведения, которые чаще всего применяются в типовых комбинаторных задачах.

Ниже вы найдете несколько примеров задач с решениями на комбинаторные понятия и правила, которые позволят разобраться с типовыми заданиями. Если есть трудности с задачами — заказывайте контрольную по комбинаторике.

Задачи по комбинаторике с решениями онлайн

Задача 1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение задачи по комбинаторике 1 (pdf, 35 Кб)

Задача 2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой — 6 мужчинам, по третьей — 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Решение задачи по комбинаторике 2 (pdf, 39 Кб)

Задача 3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

Решение задачи по комбинаторике 3 (pdf, 33 Кб)

Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

Решение задачи по комбинаторике 4 (pdf, 34 Кб)

Задача 5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую - 5 и в третью - 12. Сколькими способами это можно сделать.

Решение задачи по комбинаторике 5 (pdf, 37 Кб)

Задача 6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Задача по комбинаторике с решением 6 (pdf, 33 Кб)

Задача 7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Задача по комбинаторике с решением 7 (pdf, 37 Кб)

Задача 8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

Задача по комбинаторике с решением 8 (pdf, 32 Кб)

Задача 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

Задача по комбинаторике с решением 9 (pdf, 32 Кб)

Задача 10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?

Задача по комбинаторике с решением 10 (pdf, 39 Кб)

Готовые примеры

Нужны решенные задачи по комбинаторике? Найди в решебнике:

Другие решения задач по теории вероятностей

Всем нам знакома ситуация, когда мы вместо трезвого расчета полагались на свою интуицию. Ведь нужно признать, что далеко не всегда можно все просчитать прежде чем сделать выбор. И как бы не лукавили люди, которые привыкли делать свой выбор только после тщательного анализа, им ни один раз это приходилось делать по принципу «наверное так». Одной из причин подобного действия может быть банальное отсутствие необходимого времени для оценки ситуации.

При этом выбор ждет сложившаяся ситуация прямо сейчас, и не позволяет уйти от ответа или действия. Но еще более каверзные ситуации для нас, которые в буквальном смысле вызывает судорогу мозга, — это разрушение уверенности в правильности выбора или в его вероятном превосходстве над иными вариантами, основанных на логических умозаключениях. На этом основаны все существующие парадоксы.

Парадокс в игре телешоу «Let’s Make a Deal»

Один из парадоксов, который вызывает жаркие споры среди любителей головоломок, называется парадоксом Монти Холла. Назван он в честь ведущего телешоу в США под названием «Let’s Make a Deal». На телешоу ведущий предлагает открыть одну из трех дверей, где в качестве приза находится автомобиль, в то время когда за другими двумя находятся по одной козе.

Участник игры делает свой выбор, но ведущий, зная где находится авто, открывает при этом не ту дверь, которую указал игрок, а другую, в которой находится коза и предлагает сменить первоначальный выбор игрока. Для дальнейшего разбора мы принимаем именно этот вариант поведения ведущего, хотя на самом деле он может периодически меняться. Другие варианты сценария развития мы просто перечислим ниже в статье.

В чем суть парадокса?

Еще раз по пунктам обозначим условия и изменим объекты игры для разнообразия на свои.

Участник игры находитесь в помещении с тремя банковскими ячейками. В одной из трех ячеек золотой слиток золота, в других двух по одной монете номиналом в 1 копейку СССР.

Итак, участник перед выбором и условия игры следующие:

1. Участник может выбрать лишь одну из трех ячеек.
2. Банкир знает изначально расположение слитка.
3. Банкир всегда открывает ячейку с монетой, отличную от выбора игрока, и предлагает поменять выбор игроку.
4. Игрок может в свою очередь поменять свой выбор или оставить первоначальный.

Что говорит интуиция?

Парадокс состоит в том, что для большинства людей, которые привыкли мыслить логически, шансы на выигрыш в случае смены своего первоначального выбора 50 на 50. Ведь, после того, как банкир открывает другую ячейку с монеткой, отличную от первоначального выбора игрока, остаются 2 ячейки, в одной из которых слиток золота, а в другой монетка. Игрок выигрывает слиток, если принимает предложение банкира сменить ячейку при условии, если в первоначально выбранной игроком ячейке не было слитка. И наоборот при данном условии — проигрывает, в случае если он откажется принять предложение.

Как подсказываем здравый смысл вероятность выбора слитка и выигрыша в таком случае 1/2. Но на самом деле ситуация иная! «Но как же так, здесь же все очевидно?» — спросите вы. Допустим вы выбрали ячейку № 1. Интуитивно да, неважно какой был у вас выбор первоначально, в конечном итоге у вас по факту перед выбором монета и слиток. И если изначально у вас была вероятность получения приза 1/3 , то в конечном итоге при открытии одной ячейки банкиром вы получаете вероятность 1/2. Казалось, вероятность увеличилась с 1/3 до 1/2. При внимательном разборе игры выясняется, что при смене решения вероятность увеличивается до 2/3 вместо интуитивных 1/2. Давайте рассмотрим за счет чего это происходит.

В отличие от интуитивного уровня, где наше сознание рассматривает событие после смены ячейки как нечто отдельное и забывает о первоначальном выборе, математика не разрывает эти два события, а наоборот сохраняет цепочку событий от начала до конца. Итак, как мы ранее и говорили, шансы на выигрыш при попадании сходу на слиток у нас 1/3, а вероятность, что мы выберем ячейку с монетой 2/3 (поскольку у нас есть один слиток и две монеты).

1. Выбираем изначально банковскую ячейку со слитком — вероятность 1/3.
   • Если игрок изменяет свой выбор, принимая предложение банкира, — он проигрывает.
   • Если игрок не изменяет выбор, не принимая предложение банкира, — он выигрывает.
2. Выбираем с первого раза банковскую ячейку с в монеткой — вероятность 2/3.
   • Если игрок поменяет свой выбор — выиграл.
   • Если игрок не изменяет выбор — проиграл.

Итак, для того, чтобы игрок ушел из банка со слитком золота в кармане, он должен выбрать изгначально проигрышную позицию с монеткой (вероятность 1/3), и после этого принять предложение банкира сменить ячейку.

Для того, чтобы понять данный парадокс и вырваться из оков шаблона первоначального выбора и оставшихся ячеек, давайте представим поведение игрока ровным счетом наоборот. Перед тем как банкир предложит ячейку для выбора, игрок мысленно точно определяется с тем, что он меняет свой выбор, и только после этого для него следует событие открытия лишней двери. Почему нет? Ведь открытая дверь не дает для него большей информации в такой логической последовательности. На первом этапе времени игрок разделяет ячейки на две разные области: первая — область с одной ячейкой с его первоначальным выбором, вторая с двумя оставшимися ячейками. Далее игроку предстоит сделать выбор между двумя областями. Вероятность достать из ячейки золотой слиток из первой области 1/3, из второй 2/3. Выбор следует за второй областью, в которой он может открыть две ячейки, первую откроет банкир, вторую он сам.

Существует еще более понятное объяснение парадокса Монти Холла. Для этого необходимо поменять формулировку задания. Банкир дает понять, что в одной из трех банковских ячеек находится золотой слиток. В первом случае он предлагает открыть одну из трех ячеек, а во втором — одновременно две. Что выберет игрок? Ну конечно сразу две, за счет повышения вероятности в два раза. И тот момент, когда банкир открыл ячейку с монеткой, это игроку на самом деле никак не помогает и не препятствует выбору, ведь банкир в любом случае покажет эту ячейку с монеткой, поэтому игрок может попросту игнорировать это действие. Со стороны игрока можно лишь только поблагодарить банкира за то, что он ему облегчил жизнь, и вместо двух ему пришлось открыть одну ячейку. Ну и окончательно можно избавится от синдрома парадокса если поставить себя на место банкира, который изначально знает, что игрок в двух из трех случаев указывает на неправильную дверь. Для банкира парадокс отсутствует как таковой, ведь он точно в такой инверсии событий уверен, что в случае смены событий игрок забирает золотой слиточек.

Парадокс Монти Холла явно не позволяет быть в выигрыше консерваторам, которые железобетонно стоят на своем первоначальном выборе и теряют свой шанс роста вероятности. Для консерваторов он так и останется 1/3. Для бдительных и рассудительных людей он вырастает до вышеуказанных 2/3.

Все приведенные утверждения актуальны лишь в соблюдении изначально оговоренных условий.

Что если увеличить количество ячеек?

Что если увеличить количество ячеек? Допустим вместо трех их будет 50. Золотой слиток будет лежать лишь только в одной ячейке, а в остальных 49 — монеты. Соответственно в отличии от классического случая вероятность попадания с ходу в цель 1/50 или 2% вместо 1/3, в то время как вероятность выбора ячейки с монетой составляет 98%. Далее ситуация развивается, как и в прежнем случае. Банкир предлагает открыть любую из 50 ячеек, участник выбирает. Допустим, игрок открывает ячейку под порядковым номеров 49. Банкир в свою очередь, как и в классическом варианте, не спешит выполнять желание игрока и открывает другие 48 ячеек с монетами и предлагает поменять свой выбор на оставшуюся под номером 50.

Здесь важно понимать, что банкир открывает именно 48 ячеек, а не 30, и оставляет при этом 2, включая выбранную игроком. Именно такой выбор позволяет парадоксу идти в разрез с интуицией. Как и в случае с классическим вариантом, открытие банкиром 48 ячеек оставляет только один единственный альтернативный вариант для выбора. Случай варианта меньшего открытия ячеек не позволяет поставить в один ряд задачу с классикой и ощутить парадокс.

Но раз уж мы и коснулись такого варианта, то давайте предположим, что банкир оставляет не одну, кроме выбранной игроком, а несколько ячеек. Представлено, как и прежде, 50 ячеек. Банкир после выбора игрока открывает только одну ячейку, оставляя при этом закрытыми 48 ячеек, включая выбранную игроком. Вероятность выбора слитка с первого раза 1/50. В сумме вероятность нахождения слитка в остальных ячейках 49/50, которая в свою очередь раскидывается не на 49, а на 48 ячеек. Не сложно посчитать, что вероятность нахождения слитка в таком варианте равна (49/50)/48=49/2900 . Вероятность пусть не на много, но все равно выше, чем 1/50 приблизительно на 1%.

Как мы и упоминали в самом начале ведущий Монти Холл в классическом сценарии игры с дверьми, козами и призовым авто может изменять условия игры и вместе с нем и вероятность выигрыша.

Математика парадокса

Могут ли математические формулы доказать увеличение вероятности при смене выбора?
Представим цепочку событий в виде множества, разделенного на две части, первую часть примем за X – это выбор на первом этапе ячейки сейфа игроком; и второе множество Y — оставшиеся две остальных ячейки. Вероятность (В) выигрыша для ячеек 2 и 3 можно выразить с помощью формул.

В(2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
В(3) = 1/2 * 2/3= 1/3

Где 1/2 это вероятность, с которой банкир откроет ячейку 2 и 3 при условии, если игрок изначально выбрал ячейку без слитка.
Далее условная вероятность 1/2 при открытии банкиром ячейки с монетой изменяется на 1 и 0. Тогда формулы приобретают следующий вид:

В(2) = 0 * 2/3 = 0
B(3) = 1 * 2/3 = 1

Здесь мы наглядно видим, что вероятность выбора слитка в ячейке 3 — 2/3, а это чуть более 60 процентов.
Программист самого начального уровня может без труда проверить данный парадокс, написав программу, которая считает вероятность при смене выбора или наоборот и сверить результаты.

Объяснение парадокса в фильме 21 (Двадцать одно)

Наглядное разъяснение парадокса Монти Пола приводится в фильме «21» (Двадцать одно), режиссера Роберта Лукетича. Профессор Микки Роса на лекции приводит пример из шоу Let’s Make a Deal и задает вопрос о распределении вероятности у студента Бена Кэмпбелла (актер и певец Джеймс Энтони), который дает правильный расклад и тем самым удивляет преподавателя.

Самостоятельное изучение парадокса

Для людей, которые хотят проверить результат самостоятельно на деле, но не имеющих математического базиса, мы предлагаем самостоятельно смоделировать игру, в которой вы будете ведущим, а кто-то будет игроком. Можете задействовать в этой игре детей, которые будут выбирать конфеты или фантики от них в заранее приготовленных картонных коробочках. При каждом выборе обязательно фиксируйте результат для дальнейшего подсчета.

В декабре 1963 года на американском телеканале NBC впервые вышла программа Let’s Make a Deal («Заключим сделку!»), в которой участники, выбранные из зрителей в студии, торговались друг с другом и с ведущим, играли в небольшие игры или просто угадывали ответ на вопрос. В конце передачи участники могли сыграть в «сделку дня». Перед ними было три двери, про которые было известно, что за одной из них - Главный Приз (например, автомобиль), а за двумя другими - менее ценные или вовсе абсурдные подарки (например, живые козы). После того как игрок делал свой выбор, ведущий программы Монти Холл (Monty Hall) открывал одну из двух оставшихся дверей, показывая, что за ней Приза нет и давая участнику порадоваться тому, что он сохраняет шансы на выигрыш.

В 1975 году учёный из Калифорнийского университета Стив Селвин (Steve Selvin) задался вопросом о том, что будет, если в этот момент, после открытия двери без Приза, предложить участнику поменять свой выбор. Изменятся ли в этом случае шансы игрока получить Приз, а если да, то в какую сторону? Он отправил соответствующий вопрос в виде задачи в журнал The American Statistician («Американский статистик»), а также - самому Монти Холлу, который дал на него довольно любопытный ответ. Несмотря на этот ответ (а может, и благодаря ему) задача получила распространение под именем «задача Монти Холла».

Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

«Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?»

После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу.

Наиболее популярной является задача с дополнительным условием - участнику игры заранее известны следующие правила:

1. автомобиль равновероятно размещён за любой из 3 дверей;
2. ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
3. если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

Подсказка

Попробуйте рассмотреть людей, выбравших в одном и том же случае (то есть когда Приз находится, например, за дверью №1) разные двери. Кто будет в выигрыше от изменения своего выбора, а кто - нет?

Решение

Как и было предложено в подсказке, рассмотрим людей, сделавших разный выбор. Предположим, что Приз находится за дверью №1, а за дверями №2 и №3 - козы. Пусть у нас есть шесть человек, причём каждую дверь выбрали по два человека, и из каждой пары один впоследствии изменил решение, а другой - нет.

Заметим, что выбравшим дверь №1 Ведущий откроет одну из двух дверей на свой вкус, при этом, независимо от этого, Автомобиль получит тот, кто не изменит своего выбора, изменивший же свой первоначальный выбор останется без Приза. Теперь посмотрим на выбравших двери №2 и №3. Поскольку за дверью №1 стоит Автомобиль, открыть её Ведущий не может, что не оставляет ему выбора - он открывает им двери №3 и №2 соответственно. При этом изменивший решение в каждой паре в результате выберет Приз, а не изменивший - останется ни с чем. Таким образом, из троих людей, изменивших решения, двое получат Приз, а один - козу, в то время как из троих, оставивших свой изначальный выбор неизменным, Приз достанется лишь одному.

Необходимо отметить, что если бы Автомобиль оказался за дверью №2 или №3, результат был бы тем же, изменились бы лишь конкретные победители. Таким образом, предполагая, что изначально каждая дверь выбирается с равной вероятностью, мы получаем, что меняющие свой выбор выигрывают Приз в два раза чаще, то есть вероятность выигрыша в этом случае больше.

Посмотрим на эту задачу с точки зрения математической теории вероятностей. Будем предполагать, что вероятность изначального выбора каждой из дверей одинакова, равно как и вероятность нахождения за каждой из дверей Автомобиля. Кроме того, полезно сделать оговорку, что Ведущий, когда он может открыть две двери, выбирает каждую из них с равной вероятностью. Тогда окажется, что после первого принятия решения вероятность того, что Приз за выбранной дверью, равна 1/3, в то время как вероятность того, что он - за одной из двух других дверей, равна 2/3. При этом, после того как Ведущий открыл одну из двух «невыбранных» дверей, вся вероятность 2/3 приходится лишь на одну из оставшихся дверей, создавая тем самым основание для смены решения, которая увеличит вероятность выигрыша в 2 раза. Что, конечно, его нисколько не гарантирует в одном конкретном случае, но приведёт к более удачным результатам в случае многократного повторения эксперимента.

Послесловие

Задача Монти Холла - это не первая из известных формулировок данной проблемы. В частности, в 1959 году Мартин Гарднер опубликовал в журнале Scientific American аналогичную задачу «о трёх узниках» (Three Prisoners problem) со следующей формулировкой: «Из трёх узников одного должны помиловать, а двоих - казнить. Узник A уговаривает стражника назвать ему имя того из двух других, которого казнят (любого, если казнят обоих), после чего, получив имя B, считает, что вероятность его собственного спасения стала не 1/3, а 1/2. В то же время, узник C утверждает, что это вероятность его спасения стала 2/3, а для A ничего не изменилось. Кто из них прав?»

Однако и Гарднер был не первым, так как ещё в 1889 году в своём «Исчислении вероятностей» французский математик Жозеф Бертран (не путать с англичанином Бертраном Расселом!) предлагает похожую задачу (см. Bertrand"s box paradox): «Есть три ящика, в каждом из которых лежат две монеты: две золотых в первом, две серебряных во втором, и две разных - в третьем. Из наугад выбранного ящика наугад вытащили монету, которая оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся монета в ящике - золотая?»

Если понять решения всех трёх задач, легко заметить схожесть их идей; математически же все их объединяет понятие условной вероятности, то есть вероятности события A, если известно, что событие B произошло. Простейший пример: вероятность того, что на обычном игральном кубике выпала единица, равна 1/6; однако если известно, что выпавшее число - нечётно, то вероятность того, что это - единица, будет уже 1/3. Задача Монти Холла, как и две другие приведённые задачи, показывают, что обращаться с условными вероятностями нужно аккуратно.

Эти задачи также нередко называют парадоксами: парадокс Монти Холла, парадокс ящиков Бертрана (последний не следует путать с настоящим парадоксом Бертрана, приведённым в той же книге, который доказывал неоднозначность существовавшего на тот момент понятия вероятности) - что подразумевает некоторое противоречие (например, в «парадоксе Лжеца» фраза «это утверждение - ложно» противоречит закону исключённого третьего). В данном случае, однако, никакого противоречия со строгими утверждениями нет. Зато есть явное противоречие с «общественным мнением» или просто «очевидным решением» задачи. Действительно, большинство людей, глядя на задачу, полагают, что после открытия одной из дверей вероятность нахождения Приза за любой из двух оставшихся закрытыми равна 1/2. Тем самым они утверждают, что нет разницы, соглашаться или не соглашаться изменить своё решение. Более того, многие люди с трудом осознают ответ, отличный от этого, даже после того, как им было рассказано подробное решение.

Ответ Монти Холла Стиву Селвину

Г-ну Стиву Селвину,
доценту биостатистики,
Калифорнийский университет, Беркли.

Уважаемый Стив,

Благодарю Вас за то, что прислали мне задачу из «Американского статистика».

Хотя я и не изучал статистику в университете, я знаю, что цифры всегда можно использовать в свою пользу, если бы я хотел ими манипулировать. Ваши рассуждения не учитывают одного существенного обстоятельства: после того как первый ящик оказывается пустым, участник уже не может поменять свой выбор. Так что вероятности остаются теми же: один из трёх, не так ли? Ну и, конечно, после того как один из ящиков оказывается пустым, шансы не становятся 50 на 50, а остаются теми же - один из трёх. Участнику только кажется, что, избавившись от одного ящика, он получает больше шансов. Вовсе нет. Два к одному против него, как было, так и осталось. И если Вы вдруг придёте ко мне на шоу, правила останутся теми же и для Вас: никакой смены ящиков после выбора.

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Решение. Сразу же заметим, данная задача никакого парадокса не содержит. Обычная задача (начальный уровень) на формулу Байеса, которая вытекает из определения условной вероятности.

Формула Байеса

Обозначим через А, событие - вы выиграли авто.

Выдвигаем две гипотезы: H 1 - вы не меняете дверь, и H 2 - меняете дверь.

P(H 1)= 1/3 - априорная (априорная - значит до проведения опыта, ведущий еще не открывал дверь) вероятность гипотезы, что вы меняете дверь.

P H1 (A) - условная вероятность, что вы угадаете дверь, за которой находится авто, если произошла первая гипотеза H 1

P H2 (A) - условная вероятность, что вы угадаете дверь, за которой находится авто, если произошла вторая гипотеза H 2

Находим вероятность события А, если произошла гипотеза H 1 (вероятность того, что вы выиграли автомобиль, если не меняли дверь):

Находим вероятность события А, если произошла гипотеза H 2 (вероятность того, что вы выиграли автомобиль, если меняли дверь):

Таким образом, участнику следует изменить свой первоначальный выбор — в этом случае вероятность его выигрыша будет равна 2 ⁄ 3 .

Статистическая проверка парадокса Монти Холла

Здесь: «стратегия 1» — не менять выбор, «стратегия 2» — изменить выбор. Теоретически, для случая с 3-мя дверями, распределение вероятностей — 33,(3)% и 66,(6)%. При численной симуляции должны бы получаться похожие результаты.

Теория вероятностей - раздел математики, который готов запутать самих математиков. В отличие от остальных, точных и незыблемых догм этой науки, данная область кишит странностями и неточностями. В этот раздел совсем недавно добавили так сказать новый параграф - парадокс Монти Холла. Это, в общем, задача, но решается она совсем не так, как привычные нам школьные или университетские.

История происхождения

Над парадоксом Монти Холла люди ломают свои головы, начиная с далекого 1975 года. Но начать стоит с 1963. Именно тогда на экраны вышло телешоу под названием Let"s make a deal, что переводится как "Давайте заключим сделку". Его ведущим стал никто иной как Монти Холл, который подкидывал зрителям порой неразрешимые задачки. Одной из наиболее ярких стала та, которую он представил в 1975 году. Задача стала частью математической теории вероятности и парадоксов, которые укладываются в ее рамки. Стоит также отметить, что данное явление стало причиной сильных дискуссий и жесткой критики со стороны ученых. Парадокс Монти Холла был опубликован в журнале Parade в 1990 году, и с тех пор стал еще более обсуждаемым и спорным вопросом всех времен и народов. Ну а теперь переходим непосредственно к его формулировке и трактовке.

Формулировка проблемы

Существует множество трактовок данного парадокса, но мы решили представить вам классическую, которая была показана в самой программе. Итак, перед вами три двери. За одной из них находится автомобиль, за двумя другими по одной козе. Ведущий предлагает вам выбрать одну из дверей, и, допустим, вы останавливаетесь на номере 1. Пока что вы не знаете, что за этой самой первой дверью, так как вам открывают третью, и показывают, что за ней коза. Следовательно, вы пока что не проиграли, ведь вы не выбрали ту дверь, которая скрывает проигрышный вариант. Следовательно, ваши шансы на получение машины возрастают.

Но тут ведущий предлагает вам изменить решение. Перед вами уже две двери, за одной коза, за другой желанный приз. Именно в этом и заключается суть проблемы. Кажется, что какую бы дверь из двух вы ни выбрали, шансы будут 50 на 50. Но на самом деле, если вы поменяете решение, вероятность того, что вы победите, станет больше. Как так?

Первый выбор, который вы делаете в этой игре - случайный. Вы никак не можете даже отдаленно догадываться, за какой из трех дверей спрятан приз, поэтому рандомно указываете на первую попавшуюся. Ведущий же в свою очередь знает, где что находится. У него есть дверь с призом, дверь, на которую указали вы, и третья без приза, которую он вам и открывает в качестве первой подсказки. Вторая же подсказка кроется в самом его предложении сменить выбор.

Теперь вы уже будете выбирать не наугад одну из трех, а сможете даже изменить свое решение, чтобы получить желаемый приз. Именно предложение ведущего дает человеку веру в то, что автомобиль находится действительно не за той дверью, которую он выбрал, а за другой. В этом и заключается вся суть парадокса, так как, по сути, выбирать (хоть уже из двух, а не из трех) все равно приходится наугад, но шансы на победу возрастают. Как показывает статистика, из 30-ти игроков, которые поменяли свое решение, машину выиграли 18. А это 60%. А из тех же 30-ти человек, которые решение не изменили - всего 11, то есть 36%.

Трактовка в цифрах

Теперь дадим парадоксу Монти Холла более точное определение. Первый выбор игрока разбивает двери на две группы. Вероятность того, что приз расположен за дверью, которую вы выбрали, составляет 1/3, а за теми дверьми, что остались 2/3. Ведущий далее открывает одну из дверей второй группы. Таким образом он переносит всю оставшуюся вероятность, 2/3, на одну дверь, которую вы не выбрали и которую он не открывал. Логично, что после таких расчетов выгоднее будет сменить свое решение. Но при этом важно помнить, что шанс проиграть все-таки имеется. Порой ведущие лукавят, так как вы изначально можете ткнуть на правильную, призовую дверь, а после от нее добровольно отказаться.

Все мы привыкли к тому, что математика, как точная наука, идет рука об руку со здравым смыслом. Тут дело делают цифры, а не слова, точные формулы, а не туманные размышления, координаты, а не относительные данные. Но ее новый раздел под названием теория вероятностей взорвал весь привычный шаблон. Задачи из этой области, как нам кажется, не вкладываются в рамки здравого смысла и полностью противоречат всем формулам и вычислениям. Предлагаем ниже ознакомиться с другими парадоксами теории вероятности, которые имеют нечто общее с тем, который был описан выше.

Парадокс мальчика и девочки

Задачка, на первый взгляд, абсурдная, но она строго подчиняется математической формуле и имеет два варианта решения. Итак, у некого мужчины двое детей. Один из них наверняка мальчик. Какова вероятность того, что мальчиком окажется второй?

Вариант 1. Мы рассматриваем все комбинации двоих детей в семье:

• Девочка/девочка.
• Девочка/мальчик.
• Мальчик/девочка.
• Мальчик/мальчик.

Первая комбинации нам очевидно не подходит, поэтому, исходя из трех последних, мы получаем вероятность в 1/3 того, что вторым ребенком окажется маленький мужчина.

Вариант 2. Если же представить себе такой случай на практике, откинув дроби и формулы, то, исходя из того факта, что на Земле есть только два пола, вероятность того, что вторым ребенком будет мальчик, составляет 1/2.

Этот опыт показывает нам, как лихо можно манипулировать статистикой. Итак, "спящей красавице" вкалывают снотворное и кидают монетку. Если выпадает орел, то ее будят и эксперимент прекращается. Если же выпадает решка, то ее будят, сразу делая второй укол, и она забывает о том, что просыпалась, а после этого вновь пробуждают лишь на второй день. После полного пробуждения "красавице" неизвестно, в какой день она открыла глаза, или какова вероятность того, что монета упала решкой. По первому варианту решения вероятность выпадения решки (или орла) составляет 1/2. Суть второго варианта заключается в том, что, если проводить эксперимент 1000 раз, то в случае с орлом "красавицу" будут будить 500 раз, а с редкой - 1000. Теперь уже вероятность выпадения решки составляет 2/3.