Правила ввода функций :
Дважды непрерывно дифференцируемая функция f(x) является выпуклой (вогнутой) тогда и только тогда, когда матрица Гессе функции f(x) по x положительно (отрицательно) полуопределена для всех x (см. точки локальных экстремумов функции многих переменных).
Критические точки функции:
- если гессиан положительно определён, то x 0 - точка локального минимума функции f(x) ,
- если гессиан отрицательно определён, то x 0 - точка локального максимума функции f(x) ,
- если гессиан не является знакоопределённым (принимает как положительные, так и отрицательные значения) и невырожден (det G(f) ≠ 0), то x 0 - седловая точка функции f(x).
Критерии определенности матрицы (теорема Сильвестра)
Положительная определенность :- все диагональные элементы матрицы должны быть положительны;
- все ведущие главные определители должны быть положительны.
Положительная полуопределенность:
- все диагональные элементы неотрицательны;
- все главные определители неотрицательны.
Квадратная симметрическая матрица порядка n , элементами которой являются частные производные целевой функции второго порядка, называется матрицей Гессе и обозначается:
Для того, чтобы симметрическая матрица была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все ее диагональные миноры были положительны, т.е.
для матрицы A = (a ij) положительные.
Отрицательная определенность
.
Для того чтобы симметрическая матрица была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства:
(-1) k D k > 0, k
=1,.., n.
Другими словами, для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой
, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались, начиная со знака минус. Например, для двух переменных, D 1 < 0, D 2 > 0.
Если гессиан полуопределен, то это может быть и точка перегиба. Нужны дополнительные исследования, которые могут быть проведены по одному из следующих вариантов:
- Понижение порядка . Делается замена переменных. Например, для функции двух переменных это y=x , в итоге получаем функцию одного переменного x . Далее исследуется поведение функции на прямых y=x и y=-x . Если в первом случае функция в исследуемой точке будет иметь минимум, а в другом случае максимум (или наоборот), то исследуемая точка представляет собой седловую точку .
- Нахождение собственных значений гессиана. Если все значения положительные, функция в исследуемой точке имеет минимум, если все отрицательные – имеется максимум.
- Исследование функции f(x) в окрестности точки ε. Переменные x заменяются на x 0 +ε. Далее необходимо доказать, что функция f(x 0 +ε) от одной переменной ε, либо больше нуля (тогда x 0 точка минимума), либо меньше нуля (тогда x 0 точка максимума).
Примечание . Чтобы найти обратный гессиан достаточно найти обратную матрицу .
Пример №1
. Какие из следующих функций являются выпуклыми или вогнутыми: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Решение
. 1. Найдем частные производные.
2. Решим систему уравнений.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x 1 и подставляем во второе уравнение:
x 2 = x 2 + 1 / 2
-2x 2 +8 = 0
Откуда x 2 = 4
Данные значения x 2 подставляем в выражение для x 1 . Получаем: x 1 = 9 / 2
Количество критических точек равно 1.
M 1 (9 / 2 ;4)
3. Найдем частные производные второго порядка.
4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x 0 ;y 0).
Вычисляем значения для точки M 1 (9 / 2 ;4)
Строим матрицу Гессе:
D 1 = a 11 < 0, D 2 = 8 > 0
Поскольку диагональные миноры имеют различные знаки, то о выпуклости или вогнутости функции ничего сказать нельзя.
Введение…………………………………………..................................................3
1 Теоретические сведения о квадратичных формах……………………………4
1.1 Определение квадратичной формы……………………………………….…4
1.2 Приведение квадратичной формы к каноническому виду………………...6
1.3 Закон инерции…………………………………………………………….….11
1.4 Положительно определенные формы……………………………………...18
2 Практическое применение квадратичных форм …...………………………22
2.1 Решение типовых задач …………………………………………................22
2.2 Задания для самостоятельного решения……...………………….………...26
2.3 Тестовые задания…………………………………………............................27
Заключение………….……………………………...……………………………29
Список использованной литературы…………………………………………...30
ВВЕДЕНИЕ
Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнениями второго порядка, содержащими две или три переменные. Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому
, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами .Теория квадратичных форм впервые была развита французским математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория значительно была расширенна Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области .
Целью работы является изучение видов квадратичных форм и способов приведения квадратичных форм к каноническому виду.
В данной работе поставлены следующие задачи: выбрать необходимую литературу, рассмотреть определения, решить ряд задач и подготовить тесты.
1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ
1.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
Квадратичной формой
от неизвестных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных. Квадратичная форма бывает двух видов: действительной и комплексной, в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или комплексными числами.Обозначая коэффициент при
через , а при произведении
, через 
, квадратичную форму можно представить в виде:
.
Из коэффициентов
можно составить квадратную матрицу порядка ; она называется матрицей квадратичной формы , а ее ранг - рангом квадратичной формы. Если, в частности, , где , то есть матрица - невырожденная, то и квадратичная форма называется невырожденной. Для любой симметрической матрицы - го порядка можно указать в полне определенную квадратичную форму:
(1.1)
- неизвестных, имеющую элементы матрицы своими коэффициентами.
Обозначим теперь через
столбец, составленный из неизвестных: . является матрицей, имеющей строк и один столбец. Транспонируя эту матрицу, получим матрицу:
, составленную из одной строки.
Квадратичная форма (1.1) с матрицей
может быть записана теперь в виде произведения:.1.2 ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Предположим, что квадратичная форма
от неизвестных уже приведена невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду , где - новые неизвестные. Некоторые из коэффициентов могут быть нулями. Докажем, что число отличных от нуля коэффициентов непременно равно рангу формы . Матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид
,
и требование, чтобы эта матрица имела ранг
, равносильно предположению, что на ее главной диагонали стоит ровно отличных от нуля элементов.Теорема. Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Если при этом рассматривается действительная квадратичная форма, то все коэффициенты указанного линейного преобразования можно считать действительными.
Доказательство. Эта теорема верна для случая квадратичных форм от одного неизвестного, так как всякая такая форма имеет вид
, являющийся каноническим. Введем доказательство по индукции, то есть доказывать теорему для квадратичных форм от неизвестных, считая что она уже доказана для форм с меньшим числом неизвестных.Пусть дана квадратичная форма (1.1) от
При решении различных прикладных задач часто приходится исследовать квадратичные формы.
Определение. Квадратичной формойL( , х 2 , ..., х n) от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:
L( ,х 2 ,...,х n) =
Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы - действительные числа, причем
Матрица А=() (i, j = 1, 2, ...,n), составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.
В матричной записи квадратичная форма имеет вид: L = Х"АХ, где X = (х 1, х 2 ,..., х n)" - матрица-столбец переменных.
Пример 8.1
Записать квадратичную форму L( , х 2 , х 3)= в матричном виде.
Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 4, 1, -3, а другие элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому
L=( , х 2 , х 3) 
.
При невырожденном линейном преобразовании X = CY матрица квадратичной формы принимает вид: А * =С"АС. (*)
Пример 8.2
Дана квадратичная форма L(x x , х 2) =2х 1 2 +4x 1 x 2 -3 . Найти квадратичную форму L(y 1 ,y 2),полученную из данной линейным преобразованием = 2у 1 - 3y 2 , x 2 = у 1 + у 2 .
Матрица данной квадратичной формы A= , а матрица линейного преобразования
С = . Следовательно, по (*) матрица искомой квадратичной формы
А квадратичная форма имеет вид
L(y 1, y 2) =
.
Следует отметить, что при некоторых удачно выбранных линейных преобразованиях вид квадратичной формы можно существенно упростить.
Определение. Квадратичная форма L( ,х 2 ,...,х n) = называется канонической (или имеет канонический вид), если все ее коэффициенты = 0 при i¹j:
L= 
, а её матрица является диагональной.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.
Пример 8.3
Привести к каноническому виду квадратичную форму
L( , х 2 , х 3)=
Вначале выделим полный квадрат при переменной , коэффициент при квадрате которой отличен от нуля:
Теперь выделяем полный квадрат при переменной , коэффициент при которой отличен от нуля:
Итак, невырожденное линейное преобразование
приводит данную квадратичную форму к каноническому виду: 
Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.
Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.
Следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.
Определение. Квадратичная форма L( , х 2 , ..., х n) называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,
L( , х 2 , ..., х n) > 0 (L( , х 2 , ..., х n) < 0).
Так, например
, квадратичная форма 
является положительно определенной, а форма - отрицательно определенной.
Теорема. Для того чтобы квадратичная форма L = Х"АХ была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения , матрицы А были положительны (отрицательны).
Квадратичной формой f(х 1 , х 2 ,...,х n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом:f(х 1 , х 2 ,...,х n) = (a ij =a ji).
Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали,a ij =a ji).
В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где
В самом деле
Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .
Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому
Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.
Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * =C T AC.
Например, найдем квадратичную форму f(y 1 , y 2), полученную из квадратичной формыf(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 линейным преобразованием .
Квадратичная форма называется канонической (имеетканонический вид ), если все ее коэффициентыa ij = 0 приi≠j, т.е.f(х 1 , х 2 ,...,х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .
Ее матрица является диагональной.
Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.
Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 .
Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х 1:
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х 2 2 – х 2 х 3 .
Теперь выделяем полный квадрат при переменной х 2:
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 2 – 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) - (5/100)х 3 2 = = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 – (1/10)х 3) 2 - (1/20)х 3 2 .
Тогда невырожденное линейное преобразование y 1 = x 1 + х 2 ,y 2 = х 2 – (1/10)х 3 и y 3 = x 3 приводит данную квадратичную форму к каноническому видуf(y 1 ,y 2 ,y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .
Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами 1). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называютзаконом инерции квадратичных форм .
Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х 2:f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = -3х 2 2 – х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = -3(х 2 2 – - 2* х 2 ((1/6) х 3 + (2/3)х 1) +((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2) – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(х 2 – (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y 3 2 , гдеy 1 = - (2/3)х 1 + х 2 – (1/6) х 3 ,y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 и y 3 = x 1 . Здесь положительный коэффициент 2 приy 3 и два отрицательных коэффициента (-3) приy 1 иy 2 (а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 приy 1 и два отрицательных – (-5) приy 2 и (-1/20) приy 3).
Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы , равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.
Квадратичную форму f(X) называютположительно (отрицательно )определенной , если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е.f(X) > 0 (отрицательна, т.е.f(X) < 0).
Например, квадратичная форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная формаf 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в видеf 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .
В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).
Теорема . Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).
Теорема (критерий Сильвестра) . Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.
Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы Аn-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первыхkстрок и столбцов матрицы А ().
Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.
Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .
=
(2 -)*
*(3 -)
– 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; 
. Следовательно, квадратичная форма –
положительно определенная.
Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А 1 =a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.
Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х 1 , х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .
Способ 1. Построим
матрицу квадратичной формы А = .
Характеристическое уравнение будет
иметь вид 
=
(-2 -)*
*(-3 -)
– 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; 
. Следовательно, квадратичная форма –
отрицательно определенная.
Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А 1 =a 11 = = -2 < 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – отрицательно определенная (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса).
И в качестве еще одного примера исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .
Способ 1. Построим
матрицу квадратичной формы А = .
Характеристическое уравнение будет
иметь вид 
=
(2 -)*
*(-3 -)
– 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; 
. Одно из этих чисел отрицательно, а
другое – положительно. Знаки собственных
значений разные. Следовательно,
квадратичная форма не может быть ни
отрицательно, ни положительно определенной,
т.е. эта квадратичная форма не является
знакоопределенной (может принимать
значения любого знака).
Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А 1 =a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка 2 = = -6 – 4 = -10 < 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).
1Рассмотренный способ приведения квадратичной формы к каноническому виду удобно использовать, когда при квадратах переменных встречаются ненулевые коэффициенты. Если их нет, осуществить преобразование все равно возможно, но приходится использовать некоторые другие приемы. Например, пустьf(х 1 , х 2) = 2x 1 х 2 = x 1 2 + 2x 1 х 2 + х 2 2 - x 1 2 - х 2 2 =
= (x 1 + х 2) 2 - x 1 2 - х 2 2 = (x 1 + х 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 х 2 + х 2 2) - 2x 1 х 2 = (x 1 + х 2) 2 – - (x 1 - х 2) 2 - 2x 1 х 2 ; 4x 1 х 2 = (x 1 + х 2) 2 – (x 1 - х 2) 2 ;f(х 1 , х 2) = 2x 1 х 2 = (1/2)* *(x 1 + х 2) 2 – (1/2)*(x 1 - х 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2 , гдеy 1 = х 1 + х 2 , аy 2 = х 1 – х 2 .
Квадратичной формой называется однородный многочлен 2-й степени от нескольких переменных.
Квадратичная форма от переменных состоит из слагаемых двух типов: квадратов переменных и их попарных произведений с некоторыми коэффициентами. Квадратичную форму принято записывать в виде следующей квадратной схемы:
Пары подобных членов записываются с одинаковыми коэффициентами, так что каждый из них составляет половину коэффициента при соответствующем произведении переменных. Таким образом, каждая квадратичная форма естественным образом связывается с матрицей ее коэффициентов, которая является симметричной.
Квадратичную форму удобно представлять и в следующей матричной записи. Обозначим через X столбец из переменных через X - строку т. е. матрицу, транспонированную с X. Тогда
Квадратичные формы встречаются во многих разделах математики и ее приложений.
В теории чисел и кристаллографии рассматриваются квадратичные формы в предположении, что переменные принимают только целочисленные значения. В аналитической геометрии квадратичная форма входит в состав уравнения кривой (или поверхности) порядка. В механике и физике квадратичная форма появляется для выражения кинетической энергии системы через компоненты обобщенных скоростей и т. д. Но, кроме того, изучение квадратичных форм необходимо и в анализе при изучении функций от многих переменных, в вопросах, для решения которых важно выяснить, как данная функция в окрестности данной точки отклоняется от приближающей ее линейной функции. Примером задачи этого типа является исследование функции на максимум и минимум.
Рассмотрим, например, задачу об исследовании на максимум и минимум для функции от двух переменных имеющей непрерывные частные производные до порядка. Необходимым условием для того, чтобы точка давала максимум или минимум функции является равенство нулю частных производных порядка в точке Допустим, что это условие выполнено. Придадим переменным х и у малые приращения и к и рассмотрим соответствующее приращение функции Согласно формуле Тейлора это приращение с точностью до малых высших порядков равно квадратичной форме где - значения вторых производных вычисленные в точке Если эта квадратичная форма положительна при всех значениях и к (кроме ), то функция имеет минимум в точке если отрицательна, то - максимум. Наконец, если форма принимает и положительные и отрицательные значения, то не будет ни максимума, ни минимума. Аналогичным образом исследуются и функции от большего числа переменных.
Изучение квадратичных форм в основном заключается в исследовании проблемы эквивалентности форм относительно той или другой совокупности линейных преобразований переменных. Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них может быть переведена в другую посредством одного из преобразований данной совокупности. С проблемой эквивалентности тесно связана проблема приведения формы, т. о. преобразования ее к некоторому возможно простейшему виду.
В различных вопросах, связанных с квадратичными формами, рассматриваются и различные совокупности допустимых преобразований переменных.
В вопросах анализа применяются любые неособенные преобразования переменных; для целей аналитической геометрии наибольший интерес представляют ортогональные преобразования, т. е. те, которым соответствует переход от одной системы переменных декартовых координат к другой. Наконец, в теории чисел и в кристаллографии рассматриваются линейные преобразования с целыми коэффициентами и с определителем, равным единице.
Мы рассмотрим из этих задач две: вопрос о приведении квадратичной формы К простейшему виду посредством любых неособенных преобразований и тот же вопрос для преобразований ортогональных. Прежде всего выясним, как преобразуется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.
Пусть , где А - симметричная матрица из коэффициентов формы, X - столбец из переменных.
Сделаем линейное преобразование переменных, записав его сокращенно . Здесь С обозначает матрицу коэффициентов этого преобразования, X - столбец из новых переменных. Тогда и, следовательно, так что матрицей преобразованной квадратичной формы является
Матрица автоматически оказывается симметричной, что легко проверяется. Таким образом, задача о приведении квадратичной формы к простейшему виду равносильна задаче о приведении к простейшему виду симметричной матрицы посредством умножения ее слева и справа на взаимно транспонированные матрицы.
